研究室配属問題へのファジィ数理計画法の適用
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(2) 第58巻. 1は. 第3号. じ. め. に. 多 くの 大 学 あ る い は学 部 ・学 科 で は,学 生 が 上 位 学 年 に進 級 す る と ひ と り乃 至 複 数 人 の 教 員 か ら個 別 的 指 導 を受 け る こ と に よ り,専 門 性 の 高 い知 識 や 技 術 を 修 得 す るた めの 方 策 と して,一 般 的 に研 究 室 と呼 ばれ る組 織 へ 個 々の 学 生 を 割 り当て を 行 って い る。 一 人 ひ と りの 学 生 に と って は,自. らの 専 門 性 を どの 分 野 に お いて 高 めて い くか を 決 定 づ け る と い う. 意 味 に お いて,非 常 に重 要 な 問 題 で あ り,出 来 得 る限 り自 らの 希 望 を 叶 え た い と考 え る こ と は極 めて 自然 な 態 度 で あ る。 しか しな が ら,所 謂 研 究 室 に お いて は教 員 数 な どの 人 的 な 制 約 や 使 用 施 設 ・設 備 等 の 物 質 的 な 制 約 も あ り,す べ て の 学 生 の 希 望 を 満 た す た め無 制 限 に学 生 を受 け入 れ る こ と不 可 能 で あ る。 その た め,各 研 究 室 で はそ れ 独 自の 制 約 を 考 慮 し た受 け入 れ の 上 限 数 を設 定 す る場 合 が 多 い。 更 に,研 究 室 間 で 所 属 学 生 数 が 大 き く異 な る こ と を避 け る た め,受 け入 れ 下 限 数 を 設 定 す る場 合 も あ る。 この よ う に研 究 室 毎 に学 生 の 受 け入 れ 上 下 限 数 が 存 在 す る条 件 の 下 で,学 生 の 希 望 が 出来 得 る限 り叶 え られ る よ う に, 逆 に言 え ば,学 生 の 不 満 が 出来 得 る限 り小 さ くな る よ う に,個 々の 学 生 を 複 数 の 研 究 室 の う ち必 ず いず れ か 一 つ に割 り当て る問 題 を研 究 室 配 属 問 題 と呼 ぶ こ と にす る。 上 述 の よ う に多 くの 大 学 あ る い は学 部 ・学 科 に お いて 研 究 室 配 属 問 題 が 存 在 して い る。 その た め,多. くの 研 究 者 が この 問 題 に関 心 を 持 ち,さ ま ざ まな 研 究 が 行 わ れ て きた 。 例 え. ば,今 野 らに よ るケ ー ス ・ス タ デ ィ ー(1①(IDが あ る。 彼 らは数 理 計 画 法 を 適 用 す る こ と に よ り,こ の 問 題 の 解 法 を 与 え た。 今 野 らと 同様 に数 理 計 画 法 を 用 いた 研 究 と して はProllω な ど も あ る。 一 方,片. 岡 らに よ る,安 定 結 婚 問 題 の 概 念 を 一般 化 した 安 定 性 に基 づ く数 理. モ デル の 構 築 と その 数 理 的 性 質 の 導 出(7)一(9)が あ る。 この 一 連 の 研 究 はGale-Shapleyの. ア. ル ゴ リズ ム(2)を改 良,発 展 させ た もの で あ る。 片 岡 らの 研 究 同様 に新 た な アル ゴ リズ ムを 提 案 し,そ の シ ミュ レー シ ョ ンを 行 っ た研 究 に は早 川 らq)な どが あ る。 また,原. ら は遺 伝. 的 アル ゴ リズ ム を用 い た考 察(3)を行 って い る。 更 に ま た,理 論 的 観 点 よ りも実 践 的 な 観 点 を重 視 した研 究 と して は,堀 田(5)(6)や 八 木q礁,桑 野(③な ど もあ る。 これ らの 研 究 の 多 くは,今 野 らと 同様 に数 理 計 画 法 に基 づ くア プ ロー チ,及 び,片 岡 ら と 同様 に安 定 結 婚 問 題 に基 づ くア プ ロ ー チの2つ. に大 別 で き る。 数 理 計 画 法 に基 づ くア プ. ロ ー チで は,一 人 ひ と りの 学 生 が 配 属 され 得 る研 究 室 間 に選 好 関 係 を 持 ち,そ れ を 重 み と して 表 現 で き る と い う前 提 に立 つ 。 一一 方,安 定 結 婚 問 題 に基 づ くア プ ロー チで は,学 生 の もつ 選 好 順 序 だ け はな く,研 究 室 も学 生 間 に順 序 を つ けて い る と い う前 提 に立 って い る。 -46(596)一.
