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電気・電子システムと複素数

東京工業大学

大学院理工学研究科

電子物理工学専攻

松澤昭

1

2

講演の狙い

電気電子工学や制御工学では「

複素数

」がやたら多く出てくる。

複素数を使うと，複雑なことが簡単になるのだが，「

虚数

」という

一見存在しないような数を使うので，最初はとまどってしまう。

そこで，なぜ電気電子工学では複素数を使うのか，

どんな意味があるかについて説明したい。

今後学習を進めるための参考にしてほしい。

この資料は，http://www.ssc.pe.titech.ac.jp のLecture にありますので，興味のある方はダウンロードしてください

3

電気電子工学に現れる複素数







_cos

_j

_sin

e

j

_

_

_{オイラーの公式：解析学 ３学期} 工学上，最も重要な公式

dt

e

t

f

F



  jt  





(

)

)

(

フーリエ変換：フーリエ変換とラプラス変換 ３学期

dt

e

t

f

s

F

 st  





(

)

)

(

ラプラス変換：フーリエ変換とラプラス変換 ３学期 時間領域関数の周波数領域関数への変換 時間領域関数の複素周波数領域関数への変換 iは電流を表すので工学での虚数は_iではなく_jが用いられる。 Sは複素数 微分方程式の解法，回路解析，制御における システム設計や安定解析などに用いられる。 通信，信号処理などに用いられる。 t j

e

V

t

V

( 

)

₀  電圧・電流の複素表示：線形回路 ３学期 回路理論 4学期 電気回路，電力工学などの基本。   j s  

4

３種類の電気素子

容量

C

抵抗

R

インダクタ

L

電気素子としてはこの３種類しかない。

この３種類の素子の性質を知ろう

5

抵抗の性質

抵抗

R

電流

: I

電圧

: V

RI

V 

GV

R

V

I





コンダクタンス：

G

R

G



1

電圧は電流に比例する （比例係数はR) 電流は電圧に比例する （比例係数はG) 2 2

_RI

GV

V

I

P









消費電力は電圧の２乗もしくは電流の２乗に比例する



 Pdt

W

_R 消費エネルギーは消費電力の時間積分

抵抗では電圧と電流は比例関係にあり，エネルギーを消費する

6

容量の性質

容量

C

dt

I

C

C

Q

V





1



C

Q

QV

CV

W

_C 2 2

2

1

2

1

2

1

_

_



電流

: I

電圧

: V

電圧は電流の時間積分に比例する （比例係数は1/C) 電流は電圧の時間微分に比例する （比例係数は_C) 電気エネルギーは電圧の２乗に比例し，これを蓄積する

CV

Q 

電荷は電圧に比例する（比例係数はC)

dt

dV

C

dt

dQ

I





容量では電圧と電流は時間微積分関係にあり，

電気エネルギーを蓄積する。電荷が本質的働きをする。

7

インダクタの性質

インダクタ

L

電流

: I

電圧

: V

dt

dI

L

V 

dt

V

L

I



1



2

2

1

LI

W

_L



電圧は電流の時間微分に比例する （比例係数はL) 電流は電圧の時間積分に比例する （比例係数は1/L) 電気エネルギーは電流の２乗に比例し，これを蓄積する

インダクタでは電圧と電流は時間微積分関係にあり，

磁気エネルギーを蓄積する。

8

抵抗，容量，インダクタのまとめ

容量 _C 抵抗 R インダクタ _L 電圧 V 電流 I RI V  GV R V I   dt I C V  1



dt dV C I  dt V L I  1



dt dI L V  エネルギー 2

2

1

CV

W

_C



（保存）









dt

I

R

dt

V

G

W

_R 2 2 （消失） 2

2

1

LI

W

_L



（保存） 各素子の電圧と電流の関係

CV

Q 

dt

dQ

I 

9

容量と抵抗の時間応答

S C R +Q₀ -Q₀ C R S I(t) V(t)

