箱 玉 系の数 理
時弘 哲治(東 京大 学 ・大学院数理科学研 究科)
1 初 め に
箱 玉 系 とは,箱 か ら箱 へ 玉 を移 動 させ る一 種 の ゲ ー ム と して 実 現 さ れ る セ ル オ ー トマ トン 系 で あ り,(i)ソ リ トン解 を も つ,(ii)十 分 に た く さ ん の 保 存 量 を もつ,(iii)初 期 値 問題 が解 け る,な ど,ソ リ トン方 程 式 に良 く似 た 性 質 を持 って い る.ま た,(iv)ソ リ トン の散 乱 がYang-Baxter関 係 式 を満 た す,(v)状 態 空 間 を あ る量 子 代 数 のq→0で の表 現(crystal),時 間発 展 規 則 を表 現 のintertwiner で 記 述 で き る,な ど,組 み合 せ 論 的 な 性 質 も持 つ.つ ま り,箱 玉 系 は ソ リ トン方 程 式 に 代 表 さ れ る 古 典非 線 形 可積 分 系 と,可 解 格 子 模 型 に代 表 され る 量 子 非 線 形 可積 分 系 の架 け 橋 とな る 系(両 方 の 共 通 の極 限 系)で あ り,そ の 数 理 構 造 を明 ら か に す る こ とに よ っ て,無 限 次 元 可 積 分 系 に 対 す る 深 い 理 解 が 得 られ る と考 え ら れ る. 本講 演 で は,(1)KdV方 程 式 お よび 戸 田方 程 式 か ら箱 玉 系 を構 成 す る超 離 散 化 と呼 ばれ る手 法,(2)箱 玉 系 の 組 合 せ 論 ・整 数論 的側 面(リ ーマ ン予 想 との 関 係), 幾 何 学 的 側 面(ヤ コ ビ多 様 体 との 関 係),代 数 的 側 面(ク リス タ ル 理 論,ベ ー テ 仮 設方 程 式 との 関 係)に つ い て,非 専 門 分 野 の 方 や 学 生 の方 々 を対 象 にで き るだ け わ か りや す く解 説 した い.こ の 稿 で は,紙 面 も限 られ て い るの で,箱 玉 系 が 超 離 散化 の 手 法 に よ っ て導 出 され る 点 を具 体 的 な 計 算 と と も に紹 介 す る こ と に重 点 を 置 き,箱 玉 系 に 関 す る諸 定 理 を 結 果 の み 示 す こ と にす る.興 味 を持 た れ た 方 は 末 尾 の 文 献 を参 考 に して い た だ け れ ば幸 い で あ る.2 箱 玉系 とその運 動方 程 式
セ ル オ ー トマ トン(cellular automaton, CA)は,有 限 個 の 状 態 を 取 り う る セ ル か ら 構 成 さ れ,高 々 可 算 個 の 状 態 を 遷 移 す る 離 散 力 学 系 で あ る[1].1970年 代 に 爆 発 的 に 流 行 し た コ ン ウ ェ イ(Conway)の ラ イ フ ・ゲ ー ム(game of life)に 代 表 さ れ る よ う に,系 の 構 成 要 素 ・時 間 発 展 規 則 と も に ご く 単 純 で あ る に も か か わ ら ず,CAは 非 常 に 複 雑 な 時 間 発 展 パ タ ー ン を 持 つ.そ の た め,生 物 に お け る 形 態 生 成 や 交 通 渋 滞 な ど の 複 雑 な 自 然 ・社 会 現 象 の,特 に 数 値 的 に 扱 い や す い モ デ ル と し て 研 究 さ れ て き た. 箱 玉 系 は1990年 にTakahashi-Satsumaに よ っ て 提 案 さ れ た ブ イ ル タ ー 型 セ ル オ ー トマ ト ン1を,箱 か ら 箱 へ 移 動 す る 玉 の 力 学 系 と し て 表 現 した も の で あ る[2]. 1時間 発展 の規則 が局所 的で ない ので,フ ィルター型と呼ばれる.
