.
...
線形空間の入門編
Part3
あけまつしんじ
j1701
table of contents
...
1
線形写像の像と核
...
2
商線形空間
...
3
次元定理
まずは例
.
f :
R
2
→ R
2
を次の通りに定義
..
...
f
(
x
y
)
=
(
1
−1
−1
1
) (
x
y
)
=
(
x
− y
y
− x
)
.
この写像は
, y = x
であるベクトル
(
x
y
)
をすべて
0
に送る
!!
.
例
..
...
f
(
1
1
)
=
(
1
− 1
1
− 1
)
=
(
0
0
)
f
(
−2
−2
)
=
(
−2 + 2
−2 + 2
)
=
(
0
0
)
.
まずは例
.
y = x とはナニモノ??
..
...
y = x
は
,
f
で写すと
0
に行くベクトルの集合
なので
,
次の方程式の解
!!
f
(
x
y
)
=
(
x
− y
y
− x
)
=
(
0
0
)
.
この「
f
で
0
に潰れる」集合が
,
とっても重要な役割を果たす
!!
線形写像の核
.
定義
..
...
線形写像
f : V
→ W
に対して
,
Ker f
def
=
{x ∈ V | f(x) = 0} ⊂ V.
と定義
. Ker f
を線形写像
f
の核
(Kernel)
という
.
V
W
f
f
Ker
0
線形写像の核
Ker f
をわざわざ考える理由
.
線形写像の核
.
命題
..
...Ker f
は
, V
の部分空間である
.
示すべきことは
3
つ
!!
Ker f
̸= ∅.
∀v, w ∈ Ker f ⇒ v + w ∈ Ker f.
∀v ∈ Ker f, ∀c ∈ R ⇒ cv ∈ Ker f.
線形写像の核
.
証明
..
...
線形写像の性質より
,
f (0) = 0.
よって
, 0
∈ Ker f
である
.
∀v, w ∈ Ker f
をとる
. v + w
∈ Ker f
を示すために
· · ·
f (v + w) = f (v) + f (w) = 0 + 0 = 0.
よって
, v + w
∈ Ker f.
∀c ∈ R, ∀v ∈ Ker f
とする
. cv
∈ Ker f
を示すために
· · ·
f (cv) = cf (v) = c
· 0 = 0.
よって
, cv
∈ Ker f. □
また例に戻ろう.
.
最初の例 f :
R
2
→ R
2
..
...
f
(
x
y
)
=
(
1
−1
−1
1
) (
x
y
)
=
(
x
− y
y
− x
)
.
いま
,
適当に
4
つの点をきめて
f
で写してみよう
.
(
1
2
)
,
(
−4
1
)
,
(
1
−1
)
,
(
5
2
)
.
また例に戻ろう.
f
(
1
2
)
=
(
1
−1
−1
1
) (
1
2
)
=
(
−1
1
)
f
(
−4
1
)
=
(
1
−1
−1
1
) (
−4
1
)
=
(
−5
5
)
f
(
1
−1
)
=
(
1
−1
−1
1
) (
1
−1
)
=
(
2
−2
)
f
(
3
−2
)
=
(
1
−1
−1
1
) (
5
2
)
=
(
3
−3
)
また例に戻ろう.
また例に戻ろう.
.
証明してみよう.
..
...
∀
(
x
y
)
∈ R
2
.
(
1
−1
−1
1
) (
x
y
)
=
(
x
− y
y
− x
)
= (x
− y)
(
1
−1
)
∈
⟨(
1
−1
)⟩
このことから
,
::::::::::::::::::::R
2
の元をすべて写すと
,
⟨(
−1
1
)⟩
になる
ということも分かる
!!
⇒
もっと一般的に考えよう
!!
線形写像の像
.
定義
..
...
線形写像
f : V
→ W
に対して
,
Im f
def
=
{f(x) ∈ W | x ∈ V } ⊂ W.
と定義
. Im f
を線形写像
f
の像
(Image)
という
.
V
f
W
Im f
線形写像の像
.
命題
..
...Im f
は
W
の部分空間
.
.
Proof.
..
...
f (0) = 0
より
, 0
∈ Im f.
∀f(v), f(w) ∈ Im f
に対して
,
f (v) + f (w) = f (v + w)
∈ Im f.
∀c ∈ R, ∀f(v) ∈ Im f
に対して
,
cf (v) = f (cv)
∈ Im f.
よって
, Im f
は
W
の部分空間
.
線形写像の像
.
さっきの例では
..
...
Ker f =
⟨(
1
1
)⟩
.
Im f =
⟨(
1
−1
)⟩
.
.