(3) 研究室配属問題への ファジィ数理計画法の適用(桑 野) 換 言 す れ ば,数 理 計 画 法 に基 づ くア プ ロー チで は その モ デル に学 生 の 選 好 構 造 しか 反 映 さ れ ず,安 定 結 婚 問 題 に基 づ くア プ ロ ー チで は,個 々の 研 究 室 が 一 般 的 に は研 究 室 よ りも よ り多 く存 在 して い る と仮 定 され る学 生 に順 序 を与 え る こ とが 必 要 とな る。 本 研 究 で は,上 記 の 問 題 点 を解 消 す る ひ とつ の 方 法 と して,数. 理 計 画 法 に基 づ くア プ. ロ ー チ を フ レー ム と し,個 々の 研 究 室 が 学 生 の 集 合 上 に選 好 関 係 を 与 え るの で はな く,研 究 室 は求 め る学 生 の 属 性 を 示 し,そ れ に よ り適 合 す る学 生 を 選 択 し得 る モデ ル の 提 案 を 行 う。 この モ デル で は,一 人 ひ と りの 学 生 が よ り望 ま しい研 究 室 に配 属 され,ま た,個. 々の. 研 究 室 は その 特 性 に よ り適 合 す る学 生 を 受 け入 れ る こ とが 可 能 とな る。. 2研. 究 室配属 問題. まず,数 理 計 画 法 に基 づ くア プ ロー チ に よ って 研 究 室 配 属 問 題 を 定 式 化 す る。 この 問 題 の 前 提 は,以 下 の よ うな 状 況 で あ る。. (i)研. 究 室 の 数 はm(>0)で. (ii)η(>0)人 ㈹. あ る。. の学 生 はす べ て いず れ か ひ とつ の研 究 室 に所 属 す る。. 各 研 究 室 で は 受 け 入 れ る 学 生 数 の 上 限 数 を 決 め て い る。 研 究 室L3の cフ(>0),ブ=1,2,_,η. (iv)各. に よ っ て 表 す 。*1. 々 の 学 生 θ4=1,2,...,mは. み ω承>0)を. 上 限数 を. 各 研 究 室 五フ,ブ=1,2,_,π. に 対 して,選. 好を表す重. 持 つ 。但 し,学 生 θ,が研 究 室 玩 よ り も研 究 室 窃 へ の 配 属 を 希 望 す る 場 合. に は ω,ゴ〉 ω、kとな る よ う に 重 み 付 け られ て い る と す る 。. これ らの条 件 を 満 た す モ デル を数 理 計 画 問 題 と して定 式 化 す る と, 以 下 の よ う に0-1 制 約 を持 つ 線 形 計 画 問 題 と して 表 現 され る(今 野 ⑩⑪ な ど)。 . れ. M・ximizeΣ. Σ ω沸 ゴ ②=1ゴ=1 . ・ubjectt・. Σ. 銑 、 ≦ ・、,ブ. ー1,2,…,η,. (1). ㌃1 Σ. 銑 ゴ ー1,歪. 一1,2,…,m,. コ=1 η3∈{o,1}.. *1よ. り一 般 的 な定 式 化 で は下 限 数 も与 え られ るが. 問 題 を 取 り扱 う。 -47(597)一. ,こ こで は 簡 単 の た め 上 限 数 の み が 与 え られ た.
