（2）数学 － 小問ごとの難易度差が最も激しいの
は数学だ！
例年大問は４題です。大問１は比較的平易な独立小問題が 11 問、大問２は少々応用力が必要な４ 問の小問集、大問３は関数 ( 年によって異なる場合有り) をテーマにした問題、そして大問４は図形 の問題、というのが近年の傾向です。５教科の中では最も小問間の通過率の差が激しく、通過率が 高い問題では 95％以上のものもある一方、通過率が 1％未満という難問もあります。 配点 出題内容 H25年 数学 大問 小問 1 基礎的な独立小問 2 独立小問 3 関数 4 平面図形 ア イ (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (1) (2) (3) (4) (1) (2) (1) (2) (3) 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 4 5 5 5 5 5 5 6 7 6 6 文字式 正負の数の計算 混合のついた数の計算 式の値（因数分解してから代入するタイプ） ２次方程式の解法（解の公式を利用） 連立方程式の解法 ２次関数の変化の割合から比例定数を求める 四捨五入と数の範囲 y＝ のaを座標から求める 回転体（円柱）の表面積 数を当てる 数を当てることができる理由を説明する 角度（円の接線の利用） 作図（円の中心） 確率 三角錐の体積（展開図から組み立てる） 三角形の面積 斜めの線分の長さ（相似の利用） 証明（三角形の相似） 紙折りと三平方の定理（１：１：√2の直角三角形)→長さを求める 〃 →面積を求める 通過率 97.5 95.0 93.4 77.9 81.2 87.4 52.3 15.5 36.8 40.9 74.8 22.9 15.1 26.6 44.0 21.5 35.3 0.8 31.6 2.3 0.8 x a 大問１は比較的平易な問題の集まりですが、それでも (8) 以降には多少難易度の高い問題も混じっ ています。さらに、ここ数年 (11) は、問題文が長く、題意把握に時間のかかる問題が出題されています。 ここで時間配分を誤ってしまう過ちが目立ちます。 大問２は、作図、場合の数・確率、関数、図形の独立小問ですが、正答率が 20％前後のものが多く、 決して楽な問題ではありません。特に、難関校の受験生にとっては、ここで差がつくようです。 大問３は関数が題材とはなっていますが、問題の本質は“図形的処理”の力があるかどうかを試す ような問題です。いわゆる「座標幾何」と呼ばれるジャンルです。 最後に大問４は図形の問題、特に紙を折り曲げる問題が近年では頻繁に出題されています。埼玉 県数学のひとつの特徴なのですが、この「紙を折る」タイプの問題は、問題用紙の一部に、実際に切り取って折り曲げる作業をするためのページがあり、実物を作りながら考えることができます。とい うことは、紙を切ったり折ったりという作業を短時間で正確にできる器用さも必要ということになりま す。もちろん紙を折ったりという作業なしで解いてもよいのですが、なかなか難しいでしょう。 ■大問１と大問２を甘く見ないこと！ この２つの大問で 70 点分にあたるのですが、決して簡単な問題ばかりではありません。 まず、通過率 20％～ 50％程度の差がつく問題ですが、これは、大問１の後半と大問２の独立 小問題に集中しています。『大問１だから簡単！』と侮れないわけです。平成 24 年度入試での 通過率を確認すると、大問１の (8) は半球の体積を求める問題で 38.1％、(9) は円周角の問題で 45.3％、(10) は相似の利用の問題で 10.5％、(11) は資料の整理に関する 3 問からなる問題でそ れぞれ、66.9％、22.9％、17.1％でした。大問 2 は、場合の数、作図、関数と図形、関数の分 野からの出題で (1) ～ (4) までの独立小問です。それぞれの通過率は 12.0％、41.3％、8.2％、8.0％ ととても低い状況でした。そして、平成 25 年度は前ページの表のようになっており、同じよう な傾向となっていることがわかるでしょう。 その平成 25 年度入試の問題を確認してみましょう。 大問１の (7) までは計算を中心とした基礎的な内容で、多くの受験生が得点できたのではない かと思います。(8) は四捨五入をテーマにした範囲に関する問題ですが、これは新しい学習単元 からの出題でした。