【研 究 論 文】 UDC ：624
．
012．
45：624．
02 日本建築学会構造系論文報告集．
第 350 号・
昭和 60 年、
4月鉄筋
コン
ク
リ
ー
ト骨
組
の
最
適
設
計
に
関
す
る
研 究
そ の2
最 適化 計算
に おける初 期設 計解
の推 定
正 会 員今
．
井
信
宏
＊1．
序一
般に構 造 物の最 適 設 計 を行 う方 法とし て，
数 理 計 画 法の理 論 と最 適 化プログ ラムを 用い て計 算 機に より最 適 解を求め る数 値 的 解 法 と， 限 定 制 約 条 件ci？
もとに最 適 化 問題の定式化を行い， 解を理 論 的に求め る方 法とに大 別 さ れ る。
これ ら二 つ の方 法は，そ れ ぞ れ長 所，
短 所 を もっ て いる が，
これ らの解 法を適 宣 併用 する こ とに よ り さ ら に合 理的な最適設計手法が可能に な る。
筆者は
，
前 報1｝に おい てSUMT
，Davidon．
Fletcher
・
Powell 法の数理計 画 法お よ び分解架構 法 を用い た鉄 筋 コ ン ク リー
ト （以 下 RC と略斉
己〉、
骨組の 最 適 設 計 手 法 を示し た。
し か し， こ の方 法は ど の よ う な骨 組に対 して も か な りの精 度で設 計 解が得られ る利点がある反 面，
多 数 回の 構造解析を必 要と する ため，
骨 組の規 模が大き く な る と演算時 間 が 増 大し設 計コ ス トの点で不利と な る。
こ の数 値 的 解 法にお ける短 所は，．
あ る程度まで理論 的 方 法を適 用する こ と によっ て補うこと がで き る。
理論的 方 法に よる最 適 設計に関す る研 究は
，
建 築 構 造 物の場 合，
鋼骨組につ い ては すで に中村2）−
4〕により，
塑 性 理 論お よ び最適性条 件を用い た 解 析法が示さ れ，
多く の有 用な結果が簡 潔な閉 形 表 現で与え ら れ てい るが，
RC 骨 組につ い て は ほ と んど見られ ない。
中 村の方法は， 鋼 骨 組 構 成 部 材と し て
H
形 鋼 断 面を選 び，
これを理 想 サン ドウィ ッチ断 面に置 換し た後，
すべ て の部 材のせい が一
定，
す な わち；部 材の 断面 積が その 断 面 2次モー
メ ン トに比 例す る形の 条件の もと に，
「
（曲 げ 剛 性）×（部材長さ）の積 和で 目的
関数を設定し てい る。 中 村は，
こ の 目的 関 数 を用い てまず，．
コ ンプライア ン ス 制 約 条 件が指定 され た鋼 箱 形ラー
メ ンの最小 重 量 剛性 設 計 解を導い てい る。
次に，
こ の設計解に対 応す る曲 げモー
メ ン トが中 村の提 案し た構モー
メ ン ト図に一
致す ること・
を指摘し た上で，
構モ r メ ン トおよ び箱 形ラー
メ ン よ り 得られ る最 適 解の基本的性 質な ら びに最 適 性 条件を用い て，
半 逆的解法によ り多 層 多ス パ ン鋼骨組の最適 解 を導 い てい る。
’
拿 名 古屋大 学 工 修 （昭 和 59 年 4 月 11 日原 稿 受理 日，
昭和59年 ll月5日 改 訂 原 稿 受 理 日，
討 論 期 限 昭 和 60 年 7 月 末 日） し か し，
部 材の断 面 形状と して矩形ま た はT
型が一
般 的で あ る RC 骨 組の最 適 設 計におい て は，
部 材の断 面 積 と断 面 2次モー
メ ン トとの関 係 が 非 線 形 とな り， 設 計 変 数 として部 材せい を採り，
部 材 断 面 積に基づ く目的 関 数を 設定 し，
中 村と同様の最 適 化 問題を解こうとすると，
問題は非 線 形 最 適 化 問 題 とな り， 最 適 解には，
こ の部 材 せいの影 響 が 直接 反 映し， 取り扱いが 複 雑 と なる。．
こ の た め，一
種の線形 最適化 問 題に属 する中村の方 法 を，
こ れ を その ま ま， 非線形最適 化問題であるRC
骨 組に適 用 す ること は，
骨 組の最 適 性 条 件お よび最 適 解の基 本 的 性質が 明 ら かに異なっ て くるた め，
で きな いことに な る。
ま た， 中村は， こ の非線形最適 化問題 を取り扱っ た骨 組 の解法につ いてば ほ と．
んど示してい ない。
’
本 研究
は，
上記の事 情を も とに，
静 的な荷 重 を受けるRC
骨組の最適化計算
に お けう
演算
時
間短縮めた めの良 好な
初 期鞏
計
解を，
理論的
および 数恒
的解妹
を組み合わ せ た 方 法に よ り求め る 解 析法につ い て 示し た もの で あ る。 理 論的解法で は，
層 間変位 制限 を受け るRC
骨 組 の最 小 重 量 設 計 問題 を取り扱い，
断 面算 定用水平力 時 モー
メ ン ト分 布を求め た。
こ の 際，
非線形最適 化問題に 伴い，
最 適 解が設 計 変 数に関す る高 次の非 線 形 関数と な り，
そ の取り扱いが簡単な骨組に対してす ら煩 雑かつ複 雑と なり実 用 的でない た め，
本 研究で は近似 解 法によ り RC 骨 組の最 適 解 を 求 めた。 近 似 解 法で は，
多 層 多ス パ ンRC
骨 組を，
多 層 ユ ス パ ン骨組
（以 下，
集 約ラ⊥ メ ンと呼ぶ ）に置 換し，
さ ら に これを層 毎の基 本 骨 組に分 解し た。 この基 本 骨 組に対 する最 適 性 条 件および最 適 解の基 本 的 性 質を，
中 村の示 し た方 法に よ り求め，
こ れをもとに，
多層 多ス パ ンRC
骨 組の 最 適 解を求め た。． ．
．
・ 解 析例と し て3
例のRC