箱 玉 系 を 構 成 す る の は,1列 に 並 ん だ 同 じ大 き さ の 箱 と,そ の 箱 に ち ょ う ど1個 だ け 入 る 同 じ種 類 の 玉 で あ る[3,4].便 宜 上,箱 は 無 限 個 存 在 す る も の と し,左 か ら右 に1列 に 並 ん で お り,各 箱 に は 並 び 順 に 整 数 で 番 号 が 付 い て い る も の と す る.こ れ らの 箱 に 有 限 個 の 玉 を い れ た 配 置 を 箱 玉 系 の 状 態 と 呼 ぶ こ と に す る.箱 玉 系 の 状 態 は,離 散 的 な 時 間 ス テ ッ プ で 次 々 と 変 化 す る も の と し,初 期 状 態 を 時 刻0の 状 態 と呼 び,以 降1,2,3,… と 自 然 数 で 状 態 の 時 刻 を 指 定 す る も の と す る.こ の と き,任 意 の 時 刻tの 状 態 か ら 次 の 時 刻t＋1の 状 態 は 以 下 の 規 則 に よ っ て 構 成 さ れ る2. 1.玉 の コ ピ ー を つ く る 2.コ ピ ー の 中 の1つ を 最 も 近 い 右 の 空 箱 に 移 動 さ せ る 3.残 り の コ ピ ー の 中 の1つ を 最 も 近 い 右 の 空 箱 に 移 動 さ せ る 4.す べ て の コ ピ ー を 移 動 さ せ る ま で3.の 操 作 を 繰 り返 す 5.も と の 玉 を 消 去 す る と,1時 間 ス テ ッ プ 進 ん だ も の と す る 時 間 発 展 の 一 例 を 図1に 示 し て い る. 図1:箱 玉 系 の 時 間 発 展 の 一 例 図1か ら推 察 さ れ る よ う に,箱 玉 系 で は(1)玉 の 列 の 速 度 は そ の 長 さ に 比 例 す る.(2)2つ の 玉 の 列 は 衝 突 の 前 後 で そ の 長 さ を 変 化 さ せ な い が,各 玉 の 列 の 位 置 は 衝 突 の な い 場 合 に 比 べ て シ フ トす る.こ の ふ る ま い はKdV方 程 式 の ソ リ ト ン に 良 く 似 て い る.実 際,連 な っ た 玉 の 列 を そ の 長 さ と 同 じ 振 幅 を 持 つKdV方 程 式 の ソ リ トン に 対 応 さ せ る と,(1)速 度 が 振 幅 に 比 例 す る こ と,(2)散 乱 の 前 後 で ソ リ ト ン の 大 き さ は 変 化 しな い が 位 相 は 変 化 す る こ と,は ま っ た く 同 じで あ る. そ こで,連 続 した 玉 の 列 を 「ソ リ トン 」 と 呼 び,そ の 玉 の 列 の 長 さ を 「ソ リ ト ン の 振 幅 」 と 呼 ぶ こ と に す る. 2これ は もとも とのTakahashi -Satsumaの 時間発展規則を周期系にも適用できるように書き換 えた もので ある.最 終結 果は コ ピー を選ぶ 順序 に よ らな い ことに注意 す る
時 刻tに お け るn番 目の 箱 に あ る玉 の 数 をutn∈{0,1}と す る.箱 の 中 に玉 が 存在 す る の は,そ の 前 の 時 刻 に 空 き 箱 で あ り,か つ,そ の箱 の左 あ る 玉 の 総 数 が そ の 前 の 時刻 の 玉 の総 数 よ り も少 な い 場 合 に 限 られ る の で,箱 玉 系 の 時 間 発 展 の 規則 を次 の よ う に表 す ことが で き る.
