「最新耐震構造解析(第 3 版)」
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第
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版によせて
前回の改訂から10年を経て，このたび第3版を刊行することとなった．今回のお もな改訂は，最近の地震被害の追補，2000年施行の建築基準法に定められた限界耐力 計算に関する説明の追加および2007年の建築基準法改正に伴う諸耐震関連規定の変 更である．また，いくつかの誤りの訂正も行った．東京大学地震研究所准教授楠浩一 氏には，多くの御指示をいただき，深謝申し上げる．新たな改版に伴なう作業も多大 であり，森北出版の藤原祐介氏，福島崇史氏には大変御世話になった．厚く御礼申し 上げる． 本書が耐震工学の基本を正しく理解するための一助となることを願っている． 平成26年8月 柴田 明徳第
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版によせて
このたび，SI単位の公的な採用に伴い，本書の記述を重力単位からSI単位に書き 改めることとした．また，最近20年間に起こった大地震の被害および1996年より採 用された計測震度に関する事項を追加した．なお，2000年からの建築基準法改正によ り，耐震規定にも限界耐力法などの新しい事項が加わったが，頁数の関係等で本書に は含めていない． 本書がSI単位を用いての学習にいささかでも役立つことを願う． 平成15年3月 柴田 明徳まえがき
構造物の合理的な耐震設計は，地震に対する構造物の動的挙動の正しい理解に基づ く必要がある．この本は，初めて学ぶ人を対象に，構造物の動力学の基礎，ならびに構造物の地震応答解析に関する基本的なことがらを述べたものである．内容は，大学 工学部建築学科の学部講義に基づいている．半年間週1回の講義で，おもな章の基本 事項だけはほぼカバーするようにしている．∗ 印のついている章あるいは節は，初め て読む人はとばしてもよい． 構造物をモデル化し，地震に対する応答を具体的に評価する耐震構造解析の基本的 なプロセスの一つ一つをなるべくわかりやすい形で示したい，というのが本書におけ る著者の希望である．そのため，できるだけ例題を多くして理解を助けるようにした． また，実際の地震波に対する応答の性質をよく知ってもらうことにも重点をおいた． 耐震解析でつかう動力学の内容はきわめて多岐にわたる．また，構造物の耐震解析 を実際に行う場合には，動力学の知識だけでなく，骨組，部材および地盤の力学的諸 性質，構造解析の諸手法などを含む広い知識が必要であり，また問題に応じた工学的 判断が要求される． この本では，耐震構造解析の基本事項をできるだけ取り上げようとしているが，お のおのの内容すべてを深く掘り下げてはいない．このため，各章の内容に関して，巻 末に参考書および関連の論文を挙げるよう努めた．興味をもたれた方は，これらを手 がかりにしてさらに勉強を続けてほしい．なお，筆者の不敏のため，思わぬ記述の誤 りや考え違いもあると思う．読者の皆様のご指摘・ご叱正をいただければ幸いである． また，この本の中には，多くの方々によるこれまでの耐震構造研究の結果を各所に引 用させていただいた．ここに記して感謝の意を表する．出典は，参考文献に示し，あ るいはそのつど明記するようにした．遺漏もあると思うが，お許しいただきたい． この本をつくるにあたっては，大勢の方々の御世話になった．東北大学志賀敏男教 授には多くの貴重なご教示をいただいた．東北大学渋谷純一氏，高橋純一氏，および 東北大学大学院木村秀樹氏，大原英司氏には原稿，図面の作成について多大のご助力 をいただいた．毎年の講義に出席された東北大学建築学科の学生諸氏の協力に負うと ころも大きい．皆様のご指導・ご援助に対し，心から御礼申し上げる． また，著者が耐震構造の研究の道に入って以来変わらぬご鞭達を賜わっている武藤 清博士，梅村魁博士，大沢胖博士のご厚情に深く感謝申し上げる． 森北出版の太田三郎氏には，この本ができるまで大変御世話になった．執筆が大変 延引したにもかかわらず，こころよく見守っていただき，親身なご配慮，ご助言をい ただいた．厚く御礼申し上げる． 最後に，いつも援助と励ましを与えてくれた妻貴志子に感謝する． 昭和56年6月 著 者
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目 次
第1章 1自由度系の線形応答 . . . . 1 1.1 構造物のモデル化 1 1.6 地震応答スペクトル 31 1.2 非減衰自由振動 3 1.7 振動とエネルギー 38 1.3 減衰自由振動 10 1.8 等価粘性減衰 45 1.4 調和外力に対する応答 16 1.9 複素減衰* 47 1.5 さまざまな過渡外力に対する応答 25 第2章 多自由度系の線形応答 . . . . 52 2.1 振動方程式 52 2.5 モーダルアナリシス 78 2.2 非減衰自由振動 59 2.6 非比例減衰* 81 2.3 減衰自由振動 66 2.7 固有値の計算 89 2.4 強制振動 70 第3章 応答の数値解析 . . . . 97 3.1 数値積分法 97 3.4 厳密解にもとづく方法 (Nigam–Jennings法) 112 3.2 加速度法 97 3.3 Runge–Kutta法 108 第4章 弾塑性応答 . . . . 114 4.1 弾塑性復元力特性 114 4.4 地震に対する弾塑性応答 129 4.2 衝撃力に対する弾塑性応答 118 4.5 弾塑性地震応答の等価線形解析 138 4.3 弾塑性系の定常応答 120 第5章 フーリエ解析* . . . . 