骨組の最 小 重量 設計を行い ， 本 研 究で示した方 法の有 効 性 を，
筆 者が前va
’］ で示し たSUMT
・
を・
用い た数 値 的 解 法に よ る最 適 解と，
本 方 法に よる最 適 解と比 較 することによ り検 証し た。2．
静 的 な 荷 重 を 受 け る RC 骨組 の 最適設 計 Z．
1 設計の概 要’
． 『．
t’
−t・
設 計 に用い る 荷 重 状 態 と して常 時 荷 重 λv（G
十P
＞お よ び地 震 時 荷 重 （G
＋P
）＋ （地 震 荷 重 ）の 二、つ を 設 定す一
16
一
る。 こ こ に Xvは鉛 直 荷 重 時 荷重係 数である
。
設計変数は
，
各 層に お ける は り全ぜいdw
（i＝1，…，
N ，
ノ＝1，…，
冗） お よ び 柱 全せいDss
（i＝1，…，
N ，
ノ＝
・
1，…，
n十1）と する。
こ こ にN
は層 数，
n はス パ ン 数 を 示 す。
制約 条 件 式として
，
は り お よび柱せい決定に重 要な役 割を果す と考えられる次の制 約 条件を骨 組 各 層におい て 適 用 す る。
0．
004≦Ptat≦Pibu…
t…
tt
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
ttt
−・
・
t…
（1 ）1
δ‘1
≦ δ‘・
……・
・
………・
……・
・
…………・
・
…・
（2） 0。
004≦PtC，
e」≦Ptcu………・
…・
…・
・
…………
（3）DSi
≧Pm1。・
・
一 ……・
………・
一 ……・
…・
…一
（4） 0．
002≦ P．
，
tJ≦Pω
u’
・
…………・
……・
……・
…
（5 ） 1次設計 2次設 計 図一
1 最適設計過 程 ブロ ックチャー
ト 置2
5
jtlnnt
置 」1重
巳
j
一
巳∩
」 a）設計骨 組 z
E
証b．
i
ε皿G ，i
i
＝1
，…
gN ノ耳 1，…，
n十1こ こ に，
Pt
“t ：i
層は り引 張鉄筋比，
Pt
。，
t」 ：‘層 ノ列 柱 引張鉄筋比，P
ω，、” ：i
層j
列柱帯 筋比，
δ、：i
層 層 間 変位，
δ‘：指 定さ れ たi
層 層 間変位，Dm
、n ：柱せい最 小 値。 な お， 小文字の添 字 u は 上限 値を示 す。 図一1
に最適 設計過程のブロ ック チャー
トを示 す。
設 計過程は大き く分けて 1次 設 計，
2次 設 計より な る。
1 次設計で は，
層 間 変 位 制 限 を受 ける骨 組の最 小 重 量 設計解よ り水平 力 時モー
メ ン ト分 布の算 定 を行い， 図一
1
の左半分に示 し た手 順に より 1次 設 計解 を求める。
2
次設計で は，
構 造 解 析，
断 面 設 計 を繰り返し行うこ と に よ り1
次 設 計 解の改 修 を行 う。
これは， 1次 設計に おい て仮 定された鉛 直 荷 重 時モー
メ ン ト分布の修正 な ら びに，
1次 設 計 解が水 平 力 時モー
メ ン ト分 布算定の際に 仮定さ れ た制約 条 件 以 外の要 因で決 定 されること が ある た め採ら れ た方 法である。
2，
2 層 間変 位 制 限 を受け るRC
骨組の最小重量設計水平 力 作 用 時における骨 組の層 剛 性 分 布 決 定に は
，
2．
1で示し た制 約 条 件の うち， 層間変位条 件が重要な役 割 を果 す と 考え られる。
その た め， ここでは各種制 約 条 件の う．
ち， 層 間 変 位 制約 条件が指定さ れ た，
骨 組の最 小 重 量 設 計 を行い， 水平 力時モー
メン ト分 布 を求める方 法 につ いて述べ る。
2．
2．
1 解 析モ デル解 析に際し て は まず， 図
一
2，
a に示 す 設 計 骨 組 を， ス パ ン方 向に集 約し単 純 化し た 図一2．b
に示す集 約ラー
メ ン に置 換 し，
さらに これ を図一2．
c に示す層ご との集 約 層 サブフ レー
ム に分解す る5｝”
S） 。 解 析は主 と して，
集 約 ラー
メ ンに対し て行う も の と す る が，
より詳 細な最 適 解 の定 式 化 が 可 能な骨 組につ い ては，
設計骨 組を層ご と に ⇔ 鞠 ⇔ 臼口
PN
E
匹bl ，i
P
閇 町 c，iEVbo
．i
⇔h
⇔PI
Elbl
、Li
EIG
，1
，iEIb
◎，jj
一1
書一
9一
』
h −
」Lli
− P
一一lj
一tn−
・ b） 集約 ラー
メン c）集 約 層 サブフ レム の 層 サブフ レ
ー
ム 図一
2 解 析モデル一
17
一
分 解 し た図
一2．d
に示す層サ ブフ レー
ムを用い て解 析を 行 う。 図一
2．
b
に示す集約ラー
メンは，
次 式に示す よ うに設 計 骨 組の各 層の は り剛度k
。およ び柱 剛 度k
。の ス パ1
方 向の総 和および総和の平 均が，，
集約ラ t メ ン の各 層に お ける は り剛 度 K，お よび柱剛 度Ke
にそ れ ぞ れ等 し く な る よ う に モ デル化し た。
，
n梅
＝
Σ妬 ズ……一 ・
………・
・
………・
…
（6・
a） 丿＝
1 n＋1Kc，
尸 Σhe
」，
t／2
t・
・
…・
……・
・
…・
（6・
b
）i−
±1，…，N
’＝
1 ここ に，kb，
」，
i＝
E煽，
‘〃丿，
kc
”，
i＝Elc
，‘／hc
こ こで
，
設 計 骨 組は簡 単の た め，
図一2．
aに示す よ う な 曲 げ 剛性E
∬の分布 を持つ 柱 脚 固定のRC
平面ラー
メ ンと し， ま た骨 組の幾 何 学 的 形 状お よ び荷 重 状態 な らび に使用材料の力学 特 性 は前 もって与えられて いるものと す る。 は り お よび柱の断 面 形 状は各 層ご とに，