電荷が溜まっている容量を抵抗で終端した場合

V₀ V₀ スイッチを閉じた瞬間，容量の電圧_{等しいので，} Voと抵抗の電圧V(t)は 0

)

0

(

t

V

V





抵抗の電圧_{V(t)は電流I(t)が流れることで生じるので，}

R

V

t

I

₍



₀

₎



0 容量から電荷ΔQが抜けていく。このことによる容量側の 電圧変化と抵抗側の電圧変化_{ΔVは等しいので}

R

I

C

Q

V













t

I

R

t

Q

C

t

V

















1

全ての項を時間変化_{Δtで割ると}

10

容量と抵抗の時間応答の答え

t

I

R

t

Q

C

t

V

















1

C R S I(t) V(t) V₀

I

t

Q









電荷と電流は

t

I

R

C

I

t

Q

C















1

これより

RC

I

dt

dI





指数関数を仮定して解いてみる t

e

I

t

I

( 

)

₀ 



_





 ₀ 

1

0













_I

_e

t

I

e

t

dt

dI

 t

e

I

t

I

(

)



₀  答えは  t

e

V

t

RI

t

V

(

)



(

)



₀ 

RC







これを時定数という 微分方程式

11

指数関数の性質

0 1 2 3 4 5 1 10 3 0.01 0.1 1 x 0 1 2 3 4 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x x

e



_e

x リニア表示 対数表示 指数関数は値が一定の比率で時間とともに増減する関数である 時間 t 時間 t

12

インダクタと抵抗の回路の時間応答

S₁ S₂ R₀ L R V₀ I0 I V 最初にスイッチS₁が閉じられ，S₂は開いておりインダクタLには電流I₀が流れていた。 次に_S1を開き_t=0でS2を閉じると，電圧，電流はどうなるか インダクタに蓄積されている磁気エネルギー_WLは 2 0 2 1 LI W_L  このエネルギーW_Lは急には変化できないので 電流_Iは-I0になる。したがって初期電圧は， 0 RI V   インダクタの電圧電流関係は，電流の向きを考慮して dt dI L V   RI V  抵抗側では インダクタの電圧と抵抗の電圧は等しいので， I L R dt dI    t

e

I

I





₀  容量の場合と同様に 指数関数になる  t

e

RI

RI

V







₀  R L 



微分方程式

13

容量とインダクタの回路の時間応答

I V 容量_{: C インダクタ：L} V₀ S dt t dV C t I( )   ( ) I(t)  _L1



V(t)dt



  V t dt L dt t dV C ( ) 1 ( ) ( ) 1 _{( )} 2 2 t V LC dt t V d _  t

e

A

t

V

( 

)

₀  dV_dtt A et d_dtV₂t 2A0et 2 0 ) ( , ) ( _{ } t t _e LC A e A  



0 0 2 _{ }  LC j LC      1 



_e

j t

_e

j t



A

t

V

(

)



₀ 



  容量側の方程式 インダクタ側の方程式 電流は等しいので ２階の微分方程式にすると 指数関数を想定して微分方程式を解いてみる 指数の肩に虚数が現れた 容量Cに初期電荷があり，その電圧をV0とする。Sを閉じるとLC回路では LC 1   したがって

14

容量とインダクタの回路の時間応答



_e

j t

_e

j t



A

t

V

(

)



₀ 



  t=0でV₀なので _         2 ) (t V₀ e j t e j t V   dt t dV C t I( )   ( ) から電流を求める                               j e e V L C j e e V C e j e j CV dt t dV C t I j t j t j t j t j t j t 2 2 2 ) ( ) ( ₀      ₀   ₀            j e e V L C t I j t j t 2 ) ( ₀   三角関数を用いて微分方程式を解いてみる V(t)  A₀ cos



't  



と置くと



 







 



        A t dt t V d t A dt t dV ' cos ' ) ( , ' sin ' ) ( 0 2 2 2 0 ) ( 1 ) ( 2 2 t V LC dt t V d _  _なので