さらに分かること
..
...
dim (Im f ) + dim (Ker f ) = 2 = dim
R
2
(
次元定理
(dimension theorem)
によってこの謎が明らかに
!!)
簡単な例
.
次の線形写像 f の像と核の基底と次元を求めよ.
..
...
f :
R
3
→ R
3
f
x
y
z
=
1
0
2
1
−1
1
1
1
−2
x
y
z
定義を確認
!!
Ker f =
x
y
z
| f
x
y
z
=
0
0
0
Im f =
f
x
y
z
|
x
y
z
∈ R
3
簡単な例
まず
, Ker f
を求めてみよう
.
1
0
2
1
−1
1
1
1
−2
x
y
z
=
0
0
0
の解を求めれば
OK.
⇒
掃き出し法
1
0
2
1
−1
1
1
1
−2
0
0
0
→
1
0
2
1
−1
1
0
−1 −1
0
0
0
→
1
0
2
1
−1
1
0
0
0
0
0
0
→
1
0
0
1
−3
1
0
0
0
0
0
0
簡単な例
最後の行列から連立方程式をつくると
,
{
x
− 3z = 0 ⇒ x = 3z
y + z = 0
⇒ y = −z.
z = t
とおくと
, x = 3t, y =
−t
なので
,
x
y
z
=
−t
3t
t
= t
−1
3
1
. (t ∈ R).
∴ Ker f =
⟨
−1
3
1
⟩
. dim (Ker f ) = 1.
簡単な例
Im f
を求めてみよう
.
x
y
z
∈ R
3
に対して
,
次を計算
.
1
0
2
1
−1
1
1
1
−2
x
y
z
.
1
0
2
1
−1
1
1
1
−2
x
y
z
=
x + 2y
y + z
− z
x + y
− 2z
= x
1
0
1
+ y
2
1
1
+ z
−1
1
−2
簡単な例
.
ここで大事なこと
..
...
3
本のベクトル
1
0
1
,
2
1
1
,
−1
1
−2
は
, Im f
の基底にはなっていない
!! (why?)
Im f
の基底を求めるためには
,
余計な子を取り除く必要がある
!!
簡単な例
.
3 つのベクトルの関係の判定
..
...
3
つのベクトルは
,
1
0
2
1
−1
1
1
1
−2
の列ベクトル
.
実は
,
これを基本変形で簡単にした
1
0
0
1
−3
1
0
0
0
の列ベクトルどうしの関係は
,
最初の行列の列ベクトルのものと同じになる
!!
簡単な例
これを使うと
,
−3
1
0
1
+
2
1
1
=
−1
1
−2
.
とわかるので
,
右辺に左辺を代入
.
f
x
y
z
= x
1
0
1
+ y
2
1
1
+ z
−3
1
0
1
+
2
1
1
右辺を整理すると
,
f
x
y
z
= (x − 3z)
1
0
1
+ (y + z)
2
1
1
.
簡単な例
x
− 3z = t, y + z = s
とおきなおして
,
f
x
y
z
= t
1
0
1
+ s
2
1
1
.
1
0
1
,
2
1
1
は線形独立なので
, Im f
の基底
!!
∴
1
0
1
,
2
1
1
は
Im f
の基底で
, dim (Im f ) = 2.
□
商線形空間から次元定理へ
.
ここから先の内容は
· · ·
..
...
理解できなければ
,
最後の結果
(
次元定理
)
だけ知っておこう
.
(
数学科でも難しいといわれている内容
)
理解できると
,
剰余群
,
剰余環等の理解の助けになる
.
商線形空間から次元定理へ
.
これからやることのイメージ
..
...
線形空間を部分空間で割る
!!
V, W : linear space, W
⊂ V
⇒ V/W
同値関係
”
イコール
”
の性質について考えてみよう
.
.
イコールは次のような性質を持つ
..
...
.
..
1a = a (
自分と自分はイコール
)
.
..
2a = b
⇒ b = a (a
と
b
がイコールなら
b
と
a
もイコール
)
.
..
3a = b, b = c
⇒ a = c (
三段論法
)
イコールの他にも
,
同じような性質を満たす
”
関係
”
が色々ある
.
同値関係
.
例
..
...
ふたつの整数
a, b
を
3
で割った余りが同じなら
,
a
≡ b mod 3.
とすると
,
次が成立
.
.
..
1a
≡ a mod 3 (
自分自身とは
3
で割った余りが同じ
)
.
..
2a
≡ b mod 3 ⇒ b ≡ a mod 3.
(a
と
b
の余りがおなじなら
, b
と
a
の余りが同じ
)
.
..
3