は りにつ い て はb
‘×dw
の 矩形， 柱 たつ い て は D，，
‘×Dd，
t の 正方 形の一
様 断 面と す る。
こ こ にb
‘はi
層嫉
り幅であ る。’
こ こ で図一
2におい て用い た記 号は以 下の ご と くであ る。．
1
、：i
ス パ ンの長さ，h
‘：‘層 階 高，
Hi ：i
層 水キ
カ， P‘：i層 層せ ん 断 力，E
：コ ン ク リー
ト弾 性 係 数 な お，
図一2．
aに お けるi
層の は りお よ び柱の断 面2
次モー
メ ン ト 塩A‘け己1，…，
n），IC
」，
1（j
＝
1，
1…，
n十1
＞ は次 式で示さ れ る。
lblJ
．
t＝
φb
‘d
量，／12・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
4−・
・
・
・
・
・
・
…
（7
・
a）Ic」
，
i＝D
），
‘／12・
t−・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t・
・
…
：
・
t・
・
・
…
（7
・
b
）ここ に， φ：ス ラブに よ る は り剛 度 増 大 率 設 計 骨 組 あるい は集 約ラ
ー
メ ン を 層ご とに分 解す る 際，i
層の は り曲げ剛 性を，
各ス パ ン におい て共 通の曲 げ 剛性分割 比 α‘，
β‘．1 （た だ し，
αt， β‘．
1＞1） を用い て，
そ れ ぞ れ分 解 架構のi
層 上は り曲げ 剛性および （i
＋1＞ 層 下は り曲 げ剛 性と に分割す る。
こ れ を 図一
2．
d
の層サ ブフ レー
ム につ い て示 す と次 式の よ うに な る。
EI，。”
，
i＋1＋ElbW．
t±Elb
」，
t・
…………・
…・
…・
・
（8・
a＞ こ こ に，
1．J
、
t＋1＝
φb
‘dL
／（12
β‘＋
1｝……・
・
……・
…・
・
…
（8・
b
）lbl
」，
・一
φb
・dl
・／（1．
P
・・｝・
………・
・
…
（8・
・）ま た
，
α ‘，
．
fls
、
1の間に は次の関 係が あ る。β‘＋i； at／（al
− 1
）…・
・
……・
…
（9 ）（た だ しaN
；
1）集 約 層サブフ レ
ー
ム にお ける上は り，
下は りお よ び柱 の曲げ 剛性Elbl．
i，
Elb。，
i，
El
。．
iは そ れ ぞ れ次式とな る。n
EI
，，，
‘；E
Σ（1
，／1
、）1
，，」，
、………一 ・
・
…
（ユo・
・＞ J＝
1ElbO
’
i＝E
Σ二（1
，／1’）lbO」’
i”…”マ
’
’
’
”
噛
’
…噛
’
°
’
’
”
（10齢
b
） ’＝
■E
・、，
t−（
躰
の
／
2
−
…・
・
…・
・ ・
・
・
…
（・… ）一 18 一
こ こ で， （10・
a） ， （10・
b）式は集 約 層サ ブフ レー
ムの 基 準ス パ ン長とし て，
骨 組 最 左 端の ス パ ン長1
、を 選び， ほかの ス パ ン における は り剛度を・
，
e
，に対応す る は り剛 度に換 算し，
（6・
a）式に従っ て集約ラー
メンの は り剛 度 を求め， これを層ご とに分 割す るこ とに よ り求め た。
ところで
，
図一
2．
b
に示す集約ラー
メ ン より得ら れ る 層 間 変 位と， 図一
2，
a に示す設計骨組よ り得られ る層 間 変位の値を， 骨 組の幾 何 学 的形状お よ び外 力分布 を 変え た数例のRC
骨 組につ い て た わ み角法
に よ り求
め， 検 討 す る と両 者の間に は次の よ う な関係がみら れ た。 具 体 的な数値につ い て は紙 数の関 係で省略 す る が， 集約ラー
メンよ り得られ る層 間 変 位の値は， 元の骨組よ り得ら れ る そ れに比較 して約 4−
10％ 程度小さ め．
op
値 を示 すが，
その誤 差は， いずれ の骨 組につ い ても最下階 を除い て各 層ほ ぼ一
様とな り， 集 約ラー
メンお よ び 元の骨 組よ り得 ら れ る層 間 変 位の間に は相 似 関係が存 在す る。
こ の こと よ り， 本研 究で は層 間変 位のみ を制約条 件と する最 適設計に限れば
，
集 約 ラー
メ ンお よびこれを層．
ご とに分 解し た （ユ0
）．
式で示され る集
約 層サブフ レー
ムと 元の設 計 骨 組との間に は， 最 適 解お よ び その基 本 的 性 質 につ い て同様の相似 関 係が存 在す る と仮定し て一
t 次に
示 す解 析 過 程に よ り多層多ス パ ンRC
骨組の最
適 解 を 求 めた。 な お， こ の仮定の妥当
性につ い ては後に示す3．
の解 析例に おい て検 討する。2
．
2，
2解析過 程の概 要
層 間 変 位制限を受ける RC 骨 組の最適化過程を， 次 の 2段 階に分け て解析を進 める。
1） 図
一2．
c に示 す一
般 階 集 約 層サブフ レー
ム につ い て層 問 変 位 制 約条件の も とに骨 組の最 小重 量 設計を中 村 の示し た方法に よ り行い，
最 適 解 を得る た め の最適条件 式な らびに設 計 解の基 本 的 性 質を明らかにす る。
2）
1
＞で得 られ た結果を用い て，
図一
2．
b
に示す集 約 層 サ ブフ レー
ム を重ね合わ せ た集 約ラー
メンに対す る 最 適 解を，
集 約ラー
メン に お け る変 形の適合条件を考 慮 した半逆的解法な ら びに繰り返し計 算を 用い た方 法に よ り求め，
こ れを 図一
2．
a に示す多層 多ス パ ン骨 組の最 適 解と す る。
な お
，
図一
2．
d
に示す層 サ ブフ レー