(4) 第58巻. 第3号. 現 実 の 状 況 に 上 記 の モ デ ル を 適 用 す る 場 合 に は,個 れ る(今. 々 の 重 み ωη の 設 定 に 工 夫 が 求 あ ら. 野(1①(ll))が,こ こ で は そ の 点 に つ い て は 取 り扱 わ な い こ と と す る 。. 3研. 以 下 で は,フ. 究室配属問題の拡張. ァ ジ ネ ス を 導 入 す る こ と に よ り,式(1)に. よ って 与 え られ た モデ ル の 拡 張 を. 行 う。. 3.1属. 性 と属性 値. 数 理 計 画 法 に も とつ くア プ ロ ー チの 場 合,学 生 は研 究 室 間 に選 好 構 造 を 持 つ と して 定 式 化 され,安 定 結 婚 問 題 に基 づ くア プ ロ ー チの 場 合,学 生 の 選 好 構 造 に加 え,研 究 室 も学 生 間 に選 好 構 造 を持 つ と考 え た。 こ こで は,個 々の 研 究 室 の 学 生 に対 す る選 好 関 係 を 仮 定 せ ず,研 究 室 は それ ぞ れ の 特 性 に応 じて,学 生 に求 め る属 性 を 示 す もの とす る。. 例3.1あ. る研 究 室 賜 が配 属 さ れ る学 生 に対 して以 下 の3条 件. 鯨. 「プ ・グ ラ ミング ・ス キ ル が あ る」. 苛. 「コ ン ピ ゴ. タ操 作 が得 意 で あ る」. 鳶:「 数 学 が得 意 で あ る」 を満 た して 欲 しい と考 え る場 合,こ の3条 件 が 学 生 に求 め る属 性 とな る。 各 研 究 室 五戸. 一1,2,_,η. が 学 生 に 求 め る 属 性 をf号,考,...,fか. と す れ ば,全. 属 性 数pは. れ. P≦ Σ κ, ゴ=1. を 満 た す 。 簡 単 の た め,全 改 め て,研. て の 属 性 に 番 号 を 付 け 替 え,属. 究 室 毎 に 全 て の 属 性P1,P2,_,Ppに. 性 をP1,P2,_,Ppで. 表す。. 対 し,次 の 例 の よ う な 属 性 値 を 与 え る も. の とす る。. 例3.2(例3.1の. 続 き)。 研 究 室 五3が 配 属 さ れ る学 生 に 対 し て 以 下 の3条. 吟. 「プ ・グ ラ ミング ・ス キ ル が あ る」. 彦. 「コ ン ピ ゴ. タ操 作 が得 意 で あ る」. 鍔:「 数 学 が得 意 で あ る」 -48(598)一. 件.
(5) 研 究 室 配 属 問 題 へ の フ ァ ジ ィ数 理 計 画 法 の 適 用(桑 野). を満 た して 欲 しい と考 え て お り,別 の 研 究 室 玩 が ユ. 耽:「 英 語 が得 意 で あ る」 . 琉:「. オ ペ レー シ ョンズ ・リサ ー チ が得 意 で あ る」. を 満 た して 欲 し い と 考 え る と す る 。 他 の 研 究 室 も 上 記 の5つ と 考 え て い る と す る と,属 改 め て,以. 性 数p=5と. 下 の よ う に 研 究 室L3を. の い ず れ か を 満 た して 欲 し い. な る。 属 性P1,P2,_,P5及. び そ の 属 性 値 に よ って 特 徴 づ け. る。 p1:「. プ ロ グ ラ ミ ン グ ・ス キ ル が あ る 」 の 属 性 値 は 「当 て は ま る 」. p2:「. コ ン ピ ュ ー タ 操 作 が 得 意 で あ る 」 の 属 性 値 は 「当 て は ま る 」. p3:「 数 学 が 得 意 で あ る 」 の 属 性 値 は 「当 て は ま る 」 p4:「 英 語 が 得 意 で あ る 」 の 属 性 値 は 「関 係 せ ず 」 p5:「. オ ペ レ ー シ ョ ン ズ ・ リ サ ー チ が 得 意 で あ る 」 の 属 性 値 は 「関 係 せ ず 」. 同 様 に,研. 