数学2・数学演習2 No.12 2006. 1.12
2.6
広義積分
担当：市原広義積分 (1)（有界でない関数の積分）
¶ ³
関数y=f(x)がa≤x < bで連続であり, lim
ε→+0
∫ b−ε
a
f(x) dxが存在するとき, また,
関数y=f(x)がa < x≤bで連続であり, lim
ε→+0
∫ b
a+ε
f(x) dxが存在するとき, 関数y=f(x)は積分区間[a, b]で広義積分可能という.
また,この極限値を ∫ b
a
f(x) dx
と表わし,積分区間[a, b]における関数y=f(x)の広義積分という.
a bb - e y = f ( x )
関数y=f(x)がa≤x < c,c < x≤bで連続であり,積分区間[a, c], [c, b]で広義積分可能 であるとき,関数y=f(x)は積分区間[a, b]で広義積分可能という.
また,これらの和
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dxを
∫ b
a
f(x) dxと表わし,積分区間[a, b]におけ る関数y =f(x)の広義積分という.
a bc
µ ´
例題 31 広義積分
∫ 2
0
√1
x dxの値を求めなさい.
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広義積分 (2)（有界でない範囲での積分）
¶ ³
関数y=f(x)がx≥aで連続であり,
Mlim→+∞
∫ M
a
f(x) dx
が存在するとき,関数y=f(x)はx≥aで広義積分可能という. また, この極限値を
∫ +∞
a
f(x) dxと表わし,x ≥aにおける関数y =f(x)の広義積分と いう.
関数y=f(x)がx≤bで連続であり,
mlim→−∞
∫ b
m
f(x)dx
が存在するとき,関数y=f(x)はx≤bで広義積分可能という. また,この極限値を
∫ b
−∞f(x) dxと表わし,x≤bにおける関数y=f(x)の広義積分とい う.
y = f ( x ) xb
m xa . . . . .
y = f ( x ) M
関数y =f(x)がすべての実数の範囲で連続であるとする. このとき,cを実数として(ど んな値でもよい), 関数y=f(x)が,x ≥cでもx≤cでも広義積分可能であるとき,関数 y=f(x)はすべての実数の範囲で広義積分可能という. また
∫ a
−∞f(x) dx+
∫ +∞
a
f(x) dx を
∫ +∞
−∞ f(x)dxと表わし,すべての実数の範囲における関数y=f(x)の広義積分という.
µ ´
注意： ∞や−∞は値ではなく,便宜上の記号である. 例題 32 広義積分
∫ +∞
2
1
x3 dxの値を求めなさい.
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数学2・数学演習2 No.12 2006. 1.12
2.5
広義積分
担当：市原問題 26 以下の広義積分を計算しなさい.
(1)
∫ 4
2
√ 1
x−2 dx
(2)
∫ 1
0
√ 1
1−x2 dx
(3)
∫ ∞
4
1 (x−1)4 dx
(4)
∫ 1
−∞xe−x2 dx
(5)
∫ ∞
−∞
2 1 +x2 dx