そのため、演習が十分でなかったためでしょうか、全く手が出なかったり、 わかったつもりでも題意の読み違え等のミスがあったりしたようです。(9) は反比例と比例のグ ラフに関する問題でした。比較的平易なはずですが、「反比例のグラフは原点に対して対称」と いう知識事項を忘れていて解答できなかったケースも目立ちます。(10) は円柱の表面積を求め る問題でさほど難しくはありませんが、全体通過率は 40.9% と半分を下回っています。底面積 の片方だけしか入れなかったり、側面積と勘違いしたりというミスが多かったのでしょう。(11) は会話をもとにして数字を当てる問題ですが、時間をかければ難しくないのでしょうが、ここで 時間を使いすぎてしまって、あとの問題に十分取り組めないという失敗も目立ったようです。 大問２の独立小問４題も、例年通り、単純に簡単に解答できる問題はありません。どれもひと ひねりされており、思考力が要求されています。 たとえば (2) で、円の中心を作図する問題が出題されました。円の中心は、弦の垂直二等分線 上にあるということはわかると思うのですが、その弦が示されていなく、自分で２本の弦を設定 するところから始めなければならないという点が " ひとひねり " です。ただ知識を身に着けてい るだけでは解答は難しいということです。 そして、大問３と大問４は、いかに効率よく得点するかにかかっています。例年、10％前後 の通過率の問題で構成されています。
平成 24 年大問３(1) を用いて具体的に解説します。
①座標平面上で図形を解く！
右の図で，曲線は関数 y ＝ a x2のグラフであり，曲線上に x 座標が− 5 , 5 の点Ａ，Ｂをとります。点Ａを通り，傾きがこの曲線の式の係数と同じ a である 直線と，この曲線との交点をＤとします。点Ｂから直線ＡＤへ垂線を引いたとき の交点をＣとしたとき，点Ｃの x 座標は正であり，△ＡＢＣの面積は20cm2とな りました。 a＞0とし，座標軸の単位は1cmとするとき，a の値を求めなさい。 平成２４年 大問３(1) o x y A B C D ２乗に比例する関数のグラフですが、大問３なので「図形の問題」として解きます。 ■条件を正確に読み取るために 問題文が１行か２行程度であれば「条件の読みおとし」は少ないかもしれませんが、５行、６ 行と問題文が続くと、読んだときには大丈夫でも、解いている最中に条件の一部を忘れてしまう、 ということもよくあります。また、その都度問題文に立ち戻り、読み直したりもすることでしょ う。そうしているうちに、時間が足りなくなってしまいます。 このような場合は、条件を箇条書きにして整理しましょう。問題文を読みながら語句や式や、 座標で示された条件を箇条書きしていきます。図形や関数の問題では、箇条書きにするとともに、 図やグラフに長さや角度、座標等を書き込んでいきます。 具体的に示しましょう。 問題の条件 ア y ＝ ax2 と y ＝ ax ＋ □ (a ＞ 0) イ A , B の x 座標はそれぞれ－ 5 , 5 → A ( － 5 , ？ )， B (5 , ？ ) ウ BC ⊥ AD エ △ ABC ＝ 20cm2 オ 点 C の x 座標は正 求めるもの→ a の値 「y ＝ ax2 の a の値を求めるか？」 それとも 「直線の傾き a を求めるか？」では、a の値を求めていきましょう。 まず、放物線の a から求めるか、直線の傾き a から求めるのか。ヒントになりそうな点は A， B，C の 3 点ですが、x 座標、 y 座標がともにわかりそうな点はありません。したがって、放物 線の a の値を求めるという方向では難しいようです。どうやら直線の傾きから求めていくこと になりそうです。 イの条件から、AB ＝ 10 ということがわかります。さらに、条件エより、AB を底辺と見た ときの△ ABC の高さを逆算できます。点 C から辺 AB に垂線を引き、辺 AB と交わった点を H とすると、 AB × CH × ＝ 20 より，CH ＝４とわかります。 すると、求める直線の傾き a は ですから、 を求めればよく、CH はわかり ましたから、あとは AH がわかれば解決します。 ここで直角三角形についてのポイントを確認しましょう。１つめです。 yの増加量 xの増加量 CH AH 直角三角形に関するポイント① 直角三角形の斜辺に垂線を下すと 3 つの相似な三角形ができる。 