ム に よ り多層多ス パ ン骨組 の最適 化 問 題の 定 式 化が可 能な骨 組につ い て は，
1）の結 果より得 ら れ る層サブフ レー
ム の基 本 的 力 学 性 質を用い て定 式 化を行い，
これを解くことに より多 層 多ス パ ン骨 組の最 適 解を求める。
2．
2．
3一
般階集 約層サブフ レー
ム の最 適 条 件 式骨組 最左 端の ス パ ン長
1
，を基 準ス パ ンと す る一
般階 集 約層サ ブフ レー
ム を 図一
3に示 す。
な お，
層 を 示 す 添 字 iは特に こ と わ ら ない限り， こ こ で は省 略する。
解 析にお ける設 計 変 数は，
上 は り は り全 せいd
、．
J， 下 は り は り全せ いd
。J お よび柱 全せ い D，とする。
また，
1 E虹b1 2 PE 皿
；
4し
， E∬boE 皿τ 3 1−
‘」
P
．
，
「lRl
R e2 ‘ θ 図一
3一
般 階 集約層サ ブフ レー
ム eコ 骨 組の総 重 量につ い て は，
RC 骨 組の場 合は，
コ ン クリー
トと鉄 筋の重 量の総 和 を考 慮 しなけれ ばい けないが，
鉄 筋の総重 量が骨 組 総 重 量に 占め る割 合は た か だか 1割 程 度である。
そこで， こ こでは問 題 を簡 単にするた め RC 部 材 として の慣 用の比 重．
ρ （こ こ で は普 通コ ン ク リー
ト を想 定 して ρ＝
2．
4とし た） を 用い て骨 組 重 量 を 評 価す る。
一
般 階 集 約 層 サ ブフ レー
ム の最 小 重 量 設 計 問 題は次の ように な る。
層 間 変 位 条件 Pδ＝
Pδ （指 定 値）…・
…・
…・
…・
・
（ll ） の下に 骨 樋 量w −
・［
急
（bl
・．1
，／VZ
；・b
・岫渦
・
冨
・司
……・
・
……・
……
（・2 ） を最 小にするdw
，dOJ
，D
，を 求め よ。
こ こ に， b、，be
：上は り お よび下は りのは り幅（12）式にお け る
d
，，／Vff
，
d
。，／fB
は はり の 剛 性を 分 割 比 a，
βで分 割し たこ とに対 応 する上は り および下 は りの等価は り せい であ る。 （11
）式におけるP
δ の算 定 式を応 力 法に より示す と次の よ うに な る2〕。
・・一
∬
纛
臨 （x）1
！dx
＋∬
纛
臨 ・（x）1
・dx
・ ・
ズ
翫
臨 肋………・
……一
（13） こ こ に， 脇上（x）， 脇 下（x），Mc
（Y ）：そ れ ぞ れ集約層 サ ブフ レー
ム の上は り，
下は り お よ び 柱の モー
メン ト分 布 上 記の問 題の解 を，
ラ グ ランジェ 乗 数 法 を用い て求め る。
ラ グ ラン ジェ 乗 数 レ を 用い て上 記の問題 を次の付 帯 条 件な しの最 小 値 問 題に変換す る と次の よ う に な る。 W＝
W （dw ，
dw ，
DD 十り［PδIEI
．，（d
，」〉，
ElbO
（do
”〉， Elc（D，）｝−
Pδ］→
min．
・
・
……・
・
……・
………・
（14 ） （14）式が停 留 値 を もつ た めの必 要 条 件は次 式と な る。
∂W
／∂dw ニ
∂w ／∂do4；
∂w ／∂D産＝
o ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（15） （15）式の各 項を求め， こ れを 上は り， 下は り お よ び柱 の曲 率 分 布 Kb、（x ），
K，，（x），
Kc（y） を用いて表す と次 式と なる。危
一鍔謬
∬
臨 （x）｝・dx ……・
・
……
（16・
・）一
畿
紳
… 轍…………
… 6…一
藷
∬
1
跏 ド・〃………・
・
一 ……
（16・
c） （16・
a）一
（16・
c） 式 よりス パ ン方 向に お け る設計変数間 の関係が次のよ うに求 まる。
dw ；
（1丿／11）du’
・
一…
一・
・
・
・
・
…
け
（17・
a） ノ＝1，・
凾
・
， ndo
”＝
＝
（lj
／l
，）〔lo，
i…
t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（17・
b
） ノ＝1
，…
， nD
、＝D
、………・
一 …
（17・
c）h ＝1，…．
n＋1
（17・
a｝一
（17・
c）式よ り設 計 変 数の数は， 元の （3n＋1） 個からd1
、
1，
d
。，
1，
D
、の3
個に減 少す る。
こ れ に伴っ て，1
，、，
漏，lc
は次のよ うにな る。
Ibl＝
（φb
匹d
乳1／12
α）Σ（1
，／11
） 2・
・
…・
…・
……
（18・
a） k＝
±
1 nI
』。＝
（φbod
融u／12
β）Σ（哉〆1
，） 2…・
・
…・
……
（18・
b
） k＝
11c＝
（n十1
）DY24 ・
一
一
・
・
t−・
・
t−・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
・
・
…
（18匿
c） 以 上 示され た結果およ び 図一
3に示す節点 番号， 節点 回転 角 θ， 層 間部材 角R
を用いる と結 局は， 未 知 量le
，，
e，
，Ri
とId
、
．
、
，
d
叩，
D 、
1
と を，
節 点回 りのつ り合式2
個，
層方程式 1 個お よび （16・
a）一
（16・
c）式に示し た最適性 条件式3
個の計6
個の条件式に よ り決定す ればよい こ と に な る。
た わ み 角 公 式に よ る 力の つ り合式Mt
！＝
6EI ，，畠／1
，・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
