高速回転軸の振動に及ぼす回転板の ジャイロ作用について（1報）
山 田 嘉 久 1．緒 言
技術の進歩と共に各種の機械類は益々精巧高速化され，それに伴って機械振動の問題は 一段と重要性を増しつつある。著者（1）は以前から高遠回転機械における軸系の振動に関す
る研究を続けて来たが，ここには主として回転板のジャイロ作用が回転軸の振動ならびに 危険速度に及ぼす影響について，理論的ならびに実験的研究の結果を報告する。
第1図は最近本学に設備された高速回転軸系試験装置を示す。片持軸及び両持畦の試験 が可能であり，回転板は対称形及び非対象形のものが取付けられる。回転数は最低1，000 r．・p．m．から最高20，000r．p．m．まで自由に連続的に変化させることができる。
第2図は動力用高周波発生装置および電子光学式振動測定装置（Optron方式）を示す。
これは回転板の振動を光学的にとらえ，それを電圧に変換して，シンクロスコープに表示 するものである。
さて回転板のジャイロ作用は片持軸系の場合は両持軸系の場合に比し，著しく大きく現 われる。しかも片持軸の応用される例は，蒸気夕一ビン（特に二重回転式のもの），ガスタ ービン，水車およびポンプ，船舶および航空機プロペラなどを始め 各種車輪，歯車およ びプーり，工作機械のカッタおよび砥石その他あらゆる機種に亘り枚挙に暇ない程である。
よって以下本論文では片持軸に重点を置いて述べることとする。
t−t嗣 て一一b−rd〜−ywrrv−ごT
第1図 回転軸試験装置
三；
⁝百︐云r
顕
⁝⁝⁝ミ；麟虞 る ・く亘驚瓢
i︑ひ ・五ウ ㌦・
聯
︶
第2図 動力用高周波発生装置と電子光学式振動測定装置 2．使 用 記 号
dcm＝回転軸の直径（断面は一様な円形とする）
lcm＝片持軸の有効長さ
11，12 cm＝両持軸の各軸受から回転板中心までの長さ Jcm4一軸断面の2次モーメント
Ekg／cm2一軸材料の弾性係数 M＝W／gkgsec2／cm一回転板の質量
ko， k，， k2 cm＝回転板の主慣性モーメント軸に関する回転半径
Io＝A4ko2，11＝M1ゐ12，12＝M2毘22 kg sec2 cm＝回転板の主慣性モーメント a＝（ko／1）2， b＝（k，／Z）2， C＝（k2／1）2片持軸の場合
a＝ko2／lll2， b＝k、2／1，12， C＝k22／1、12両持軸の場合 ωrad／sec＝軸の回転角速度
20 rad／sec＝回転板をそれと同質量の質点と見なした場合の軸の静止時の自由振動角速 度
ヵrad／sec一回転軸と同速度で回転する回転座標系に関する軸の（相対）自由振動角速度 λ1一ω＋ヵrad／sec前進プレセッションにおける軸の（絶対）自由振動角速度
22一ω一ヵrad／sec後進プレセッションにおける同上速度
X・…t・／2。，S，−P／2．。，2、−Z、／2・−X＋or，之・−2・／2・−X−Pt
3．理論的根拠
回転板のジャイ白作用を始あて理論的に取扱ったのは，蒸気夕一ビンの権威A・Stodola
〔2）であり，戦后にはR．B． GreenC3）の論文があり，最近の工業力学の教科書にはこの問題 を取入れたものが多い。なお回転軸系の安全性に関する論文（4｝や著書〔5、もいつくか出され ている。
は更に複雑化するのであるが，著者は実際の機械設計に直接役立たせる目的で研究を進め
た゜ 〆
ω
第3図 回転軸系の模型
第3図は単純化された水平回転軸系の模型で，ここでは回転板の恨性モーメントIoの 軸が回転軸の中心線と一致しておるものとし，その方向に静止座標系0−XYZのOX軸
を選ぶ。
X，Y， Z＝回転板の重心Sの座標
β，γ ＝＝ lo軸がそれぞれZOX面およびXO Y面となす角 Py， P，＝回転軸の弾性によるYおよびZ軸方向の復元力 My， M、＝Y軸およびZ軸の回りの復元モーメント