145 5.1 フーリエ解析の種類 145 5.4 一般調和解析 156 5.2 フーリエ級数 146 5.5 有限フーリエ変換 161 5.3 フーリエ変換（フーリエ積分）148第6章 ランダム振動* . . . . 168 6.1 地震応答の確率的解析 168 6.5 線形系の定常ランダム応答 178 6.2 確率変数 169 6.6 線形系の非定常ランダム応答 181 6.3 確率過程 171 6.7 振幅分布 186 6.4 パワースペクトル密度と自己相関 関数 175 第7章 地震動の性質 . . . . 192 7.1 地震活動 192 7.4 強震波形の性質 209 7.2 地震の大きさと地震動の強さ 195 7.5 模擬地震動 219 7.3 地震動の強さの頻度 203 第8章 地盤の振動 . . . . 223 8.1 地盤と耐震 223 8.3 成層地盤の伝達特性 229 8.2 せん断振動 224 8.4 地盤上の剛基礎の振動 234 第9章 建物の地震応答解析 . . . . 245 9.1 建物の振動モデル 245 9.4 ねじれ振動 261 9.2 せん断質点系モデル 247 9.5 地盤と建物の相互作用 269 9.3 骨組モデル 254 第10章 建築物の耐震性 . . . . 278 10.1 建築物の震害 278 10.4 震害と壁率 302 10.2 建築物の耐震計算 292 10.5 日本の耐震規定 305 10.3 強さとねばり 300 参考文献 . . . . 349 索 引 . . . . 359
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第
1
章
1
自由度系の線形応答
1.1
構造物のモデル化
構造物の振動を解析する場合には，まず，構造物を解析が可能な力学モデル (me-chanical model)に置き換えることが必要である．実際の構造物はきわめて複雑であ るから，モデルの設定に際しては，問題となる振動現象が実用上十分な精確さで表さ れる程度に，構造物を理想化し，単純化しなければならない． いま，1層ラーメン骨組が図1.1のような水平振動をしているとする．変形は微少 で骨組は弾性範囲にあるものとして，この振動を解析するための力学モデルを考えて みよう． 図1.1 骨組の振動している部分の質量(mass)には，ニュートンの第2法則により慣性力 (inertia force)が生じる．はりおよびその上の積載荷重の質量は同じ動きをすると考 えてよいから，これらの質量ははり上の1点に集中させて扱うことにする．また，柱 の上部（たとえば上半分）の質量も，はりとほぼ同じ動きをするとみなして，はり位 置の質量に加算することができるだろう．こうして，図1.1 (a)の骨組は，水平振動 の状態を考えると，近似的に図(b)のような一つの質点(mass point)と質量のない ラーメン骨組に置き換えられる． また，はり位置の質点に水平力Pを加えたときの変位δは，骨組解析から求めること ができる．質点に単位の変形を与えるために必要な力P/δは剛性(stiffness) kとよば れる．質点を元の位置に戻そうとして骨組から質点にはたらく力は復元力(restoring force) Qとよばれ，この場合は剛性と変形の積(Q =−ky)で表される．復元力と変 形が比例する場合の振動は線形振動(linear vibration)とよばれる． 図1.1 (b)の質点の動きは，図(c)のような質点mとバネkからなる力学モデルで表すことができる．このように，構造物の各部に分布している質量をある点に集中さ せた力学モデルを質点系(集中定数系，lumped mass system)という．
図1.1の場合，質点mの動きは，水平方向の変位yだけによって定まるとみなす ことができる．このように，一つの変数でその状態が定まるような系を1自由度系 (single-degree-of-freedom system)という．力学系の運動を記述するのに必要十分な 変量の数を自由度(degree of freedom)という．図1.1 (c)は1自由度の1質点系で ある．一般に，空間内の一つの質点は三つの自由度(x, y, z)をもつ． 次に，図1.2のような，図1.1と同じ1層骨組のはり上に上下起振力を発生する機 械が載っている場合を考えよう．ただし，横揺れは防いであるものとする． 図1.2 いま，図1.2 (a)のような振動形を考える．機械の質量およびほぼ機械といっしょ に振動するはり中央部分の質量をはりの中央に集中させて質点mとし，また，はり 中央における上下の力と変位の関係から剛性kを定める．すると，図(a)の骨組は， はり中央の上下振動に着目すれば，図(b)または図(c)のような1自由度の1質点系 にモデル化することができる．図1.2の1自由度系は，図1.1の1自由度系とは違っ た振動特性をもつ．すなわち，対象とする振動の状態によって，モデル化の方法も異 なることになる． 図1.3のような水平振動をする多層建物は，通常床位置に質量を集中させ，多自由 度の多質点系(multi-degree-of-freedom system，multi-mass system)として解析さ れる．しかし，図1.3 (c)のような主要な一つの振動形だけを考えれば，1自由度系で も振動の性質をかなりよく表すことができる．
また，質量が連続的に分布していると考えた動力学モデルは連続体(分布定数系，