A B C H A B C B C H A C H A B C A C H B C H ３ つ と も 相 似 同 じ 向 き に 並 べ る A B C H 4 10 10−t t このポイントから、△ AHC ∽△ CHB となることを利用しま す。 AH ＝ t とおくと、HB ＝ 10 － t △ AHC ∽△ CHB より、AH:CH ＝ CH:BH t：４＝４：（10 － t） t(10 － t ) ＝ 16 この 2 次方程式を解いて t ＝ 2,8 t ＝ 2 だと C の x 座標は負になってしまうので不適 よって t ＝ 8 aの値＝直線の傾き＝ ＝ ＝ ・・・答CH AH 84 21 2 1
このように、関数の問題ですが、直角三角形の相似という、純粋な図形の問題として解いてい ます。 さて、この問題を別の図形的知識を用いて解いてみましょう。 直角三角形に関するポイントの 2 つめを使います。 直角三角形に関するポイント② 直角三角形の斜辺は直角三角形を 囲む円の直径になる H x o
y
A B C D E グラフ上の直角三角形を囲む円をかきます。この ポイントから、AB は円の直径となり AB と y 軸の 交点を E とすると点 E は円の中心となります。 △ ABC の面積を用いて CH ＝４と求めるところま では先ほどと同じです。 そして、円が出てきましたから、円の半径はどこ でも同じなので、AE ＝ BE ＝ 5。さらに、半径は別 な場所でも活用しますから、C と E を結んだ CE の 長さも 5 とわかります。 すると、新たに出来上がった直角三角形 CEH に おいて、CE ＝５、CH ＝４ですから、三平方の定理 を用いて EH の長さは 3 と求まります。どうでしょう？ これで終わっちゃいましたよね。 なぜなら、目標は AC の傾きを求めることなので、AH ＝ 5+3 ＝ 8、CH ＝４より傾き＝ ＝ この問題は、関数の問題として解くことも可能ですが、とても難解な過程を経ることになりま す。 埼玉県の大問３と大問４は、見た目が関数であったとしても、「図形として解く」ことにより 比較的楽に解くことができる問題が多いものです。他の過去問でも試してみましょう。 8 4 2 1３つめのの直角三角形に関するポイントと、それを利用した問題を紹介します。 直角三角形に関するポイント③ 座標平面上に直角がある場合→たて、横に線を補って直角三角形の相似を作る x y 0 x y 0 x y O A B C このポイントを使った例題を紹介します。 埼玉県の過去問です。 ( 例題 ) 右の図のように，点 A，B の座標をそ れ ぞ れ A(0，6)，B(11，4) と し，x 軸 上 に点 C を，∠ ACB が直角となるようにとり ます。このとき，点 C の座標を求めなさい。 ただし，線分 BC は線分 AC より長いものと します。 x y O t C 4 6 H ( 0 , 6 ) A B ( 1 1 , 4 ) 11−t 11 まず，座標が与えられているので，左の 図のように，わかる長さを書き込んでおき ます。そして，先のポイントを使うために， B から x 軸に垂線を引き、直角三角形の相 似を作ります。引いた垂線と x 軸との交点 を H とします。 すると，△ OAC ∽△ HCB となります。 求めるものは点 C の x 座標ですから， OC の長さを求めるために点 C の x 座標を t とおきます。すると，OH の長さが 11 ですから， CH ＝ 11 － t と表せます。 これで２つの直角三角形の対応する２辺の長さを表すことができましたから，比例式を作りま す。
ここで，対応する辺を間違えないようにするために，２つの直角三角形を，同じ向きに並べま す。ちょっとした一手間ですが、ミスを減らすためにとても有効な手段です。 AO：CH ＝ OC：HB 6：（11 － t）＝ t：4 よって，（11 － t）× t ＝ 6 × 4 この 2 次方程式を解いて，x ＝ 3，8 題意より，BC ＞ AC なので t ＝ 3 答えるものは点 C の座標ですから (3，0) ここでは、直角三角形という図形のポイントに焦点を当てて解きました。図形のポイントは他 にもたくさんありますからしっかりと整理して覚えておきましょう。
②できなかった問題に対するアプローチが重要！できる問題を何度
も繰り返しても効果は薄い