軸の質量は回転板の質量に比し無規し得るものとし，外部摩擦および内部粘性の影響，
振り振動および重力による影響を無視する。
この回転系は4つの自由度を有し，y， Zおよびβ，γを微少量とすれば次の4個の運 動方程式を得る。
3．1 対称回転板（1，＝12）の場合 1、β＋1・ωγ一M・
1、γ弓oωβ＝My
A4Y＝Py MZ＝Pz
ここに 鴬1㌃㌘鷺冤γ｝
いま ㌶蕊 1：蒜｝
…………
︵1︶
…………（2｝
…………
︵3︶
・・・・・・・・・… （4）
・・・・・・・・・… （5）
・・・・・・・・・… （6）
とおけば，（1），（2），（3｝および（4）の4式は次の2式となる。
篇㌶㌫㌣仁゜｝
この2式からrとpを消去して次の2とωとの関係式を得る。
A41e7．4−A41。t・7．3＋（7n lo ＋ n M）22−〃nloco）．＋7・L 11 −7・z・1 ＝ 0
静止時において回転板の位置における軸のたわみ量をδとすれば
20＝N／9／δ
・・・・・・・・・… （7｝
…………
︵8︶
・・・・・・・・・… （9）
この値は回転板が質点と考えられる場合は回転数の如何にかかわらず回転軸の自由振動 速度を表わす。
3．1．1片持軸の場合
…………（10）
であるから式⑧は第2節に記したa，bおよびx， zを用いると次式となる。
bz4−az3x−4（b十1／3）z2十4a2x十4／3＝0 ・・… ◆◆・・… （11｝
これが基本式であるが，変数zとxとの4次式であるから，このままでは解き難い。し かし次のパラメタSを用い，
s一ω／7・ 一。。＜s＜＋。。 …………（12）
カ）っ lzニb−∫α …………（13）
と置けば式（11）は次の如くz2の2次式となる。
hz4−4（h十1／3）z2十4／3＝0 ・・・・・・・・・… （14）
よって z2＝2［（h十1／3）±◇h2十〃3十1／9］／h …………（15）
この際符号（±）のうち一方はモード工振動，他方はモード9振動に相当する（第4図参
照）。
幽 ＼
Mode I
吻
Mode II
＼ ＼
第4図 モード1およひ皿振動
∫には（±）の整数または簡単な整数比を選ぶ。s＝0は静止状態を表わしz−∬線図でz 軸に相当する。sか（＋）の場合は前進プレセッションに相当し， x−x線図の第1象限に
るのであるが，本稿では便宜上2軸で折返して第1象限に重ねて示す。
一般に式｛15）はある回転速度に対して4種の自由振動値を与える。その値に一致する回 転数では共振を起し，いわゆる危険速度となる。さて2は11だけの関数であるからhの
（±）の種々の値に対し2の値を与える数表または線図を作っておけば便利である。第工 表はその雛形であり，第5図はそれを図示したものである。
4．0
N
3．0
2．0
1．0
0
−2．0
一
Z｝f
z
2；
一1．0 0 1．0 2．0
わコも ヨヨ
第5図 c一ゐ 図 線
3．0
第工表 自由振動速度表
1・1zt
0 0．1 0．2 0．3 0．4 0．50ooOr⊥ o789050ooO12345
6．0 8．0 10．0
1．0000 0．8982 0．8165 0．7510 0．6978 0．6538 0．6168 0．5852 0．5579 0．5339 0．5128 0．4350 0． 3841
0．3199 0．2799
0． 2519
0．2309 0．2010 0．1803
cり
4．065 3．162 2．807 2．617 2．498 2．417 2．358 2．314 2．280 2．252 2．168 2．126 2．084 2．063 2． 050
2． 042 2．031 2． 025
0hl・
− 0．1
− 0．2
− 0．3