(2.1)
こ の 規 則 は,utnが0ま た は1で あ る こ と に 注 意 し,常 に が成 り立 つ こ と を考 慮 す る と,(2.2)
と して もよ い.(2.2)が 箱 玉 系 の 運 動 方 程 式 で あ る. 3 箱 玉 系 の 保 存 量 N個 の 粒 子 か らな る 戸 田 方 程 式 は ち ょ う どN個 の 独 立 な 保 存 量 を 持 つ.こ れ に 対 応 し てN個 の ソ リ ト ン か ら 構 成 さ れ る 箱 玉 系 もN個 の 保 存 量 を 持 つ.保 存 量 を 求 め る 具 体 的 な ア ル ゴ リ ズ ム は,空 き 箱 を0,玉 の 入 っ て い る 箱 を1と 表 し,箱 玉 系 の 状 態 を1,0列 で 表 現 す る と 次 で 与 え ら れ る[5]. 1.1,0刻 に 存 在 す る10対 の 数 をp1と す る. 2.も と の1,0列 か ら10対 を 消 去 し 新 し い1,0列 を 作 る.そ の 列 の10対 の 数 をp2と す る. 3.以 上 の 操 作 を す べ て の1が 消 去 さ れ る ま で 続 け る. 4.こ の と きpi,pa,ps,… が 保 存 量 に な る. 特 にp1＝Nで あ る.た と え ば, (#) …00111011100100011110001101000000… に お い て は,p1＝6で あ り,こ れ か ら10対 を 消 去 し て …0011110001110010000… が 得 られ る の で,p2＝3,以 下 同 様 に し てp3＝2,p4＝2,p5＝1と な る.自 然 数 列p1p2… は 非 減 少 列 で あ る の で これ を ヤ ン グ 図 形 の 列 の 長 さ と 考 え る と,箱 玉図2:保 存 量 を 示 す ヤ ン グ 図形 系 の 保 存 量 を ヤ ン グ 図 形 で 表 す こ と が で き る.た と え ば,(#)に 対 応 す る ヤ ン グ 図 形 は 図3で あ る.こ う し て 得 ら れ た ヤ ン グ 図 形 の 行 の 長 さ を 順 にL1,L2,…,LN と す る と,こ れ も非 減 少 な 自 然 数 列 に な っ て い る.こ れ に つ い て 次 の 定 理 が 成 り 立 つ[6]. 定 理3.1 任 意 の 初 期 状 態 に 対 して,あ る 有 限 の 時 刻Tが 存 在 し,t≧Tで は,系 の 状 態 は 右 側 か ら ソ リ ト ン が 長 さ の 順 に 並 ん だ 状 態 に な り,L1,L2,… は そ の ソ リ トン の 長 さ を 順 に 並 べ た も の に 等 し い3. し た が っ て,任 意 の 初 期 状 態 が 与 え ら れ た と き,保 存 量 に 対 応 す る ヤ ン グ 図 形 を 求 め れ ば,最 終 的 に ど の よ う な ソ リ ト ン に 分 解 した 状 態 に な る か も わ か る こ と に な る.
4 箱 玉 系 と超離 散KdV方
程 式
KdV方 程 式:(4.1)
を連 続 極 限 で含 む 可 積 分 な 離 散 方 程 式 の ひ とつ に.(4.2)
が あ る[7].こ れ を を 離 散KdV方 程 式 と 呼 ぶ こ と に す る4.(4.3)
3こ の 状 態 で は 隣 り 合 う ソ リ ト ン の 間 隔 は 少 な く と も 小 さ い 方 の ソ リ ト ン の 振 幅 以 上 で あ る. 4た と え ば ,wtn＝1＋ λU(Δ(n-1/2)＋ η(t−1/2),ε(t−1/2))に よ っ て,従 属 変 数U(X,T) を 定 義 し,η ＝Δ/2δ＋1,δ＝ Δ −1,ε ＝(Δ/2)3,λ ＝3Δ2/4と お い て,(4.2)の Δ →0の 連 続 極 限 を 考 え れ ばKdV方 程 式UT＋6UUX＋UXXX＝0を 得 る.と お く と,σtnが
(4.4)
の 解 な ら ば(4.2)が 満 た さ れ る こ と が わ か る.(4.4)を 離 散KdV方 程 式 の 双 線 形 形 式 と呼 ぶ.KP階 層 の 一 般 理 論(佐 藤 理 論)か ら,(4.4)のNソ リ ト ン 解 は(4.5)
(4.6)