continuous system, distributed parameter system)とよばれる．質点系モデルの
振動が常微分方程式で表されるのに対し，連続体モデルは偏微分方程式の問題となる． 骨組構造の振動解析では，各部材を連続体と考えると大変複雑になるので，一般に質 点系によるモデル化が行われる．一方，地盤振動や床，はりの振動などのように，理
1.2 非減衰自由振動 3 図1.3 想化された連続体によるモデル化が有効な場合も多い． 工学解析では，適切な判断のもとに，実際に生じる振動の性質をうまく表し，しか もできるだけ単純なモデルを設定することが大切である．適切な単純化は，解析の労 力を減らし，またその振動現象の本質の理解に役立つ． 微少変形時の弾性振動は線形振動であるが，変形が大きくなると構造物の変形と力 の関係は比例的でなくなり，非線形振動(non-linear vibration)の問題になる．線形 振動では，重ね合わせの原理(principle of superposition)が成り立ち，解析上大変有 利であるが，非線形振動では重ね合わせが成り立たない．復元力と変形の関係が1価 の非線形関数となる場合を非線形弾性，ループを描く履歴型の非線形関数となる場合 を弾塑性という(図1.4)．耐震構造では，構造物が塑性範囲に入る場合をしばしば扱 うので，弾塑性振動(inelastic vibration)の場合がとくに重要である． また，実際の構造物の振動では，質量および剛性のほかに，振動エネルギーを消費 して振動を減少させる減衰(damping)の作用を考慮する必要がある． 㸦 a 㸧⥺ࠉᙧ ኚᙧ ± k ຊ P ๛ᛶ hardeningᆺ softeningᆺ 0 㸦 b 㸧㠀⥺ᙧᙎᛶ ± P 0 㸦 c 㸧ᙎረᛶ ± kt P 0 図1.4
1.2
非減衰自由振動
振動を表す方程式は，Newtonの第2法則，あるいはこれを変形したd’Alembert の原理を用いて得られる．Newtonの第2法則は，空間内の質点mに作用する力の総和をF，質点の加速 度をaとするとき， F = ma (1.1) で表される． ここで，F，aは次のようにおいている． F = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ Fx Fy Fz ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ , a = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ¨ x ¨ y ¨ z ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ d’Alembertの原理は，これを次のように表現したものである． F + (−ma) = 0 (1.2) 式(1.2)は，慣性力(−ma)を考慮すれば，運動中の質点にはたらく力の総和は0と なること，すなわち質点の動的な力のつりあいを表している． いま，図1.5のような減衰のない1自由度系の動的つりあいを考えよう．d’Alembert の原理から，yだけ変位した状態の質点にはたらく力のつりあいは，変位および力の 方向をいずれも図のようにとれば，次のように表される． −ky バネによる 復元力 + (−m¨y) 慣性力 = 0 (1.3) 図1.5 復元力−kyの負符号は，バネから質点に作用する力の方向が変位と逆方向であるこ とを示す．このような，外力が作用しない場合の振動は自由振動(free vibration)と よばれる．自由振動の方程式は，式(1.3)より， m¨y + ky = 0 (1.4) となる．これは2階の線形同次常微分方程式である．ここで， ω2 = k m (1.5) とおけば，式(1.4)は次のように表せる． ¨ y + ω2y = 0 (1.6) また，式(1.6)の解は二つの未定係数a，bを用いると，次のように与えられる．
1.2 非減衰自由振動 5 y = a cos ωt + b sin ωt (1.7) a，bの値は初期条件(initial condition)から定まる．t = 0における初期変位をd0， 初期速度をv0とすれば， y(t = 0) = a = d0 (1.8) ˙ y(t = 0) = bω = v0 (1.9) である．よって，このとき式(1.6)の解は， y = d0cos ωt +v0 ω sin ωt (1.10) あるいは y = A cos(ωt− θ) (1.11) と表せる．ここで，A，θは次のようにおいている． A = … d02+ v0 ω 2 (1.12) θ = tan−1 v0 ωd0 (1.13)
式(1.10)，(1.11)は，図1.6のような調和振動(単振動，simple harmonic motion)
を表す．Aを振幅(amplitude)，(ωt− θ)を位相角(phase angle)という．
図1.6
ωは固有円振動数(natural circular frequency)とよばれ，固有周期(natural
pe-riod) T，固有振動数(natural frequency) fと次の関係にある．
T = 1 f = 2π ω (1.14) 固有周期T は，質量mと剛性kを用いて次式のように表され，構造物の振動性状 を考える上でもっとも基本的な量である． T = 2π … m k (1.15) 式(1.15)を変形すると， T = √2π g … mg k ≈ 1 5 √ η (1.16)