究 室 玩 は 以 下 の よ う に 特 徴 づ け られ る 。. p1:「. プ ロ グ ラ ミ ン グ ・ス キ ル が あ る 」 の 属 性 値 は 「関 係 せ ず 」. p2:「. コ ン ピ ュ ー タ 操 作 が 得 意 で あ る 」 の 属 性 値 は 「関 係 せ ず 」. p3:「 数 学 が 得 意 で あ る 」 の 属 性 値 は 「関 係 せ ず 」 p4:「 英 語 が 得 意 で あ る 」 の 属 性 値 は 「当 て は ま る 」 p5:「. オ ペ レ ー シ ョ ン ズ ・ リ サ ー チ が 得 意 で あ る 」 の 属 性 値 は 「当 て は ま る 」. これ らを定 式 化 す る た め に基 本 的 な 定 義 を 示 す 。. 定 義3.1(フ. μ λ:θ. ァ ジ ィ集 合,Zadehq8))且. が 集 合 θ上 の フ ァ ジ ィ集 合 で あ る と は,. 一一 〉[0,1]. に よ っ て 特 徴 づ け ら れ る と き を い う 。 ま た,こ. の 関 数 μλ を フ ァ ジ ィ集 合 孟 の メ ンバ ー シ ッ. プ関 数 と呼 ぶ 。 フ ァ ジ ィ 論 理 の 用 語 を 用 い る と,属 に 基 づ く命 題 の 真 理 値 が0,1の 間 は[0,1]で (Zadeh(19)と. あ る 。 更 に,フ 呼 ぶ)と. 性 戸1,戸2,_,馬. は フ ァ ジ ィ命 題 で あ る 。 古 典 論 理. い ず れ か に 限 ら れ る の に 対 し,フ. ァ ジ ィ 命 題 の 真 理 値 空 間[0,1]上. し て 属 性 値 は 与 え られ る 。. 一49(599)一. ァ ジ ィ命 題 の 真 理 値 空. の フ ァ ジ ィ集 合(言. 語変 数.
(6) 第58巻 例3.3(例3.2の. 第3号. 続 き)。 属 性 値 「当 て は ま る 」 及 び 属 性 値 「関 係 せ ず 」 は 真 理 値 空 間[0,1]. の フ ァ ジ ィ 集 合 で あ り,そ. 綱 一{爾. れ ぞ れ メ ンバ ー シ ッ プ 関 数%,レ6:[0,1]一. 密. →[0,1];. ≦1のとき. レ6@)-1. に よ っ て 特 徴 づ け られ る 。. 3.2フ. ァ ジ ィ化 さ れ た 研 究 室 及 び フ ァ ジ ィ化 さ れ た 学 生. こ れ ま で の 議 論 に よ っ て,研 た 。 そ こ で,次. 究 室 を 各 属 性 の 属 性 値 に よ り特 徴 づ け る こ と が 可 能 と な っ. の よ うな 定 義 を 与 え る。. 定 義3.2(フ. ァ ジ ィ 化 さ れ た 研 究 室 及 び フ ァ ジ ィ化 さ れ た 学 生)巧,1ろ,_,%を. 真理値. 空 間[0,1]上 に 定 義 さ れ た 属 性 値 と し,そ れ を 特 徴 づ け る メ ンバ ー シ ッ プ 関 数 を シ1,レ2,_,レq とす る。 こ の と き,研. 究 室 五戸=1,2,_,η. (巧・,%・,…,㌦)を. 同 一視 し,Z3と. の 属 性 戸1,戸2,...,馬 表 す 。 即 ち,研. に対 す る属 性 値 の リス ト. 究 室 五コをP次. 元 真 理 値 ベ ク トルZ3;. 五フ=(%1,レ32,…,巧P)(2). と 見 な し,窃. を フ ァ ジ ィ 化 さ れ た 研 究 室 と 呼 ぶ 。 同 様 に,メ. ンバ ー シ ップ関 数 で 表 す と き. には. μZμ)一(・. ゴ、@・),り 、(・・),…,・ ・。鰯). とす る。 同 様 に,以. 下 の 定 義 に よ り 学 生 θ,￠=1,2,...,皿. をP次. 元 真 理 値 ベ ク トル θゴと 見 な し,. フ ァジ ィ化 され た学 生 と呼 ぶ 。 以 下 で は,明. 示的 に. μ勾(卯)一(吃(・. ・),吃@・),…. 吃@・)),ブ. -50(600う. ー ・,2,…,η,(3). 一.
