球面的モンテシノス絡み目の幾何

球面的モンテシノス絡み目の幾何

川口 悠太

近畿大学附属広島高等学校・中学校東広島校

2019 年 12 月 20 日

モンテシノス絡み目とは

定義

r ≧ 1, b ∈ Z , α

≧ 2, g.c.d.(α

, β

) = 1 とする．

モンテシノス絡み目 L = L(b; (α

, β

), · · · , (α

, β

)) とは下図に示された S

^{内の絡み目である．}

L(3; (2, 1), (3, 1), (5, 2))

(5, 2) 有理タングル

諸概念

定理

1. r ≧ 3 のときモンテシノス絡み目 L のイソトピー類は以下の 2 ^つの データによって決まる．

(i) Z

を法とする有理数の組

．但 し，巡回置換と反転を法とする．

(ii)

オイラー数

i=1βi/αi)∈Q

．

2. r ≦ 2 のとき，モンテシノス絡み目 L は二橋絡み目 K(p, q) となる．

但し， p ≧ 0, g.c.d.(p, q) = 1 ^．

K(p, q) ∼ = K(p

, q

) ⇔ p = p

, q

≡ q

mod p

諸概念

二橋絡み目 K(5, 2)

諸概念

命題

M

(L) : モンテシノス絡み目 L で分岐する S

の二重分岐被覆．

このとき M

(L) はザイフェルトファイバー空間である．

言い換えると M

(L) ^は 2 ^{次元軌道体} S

(α

, · · · , α

) ^上の S

^束．

但し， (α

, β

) 型の特異ファイバーを持つ．

諸概念

定義

L : モンテシノス絡み目とする．

L : 球面的モンテシノス絡み目．

⇔ M

(L) が球面構造を持つ．

i.e. M

(L) ∼ = S

/G. ( 但し有限群 G < Isom

S

で G ↷ S

: 自由． )

⇔ 次のいずれかが成り立つ．

(1) r ≦ 2 i.e. L = K(p, q) ． ( 但し p ≧ 1) (2) e 6 = 0 ^かつ r = 3 ^のとき 1

α

+ 1 α

+ 1

α

> 1, i.e.

(α

, α

, α

) = (2, 2, n), (2, 3, 3), (2, 3, 4), (2, 3, 5) ^．

諸概念

性質

L : 球面的モンテシノス絡み目．

τ : M

(L) の被覆変換．

このとき τ ^は M

(L) = S

/G 上の等長変換とできる．

観察

˜

τ : τ の普遍被覆 S

への持ち上げ．

Γ := ˜ hG, τ ˜ i < Isom

S

このとき

(S

, L) ∼ = (M

(L), Fix τ )/τ

∼ = (S

, Sing ˜ Γ)/ Γ ˜ 但し， Sing ˜ Γ = { x ∈ S

| ∃ γ ∈ Γ ˜ \{ 1 } , γx = x } = F

Fix ˜ τ

よって (S

, L) は球面的軌道体の構造を持つ．これを O(L) ^と書く．

諸概念

定義

球面的モンテシノス絡み目 L から定まる球面的軌道体 O (L) に対して特 異集合 L ^{のチューブ半径} TR(L) ^{を以下で定義する．}

TR(L) := sup{r ∈ R

| |N

(L, r)| ∼ = L × D

}

本論文の目的

全ての球面的モンテシノス絡み目 L に対して，チューブ半径 TR(L) を

求めることである．

主定理

定理 (1)

球面的モンテシノス絡み目 L のチューブ半径 TR(L) は以下で与えら れる．

1. r = 2 ^よって L = K(p, q) ^のとき． TR(L) = π 2p

2. r = 3 ^のとき．

2-1. L=L(−b; (2,1),(2,1),(α, β))

のとき．m

と する．TR(L) =

4|m|α

主定理

定理 (2)

2-2. L = L( − b; (2, 1), (3, β

), (3, β

)) のとき．

m = 6b + 3 + 2(β

+ β

) = − 12e とする．

(i) g.c.d.(m,12) = 1

のとき．

．

(ii) m

が

を満たす奇数のとき．TR(L) =

2-3. L = L(−b; (2, 1), (3, β

), (4, β

)) ^のとき．

m = 12b + 6 + 4β

+ 3β

= − 24e ^とする．

TR(L) = π 16 | m | 2-4. L = L( − b; (2, 1), (3, β

), (5, β

)) ^のとき．

m = 30b + 15 + 10β

+ 6β

= − 60e とする．

TR(L) = π

20 | m |

主定理の証明

定義

L : 球面的モンテシノス絡み目．

S

→ M

(L) : 普遍被覆．

M

(L) → S

: 二重分岐被覆．

このとき，合成写像 p : S

→ S

^による L ^の逆像 p

(L) ^を L ˜ ^で表し，

L から定まる測地的絡み目と呼ぶ． τ ˜ は S

の等長変換なので， Fix ˜ τ は 測地線である．

S

||

p

⊃ L ˜

= Sing(˜ Γ) = F Fix ˜ τ

M

(L)

##

S

⊃ L

主定理の証明

補題

モンテシノス絡み目のチューブ半径に関して以下の式が成り立つ．

TR(L) = 1 2 md( ˜ L)