で あ る こ と が 導 か れ る.こ こ で,γi,pi(i＝1,2,…,N)はpi≠pj(i≠j)を 満 た す 任 意 の 複 素 数 で あ る.こ の 連 続 極 限 はKdV方 程 式(4.1)のNソ リ ト ン 解 を 与 え る. 一 般 に ,CAの 時 間 発 展 規 則 は 適 当 な 区 分 線 形 方 程 式 系 に よ っ て 記 述 で き る.事 実,箱 玉 系 の 運 動 方 程 式(2.2)も 区 分 線 形 方 程 式 で あ る.た だ し,(2.2)は 無 限 和 を 含 ん で い て 扱 い が や や 面 倒 で あ る.そ こ で,新 し い 変 数(4.7)
を 導 入 し,等 式 な ど に よ り,(2.2)式 を 書 き 換 え る と(4.8)
が 得 ら れ る.こ れ も 箱 玉 系 の 時 間 発 展 を 記 述 す る 区 分 線 形 方 程 式 で あ る. と こ ろ で,(4.8)を 離 散KdV方 程 式(4。4)と 比 較 す る と,と て も 良 く似 て い る. 実 は,(4.4)の パ ラ メ ー タ δ の 代 わ り に δ＝e-1/ε に よ っ て,新 し い パ ラ メ ー タ ε を 導 入 す る と, 「(4.4)の ε を パ ラ メ ー タ と す る 解 の 族σtn(ε)に 対 し て 次 の 極 限(4.9)
が 存 在 す る と き,そ の 極 限 を ρtnとお く と,ρtnは 区 分 線 形 方 程 式(4.8)の 解 に な る.」 こ と が,a,b∈Rと し て 成 り 立 つ 次 の 簡 単 な 等 式
(4.10)
(4.11)
を 用 い て 証 明 さ れ る[8,9].こ の よ う に,従 属 変 数 に 対 す る 極 限 操 作 に よ っ て(微 分 方 程 式 の 場 合 に は 独 立 変 数 の 離 散 化 も 含 め て)あ る 方 程 式 か ら 区 分 線 形 方 程 式 を構 成 す る こ と を,そ の 方 程 式 の 超 離 散 化(ultradiscretization)と 呼 び,こ の よ う に 構 成 さ れ た 区 分 線 形 方 程 式 を 超 離 散 方 程 式 と 呼 ん で い る5[10].(4.8)はKdV 方 程 式 を 超 離 散 化 し た も の で あ り,超 離 散KdV方 程 式 と 呼 ば れ る.得 ら れ た 区 分 線 形 方 程 式 が 離 散 値 に つ い て 閉 じて い る 場 合 に は,適 当 な 変 数 変 換 の も と にCA の 運 動 方 程 式 と み な す こ と も 可 能 に な る.CAで あ る 箱 玉 系 にKdV方 程 式 の 特 性 が 現 れ る の は,箱 玉 系 の 運 動 が 超 離 散KdV方 程 式 に よ っ て 記 述 さ れ る か ら で あ る. 離 散KdV方 程 式 のNソ リ ト ン 解(4.6)か ら 超 離 散KdV方 程 式(4.8)で 記 述 さ れ る 箱 玉 系 のNソ リ ト ン 解 を 得 る に はPi(i＝1,2,…,N)を 正 整 数,θi (i＝1,2,…,Nり を 任 意 の 整 数 と し て と お い て,ε → ＋0の 極 限 を と れ ば よ い6.た だ し,Niは εに 依 存 しな い 正 の 実 定 数 で あ り,条 件(4.12)
を満 たせ ば任 意 に 選 ん で よ い.そ の 結 果(4.13)
と な る.こ の と き,次 の 性 質 が 成 り 立 つ[11]. 定 理4.1 (4.13)は 箱 玉 系 のNソ リ ト ン解 を 与 え る.逆 に,箱 玉 系 の 任 意 のNソ リ トン 解 は(4.13)の 形 で 与 え られ る.特 に,{Pi}Ni ＝1＝{Li}Ni＝1で あ る.た だ しLiは 定 理 3.1で 用 い た 保 存 量 を 表 す ヤ ン グ 図 形 のi行 の 長 さ で あ る.5超 離 散 化 と い う言 葉 は パ リ第7大 学 のBasil Grammaticosの 命 名. 6超 離 散KdV方 程 式 の 解 で あ る た め に は ∀iP
5 周期箱 玉 系の基 本周 期
周 期 箱 玉 系 は 箱 玉 系 に 周 期 境 界 条 件 を与 え た 有 限 個 数 の 箱 と玉 か らな る 力学 系 で あ る.し た が って,有 限個 の 状 態 の み を と る可 逆 な 離 散 力学 系 で あ り,そ の 運 動 は 必 ず 周 期 運 動 にな る.そ の 周 期 は,初 期 状 態 に よ って 一 意 に定 ま る.そ の 最 小 の 周期 を与 え られ た初 期 状 態 に対 す る基 本 周 期 と呼 ぶ.箱 の数 をN,玉 の 数 を Mと す る と き,内 部 対 称 性 と呼 ば れ る 特 殊 な 対 称 性 が な い 場 合,基 本 周 期Tは 次 式 で 与 え られ る[6]. 定 理5.1(5.1)