となる．ここで， g = 980 cm/s2：重力加速度 η = mg/k = w/k：自重を振動方向に加えたとき(すなわち1 gの加速度が 加わったとき)のたわみをcmで表したもの である．式(1.16)はGeigerの重力式とよばれ，構造物のたわみと固有周期の間の関 係を表している．記憶しておくと便利な式である． 以下に，1自由度系の固有周期の例をいくつか示そう． 例1.1 片持柱 図1.7 (a)のような，頂部に重量をもつ鋼製の片持柱の固有周期を考える．ただし，柱の 重量は無視し，図(b)のような1質点系で表されるものとする． 図1.7 本書では，SI単位(International System)を用いることとする．質量の単位はkg，力 の単位はN（ニュートン）あるいはkN (= 103N，キロニュートン)である．1 Nは1 kg の質量に1 m/s2の加速度を生じさせる力である(1 N = 1 kg× 1 m/s2= 1 kg· m/s2)． 1 kgの質量に作用する重力（重量）は，重力の加速度を9.8 m/s2とすれば，9.8 Nとなる． 図1.7の質量mは重量を98 kNとすれば次のようになる． m = 98 kN 9.8 m/s2 = 98000 kg· m/s2 9.8 m/s2 = 10 4 kg (1.17) 剛性kは，鋼のヤング係数をEs= 2.06×104kN/cm2，断面2次モーメントをI = 105cm4 とすれば，片持ばりの変形公式から次のように求められる． k =3EI h3 = 3× 2.06 × 104kN/cm2× 105cm4 (500)3cm3 = 49.4 kN/cm = 49.4× 105N/m (1.18) したがって，固有周期T [s]は，質量をkg，力をN，長さをmで表せば，次のように求め られる． T = 2π m k = 6.28× 104 49.4× 105 = 0.28 s
1.2 非減衰自由振動 7 なお，Geigerの重力式を適用してみると，T は次のように求めることもできる． η = 98 kN 49.4 kN/cm= 1.98 cm ∴ T = 0.2√1.98 = 0.28 s 例1.2 両端固定柱 図1.8のような，2本の鉄筋コンクリート柱と剛なはりからなる骨組を考える．両端固定 柱の水平剛性は次のように与えられる． k =12EI h3 (1.19) 図1.8 したがって，柱2本分の微振幅時水平剛性は，コンクリートのヤング係数をEc= 2.06× 103kN/cm2とすれば，次のようになる． I =50 4 12 = 5.21× 10 5 cm4 ∴ k = 2×12× 2.06 × 10 3× 5.21 × 105 4003 = 402 kN/cm = 4.02× 107N/m また，質量は，重量を294 kNとすれば次のようになる． m = 294 kN 9.8 m/s2 = 3× 10 4 kg よって，固有周期は次のようになる． T = 2π m k = 6.28× 3× 104 4.02× 107 = 0.17 s 例1.3
1
層ラーメン 図1.9のような，1層鉄筋コンクリートラーメンの微動固有周期を考える．水平剛性を 固定法により求めてみよう．1 cmの変形を与えたときのモーメント図は図(d)のようにな り，柱のせん断力から，頂部の水平バネ定数k = 305.4 kN/cm = 3.05× 107N/mが求められる．よって，固有周期Tは次のようになる． T = 2π 3× 104 3.05× 107 = 0.20 s 例1.2と比べると，柱の太さは同一であるが，はり変形の影響によりやや全体の剛性が 低くなり，周期が延びている． 図1.9
1.2 非減衰自由振動 9 例1.4 並列および直列バネ 並列バネの剛性は，おのおのの剛性の和となり，直列バネの剛性はおのおのの剛性の逆 数の和の逆数となる．たとえば，図1.10のバネの全体剛性は次のようになる． k = 1 1 k1+ k2 + 1 k3 (1.20) いま，図1.11のように，例1.1の1自由度系が地盤の剛性を表す回転バネKRで支え られている場合を考えよう．頂部に力Pを加えたときの変形δは δ =P k + P h KR · h = 1 k + h2 KR P P δ = K = 1 1 k + 1 KR/h2 (1.21) である．よって，全体剛性Kは，上部剛性kと下部剛性KR/h2を直列バネと考えること により，次のように得られる(例1.5で述べている重力の影響はここでは考えない)． K = 1 1/49.4 + 5002/(9.8× 106) = 1 0.02 + 0.026= 21.7 kN/cm = 21.7× 105N/m ∴ T = 6.28 104 21.7× 105 = 0.43 s 図1.10 図1.11 例1.5 重力の影響 図1.12 (a)のような，質量のない下端ピンの剛棒で支えられた質点–バネ系を考える． 質点mに鉛直下方に作用する重力mgと，支持棒からの反力方向の力mg/cos θとの合力 として，水平分力mg tan θが変位と同方向に生じる． 微少変形を考え，y = θh，tan θ≈ θとおけば，質点の水平方向の運動方程式は次の式 で表せる． m¨y + ky−mg h · y = 0 (1.22)
¨ y + k m− g h · y = 0 (1.23) ∴ T = 2π k/m− g/h (1.24) 図1.12 k/m = g/hのとき，見かけの剛性は0となり，周期は無限大となる． このことは，座屈現象と深い関係がある．いま，バネ定数kとして片持柱の水平剛性 3EI/h3を用いれば，T =∞となるような重量はw = mg = 3EI/h2と求められる．こ れは片持柱のオイラー座屈荷重(π2/4)· EI/h2= 2.47EI/h2の近似値に相当する． このような重力による復元力の減少はP – Δ効果ともよばれ，背が高く重い構造の場合に は無視できないことがある．また，図1.12 (b)のように水平復元力が弾塑性形の場合は，重 力の影響により負勾配の復元力特性が生じ，激震による構造物の倒壊の原因の一つともなる．