一
・
・
・
…
（19・
a）M
“＝6EI
，08，／11・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（19・
b
）Mtt
十M
，4≡ O・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
一
・
・
・
・
・
・
・
…
（19。
c）M
．』十M
“＝
Ot−・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（19・
d
） を用い て材 端曲率K
を求め る と次 式と な る。
Kn
； 6a
／l
，・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
−t・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（20・
a）K
‘s＝
＝6
θVl
，・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t・
tttt
・
（20・
b）K
，，＝− Mt
！／Elc…・
…・
……一 一 ……・
一
（20・
c）K
“＝−
M，e／E」艶・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（20・
d
） （20）式の材 端 曲 率 より定 義 される曲 率 分 布お よ び （17）， （18） 式 を （16）式に代入 し，
式 を 基 準ス パ ン1
、にお け るdin
，do
，
i，D
，につ い て整 理す ると次 式と な る。
k
−
3φdL
・θi
／ViT
ll……・
一 …………・
（21・
・）＝
3
φd
義壼θ著／げ
淵・
・
・
・
・
・
…
s・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
21・
b
）＝Di
（Kl
，− K14K
“＋Kl
、）／18・
・
…・
…・
…
（21・
c＞ （21・
a＞＝ （21・
b
）式 よ り節点回 転 角につ い て次の関 係が 得ら れ る。
气／
β
「d1、
，a
＝ や〆1
≡一
〔io，
1θL ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（22） （
22
＞式を図一
3にお け る力のつ り合 式 Mt2＋M．s＝
Ph／2
に代入 する と節点回転 角 畠，
e，が次の よ うに求まる。
畠
＝
帳 B／〔Eφd，．
，A）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
−t・
…
（23
・
a＞e，
：
＝
・
fB
B
／（EiPdolA
）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
23・
b
） こ こ に，
A一
Σ （1
．／1
且） 2 k＝
1B ＝
毛／i
『
万
7P 九‘1／（毛！万
『bldi．
1十毛／7
bod
：，
］）el
，e
，お よびIc
を 用い て層方程 式 より層 間 部 材 角 R一
19
−一
．
を求め
，
（ll）式を考 慮す ると次式とな る。R ＝R ＝B
（砺 ／d1，
1十妃歹／do．
1）／（2E φA
》 十Ph
！ ／（n 十1）EDI ………・
・
………・
（24
） こ こ に，
R ：指 定 層 間変位δ に対 応す る層 間部材角 次に，
傷，
θ一を用い て （20・
c），
（20・
d
）式 よりK
“，
K
，、を 求 め，
これを （21・
c）式に代 入し，
（21・
a＞＝
（21・
c） 式と お くことによ り次 式が得ら れ る。
3
（n 十1）2ψ禰
一
1♪，ロ
8φ42（β惚
b萋d言a一
輙
一
bidiabodSa
→−
aVZIb
言dS，
，）・
・
・
・
・
…
（25） ま た
，
柱 端モー
メ ン トM14，
M 、，は，
た わ み角 公 式よ り次の よ うに な る。
M
，，＝2Elc
（2
e，十θ1− 3R
）〆h
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（26・
a） M“ ＝ ＝2Elc（a
十2θ乢一3R
）／h・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（26・
b
） 両 式の差 を求めt これに M，、＝−
M、2， M、，＝−
M4sお よび 畠，e
、 を代 入 す る と次 式 が得られる。
（n＋
1
）D
｛Z
、輙
（Vi
．
d
。，
1一
禰 d
、，
1｝＝
6
φd
，、
，d
，，
，hA
（毛
／7
b
，d
：，
，−
YRBi
bid7n
｝・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（27
） 以 上 ま と め る と，
一
般 階集約層 サブフ レー
ム の最 小 重 量 設 計 解は， （24 ）， （25 ＞， （27 ）式で示し た最適条件式 を解くこ と に よ りd
，、
、，d
。，
】，
D
、を求め，
これを （17・
a）〜
（17・
c） 式に代入す ること に よ り求ま る。
ところで， こ の最適 条件式を実 際の骨組に適用す る場合， は り幅に つ い て次に示す 二つ の場合が考え ら れ る た め，
そ れ ぞ れ の場 合につ い て最適条 件式 を 示 す。
1）bilb
。の場 合 （24），
（25 ），
（27
）式を満 足 する解を求め る。 2 ） b1＝
わ。＝b
の 場 合 （27 ）式よ り次 の2式が得ら れる。駈≡
−
do，
，＝晦 d
，，