(7) 研 究 室 配 属 問 題 へ の フ ァ ジ ィ数 理 計 画 法 の 適 用(桑 野). μ誘(卯)一(嘘@・),峨@・),…,噛@。)),乞. と 書 く こ と も あ る 。 ま た,特. 一1,2,…,m④. に 混 乱 が な い 場 合 に は,フ. フ ァ ジ ィ 化 さ れ た 学 生 乱 を 単 に 研 究 室 五3,学. 3.3フ. ァジ ィ化 され た 研 究 室 窃 あ る い は. 生 属 と記 す こ と とす る。. ァ ジ ィ数理 計 画 問題 と して の 定式 化. 式(1)で用 い られ て い るパ ラ メ ー タc3(ブ=1,2,_,η)及. び ω、3σ=1,2,_,m;ブ=1,2,_,η). を以 下 の 意 味 の お いて フ ァ ジ ィ数 を 置 き換 え る。 ま ず,ら(ブ=1,2,_,π)で. あ る が,研. 究 室 の 受 け 入 れ 人 数 の 上 限 に つ い て は 「必 ず し も. 確 定 的 な 人 数 で は な く,cフ 以 下 で あ る こ と が 望 ま し い が,そ. れ を 超 え て 何 人 か を 受 け入 れ. る こ と も可 能 」 と い っ た 状 況 を 考 え る こ と が 自 然 で あ る 。 そ こ で 「だ い た いc3傷)」. 以下. で あ る こ とが 望 ま しい こ と を表 す た め に. Σ. 鞠. ≦ ち,ブ. ー1,2,…,η. z=1. の よ う に フ ァジ ィ数 馬 を 導 入 す る こ と とす る。 次 に,学. 生&が. 与 え た研 究 室 窃 の重 み 賜. し もな い の で,フ. 例3.4(例3.3の 例 え ば,重. で あ る が,こ. れ も ク リス プで あ る必 要 は必 ず. ァ ジ ィ 数 砥7で 表 す 。. 続 き)学. み を 「師(だ. 最 後 に,学 生&が. 生 が 各 研 究 室 に 与 え る 重 み は 区 間[0,100]上 の フ ァ ジ ィ数 で あ る 。 い た い80)点)」. の よ うに つ け て 良 い もの とす る。. 研 究 室 賜 の 必 要 とす る配 属 者 の 希望 像 に どの程 度 適 合 して い るか を 以. 下 の 可 能 性 測 度 に よ り評 価 す る 。. P・・(属≧Z・)一. 、.狸 ㌦. 、課. 凱.[。,、]mi・{峨(賜)吃(〃. ・)}. (5). な お,上 式 は 「学生 属 の 資質 が研 究 室Zコで 求 め られ て い る資 質 以上 で あ る可 能性 」 を 表 して い る。 これ まで の議 論 を踏 まえ,フ ァ ジ ィ化 され た研 究 室 配 属 問題 の前 提 を次 の よ うに定 め る。. (i)研. 究 室 の 数 はm(>0)で. あ る。 一51(601)一.