1.3
減衰自由振動
実際の構造物には，必ず振動を減衰させる作用がある．構造物の減衰作用は，構造 物の内部で振動エネルギーが熱，音などになって消費されたり，また構造物系の外部 へ振動エネルギーが逃げていくことなどによって起こる．減衰のメカニズムはきわめ て複雑，多様であるが，構造物振動で一般に考えられる減衰の種類には，次のような ものがある． 内部摩擦減衰：材料内部の分子摩擦によるもので，通常歪速度に比例した減衰力 として扱う． 外部摩擦減衰：空気，水，油などの媒体中での振動により生じるもので，通常媒 体中の速度に比例した減衰力として扱う（速度が大きくなると，速度の2乗ある いは高次べきに比例すると考えられる）．第
4
章
弾塑性応答
4.1
弾塑性復元力特性
構造物は，変形が小さい範囲ではほぼ弾性とみなせるが，変形が大きくなると，き れつ，降伏，すべりなどの現象が生じ，復元力と変形の関係は履歴ループを描くよう になる．このような復元力特性は弾塑性復元力特性とよばれる． 構造物がきわめてまれに起こる激震を受ける場合には，骨組が降伏して塑性域に入 ることは避けられない．したがって，構造物の塑性変形能力と履歴エネルギー吸収能 力は，激震に対する構造物の安全性を確保するためのきわめて重要な因子である． 地動を受ける1自由度系の弾塑性応答は，一般に次の式で表される． m¨y + Q( ˙y, y, t) =−m¨y0 (4.1) 一般に，弾塑性復元力Qは変位履歴だけの関数で表され，速度に関係する減衰は， その他のさまざまな原因による減衰をまとめた形で別に考慮される．すなわち， m¨y + c ˙y + Q(y) =−m¨y0 (4.2) と表せる．繰り返し力に対する弾塑性復元力特性の実験例を図4.1∼4.4に示す． 弾塑性応答解析では，このような構造種別ごとの復元力特性の特徴を単純化し，復 元力特性のモデルを設定する必要がある． 図4.1[13]4.1 弾塑性復元力特性 115
図4.2[13]
図4.3[10]
弾塑性復元力のモデルとしてもっとも多く用いられるのは，図4.5の完全弾塑性復
元力特性(elasto-plastic force-displacement relation)である．降伏点までは初期剛
性kで進み(OA)，降伏点に達すると力はそのままで変形のみが進み(AB)，変形が減 少（速度が反転）すると初期剛性で戻り(BC),逆方向の降伏力に達すると再び降伏し て，力は一定となり変形だけが進む(CD).
また，図4.6のように，降伏後の剛性γkが正または負の値をとりうるときは，バイ リニアー型(bilinear)復元力特性という．降伏後はABまたはAB上を進み，速度
図4.4[12] 図4.5 図4.6 が反転すると初期剛性に戻り，2δY だけ動いてCDまたはCD上に達すると再び降 伏する． 図4.7のような，3本の折線の包絡線で定義される復元力モデルはトリリニアー型 (trilinear)復元力特性とよばれる． 図4.8は，ランバーグ–オズグッド型(Ramberg–Osgood)復元力特性とよばれる もので，骨格曲線(skeleton curve)と履歴曲線の組み合わせにより定められ，パラメー ターの値によりさまざまな復元力を表せる[8]．図4.8は定常ループの場合を示す．非 定常の履歴法則もJenningsにより論じられている[15]． 図4.9は，すべり現象を伴う場合のモデルで，スリップ型(slip model)復元力特性 ともよばれる．X型ブレースの復元力モデルとして用いられることもある． 鉄筋コンクリート構造の復元力特性を考えるときには，きれつ，降伏，降伏後の減 力時剛性低下，荷重反転後に経験最大変位点近くを指向する性質，繰り返し回数の影 響，軸力，せん断の影響など多くの要因を考慮しなければならない[9][14]．
4.1 弾塑性復元力特性 117 図4.7 図4.8 図4.9 図4.10 図4.10は，曲げ降伏型のRC部材の復元力モデルの一例である[9]．減力時剛性k の値には，kY/√μ (μ =|δ|max/δY)がよく用いられる．図4.11はきれつ部分を無視 したもので，戻り剛性kをkY/μaとするとき，α = 0 (k= kY)ならCloughのモ デル[25]，α = 1 (k= kY/μ)なら原点指向型モデルを表す． RC耐震壁や短柱などのせん断破壊を伴う場合は，せん断剛性低下や最大耐力後の 耐力低下，すべりを伴うループ形状などを考慮する必要がある．図4.12は，1層RC 図4.11
223
第
8
章
地盤の振動
8.1
地盤と耐震
地震時における建物の挙動は，それが建てられる地盤の性質によって大きく左右され る．耐震工学における地盤の役割は，次のような二つの視点から考えることができる． (1
) 地震動を伝達するはたらき 建物に作用する地震動は，表層地盤の性質によって大きな影響を受ける(図8.1)．す なわち，基盤上の成層地盤は固有の振動特性をもち，基盤からの入射地震動の特性を 変化させ，増幅するはたらきをする[1][2][3]．これは，地域の地質構造，平野，山地，盆 地などのさらに広域的な地盤特性にも影響され，また，崖地，山，谷などの局地的な 微地形によっても異なる． 水平振動をする表層地盤の性質の検討には，8.2節および8.3節で述べる1次元連 続せん断系モデルが一般に用いられる． 図8.1 (2