1・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
28
）（n十1）D歪11
輙
『＝
6iPbdindoahA （栃de，
i十
砺
「dl
．
1）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
7・
・
：・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
29
） よっ て，bi
；b
。＝b
の場 合は，
（28）式に関 係す る場 合 （Case
1）と （29） 式に関 係す る場 合 （Case 2 ）の 二つ に分 けて解 を 求 め，
最 小の重量 を与え る解を最適解 とす る。
イ）Case
1の場 合 （28）式 を （24），
（25） 式に代入 す る と次 式と な る。 3（n十let
a振 Df＝8iPA2b2dt
．
，・
・
・
・
…
t・
・
・
・
・
・
…
（30 ）互一
｛
許
［
2 鹹αli
，
h
，A
＋ （。＋1）Dt
］
・
・
…・
…一
（31） 最適解は，
（30
），
（31
）式を解いて，d
、．
1，DI
を求め， これ を （28
）式に代入 し てd
。，
、を求め ることに よ り定ま る。
ま た，
こ の場合，
節 点回転 角，
節 点モー
メ ン トお よ び上は り と下は りの断 面 2次モー
メ ン、
トにつ い て次の関 係 が得ら れ る。
畠＝e4＝
aPhl ，X
（2E φbd
；．
1、
4
）…・
………・
（32
） 1』尸 」凶…・
…・
……・
t．
一
……・
…・
…・
…・
…・
……・
（33＞一
20
一
MtS
＝M43
＝− M 皇
4＝− M
“＝ P九／4・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（34） ロ ）Case
2の場 合 （24），（25）， （29 ）式 を解くことに よ り最適解を求め る。
一
般 的な骨 組につ いて は， 通常
，
イ）の場合の解が最 小の重 量を与え る。
し た が っ て，以 下の解析におい て は，b
，＝b
。の場 合は， （30
）， （31
）式よ り解を求め る も の と す る。
．
以上， 示され た一
般 階集約層サ ブフ レー
ム に関す る最 適 条件式よ り次の よ う な結論が導か れ る。
（1） 最適設計さ れ た 骨 組の上 は り，
下 は り お よ び 柱 せ い は， そ れ ぞ れ部材長さに関し て比例関係に あ る。 （2
）b
、；b
。の場合，
上は り お よ び下は り の曲げ剛 性 な らび に節点回 転角は等し く な り，
柱の反 曲 点は中央 に ある。一
方，b
，キb
。の場 合は， こ れ ら の関 係は成 立 し ない。
次に，
集 約 層サブフ レー
ム に関し て得られた上記の最 適 解の基 本 的 性 質を用い て，
図一
2．
d
に示し た層サブフ レー
ム におい て，
より詳 細な最適化 問題の定式 化が可 能 か どうか検 討す る。 層サ ブフ レー
ム に おい て比較 的 簡 単に定 式化がで き る 骨 組は，
後の 2．
2．
5で述べ る は り幅が全 層におい て等 し く かつ 均 等ス パ ン長をもつ 骨組で あ る。 ス パ ン長の異な る骨 組や はり幅の異な る骨 組につ い ては，
最適化に おい て必 要と なる節 点 回 転 角や層 間 変 位の厳 密な算 定 式が，
前に示し た集 約 層サブフ レー
ム にお ける算定式と 比較し て， 設 計 変 数に関し て より高 次の多 項 式と な り取り扱い 上 実 用 的でない。 したがっ て，
これらの骨 組につ い ては，
2．
2．
2で述べ た よ うに集 約ラー
メ ン につ い て最 適 解を求 め， こ れ を 多層ス パ ン骨 組の最 適 解と する。
2．
2．
4 集 約ラー
メ ン に よる層 間 変 位 制 限を受け る骨 組の最 小 重 量 設 計 こ こ で は， 次の 二つ の場 合に分け て解 析 手 法を示す。i
） は り幅が全 層で等し い骨 組の設 計b
‘＝b
（i＝
1，…、
N ＞である骨 組の最 小 重 量 設 計は，
（17 ）式の関 係を用い て次に示す最適化 問題 を設 定し以 下の要 領で行 うこと がで き る。 層 間変 位 条 件 Rt＝ Rt （指 定値 ）・
・
……・
…・
……
（35） の下 に 髑 轤w
’
一
・［
聾
・始
鵜・（n＋
1
）・副 ］
・
……・
…・
・
（・6
） を 最 小にするd
、、
1，D
，、
‘を求 め よ。 こ こ で，
集 約 層サブフ レー
ム を重ね合わ せ た集 約ラー
メ ンの 最適解を求め る場 合，
重ね合わ せ が成 立す る た め に は集約層 サ ブフ レー
ム間の変 形の適 合 条 件が満 足さ れ ね ばな らない。 こ の う ち層 間 部 材 角はすで に （35）式で 指 定さ れ てし．
、る た め，
変 形の適 合 条 件 を満足 す る た め に は，
2，
2．
3に示し た結 論2）に よ り，
集 約ラー
メ ン の 各層において， 節点回転角
e
，に は次の関 係 が 成 立せ ねば なら ない。
θ』＝ θ
．
．
，
．
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
…
（
37
）i＝1
，…
，ハ厂 上記の問 題の解は， （37 ）式の関係を用い て
一
般 階お よ び最 下 階に お ける各 層の は りせ いdL，
お よ び柱せいDl，
tを最上階にお け るは り せ い dN，の関 数と し て表し，
これ を （36
）式に代 入し て重 量 関数W
