市原一裕日本大学文理学部数学科

(1)

市原一裕

日本大学文理学部数学科

佐野日本大学高校 SSH研究者講演

20１4.6.13

(2)

「だまし絵」とは．．．

Ê  もとは美術⽤用語　　　 トロンプ＝ルイユ（Trompe-l‘oeil）　　　

⾒見見ている⼈人の錯覚を引き起こす絵画

Ê  典型例例の⼀一つ

Ê  「現実では存在しないような構造の物体・建築」を描いた作品

⇒

「不不可能物体」

M.Escher, Waterfall ,1961

http://www.mcescher.com/gallery/impossible-constructions/waterfall/

(3)

これって実現可能？　不不可能？

(4)

もし実現できるとしたら．．．

図の中の「線分」は 3通りに分類される！

• 

たにおり線（ー）

• 

やまおり線（＋）

• 

輪輪郭線（↑）

(5)

もし実現できるとしたら．．．

図の中の「線分」のラベルは，

上の

13

通りのどれかに必ずなる！

(6)

では，判定してみよう

(7)

ただし

この⽅方法で，いつでもうまくいくとは限らない．．．

ペンローズの三角形

3次元空間内では実現不不可能！！

(8)

µ ひとやすみ

ペンローズの三角形は，「普通の」空間では実現不可能

⇒

では他の空間では？

例えば

(9)

トーラス (torus)

(10)

トーラス・ゲーム

Jeffrey Weeks

• 

「フリー」の数学者

• 

プログラマとしても活躍

(11)

次元をあげると

•   ^「

³

^{次元トーラス」}

トーラス・ゲーム

実は，ペンローズの三角形が．．．

（G.K.フランシス「トポロジーの絵本」）　

(12)

(13)

宇宙の形

「地球はまるい」　→　宇宙の形は？

「地球の表面」：　たて・よこ　→　

2次元

「宇宙」　：　たて・よこ・高さ　→　

3

次元

全体としてはどうなってるかわからない．．．

けど，小さな範囲では「

3

次元」の座標

(14)

3次元多様体 (3-manifold)

• 

多様体 (manifold) とは�

�全体としては曲がっているかもしれないが�

�局所的にはまっすぐに広がっているとみなせる空間�

� �（例: 球面は2次元多様体)�

�

• 

われわれの「宇宙」は3次元多様体 !! �

�( 「時間」軸をいれると4次元多様体�

� �⇨「相対性理論」非ユークリッド的！)�

(15)

宇宙の形をしらべよう！

•  

^NASA

^WMAP

^衛星

⁽²⁰⁰¹

^{年打ち上げ}

⁾

　　宇宙マイクロ波背景放射の観測

(16)

宇宙の形は・・・

Weeks氏らの研究（Natureに掲載）によれば　宇宙の形（の現時点での候補）は・・

　ポアンカレ十二面体空間！！

(17)

これから．．．

n 

位相幾何学と宇宙物理学

「宇宙の形の決定に向けて」

（宇宙位相幾何学【Cosmic Topology】）

いつか未来の教科書には

「宇宙のかたちは・・・」

(18)

　蛇足：なぜ数学を学ぶのか

（数学教育学）

✏ 

知識・理解

✏ 

論理的に考える力

✏ 

自ら学ぶ力（創造性の基礎）

✏ 

数学を活用する力

✏ 

数学の有用性・おもしろさ・美しさ

(19)

「幾何学」とは　

^（^geometry)

代数学

解析学幾何学

数学の

3

つの柱

^{⽅方程式，ベクトル，}

⾏行行列列

関数，微分積分図形，三⾓角⽐比

(20)

「まるい」とは？

円　　：　ある点（中心）から

　　　　　　距離の等しい点があつまった平面上の図形球面　：　ある点（中心）から

　　　　　　距離の等しい点があつまった空間内の図形

　　　「地球の表面」は「球面」

(

おおよそ

)

(21)

「まるい」 vs 「まるくない」

　　　　　　連続的に変形しても

　　　　　　　「まるい」ものは「まるい」？

　　　　　　

→

　「図形の本質」とは？　　　

(22)

幾何学（ Geometry ）

もの（図形） ^{の形を研究→} 幾何学

「幾何学」の目的：

n 

図形の持つ性質を調べる

n 

図形の分類→　どれが「おなじ」か

(23)

図形の分類

分類には基準が必要

　　基準　＝　どの図形が「おなじ」か

例. ユークリッド幾何では「合同」な図形はおなじ

もっと　「おおざっぱ」　に考えよう→

「ぐにゃぐにゃ」動かしても

本質はかわらない！　　

(24)

位相幾何学�

トポロジー (Topology)

ぐにゃぐにゃ動かして

　(連続的に変形して）

　重ねられる図形は

「おなじ」ものとみなす

19世紀末に生まれた新しい幾何学

アンリ・ポアンカレ

(25)

今日はなしたいこと

3 次元多様体の研究と応用について

•  ２００２〜２００３年に衝撃的な進展

•   その影響と結果　（２００６年夏〜秋）

(26)

例：３次元トーラス

普通の

3

次元空間とは違う

宇宙はこんな形？？？

　　　　　　　　中から→

(27)

III ．空間の形と懸賞付き問題

「ミレニアム問題」：　　

21

世紀を迎えてクレイ数学研究所（アメリカ）が

数学の未解決問題に懸賞金 ^を設定

全部で７ ^題

^→1

^題につき ₁₀₀ ^万ドル

(28)

ポアンカレ予想

✏ 

「ミレニアム問題」のひとつ

✏  1904

年　ポアンカレが予想

「まるい」3次元多様体の特徴付け　　→

W.P

サーストンにより一般化

「幾何化予想」

(

１９８０年代

)

　

およそ

100

年未解決・・・　

^W.P.^{サーストン}

(29)

とうとう解決？？？

§  2002

年

G.