問題が解けて正解だととても気持ちが良いものです。そんなことばかりだと勉強も楽しいかも しれませんね。しかし、それを繰り返しているだけでは学力は身に付きません。せいぜいミス防 止と、より確実な定着に役立つ程度でしょう。（それも大切ですが・・・。） 「自分の力でできなかった問題が、自分の力でできるようになった。」ということが、「学力が ついた」と見なせる最大の要因です。できなかった問題にどのように対処するか、一例を挙げま す。自分なりにアレンジして役立ててください。 1) わかっていたはずなのに、答えが違う場合 →自分のノートを再確認し、どこで間違えたのかを探しましょう。どこかで考え違いや計算ミスを しているはずです。それを探すという作業が大切です。見つかったらそこからやり直しましょう。 もし見つからない場合は解説を見て、自分の考え方とどこが違うかを確認しましょう。 2) わからなくて解けなかった ( 答えが出せなかった ) 場合 →まず解説と必要に応じて教科書や参考書を見ます。理解できたら、再度はじめから自分で解い てみます。このときに、解説を写すのではなく、本当に理解できたかどうかを確認するために、 解説を見ないで解くことがポイントです。 解説や教科書を見てもわからなかった場合は、解説のどの箇所が理解できないのかを明らか にします。解説の１行目からわからないということは滅多にありません。解説の何行目が理解で きないのかを特定します。その上で先生に質問しましょう。『この問題がわからないのですけど ･･･』と質問するのではなく、『この問題の解説で、○○行目まではわかるのですが、次の○○＝ △△の意味がわからないのですけど･･･』となるわけです。 A C C H B O t 6 11−t 4この、質問の仕方及びそのために自分が行っておくことは、できなかった問題をできるように するための大変効果的な方法のひとつです。もちろん質問して理解できた場合は、もう一度自分 の力だけで解いてみましょう。他の教科でも同様のことがいえますが、数学は特に、「受け身だ けの学習」ではなく、「能動的な学習 ( 自分が主体となって考え、やってみる )」という行為が学 力向上に不可欠です。
③知識事項の整理法を２つ
公式や定理、あるいは重要な考え方を「問題を解くための知識」として覚えることも重要です。 そのような知識事項は、その都度ノートに記録していくと思いますが、そのままでは「覚えるた めの知識」が、ノートのあちこちにちりばめられた状態のままとなってしまい、繰り返し覚える には不自由です。そのときは覚えたと思っていても、いつの間にか忘れてしまうということも珍 しくありません。知識事項をしっかりと管理して、いつでも頭の中を整理できるように工夫する ことも重要です。 1) カード管理学習法 小さめのカードを使って、覚えるべきことをまとめる工夫です。 ・小さな名刺サイズ程度のカードをたくさん用意します。 ・1テーマ１枚でカードを用い、知識事項を書いておきます。 ・表にタイトル、裏に覚えるべき知識事項を書きます。 ・まとめて書くのではなく( はじめはまとめて書くと思いますが )、白紙のカードを常に用意しておき、 授業や問題演習で知ったことをその場で書きます。 単元やテーマごとにカードの色を変えても良いですし、穴をあけてリングでまとめておいても 良いでしょう。 このカードを、テスト前の度に一通り確認すると、いつの間にか必要な知識が身に付きます。「も うかんぺきに覚えた！これは大丈夫！」というカードは別にしていけばよいと思います。そうす れば、「覚えなければならないことは何か」が一目瞭然です。例１ 表
平行四辺形に
なるための条件
①２組の対辺がそれぞれ平行裏 ②２組の対辺がそれぞれ等しい ③２組の対角がそれぞれ等しい ④２本の対角線が互いの中点で交わる ⑤１組の対辺が平行で長さが等しい 例２ 表面積を等しくする
問題
裏 ①具体的に面積を求める ②平行線を引き等積変形を利用する ③共通部分を活用する 2) 知識整理ノートを作成する（ルーズリーフが便利） 本質的には 1) のカード管理と同じです。単元やジャンルごとに、知識事項をまとめて記録する ためのノートを専用に用意します。ルーズリーフを利用すれば、追加したり並べ替えたりするのに 都合がよいでしょう。これも1) のカードと同じように、学習したそのときに書き加えることがポイ ントですから、学習するときにはいつもそばにおいておきましょう。④ 思考力の養成