をdN，
1 のみ の関 数に書き あ ら た め，
こ の W （dNn｝ を 最 小にする 砥、
を 求め るこ とによ り得ら れ る。 まず， 各 層の は りせ いdt
］ をdN，
、の関 数と して求 める と次の よ うにな る。
集約層サブフ レー
ム の一
般 階お よ び最 上 階にお け る は り端モー
メ ン トMbt，
MbN は， （34）式よ り次式と な る。M
，‘
＝ 6EJ 』1，
‘θ／ム＝ P‘h
‘ノ4・
・
…
一・
…
『
・
・
・
・
…
（38・
a）Mor− 6Elb
，rvθ／1
】＝ ：P
κh
．／4・
・
・
・
・
…
一
一
・
・
・
…
一
（38・
b
）（38
・
a）， （38・
b
＞式よ り次 式 が得ら れる。「
Ibl
、
1＝
（P
‘九‘／PNhN）lb，．
．・
…………
（39）i＝
2，
…，
2V集 約ラ
ー
メ ン の は り断 面2
次モー
メ ン トIbl
、は （7 ） 式で示さ れる はり曲 げ剛性分 割の定 義よ り次 式と な る、 Iqi＝
lbl，
‘十亅 「 》o，
‘＋1＝lbl
，
‘十1』L‘＋ 】・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（40
） （39），
（40） 式よ りdta
は次式で表される。
d
，，
［ニ
3P ‘ん‘十P
‘＋lhi ＋1 ／P押煽dM
，…・
・
……・
（41）i
＝ 2 ，…
，N
（ただしP
”＋1＝
0 ） 各 層の層 方程 式R
尸 θ十Pthi
／（n十1）El）1
，
i・
…・
………・
…・
…
（42） に （32）式よ り得ら れ る θ＝P
．h
，t
，／（2E φbd
漏4）を代 入してDl，
tを求め る と次式と な る。D
、．
、一
・2
φδd
歳1翠
A
・
・
rr
（43 ） （n−
←1
｝（2E
φbd
廴，R
‘A − P
配h
掃11
） 同 様に して最 下 階に お ける は りせ い お よび柱せ い dl，
1，
D
、，
、を求めると次 式 となる。
P。一
・4φδ
d
逼
齟・
…
（44 ） （n 十1）（4五：φbd
葦」且R
卩A−
P．h
．1
，）d
・，
・一・
：P
盖
．［
PI
ん1（3E
φbdk
，
，Ri
∠4− P
．んNll）3
（4E
φbd
瀛R
μ4− P
液酎♂1）・
・梺
］
・ 。…・
…・
一 ・
・
…・
・
一 …・
（45
） 最 小 重 量 設 計 解は，
以 上 求め ら れ たdu ，
Dl，
tを （36
） 式に代入 し， ∂W
’
（d
．，〉／∂dza
，・＝O
を解くこ と に よ りW
を最小にするdM
，を求め，こ れ を〔41 ），（43 ）， （44 ），（45 ） 式に代入 する こ と に よ り求め られ る。
基 準ス パ ン 1，以 外の部 材せ い は次 式よ り算 定する。
d
・・一
（1
・／l
・）d
・1……・
………一 ……・
（46・
・）k ＝2
，…
，nD
尾‘＝Dl，
‘・
…
’
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（46
・
b
）k
＝2，…，
n十1設計解に対 応 するモ
ー
メ ン ト分布は，
得ら れ た解を図一
2．
a の設 計 骨組に適用し構 造 解 析 より求め る。
こ こで，dN，
1は次の条 件 を 満 足せ ね ば な ら ない。
2E φbd
姦且R‘A−
P．h．1，＞0 ………・
…
（47・
a） ‘；2
，…，
ノV3Edibdft
，
，R
，A − P
彈h
揮1
，＞O−・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（47
・
b
）図
一
4に ∂W
／∂dza
，の値を模式的に示す。
図一
4 よ り，
解は 1根し か存 在せず， 得 ら れ た解は集 約ラー
メンに関 す る全 域 的な解 とな る。
n
） は り幅 が 数 層ご とに異なる骨 組の設 計最 小 重 量設計 問題は
i
）と同 様 とす る。
は り幅が異な る骨 組につ いて は， 次に示 す上 層 より下層に向っ て行う 繰り返し計 算手順に より，
各 層ごとに集約 層サ ブフ レー
ム の最適解の基 本 的 性 質お よび集約層サブフ レー
ム間の 変形の適合 条件を考慮して部 分 最 適 解 を求め，
こ れ を重 ね合わ せ ることに より集 約ラー
メ ンの最 適 解を求め，
こ れ を多層 多スパ ン骨 組の最 適 解とする。1
＞層せ ん断力P
‘，
層 間 部 材 角R
‘を既 知 とし， 各 層 集約層サブフ レー
ム の上 はりおよび下は りの曲 げ 剛性分 割比の初期 値α？｝，
Bll
°1を （9）式の関 係に従っ て適当に 与え る。
2
＞ 最上階集約層サブフ レー
ム の最 適 解を求め る。
こ の時，bl．
N＝b
。，
N ならば，
（30＞，
（31）式よ り，b
，，
．lb
。，
N な らば （24
），
（25
），
（29）式 より解 を求め る。
ま た，
こ の解を用い て 萌．
N，
e4，
N，
Ibl，
N，
Ib。．
N を算 定す る。
、
3
）i
層 集 約 層 サブフ レー
ム の最 適解を求め る。i
層 お よび ｛i
＋1
）層 集 約 層 サ ブフ レー
ム間の変形の適合条 件より，i
層 集 約 層 サブフ レー
ム上は りの節点回転 角 昌，
‘に次の関 係が成 立せ ね ばな ら ない。
畠．
t＝
θ4，
i＋1・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（48 ） こ こ に，
θ、，
s．
1 は直 上 階 下は りの節点回転 角で あり既 知の 値で ある。 2．