ペレルマン

₍

ロシアの数学者

) Internet

上で論文公開

(2002-2003, 3

本

)

§ 

「幾何化予想を解決！！」

（

NewYork Times

に記事

(2003.4)

しかし本当なのか・・・・・・

(30)

G. ペレルマン (G.Perelman)

§  1966

年ロシア生まれ

§ 

専門は

,

大域解析・微分幾何学

(31)

国際数学者会議 

International Congress of Mathematicians

•  4年に一度，国際数学連合（IMU）に

より開催「数学界最大の会議」

• 

市原 一裕 日本大学文理学部数学科

市原 一裕

日本大学文理学部数学科

佐野日本大学高校 SSH研究者講演

20１4.6.13

「だまし絵」とは．．．

「不不可能物体」

これって実現可能？ 不不可能？

もし実現できるとし たら．．．

たにおり線（ー）

やまおり線（＋）

輪輪郭線（↑）

もし実現できるとしたら．．．

図の中の「線分」のラベルは，

上の

通りのどれかに必ずなる！

では，判定してみよう

ただし

ペンローズの三角形

µ ひとやすみ

ペンローズの三角形は，「普通の」空間では 実現不可能

⇒

では他の空間では？

例えば

トーラス (torus)

トーラス・ゲーム

Jeffrey Weeks

「フリー」の数学者

プログラマとしても活躍

次元をあげると

• 「

次元トーラス」

トーラス・ゲーム

実は，ペンローズの三角形が．．．

（G.K.フランシス「トポロジーの絵本」）

宇宙の形

「地球はまるい」 → 宇宙の形は？

「地球の表面」 ： たて・よこ →

「宇宙」 ： たて・よこ・高さ →

次元

全体としてはどうなってるかわからない．．．

けど，小さな範囲では「

次元」の座標

3次元多様体 (3-manifold)

多様体 (manifold) とは�

�全体としては曲がっているかもしれないが�

�局所的にはまっすぐに広がっているとみなせる空間�

� �（例: 球面は2次元多様体)�

�

われわれの 「宇宙」は3次元多様体 !! �

�( 「時間」軸をいれると4次元多様体�

� �⇨「相対性理論」 非ユークリッド的！)�

宇宙の形をしらべよう！

•

衛星

年打ち上げ

宇宙マイクロ波背景放射の観測

宇宙の形は・・・

Weeks氏らの研究（Natureに掲載）によれば 宇宙の形（の現時点での候補）は・・

ポアンカレ十二面体空間！！

これから．．．

位相幾何学と宇宙物理学

「宇宙の形の決定に向けて」

（宇宙位相幾何学【Cosmic Topology】）

いつか未来の教科書には

「宇宙のかたちは・・・」

蛇足：なぜ数学を学ぶのか

（数学教育学）

知識・理解

論理的に考える力

自ら学ぶ力（創造性の基礎）

数学を活用する力

数学の有用性・おもしろさ・美しさ

「幾何学」とは

代数学

解析学 幾何学

数学の

つの柱

「まるい」とは？

円 ： ある点（中心）から

市原一裕日本大学文理学部数学科

市原一裕

これって実現可能？　不不可能？

もし実現できるとしたら．．．

ペンローズの三角形は，「普通の」空間では実現不可能

•   ^「

^{次元トーラス」}

（G.K.フランシス「トポロジーの絵本」）　

「地球はまるい」　→　宇宙の形は？

「地球の表面」：　たて・よこ　→　

「宇宙」　：　たて・よこ・高さ　→　

われわれの「宇宙」は3次元多様体 !! �

� �⇨「相対性理論」非ユークリッド的！)�

•  

^衛星

^{年打ち上げ}

　　宇宙マイクロ波背景放射の観測

Weeks氏らの研究（Natureに掲載）によれば　宇宙の形（の現時点での候補）は・・

　ポアンカレ十二面体空間！！

　蛇足：なぜ数学を学ぶのか

「幾何学」とは　

解析学幾何学

円　　：　ある点（中心）から

　　　　　　距離の等しい点があつまった平面上の図形球面　：　ある点（中心）から

　　　　　　距離の等しい点があつまった空間内の図形

　　　「地球の表面」は「球面」

　　　　　　連続的に変形しても

　　　　　　　「まるい」ものは「まるい」？

　「図形の本質」とは？　　　

もの（図形） ^{の形を研究→} 幾何学

図形の分類→　どれが「おなじ」か

　　基準　＝　どの図形が「おなじ」か

例. ユークリッド幾何では「合同」な図形はおなじ

もっと　「おおざっぱ」　に考えよう→

本質はかわらない！　　

　(連続的に変形して）

　重ねられる図形は

19世紀末に生まれた新しい幾何学

•  ２００２〜２００３年に衝撃的な進展

•   その影響と結果　（２００６年夏〜秋）

　　　　　　　　中から→

「ミレニアム問題」：　　

世紀を迎えてクレイ数学研究所（アメリカ）が

数学の未解決問題に懸賞金 ^を設定

全部で７ ^題

^題につき ₁₀₀ ^万ドル

年　ポアンカレが予想

「まるい」3次元多様体の特徴付け　　→

年未解決・・・　