(8) 第58巻 (ii)η(>0)人. の 学 生 はす べ て を いず れ か ひ とつ の 研 究 室 に所 属 す る。. (iii)(フ ァ ジ ィ命 題 と し て 与 え ら れ た)属 (iv)(言 語 変 数 と し て 与 え ら れ た)属 (v)各. 第3号. 性 の 数 はp(>0)で. 性 値 の 数 はg(>0)で. あ る。. 研 究 室 で は受 け入 れ る学 生 数 の お お よ その 上 限 数 を 決 め て い る。 研 究 室 易 の 上 限. 数 を ち(>0),ブ=1,2,_,η. に よ って表 す 。. (vi)各 々 の 学 生 θ、,￠=1,2,_,mは. 各 研 究 室 五ゴ,ブ=1,2,_,η. お よ そ の 重 み 砺 を 持 つ 。 但 し,{砺. は 正 の フ ァ ジ ィ 数*2と. り も 研 究 室 窃 へ の 配 属 を 希 望 す る 場 合 に は,適 順 序 関 係 の 意 味*3に ㈹. あ る。. おいて砺. ≧{娠. に 対 して,選. 好を表すお. して 学 生 畠 が 研 究 室 玩 よ. 切 に 定 め られ た 何 ら か の フ ァ ジ ィ 数 の. と な る よ う に 重 み 付 け ら れ て い る とす る 。. そ れ ぞ れ の 研 究 室 五3,ブ ー1,2,…,π. は,各. 属 性 恥,ん=1,2,...,pに. 対 して,属. 性値. 巧 、を 割 り 当 て て い る 。 ㈹. そ れ ぞ れ の 学 生 θ,,乞=1,2,_,mは,各. 属 性 琉,κ=1,2,_,pに. 対 し て,属. 性値 ㌦. を割 り当て て い る。 上 記 の 前 提 下 で フ ァ ジ ィ化 され た研 究 室 配 属 問 題 を以 下 の よ う に定 め る。. れ. Maximize. 》 」売1. Maximize. Σ. ・ゴP・・(θ1≧L3)・. 萄 ・ゴP・・(32≧. ・3. 五フ)・23. ゴ=1. れ. Maximize. Σ 妬 、P・・(3鵬 ≧ 五ゴ)鰍 コ. (6). フ蕩1. subjecttoΣ. 銑フ ≦ ら. ブ=1,2,...,γL,. z売1. Σ. ・ ・、 、-1,乞. 一1,2,…,m,. フ=1 %∈{o,1}.. 0-1制. 約 を 連 続 緩 和 し た 問 題 を 考 え る と こ れ は 通 常 の フ ァ ジ ィ線 形 多 目的 計 画 問 題 で. あ る た め,Kuwano(1⇒. な ど を 適 用 す る こ と に よ っ て 代 替 的 な 解 を 得 る こ と が 可 能 と な る。. *2亀. ,を 特 徴 づ け る メ ン バ ー シ ッ プ 関 数 を 晦 、と す る と き,{∬ ∈Rμ 砺@)>o}⊆(o,+。 ・)が 成 り 立 つ と き,フ ァ ジ ィ 数 砺 は 正 の フ ァ ジ ィ数 で あ る と い う 。 *3例 え ば ,フ ァ ジ ィ マ ッ ク ス 順 序(Ramfkandf乏fmanek(⑤)や 可能性測度に基づ くファジィ 数 の 順 序 づ け(DuboisandPrade(1))な. ど 一52(602)一.