2．
3で得ら れ た結果を用い て次の二っ の場 合に分 けて解 を求め る。
イ）
bi．
t；bo．
‘＝
bの時 こ の時 は．
θ1，
‘＝e
，．
‘＝e
，．
‘＋1・
・
・
・
・
・
…
．
一・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
，
・
・
（49
） と な る。
（49）式およ びi
層の層方程 式よ り D、．
sを 求 め る と次 式とな る。
D
，，
1＝
Plh
羣／｛（n十1
）E
（R
‘一
畠，
‘）1
−……・
………
（50
）上 は り および下は りの は り せい
du 、
t，
d
。，
1，
iは，
（34） 式の関係 を用い て次式を解くこ とにより求 まる。
図一
4 ∂W ／∂dM，のグ ラフ 図「 5 ∂Wノ∂θ，のグ ラフ・
一一
21
一
EiPbdf，
，、
，θ1，
‘／211at＝
P，h
‘／4・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
・
…
（51
・
a）E
φbdo，
1，
‘e，．
‘／21，B
，＝P
‘hl
〆4・
・
………
（51・
b
） ロ）b
、，
‘キb
。ltの時 この時は，
（48）式より 畠．
‘のみ が既 知 とな り，
e4，
s は 未知と な る。
こ の ため．
次の要 領で最適 解を求め る。
以 下，
層 を示す添 字i
は省 略す る。 こ の場 合の最 適 化 問題は次 のよ う に な る。
R ＝
＝R
お よびa ＝
θ、………
（52 ） の下に 睡 罫一
・［
牆
龕
・・謡
脅
・・（n＋1）・：
h
］
……・
…・
・
……・
・
…
（・3 ） を最小にす るd
，．
1，do，
i， D、を求め よ。
こ の問題 を解く た めに，2
．
2．
4，
i
）の場合と同様， dl，
1， d。，
、，
D1 をR ，
θ、，
θ，の関 数と し て表す。
層方程式 より D、は次 式の よ うに求 まる。
2
塾
2−
．
＿＿ ＿＿．
，
．
（54 ）D
，＝
1 （n十1）E
（2R 一
θ1−
e，）節点方程式 瓢2＋MH ＝ 0お よび
Mi3
＋M．≡
O にた わ み 角 公式を 適 用 し， （18・
a）一
（18・
c）式を考慮 する とd
，，
、，
doo
は次式と な る。
（3R
望
θ・4
）學
α……．
．
．
．
…
（55 ）dl
，
t＝
33E φ
b
，e
，A
（2R 一
θ1一
麟）（
3R 一
θ一墾
）4fh
！11
・β＿＿．
．
＿
（56 ＞dE．
t＝
33E
φbo
砧44L（2 R一
θ童一
θ齟｝ 最 適解は，
（54
）一
（56
） 式 を （53） 式に代 入 し てW
を 万，瓦，
θ［の 関数と して書きあら ため，R ，
θ，が既 知 よ り∂W
（R
， θ、， の ／∂e，＝
o とな る e，を求め るこ と に より決定さ れ る。
こ の時， e，は次の 条 件を満 足さ せ ねばな らない。0
〈e
邑く（3R一
θ1｝／2・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（57） ところで ∂W
／∂e
，の値を模 式 的に示した図一
5より明 らか の ように，
∂W
／∂e，
＝ 0を満す e，の値は 2根 存在す る。
した がっ て，
最 適解は， こ れ ら二 つ の e，の う ち最 小の重量を与え るe
，か ら算定 さ れ た値 とな る。4 ＞ 最 下 階 集 約 層サプフ レ
ー
ム の解を求め る。
最下階 にお ける節 点 方 程 式および層 方 程 式な ら び に直上階との 変形の適合条件よ りd
，、
、．
、，D
、．
T は次の よ うにな る。
2P
・窶
＿＿．
＿＿＿．
＿
（，8）D1
，
1＝
＝
6 （n十1）E
（2R ，− e
，，
1）（3
R
，− 2
a
・
，〕塾
‘1α ・＿．
．
．
＿＿
（59｝d
，，
，，
，＝
・
i
3E φ〜）ianA （2R
，一
θL．
1｝ 5）収束の 判 定を次 式で行う。
収 束の判 定は，
集 約 層 サブフ レー
ム のは り せいにつ いて行う。id
，，
1，
t− do，
i，
t＋ti〈ε・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
60
）i＝
1，
…，N − 1
一
22
一
こ こ に， εは適 当に選ん だ 正 の数で あ る
。
6） 収 束 条 件を満足 し ない場合は， 次 式に より次ス テッ プの た めの分 割 比αノ鋤 を求め， 2）に戻 り計 算を 繰り返 す
。
α曾＋1，
≡
（’堺，
‘十’黠，
t＋
1）／’留，
ボ・
・
一
一
・
一・
−4−一・
・
一
一
・
・
…
（61 ＞ モ
ー
メ ン ト分 布算定は，i
）の場 合と同様であ る。
2．
2．
5 層 サ ブフ レー
ム に よ る層 間 変 位 制 限を受け る 骨 組の最 小重 量 設計こ こでは
b
‘＝b
（i＝1，…，
ハ1
），1
，＝
‘（ノ雷
1，…，
n） で あ る骨 組の設 計 をR
‘＝R
‘な る制 約条 件の もと に2．
2．
2で示した方 法に従い行う。
以下， スパ ン数に応じ て そ れ ぞ れ述べ る。 イ）2スパ ン骨組図
一
6に， 2ス パ ン骨 組一
般階層 サ ブフ レー
ム の曲げ 剛性 分布およ び節 点 回 転 角を示す。2．
2．
3に示し た結 論，
（1 ），
（2） より均 等ス パ ン骨組の場 合は， IbW，
t＝
1
』i，
1
，。」，
尸 堀， IcJ，
i＝
lc．
’お よ びIb1
ニlbO
と な る。
こ の関係を用いて， た わ み角 法により