) 構造物を支持するはたらき 構造物を支える地盤は構造物の震力を受けて変形し，基礎部分に移動(sway)や回転 (rocking)が生じる(図8.2)．基礎部分の移動，回転変形を伴う振動をスウェイロッキ ング振動という．壁式構造のような剛構造の場合には，全体変形に占める基礎部分の 変形の割合は大変大きく，固有周期や減衰は地盤の影響を強く受ける．また，耐震壁 をもつラーメン骨組では，浮き上がりも含めた壁脚部の支持条件が応力変形性状およ び動的特性に大きく影響する(図8.3)． この意味で，地盤上の基礎にせん断力，上下力，モーメントが上部から作用したと きの基礎の動的剛性および減衰性を適切に評価することは，地盤・建物連成系の地震 応答性状を考える上での基本的な課題の一つである．図8.2 図8.3 従来，基礎地盤の動特性の解析には，地盤を半無限弾性体として扱い解析解を求め る方法，有限要素法により地盤をモデル化し数値解を求める方法，また実情に応じて 質点系など特別なモデル化を行う方法などが用いられている．8.4節では，もっとも 基本的な問題の一つとして，3次元弾性地盤上の基礎の剛性および減衰性について考 える．
8.2
せん断振動
(1
) 波動解 図8.4のようなせん断変形だけを生じる1次元弾性体は，表層地盤や高層骨組の動 力学モデルとして耐震工学でしばしば用いられる． 密度ρ，せん断弾性係数G，および断面積Aは高さ方向に一様とする．位置をx， 横変位をyとするとき，微少部分ABCDの動的なつりあいは次のように表される． −ρA dx∂ 2 y ∂t2 + Q +∂Q ∂x dx − Q = 0 (8.1) Q = AG∂y ∂x (8.2) よって，次の式を得る． ρ∂ 2 y ∂t2 = G ∂2y ∂x2 (8.3) ∂2y ∂t2 = V 2∂2y ∂x2 (8.4) ここで，V2は次のようにおいている． 図8.4 V2 = G ρ (8.5) 式(8.4)は，減衰のないせん断振動の基本式であり，1次元の波動方程式(wave8.2 せん断振動 225
equation)とよばれる．V はせん断波速度(shear wave velocity)とよばれ，後に述
べるように波の伝わる速さを表す． 式(8.4)の解は y(x, t) = f (x− V t) + g(x + V t) (8.6) あるいは，次の式で表すことができる． y(x, t) = f t− x V + g t + x V (8.7) 式(8.6)または式(8.7)をd’Alembertの解，あるいは波動解という．これらが解で あるとは，代入により容易に確められる．f，gは初期条件や境界条件によって定まる 任意関数である． 図8.5より，f (x− V t)はxの正方向に速さV で形を変えずに進む波（進行波）を， g(x + V t)はxの負方向に進む波（逆行波）を表すことがわかる． 図8.5 また，正あるいは負の方向に進行する一定波長の定常調和波は次のように表される (図8.6). y = eiκ(x−V t)= ei(κx−pt)：進行波 (8.8) y = eiκ(x+V t) = ei(κx+pt)：逆行波 (8.9) 図8.6 ここで，κ，pは次を表している． κ = p V = 2π λ ：波数(wave number，空間波形の円振動数) (8.10) λ = 2π κ = 2πV p = V T：波長 (8.11)
p：時間波形の円振動数, T = 2π p ：時間波形の周期 非減衰せん断系では，定常波の伝わる速度V は，波長λ，周期T に無関係に一定で ある（減衰があると波の速度は振動数に依存し，波は形がくずれながら伝わる）． さて，形を変えずに進む任意の過渡波形は，同じ速度で進む種々の波長の定常調和波 の重ね合わせで表すことができる．進行波f (x−V t)について書けば，次のようになる． f (x− V t) = 1 2π ∞ −∞ F (iκ)eiκ(x−V t)dκ (8.12) ここで，F (iκ)は次のように定めている． F (iκ) = ∞ −∞f (z)e −iκzdz (f (z)：t = 0における空間波形) (8.13) また，f (t− x/V )については次のように表される． f t− x V = 1 2π ∞ −∞F (ip)e ip(t−x/V ) dp (8.14) ここで，F (ip)は次のように定めている． F (ip) = ∞ −∞f (y)e −ipydy (f (y)：x = 0における時間波形) (8.15) 逆行波についても同様にフーリエ表現できる． (
2
) 反射と透過 二つの異なるせん断層の境界における入射波，反射波および透過波の間の関係を調 べよう．定常調和波について考えれば，図8.7の場合，次のようになる． f2= A0eip(t−x/V2)= A0eiκ2(V2t−x) (8.16) g2 = B2eip(t+x/V2)= B2eiκ2(V2t+x) (8.17) f1= A1eip(t−x/V1)= A1eiκ1(V1t−x) (8.18) ここで，f2は下層から上昇してくる入射波，g2は境界で反射して下降する反射波，f1 は上層への透過波であり，いずれも各層で運動方程式(8.4)を満足している． 境界における変位と応力の連続条件から， ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ (f2+ g2)x=0= f1x=0 (8.20) G2∂(f2+ g2) ∂x x=0 = G1∂f1 ∂x x=0 (8.21) ∴ A0+ B2= A1 (8.22) ρ2V2(A0− B2) = ρ1V1A1 (8.23)8.2 せん断振動 227 図8.7 となる．