た だ し7,初 期 状 態 か ら 構 成 さ れ る ヤ ン グ 図 形 の 相 異 な る 行 の 長 さ を 長 い 順 に L1,L2,…,Lsと し,長 さLjの 行 の 数 をnjと 書 い た と き,l0:＝N−2M＝ N− Σsj＝12njLj,N0:＝l0,Ls＋1:＝0,と し,(5.2)
(5.3)
ま た,基 本 周 期 分 布 の漸 近 的 な 性 質 に関 して次 の 定 理 が 成 り立 つ[12]. 定 理5.2M 1.ρ:＝M/Nと す る.基 本 周 期 の 最 大 値 Tmax(N;ρ)は の 範 囲 に あ る.た だ しA(ρ)は ρ に よ り 定 ま る 正 定 数 で あ る. 2.N,ρ を 定 め た と き,基 本 周 期TがT＞Tgen(N;ρ)と な る 確 率 はN→ ＋∞ に お い て0と な る.た だ し, し た が っ て,最 大 の 基 本 周 期 はTmax∼e√Nで あ る が,ほ と ん ど の 基 本 周 期 は NlogN以 下 に な る.位 相 空 間 の 体 積 は ∼eNで あ る の で,軌 道 は そ の ほ ん の 一 部 分 し か 通 ら ず,こ れ は 箱 玉 系 の 可 積 分 性 の 表 れ と 考 え られ る. 7L .C.M.(…)は(有 理数に拡張 した)最 小公倍数を表 し,a1,a2,b1,b2,… ∈Zに 対 して, で あ る.さ らに次 の 定 理 は 整 数 論 にお ける 未 解 決 問 題 で あ る リー マ ン予 想 との 関連 を示 して 興 味深 い[13]. 定 理5.3 保 存 量 が 準 三 角 的 な ヤ ン グ図 形 に対 応 す る周 期 箱 手 系 の 基本 周 期T(N;ρ)が を満 た す こ と と リー マ ン予 想 は等 価 で あ る. こ こで,準 三 角 的 ヤ ン グ 図形 と は,第1,2行 お よ び 最 後 の 長 さ1の 列 を除 いて,i 行 の長 さ がi-1行 の長 さ よ り1だ け短 い ヤ ング 図 形 を意 味 して いる. 最 後 に,ベ ー テ 仮 設 方 程 式 と箱 玉 系 の 関 係 に つ い て 次 の 定 理 が 成 り立 つ こ と を 紹 介 して この 節 を終 え る こ とに す る.M個 の 玉 とN個 の 箱 か らな る 箱 玉 系 の 状 態 の 中 で,そ の 保 存 量 が ヤ ン グ 図 形Yに よ っ て 特 徴 付 け られ る も の全 体 を ΩYM, Mの 分 割 に 対 応 す る ヤ ング 図 形Yに 応 じて,ス トリン グ 仮 説 か ら定 ま る 転 送 行 列 の固 有 ベ ク トル空 間 の絶 対 零 度 極 限 をVYMで 表 す と き次 の定 理 が 成 り立 つ[14]. 定 理5.4 ス トリ ング仮 説 の解 が ベ ー テ 仮 設 方 程 式 の 解 で あれ ば さ らに,ス トリ ン グ仮 説 の 解 か らベ ー テ 仮 設 方 程 式 の す べ て の解 が 得 られ れ ば
6 箱 玉系 の拡張,初 期値 問題,幾 何 学的側 面 な ど
紙 面 も 尽 き た の で,最 後 に2点,箱 玉 系 の 拡 張 と 初 期 値 問 題,に つ い て 簡 単 に 述 べ,文 献 を 挙 げ て お く 箱 玉 系 の 拡 張 は,Takahashiに よ っ て 玉 の 種 類 と 箱 の 容 量 の 自 由 度 が 加 え られ, ま た 運 搬 車 と呼 ば れ る 新 た な 自 由 度 も付 け 加 え られ た[15].こ れ ら は 可 解 格 子 模 型 の 絶 対 零 度 極 限 と い う 形 で 一 般 化 さ れ,ク リ ス タ ル(量 子 代 数 の 変 形 パ ラ メ ー タ q→0で の 良 い 表 現)を 用 い て 一 般 化 さ れ た 箱 玉 系 の 議 論 が な さ れ て い る[16,17]. Ysang-Baxter関 係 式 を 用 い て 可 積 分 な セ ル オ ー トマ ト ン を 構 成 す る 試 み は 箱 玉 系 はA型 の 量 子 代 数 に 対 応 す る が,B型,C型,あ る い は 例 外 型 の 量 子 代 数 に 対 応 す る 系 に つ い て も 議 論 さ れ て い る[18,19].