_

_

_

_

LC t LC A t A cos ' cos ' , ' 1 ' 0 0 2 _{         }  t=0でV(t)=V₀なので V(t) V₀ cost





V t L C t V C t V dt d C dt t dV C t

15

指数応答と正弦波応答の関係



















2

)

(

t

V

₀

e

j t

e

j t

V

           j e e V L C t I t j t j 2 ) ( ₀  

t

V

t

V

(

)



₀

cos



t

V

L

C

t

I

(

)



₀

sin



指数関数から求めた答え 三角関数から求めた答え 本来は同じ答えなので t j e e t e e t j t j t j t j       sin 2 cos 2      

t

j

e

e

t

e

e

t j t j t j t j





   

sin

2

cos

2









 

t

j

t

e

jt

_

_cos

_

_

_sin

_







_cos

_j

_sin

e

j

_

_

有名なオイラーの公式 一般化すると 指数関数と三角関数 を結びつける公式 で複素数で表される

指数関数に虚数を導入すると三角関数になる

16







_cos

_j

_sin

e

j

_

_

実軸 虚軸：j 大きさが１  j

e





cos



sin

j

角度θを位相角という オイラーの公式はZ平面（複素平面） 上の大きさ１，で位相角_{θの点を表し単位円上にある。} 実軸成分がcosθ，虚軸成分がjsinθである

オイラーの公式の複素平面での表現

複素数の極形式

17

LC回路の電圧と電流

0 2 4 6 8 10 1  0.5  0 0.5 1 V x( ) I x( ) x 電圧 _V 電流 _I  sin 0 V L C I   cos 0 V V₀

t







電圧と電流 電圧 波形 電流 波形 LC共振回路における電圧と電流の関係は等速円運動上 の水平軸への投影と垂直軸の投影と考えることができる

t

j

t

e

jt



cos





sin



時間 （位相）

18

電気エネルギーと磁気エネルギーの交換

電流：I 電圧：_V 容量_{: C} インダクタ：L 初期電圧V₀ 電気エネルギー 磁気エネルギー 2 2 1 CV W_c  2 2 1 LI W_L 



t



CV t CV CV W t V t V c    2 cos 1 4 1 cos 2 1 2 1 cos ) ( 2 0 2 2 0 2 0      



t



CV t CV LI W t V L C t I L    2 cos 1 4 1 sin 2 1 2 1 sin ) ( 2 0 2 2 0 2 0       2 0 2 1 CV W W W_tot  _C  _L  全エネルギーは一定 LC共振回路では電気エネルギーを磁気エネルギーに， 磁気エネルギーを電気エネルギーに，互いに交換している。これが振動である。



t



CV W_c 1 cos2 4 1 ₂ 0   W_L CV



1 cos2t



4 1 ₂ 0  

19 t







W

C L

W

0 C

W

 cos 0 C W  sin 0 C W 電気エネルギーと磁気エネルギー 0 2 4 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ) x １周期 赤：電気エネルギー 青：磁気エネルギー 電気エネルギー 磁気エネルギー



t



CV W_c 1 cos2 4 1 2 0  



t



CV W_L 1 cos2 4 1 2 0   t V C W t CV W_c   cos cos 2 1 _{2 2} 0   t V C W t CV W_L   sin sin 2 1 2 2 0   0 0 2V C W_C 

電気的振動は電気エネルギーと磁気エネルギーの交換から生じる

エネルギー交換から生じる電気振動

20 I_L V 容量: C _{インダクタ：L} V₀ S 抵抗_{: 1/G} I_C I_R



   Vdt L I GV I dt dV C I L R C 1

0







_{R L} C

I

I

I

0 0 1 2 2       



L V dt dV G dt V d C Vdt L GV dt dV C t

e

A

t

V

( 

)