よって，反射波および透過波の振幅と入射振幅の割合は次のようになる． B2 A0 = 1− α 1 + α = X (反射係数，−1 ≤ X ≤ 1) (8.23) A1 A0 = 2 1 + α = 1 + X (透過係数，0≤ 1 + X ≤ 2) (8.24) ここで，αは次のようにおいている． α = ρ1V1 ρ2V2：波動インピーダンス (8.25) すなわち，反射波g2は入射波f2のX倍の振幅をもつ速度V2の逆行波，透過波f1 は入射波f2の(1 + X)倍の振幅をもつ速度V1の進行波となる． 任意波形は，式(8.12)または式(8.14)のように定常調和波の重ね合わせで表され， どの振動数成分についても式(8.23)，(8.24)が成り立つから，任意入射波の場合は次 の式が成り立つ． g2 t + x V2 = X· f2 t + x V2 (8.26) f1 t− x V1 = (1 + X)· f2 t− x V1 (8.27) ( i )第1層が剛な場合（固定境界）は，V1 = ∞であるからα = ∞，X = −1 となり，入射波と境界に対して点対称な逆行反射波が生じ，境界での変位は0となる (図8.8 (a))． g2 t + x V2 =−f2 t + x V2 (8.28) ( ii )第1層がない場合（自由境界）は，V1= 0であるからα = 0，X = 1となり， 境界に対して対称な逆行波が生じる(図8.8 (b))． g2 t + x V2 = f2 t + x V2 (8.29)
図8.8 自由表面の場合の変位は y(x, t) = f2 t− x V2 + f2 t + x V2 (8.30) と表され，表面x = 0では，y = 2f2(t)となって入射波の2倍の振幅が生じる． なお，式(8.30)は加速度波形に対しても成り立つから，地表での加速度α0(t) (= 2f2(t))が観測されたとき，地中深さHでの加速度αH(t)は，式(8.31)のように表され る．金井によれば，基盤での実測値と式(8.31)による推定値とはよく一致する第7章[1]. αH(t) = 1 2 α0 t− H V2 + α0 t + H V2 (8.31) (iii)一般の場合は図8.9のようになり，硬い層から軟らかい層へ入射するときは透 過波の振幅が増加し，その逆のときは減少する． 図8.9
359
索 引
あ行 アンサンブル確率密度関数 172 アンサンブル平均 173 安全限界固有周期 337 安全限界変位 333 位相角 5 位相差 18 位相スペクトル 147 一軸偏心 263 一次設計 310 1自由度系 2 逸散減衰 238 一般固有値問題 60, 89 一般調和解析 157 因果性 50 インパルス応答 30 ウィーナー–ヒンチンの関係 158 梅村スペクトル 35 運動エネルギー 39 SEAOC 299 S波 211 エネルギー一定則 132 エネルギー消費率 43 FFT 161, 166 エルゴード的 174 オイラー公式 12 応答スペクトルによるモーダ ルアナリシス 78 か行 回転慣性 261 回転半径 261 外力のなす仕事 41 確率分布関数 169 確率変数 169 確率密度関数 169 確率論的応答解析 168 過減衰振動 12 重ね合わせの原理 3 仮想仕事法 252 加速度応答スペクトル 33 加速度応答倍率 21 加速度–変位応答スペクトル 348 片側パワースペクトル密度 158 過渡応答 22 慣性力 1 完全弾塑性復元力特性 115 環太平洋地震帯 192 幾何分布 204 気象庁震度階 196 期待値 170 逆3角形1次モード 77 逆フーリエ変換 149 共振 22 共振曲線 17 強震記録 209 強震計 209 共振点 17 狭帯域過程 179 共分散 171 共役対称 149 空白域 208 矩形パルス外力 27 決定論的応答解析 168 限界耐力計算 331 減衰振動 12 減衰則 201 減衰定数 11 減衰力のなす仕事 42 広義外力 71 広義減衰係数 68 広義剛性 64 広義質量 64 剛心 262 剛心まわりのねじれ剛性 262 剛性 1 剛性比例型減衰 67 剛性マトリクス 53 合積 153 構造計画 292 構造減衰 47 高速フーリエ変換 161, 166 広帯域過程 179 剛板分布 237 降伏層せん断力 248 固有円振動数 5, 60 固有周期 5 固有振動数 5 固有値問題 89 固有ベクトル 60 固有モード 60 さ行 最大値分布 189 substitute structure法 140 3方向対数表示スペクトル 36 志賀マップ 304 時間的確率密度関数 173 時間平均 174 刺激関数 74刺激係数 73 自己相関関数 148, 150, 156, 173 地震応答スペクトル 33 地震危険度地図 206 地震地域係数 294 地震動の強さの頻度 203 地震のエネルギー 195 質点 1 質点系 2 質量 1 質量比例型減衰 67 質量マトリクス 53 地盤–建物の相互作用 271 弱定常過程 172 自由振動 4 重心まわりのねじれ剛性 262 修正震度法 296 修正メルカリ震度階 200 自由度 2 重要度係数 296 縮少剛性マトリクス 258 衝撃加速度法 103 常時微動 218 初期条件 5 震央 192 震央距離 192 震源 192 震源域 192 震源距離 192 震源深さ 192 新耐震設計法 309 震度 297 振動エネルギー 39 振動計 24 震度階 196 振幅 5 振幅スペクトル 147 