こ の 分 野 の 最 新 のreferenceと し て[20]が あ る. 箱 玉 系 の 初 期 値 問 題 の 解 法 と し て,組 合 せ 論 を 用 い た 初 等 的 解 法[21],超 楕 円 曲 線(あ る い は 一 般 の 曲 線)に 付 随 す る ヤ コ ビ 多 様 体 上 の 線 形 系 を 利 用 す る 方 法[22,23],Kerov-Kirillov-Rechetikhin bijectionを 用 い て 線 形 化 す る 解 法[24]な どが あ る.ま た,ト ロ ピ カ ル 超 楕 円 曲 線 を衝 っ て 直 接 線 形 化 す る 方 法[25]な ど が あ る. 箱 玉 系 は 簡 単 な 力 学 系 で あ りな が ら豊 富 な 数 理 的 内 容 を 含 む 興 味 深 い 系 で あ る. 不 思 議 な こ と に,あ る 問 題 が ほ ぼ 理 解 で き た と 思 う と ま た 新 し い 側 面 が 現 わ れ, ま た 新 し い 展 望 が 開 け て く る.現 在 は 箱 玉 系 の 幾 何 学 的 側 面 に 関 す る 研 究 が 進 ん で い る よ う で あ る.箱 玉 系 を 通 じ て 完 全 に 離 散 的 な セ ル オ ー トマ トン の 世 界 に さ ま ざ ま な 数 理 構 造 を 持 ち 込 む こ と が で き れ ば と考 え て い る. 参 考 文 献 [1] 加 藤 恭 義 ・光 成 友 孝 ・築 山 洋 、 「セ ル オ ー トマ ト ン 法 」、 森 北 出 版(1998).
[2] D. Takahashi and J. Satsuma, On a Cellular Automaton, J. Phys. Sac. Jprn.
59, 3514(1990).
[3] D. Takahashi, On some soliton systems defined by box and balls, in:
Pro-ceedings of the International Symposium on Nonlinear Theory and Its
Ap-plications, NOLTA'93, 555(1991).
[4] 高 橋 大 輔 ・薩 摩 順 吉,“ 単 純 な ソ リ ト ン 系 を な す セ ル オ ー トマ トン に つ い て ” 日 本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌1,41(1991).
[5] M. Torii, D. Takahashi and J. Satsuma, Combinatorial representation of
invariants of a soliton cellular automaton, Physica D92, 209 (1996).
[6] D.Yoshihara, F.Yura and T.Tokihiro, Fundamental Cycle of a Periodic
Box-Ball System J. Phys. A : Math. Gen. 36, 99 (2003).
[7] R. Hirota and S. Tsujimoto,Conserved quantities of a class of nonlinear
difference-difference equations, J. Phys. Soc. Jpn. 64, 3125 (1995).
[8] T. Tokihiro, D. Takahashi, J. Matsukidaira and J. Satsuma, From soliton
equations to integrable cellular automata through a limiting procedure, Phys.
Rev. Lett. 76, 3247(1996).
[9] J. Matsukidaira, J. Satsuma, D. Takahashi, T. Tokihiro and M. Torii, Toda
type cellular automaton and its N-soliton solution, Phys. Lett. A 225,
287(1997).
[10] 広 田 良 吾 ・高 橋 大 輔,「 差 分 と 超 離 散 」,共 立 出 版(2003).