₀  V dt V d V dt dV 2 2 2     0 1 2 _{  } L G C





C L C G G 2 4 2 _   



C G L C j G L C G 2 4 4 2 2       のときは

抵抗・容量・インダクタの回路

流れ出る電流の和はゼロ したがって とすると

各素子の電圧

Vは同一で，電流の和はゼロであるので

21

抵抗・容量・インダクタの回路の時間応答

t

e

A

t

V

( 

)

₀  C L C G G 2 4 2 _   



C G L C j G L C G 2 4 4 2 2       のときは

回路の応答は

λが実根の場合は振動成分が生ぜず，

λが

複素根

のときに

振動成分

が発生する

2 2 2 1 2 4 2              C G LC C G L C C G      



j t j t



t t j t j t

e

e

e

A

e

A

e

A

e

A

t

V

          











0 0 0 0

)

(

複素根の場合は t=0でV(t)=V₀なので t e V e e e V t V t jt jt t _cos

_

2 ) ( _{0 }  ₀         減衰項 振動項

22

時間応答の違い

V( V(1)@R -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2

0 50u 100u 150u 200u 250u 300u

0 0.2 0.4 0.6 0.8 f3 x1( ) f x1( ) 電圧 時間 赤：複素根の場合 青：実根の場合 複素平面上の動き

t

e

t

V

( 

)

t

cos



減衰振動波形

微分方程式が実根の場合は減衰するだけで振動成分は発生しない。

複素根の場合は振動成分が発生し，減衰振動になる。

0





23

電気回路の応答の基本

x x x 2 2 1         C G LC p  C G 2   LC c 1   L C G2 _ 4 x





j

p p j s ₁     p p j s ₁     共役複素根 共役複素根 ２重根 定常振動 （発振） 安定 不安定 減衰振動

電気回路の応答は，微分方程式の根（ラプラス変換の極）

の複素平面上の位置で決まる

24 I_L V 容量_{: C} インダクタ：L V₀ 抵抗_{: 1/G} I_{C I} R









Vdt

L

I

GV

I

dt

dV

C

I

L R C

1

0 2 2    L V dt dV G dt V d C t

Ae

t

V

(

)



 0 1 2 _{G  } C





C L C G G 2 4 2 _   



電気回路と複素数



j



t t

_Ae

Ae

t

V

(

)













P:比例項 D:微分項 I:積分項 電気素子(RCL)は電圧・電流の関係が比例・積分・微分(PID) の関係にあり， その応答は２次の微分方程式で表される。解は複素数の指数関数となる。 電気エネルギーと磁気エネルギが交換されるときの解は虚数を含み， 正弦波の振動を発生させる。解の実数部分は電磁エネルギーの減衰を表す。 複素数は電気回路の基本

25

なぜ複素数で電気信号を表すのか？

電圧 _V 電流 I  sin 0 V L C I   cos 0 V V₀

t







電圧と電流



t

j

t



V

e

V

₀ jt



₀

cos





sin



電流：I 電圧：V 容量_{: C} インダクタ: L 電気エネルギー 磁気エネルギー 実数だけを用いると，振動現象の背後にある電気エネルギーと磁気エネルギー の交換を表せない。複素数を用いることにより，総エネルギー量（絶対値）と 電気エネルギーと磁気エネルギーの比率（位相）が表現でき，振動の本質を 表すことができる。

26

超高速無線通信

複素数は電気電子工学，特に通信や信号処理の基本である。

ここでは，高周波信号に情報を載せる変調技術への応用を示す。

関数の直交性から信号を複素数で捉え，同一周波数で２つの

独立した（複素）情報をおくることができるため，古典的な変調技術

に比べ，同一帯域で２倍の情報を送ることができる。

研究室ではこの技術を用いて，

28Gbpsの世界最高速無線通信

が可能な

60GHz帯無線トランシーバー集積回路を開発した。

27

60GHz CMOSトランシーバーの開発

研究室で開発した，超高速無線伝送用集積回路

K. Okada and A. Matsuzawa, et al., ISSCC 2012

28

29

性能測定系

Absorber

RF board

RF board

BB board

BB board

BB chip

RF chip

_{with 6dBi antenna [3]}

BB chip

I/Q Control signals RF board I/Q BB PHY Control (FPGA) Laptop PC Power supply I/Q Control signals I/Q RF board Power supply BB PHY Control (FPGA) Laptop PC Tx mode Rx mode