振幅比 14 振幅分布 186 スウェイロッキング振動 223 数値積分法 97 ステップ外力 26 Stodola法 94 砂地盤の液状化 218 スペクトルウィンドウ 160 スペクトル強さ 34 スリップ型復元力特性 116 正規化 60 成層地盤の伝達特性 229 正定符号 65 静的震度法 296 性能曲線 336 絶対値和 78 節点振り分け法 252 線形加速度法 99 線形振動 1 全塑性消費エネルギー 130 全塑性変形 129 せん断質点系 55 せん断波速度 225 選点直交性 162 双曲線関数 12 層剛性 247 層せん断力係数 297 増分法 99 速度応答スペクトル 33 塑性率 129 損傷限界固有周期 337 損傷限界変位 333 た行 耐震計算 293 耐震診断 308 対数減衰率 14 代表変位 335 多質点系 2 多自由度系 52 単位インパルス 29 単振動 5 弾塑性地震応答 129 弾塑性振動 3 弾塑性復元力特性 114 弾力半径 263 弾力半径比 263 調和振動 5 直列バネ 9 直交性 60 定常確率過程 172 定常振動 41 定常不規則波形 219 定常ランダム応答 178 定常応答 16 D値法 57 デュアメル積分 31 デルタ関数 29 展開定理 62 伝達関数 20 透過 226 等価減衰定数 45, 337 等価質量 75 等価線形解析 138 等価線形化法 120 等価線形骨組 140 等価高さ 76 等価粘性減衰係数 45 撓性マトリクス 55 動的解析法 296 動的地盤係数 235 トリリニアー型復元力特性 116 な行 ナイキスト振動数 163 Nigam–Jennings法 112 二次設計 314 2乗平均スペクトル 147 2乗平均スペクトル密度 151 2乗平均値 170 2乗和平方 78 Newmarkのβ法 104 任意外力 30 任意地動加速度 31 ねじれ振動 261
索 引 361 ねばり 300 粘性減衰 11 粘性減衰係数 11 は行 バイリニアー型復元力特性 115 パーシヴァルの定理 147 波数 225 波長 225 波動インピーダンス 227 波動方程式 224 パワースペクトル 147 パワースペクトル密度 151, 157 反射 226 バンドリミテッドホワイト ノイズ 176 反復法 90 半無限地盤上の基礎の静的 剛性 236 非線形振動 3 非線形弾性 3 非定常ランダム応答 181 P-Δ効果 10 P波 211 非比例減衰 66, 81 標準偏差 170 表面波 211 比例減衰 66 比例減衰マトリクス 66 復元力 1 復元力のなす仕事 48 複素外力 19 複素減衰 47 複素減衰定数 47 複素振幅 19 複素フーリエ係数 147 ブシネスク分布 237 フーリエ位相スペクトル 150 フーリエ級数 146 フーリエ係数 146 フーリエ振幅スペクトル 150 フーリエ正弦変換 150 フーリエ積分 148 フーリエ変換 148 フーリエ変換の対 149 フーリエ余弦変換 150 分散 170 平均加速度法 102 平均再現期間 205 平均応答スペクトル 35 平均値 170 平均等価減衰 138 並列バネ 9 ベースシアー係数 298 変位一定則 132 変位応答スペクトル 33 変位応答倍率 21 偏差係数 137 偏心距離 262 偏心比 262 包絡線関数 220 包絡線分布 190 ポテンシャルエネルギー 39 骨組モデル 254 ホワイトノイズ 175 ま行 マグニチュード 195 摩擦力 45 マルコフスペクトル 177 見本関数 172 模擬地震動 219 モーダルアナリシス 78 モード重合法 78 モードの減衰定数 68 モードの減衰定数の略算 87 モードマトリクス 61 モンテカルロ法 168 や行 有限フーリエ係数 163 有限フーリエ変換 161 ユーラシア地震帯 192 要求曲線 339 余力 300 ら行 ラグウィンドウ 160 ランダム振動論 168 ランバーグ–オズグッド型 復元力特性 116 力学モデル 1 離散スペクトル 146 両側パワースペクトル密度 158 臨界減衰 12 臨界減衰係数 12 Runge–Kutta法 108 レーリー減衰 67 レーリーの商 96 レーリー分布 191 連続スペクトル 149 連続体 2
柴田 明徳（しばた・あけのり） 1936年 静岡県に生まれる 1960年 東京大学工学部建築学科卒 1965年 東京大学大学院博士課程修了 1965年 東北大学助手 1966年 東北大学助教授 1986年 東北大学教授（建築学科） 1999年 東北文化学園大学教授 1999年 東北大学名誉教授 現在に至る 工学博士 編集担当 藤原祐介・福島崇史（森北出版） 編集責任 石田昇司（森北出版） 組 版 プレイン 印 刷 エーヴィスシステムズ 製 本 ブックアート 最新耐震構造解析（第3版） © 柴田明徳 2014 1981年6 月26日 第1版第1刷発行 2002年3 月15日 第1版第19刷発行 2003年5 月30日 第2版第1刷発行 2014年3 月20日 第2版第10刷発行 2014年12月18日 第3版第1刷発行 【本書の無断転載を禁ず】 著 者 柴田明徳 発 行 者 森北博巳 発 行 所 森北出版株式会社 東京都千代田区富士見1–4–11（〒102–0071） 電話03–3265–8341／FAX 03–3264–8709 http://www.morikita.co.jp/ 日本書籍出版協会・自然科学書協会 会員 ＜（社）出版者著作権管理機構 委託出版物＞ 落丁・乱丁本はお取替えいたします．