但し， md( ˜ L) := min{d

(K, K

) | K, K

^は L ˜ ^の成分 }

計算のための準備

G ˜ = { S

内の向き付け測地線 }

= G ˜

( R

) = { P ⊂ R

| ^{向きのついた} 2 次元部分空間 } このとき以下の補題が成立する．

補題 (Gluck-Warner) G ˜

( R

)

∼=

&&

Λ

R

= E

⊕ E

∪

S

× S

但し， E

は ∗ ^作用素の ± 1 固有空間．

計算のための準備

G ˜

( R

)

Λ

R

∼ = R

P =< u, v >

u ∧ v = ω

但し， u, v は P の向きを定める順序付き正規直交基底である．

∗ は次の可換図式を満たす唯一の線形写像である．

G ˜

( R

)

G ˜

( R

)

Λ

R

Λ

R

計算のための準備

補題

∗ ^{作用素は次で定まる．}

∗ : Λ

R

→ Λ

R

e

∧ e

7→ e

∧ e

e

∧ e

7→ e

∧ e

e

∧ e

7→ e

∧ e

e

∧ e

7→ − e

∧ e

但し， e

, ^… , e

は R

^{の正規直交基底．}

計算のための準備

定義

H : ^四元数体 q ∈ H ^とする．

q = a + bi + cj + dk (a, b, c, d ∈ R)

| q | = p

a

+ b

+ c

+ d

ここで， H ⊃ S

⊃ S

⊃ S

を次で定める．

S

= { q ∈ H | | q | = 1 } ∼ = S

∗ S

j S

= S

∩ R[i, j, k]

S

= { z ∈ C ⊂ H | | z | = 1 }

計算のための準備

Λ

R

= Λ

H ⊃ E

: ∗ ^の ± 1 固有空間とし，以下の対応を考える．

H ⊃ S

3 q ↔ e

:= 1

2 { (1 ∧ q) ± ∗ (1 ∧ q) } ∈ E

すると，

E

= R [i, j, k]

∪

S

: 上の三本のベクトルを含む球面 以下

S

∼ = S

⊂ H

e

↔ q ^{とみなす．}

計算のための準備

補題-再掲 (Gluck-Warner) G ˜

( R

) −→

=

S

× S

∼ = S

× S

P 7−→ (ω

, ω

)

例

H ⊃ P =< 1, q > ( 但し， q ∈ S

= S

∩ R [i, j, k]) ω

= 1 ∧ q

= 1

2 { (1 ∧ q) + ∗ (1 ∧ q) } + 1

2 { (1 ∧ q) − ∗ (1 ∧ q) }

= e

+ e

↔ (e

, e

) ∈ S

× S

↔ (q, q) ∈ S

× S

計算のための準備

定理 (Sakuma)

L : 球面的モンテシノス絡み目 このとき L ˜ ⊂ G ˜ = ˜ G

(R

) ∼ = S

× S

これは次で与えられる．

{ (ω

j, ω

j) | 0 ≦ l ≦ p − 1) } 但し (ω

, ω

) =

e

π(q+1)i

p

, e

C

× { C

∪ S

} { C

× C

} ∪ { √

ωC

× { i }} ^但し ω = e

C

× E

但し C

= {ω

j | 0 ≦ l ≦ m − 1}

{ C

× E

} ∪ { ωC

× E

} ∪ { ω

C

× E

} ^但し ω = e

C

× { E

∪ V

}

C

× E

計算のための準備

計算

補題

P, Q ∈ G ˜

( R

) ^に対して

θ

= arg(ω

, ω

), θ

= arg(ω

, ω

) とする．このとき平面 P, Q の距離は以下の式で与えられる．

md( ˜ L) = 1

2 | θ

− θ

|

計算

今回は r = 2 のとき，特に L が (5, 2) 型の二橋絡み目のときについて実 際に計算する．

このとき

L ˜ = {(ω

j, ω

j) | 0 ≦ l ≦ 4} ^但し (ω

, ω

) = (e

, e

) と表される．

このとき任意の元の対の S

× S

^における Isom

S

× Isom

S

^を法

とする相対的位置関係は， (j, j) ^と (ω

j, ω

j) の相対的位置関係と同じ

である．従って， 2 つの対が作る距離を求めることで， (5, 2) 型の二橋絡

み目におけるチューブ半径が求まるのである。

計算

θ

= 3πl

5 , θ

= πl 5

であることがわかるので， md( ˜ L) は以下の式で与えられる．

md( ˜ L) = 1 2

πl 5 − 3πl

5

= 1 2

− 2πl 5

= π

10 | 2l |

計算

ここで， l = 1 としたとき最小値を取るので md( ˜ L) は π

5 ^{であることがわ} かる．したがって， (5, 2) 型の二橋絡み目のチューブ半径は以下の通りで ある．

TR(L) = 1 2 md( ˜ L)

= 1 2 ^・

π 5

= π

10

例

前の定理の Type 1 について (p, q) = (5, 2) のときの球面的モンテシノス

絡み目に対して定まる測地的絡み目 L ˜ は以下の図のようになる．

例

このとき， (p, q) = (5, 2) のときの二橋絡み目 L においてチューブ半径 は以下の部分に現れる．

課題

一般の球面的モンテシノス絡み目に対してチューブ半径を実現する

(S

, L) 内の弧を求めよ．