思考力をつける必要がある。言葉にすれば誰もがそう思うものですが、ではどうやってつける か、それが問題ですよね。特効薬があるわけではありません。コツコツと練習する必要がありま す。練習の仕方はいろいろありますが、ここではとても効果のある方法をひとつ紹介します。 途中の流れを書く訓練 応用問題を解くときに、何種類もの計算をすると思いますが、その計算の流れをしっかりと筋 道立てて記述する練習をしましょう。いうなれば、「問題集の解説」にあるような文章を、自分 で書く練習をするということです。思考力を付けるためには、論理的な流れを追うことが必要で あり、そのためには、解答に至る流れを、文章等で第三者に伝わるよう表現する練習が効果的で す。はじめのうちはうまくいかないかもしれませんので、問題集の解説のような「文章」ではな く、「箇条書き」から始めても良いと思います。x o y A B C D E P Q R S ② ① ( 例題 ) 右の図で，①は直線 y ＝ x ＋ 4 のグラフ， ②は直線 y ＝－ x ＋ 10 で，①②は点 A で 交わっています。直線①が x 軸，y 軸と交わる 点をそれぞれ B，C，直線②が x，y 軸と交わ る点をそれぞれ D，E，原点を O とします。 線分 AC 上に点 P，x 軸上に Q，R，線分 AD 上に点 S をとり、長方形 PQRS を作ります。 長方形 PQRS が正方形となるとき点 P の座 標を求めなさい。 ■まず悪い例です。 t ＋ 4 ＝－ x ＋ 10 x = － t ＋６ x = －２ t ＋ 12 －２ t ＋ 12 － t t ＋ 4 ＝－ 2 t ＋ 12 － t 4 t ＝ 8 t ＝ 2 ( 答 ) (2，6) “ t ”が何なのかの説明がない ←何をしたのか説明がないので、何を根拠とした等式なのか わからない ←何を求めようとしているのかわからない ←これが何を表すのかわからない ←どのような根拠で方程式を立てているのかがわからない ■次に、箇条書きにして手順を整理しながら解いた場合 ( 良い例です ) ①点 P の x 座標を t とすると→ P( t ， t ＋ 4) と表せる ②点 S の座標を t を用いて表す P と S は y 座標が等しい→ S( ？ ， t ＋ 4 ) y ＝－ x ＋ 10 に、y 座標の t ＋ 4 を代入する t ＋ 4 ＝－ x ＋ 10 x ＝－ 2 t ＋ 12 → S の x 座標 S( － 2 t ＋ 12， t ＋ 4) ③ PQ と PS の長さを t で表す PQ ＝ t ＋ 4 PS ＝ ( － 2 t ＋ 12) － t ＝－ 3 t ＋ 12 ④ PQ ＝ PS となることから方程式を立てる t ＋ 4 ＝－ 3 t ＋ 12 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
これを解いて t ＝ 2 ⑤ ( 答 ) (2，6) ■文章で流れをかく場合 ( これも良い例です ) ( 方針 ) PQ と PS の長さを文字式で表し，長さが等しいことから方程式を立てる。 ( 解答 ) 点 P の x 座標を t とおくと，点 P は直線 y = x ＋ 4 上にあることから， 点 P の座標は ( t ， t +4) と表せる。 PS は x 軸と平行なので，点 P と点 S の y 座標は等しい。 よって点 S の y 座標は t +4 である。 これを，直線の式 y ＝－ x ＋ 10 に代入して，点 S の x 座標を t で表す。 t +4 ＝－ x ＋ 10 となり、これを x について解いて， x ＝－ 2 t ＋ 12 となる。 よって，S の座標は ( － 2 t ＋ 12， t ＋ 4) と表せる。 PS の長さは，点 S と点 P の x 座標の差なので，PS ＝ ( － 2 t ＋ 12) － t ＝－ 3 t ＋ 12 PQ の長さは点 P の y 座標と等しく，PQ ＝ t ＋ 4 題意より，PQ ＝ PS となるので， t ＋ 4 ＝－ 3 t ＋ 12 が成り立つ。 これを解いて， t ＝ 2 よって点 P の座標は，(2，6) これはかなりていねいに書いた例ですが，一つひとつの手順を文章に表現することにより理解 が深まり，その積み重ねで思考力がついていきます。はじめのうちは時間がかかりますが練習し てみましょう。