30

超高速無線通信

0

5

10

15

20

25

30

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Data rate [Gb/s]

UCB NEC Univ. of Toronto CEA-LETI Toshiba IMEC Panasonic UCB Broadcom Toshiba SiBeam 松澤・岡田研の成果

世界最高速の28Gbps 無線通信を実現

超高速無線通信ではダントツの世界一

31

研究室の高周波特性評価装置

32

トランシーバー開発メンバー

修士学生が中心の開発メンバー 若い力が未来をつくる

33

変調技術

どのようにして無線信号に情報を載せるか？

(1) 振幅変調; AM (Amplitude modulation) (2) 周波数変調; FM (Frequency modulation) (3) 位相変調; PM (Phase modulation)



(

)

(

)



)

(

)

(

t

A

t

cos

t

t

t

y













高周波信号

(1) 振幅変調： A(t)

(2) 周波数変調： ω(t)

(3) 位相変調：θ(t)

正弦波の３つのパラメータを データに応じて変化させれば良い これらの古典的な変調方法は効率が悪い!

34

直交という概念











f

(

x

)

g

(

x

)

dx

0

x

cos

_sin

_x















   

2

sin

2

0

1

sin

cos

x

xdx

x

２つの関数f(x), g(x) が区間αからβにおいて、 となる関数は互いに直交している関数である。例えば、 は区間-πから+πにおいて、 であるので、直交している。 と

関数の直交性

複素数の直交性

複素数の実部と虚部は独立しており，直交性を有する。 1 1 1

a

jb

z





2 2 2

a

jb

z





z

1



z

2





a

1



a

2

 



j

b

1



b

2



35 D_a D_b 送信波

t

c



cos



t

c



sin



フィルタ後

直交変調

復調

変調

sin波とcos波は直交しているため、

同一周波数でも2つの独立した情報が送れる

元のデータが再現できる

36

複素変調

（直交変調）

QAM( Quadrature Amplitude Modulation)

位相と振幅の両方に情報を有し、狭帯域でも多くの情報を送れる。 複素数としての取り扱いが可能である。 実数 虚数 (0001) (0010) (0011) (0000) (0101) (0110) (0111) (0100) (1001) (1010) (1011) (1000) (1101) (1110) (1111) (1100)  ( )

)

(

)

(

t

A

t

e

j t t

y



 

)

(t

A

)

(t



a jb

t

t

jb

t

t

a

t

y

(

)



(

)

cos





(

)

sin



極形式 cos波とsin波を重みを付けて 加えることで，複素形式となる         a b t_{) tan} 1 (



2 2 _{( )} ) ( ) (t a t b t A   直交加算

37

超高速無線通信機の構成

電力 増幅器 低雑音 増幅器 直交ミキサ（乗算器） フィルタ フィルタ 発振器 送信機 受信機 フィルタ フィルタ 発振器 t c



cos t c



sin a(t) b(t) t t a( )cos



_c t t b( )sin



_c t t b t t a( )cos_c  ( )sin_c



(

)



cos

)

(

t

t

t

A



_c





t c



cos t c



sin a(t) b(t) 直交発振器

直交発振器とミキサを用いることで複素変復調が可能になる

この技術で 通信速度を上げた

38

複素平面で考えよう

偏差値

高い

低い

１次元の価値観

お金

勝ち組，負け組

偏差値

高い

低い

人間性

高い

低い

複素平面の価値観

39

複素の価値で考えると

電気電子（ハードウエア） 情報（ソフトウエア） エネルギー エンターテインメント