(9) 研 究 室 配 属 問 題 へ の フ ァ ジ ィ数 理 計 画 法 の 適 用(桑 野). 4ま. め. と. 本 研 究 で は,こ れ まで の 研 究 室 配 属 問 題 の 数 理 計 画 法 に基 づ くア プ ロー チで は,学 生 の 選 好 構 造 の み 反 映 され た定 式 化 で あ っ た もの を,研 究 室 側 の 選 好 構 造 を 導 入 す る こ とを 試 み た。 従 来,学 生 及 び研 究 室 の 選 好 構 造 を 同時 に取 り扱 う もの と して,安 定 結 婚 問 題 に基 づ くア プ ロ ー チが あ っ たが,こ の ア プ ロー チで は各 研 究 室 が 学 生 す べ て に対 して 選 好 を 与 え る必 要 が あ っ た。 この 前 提 は不 自然 で あ る と考 え,フ. ァ ジ ィ命 題 と して の 属 性 及 び言 語. 変 数 に よ る属 性 値 の 概 念 を 導 入 す る こ と に よ り,こ の 必 要 性 を 排 除 した 。 また,属 性 数 は 一 般 に学 生 数 よ りも少 な く,こ の 意 味 に お いて も研 究 室 側 の 負 担 を 軽 減 す る こ とが 可 能 と な っ た。更 に,属 性 値 を 学 生 の 成績 に基 づ く もの と して与 え る こ とが 可 能 で あ る場 合 に は, 個 々の 学 生 が 自 らの 属 性 値 を 申告 す る こ とな く,設 定 で き る た め,学 生 側 の 負 担 を 大 幅 に 軽 減 す る こ とが 可 能 で あ る。 今 後 は,フ. ァジ ィ化 され た研 究 室 配 属 問 題 の 数 理 的 性 質 の 導 出や 現 実 問 題 へ の 適 用 な ど. につ いて 更 に研 究 を 進 め る予 定 で あ る。. 参. 考. 文. 献. (1)Dubois,D。andH。Prade(1983)"Rankingfuzzynumbersinthesettingofpossibility theory,"勿. わ朋 α"oη5c'6ηc65,Vol.30,pp.183-224.. (2)Gale,D.andL.S.Shapley(1962)℃ollegeAdmissionsandtheStabilityofMarriage," τ加 ん η副cα η ルノα∫加 配α"cαZル10ηぬ1)∼Vol.69,No。1,pp。9-15. (3)原. 肇,砂. 田 謙 二,玉. 要 』,第35巻,1-6頁 (4)早. 川 圭 吾,能. 野 和 保(2000)「GAに. 登 正 人,栗. 原 正 仁(1999)「. 国 大 会 講 演 論 文 集 』,293-294頁,情 (5)堀 田 敬 介(2006)「 -378頁 Q (6)堀. 田 敬 介(2011)「. (7)片. 岡 達(2008)「. 岡 達,茨. (9)片. 岡 達,茨. 成 績 を 考 慮 し た ゼ ミ配 属 法 の 比 較 と 提 案 」,『 情 報 研 究 』,第44巻,59-73頁. 今 野 浩,竹. 。. 研 究 室 配 属 問 題 の 数 理 的 考 察 」,「2006年. 今 野 浩,朱. 秋 季 研 究 発 表 会 ア ブ ス トラ. 本 オ ペ レ ー シ ョ ン ズ ・ リサ ー チ 学 会 。. 木 俊 秀(2008)「. 研 究 室 配 属 の た め の 一 方 式 の 提 案 と そ の 数 理 的 考 察 」,『 日 本 オ ペ レ ー. 内 俊 雄(1998)「. 第48巻,第6号,295-300頁 ⑪. 。. 一 般 化 安 定 結 婚 問 題 に 基 づ く研 究 室 配 属 問 題 の 数 理 的 考 察 」,『 オ ペ レ ー シ ョ ン. シ ョ ン ズ ・ リサ ー チ 学 会 和 文 論 文 誌 」,第51巻,71-93頁 ⑩. 全. 学 生 満 足 度 の 観 点 に よ る ゼ ミ配 属 法 の 定 量 的 比 較 」,『 情 報 研 究 』,第35巻,367. 木 俊 秀(2006)「. ク ト集 』,60-61頁,日. 研 究 室 配 属 ア ル ゴ リ ズ ム の 諸 性 質 の 考 察 」,「 第58回. 報処理学会。. ズ ・ リサ ー チ 』,第53巻,第12号,696-697頁 (8)片. よ る 研 究 室 配 属 問 題 の 一・解 法 」,『 広 島 工 業 大 学 研 究 紀. 。. 吉吉(1991)「. 。. 東 京 工 業 大 学 に お け る 新 学 科 所 属 方 式 」,「 日 本 経 営 工 学 会 論 文 誌 』, 。. 最 適 ク ラ ス 編 成 問 題:東. 一53(603)一. 京 工 業 大 学 に お け る ケ ー ス ・ ス タ デ ィ ー 」,『 オ.
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