− 0．4
− 0． 5 一 〇．6
− 0．7
− 0．8
− 0．9
− 1．0 一 1．5
− 2．0
− 3．0
− 4．0
− 5．0 一 6．0
− 8．0
−10．0
1．000 1．120 1．254 1．378 1．480 1．559 1．620 1．668 1．705 1．735 1．760 1．837 1．877
L917
1．938 1．950 1．959 1．969 1．975
56
この表は後に述べる非対称回転板の場合にも利用できる。
ここで対称回転板（11＝1，）の形状を特徴ずけるため次のμを用いる。
μ＝Jo／」rl＝ko2／ki2＝a／b ・・・・・・・・・… （16）
このμは極あて薄い回転板では2，極めて細長い円筒では。。，球形に近いものでは1に近
ずく。
4．0
3．0
zS2
1，．。
1．0
Si
0
恕㌣いのへ♪へ
勺
ll句o a＝1
b＝0．5
c＝・0．5
Z：
、
ゐ
／L2 ︑
Lユ
Z｛
ク♪ら
L： sタ5・o
z膓
1．0 2．0
− X
3．0
第6図 対称軸系の￡−x線図
第6図はaニ1，b＝1／2（μ＝2）の場合の驚一エ線図で，縦法および横法の値にそれぞれ 30λo／πを乗ずれば毎分当りの振動数および回転数となる。
モード1前進プレセッション曲線Z1 はω＝0の時，点S1から出発し，回転数と共に 次第に上昇し，モード1主危険速度L， を通り，それ以後は漸近線z＝2．00に近ずく。
モード工後進プレセッション曲線Z2 は同じくぷ、から出発し，回転数と共に次弟に下 降しモード工副危険速度L2 を通り，以後は漸次線z−0に近ずく。
モード皿前進プレセッション曲線Z1 は静止の時，点S，から出発し，ωと共に急に上 昇する。本例ではモード1主危険速度は存在しない。
モード皿後進プレセッション曲線Z2 は同じくS2から出発し，ωと共に次第に下降し モード9副危険速度L2 を通り，以後は漸近線z＝2．00に近ずく。
Llt， L2 ， L2 のうちL、 は常に極めて危険な点であるが，他の点ではある条件の下で 危険性が発生する。
の軸受から12（11＞1Dの位置に取付けられたものとする。この場合は
；ビll翻総鷲：1霊1竺｝ ・・・・・・・・・… （17）
であり，
．A＝（1、2＋1iZ2＋122）／1112
…………（18）
と置けば，式⑧は次式となる。
b24一α23エー（Ab十1）22十Aazx−←1＝0 ・・・・・・・・・… （19）
さらに式（13），h−b−saを用い，
1zzL（Ah÷1）プ＋1＝0 …………（20）
よって z2＝［（Ah÷1）±＼／（Ah十1）2−4h ］／2h …………（21）
この場合は変数が・4と乃と2個あるから，第工表のような簡単な表は作れないが，回 転板が両軸受のほぼ中央にある場合すなわちAが1に近い時は，ジャイロ作用は殆んど
表われない。
3．2非対称回転板の場合（1，＞12）
3．2．1 片持軸の場合一この場合は式（11）を組合せて次の運動方程式を作る。
［b2i4−aZi3x−4（b十1／3）之12十4α21ヱ十4／3］
×［c224−az23x−4（c十1／3）x22十4az2x十4／3］
十［c￡14一α￡13エー4（c十1／3）之12十4aXiX十4／3コ
×［Z）拷24−az22x−4（1）十1／3）窯22十4az2x÷4／3］＝0 ・・・・・・・・・… （22）
これはzとxとの複雑な8次式となるが，次の新しいパラメタTを用いると〆または
S 2の2次式（24）または（25｝となる。
T＝Zlz2＝x2−5，2， 一〇Q＞T＞÷oo
このTはs，−X平面またはZ−X平面で双曲線群を表わす。
16d（aT十2／3）x4−［adT3十8｛d（α十1／3）十2bc｝T2 十8｛2d（a十2／3）十5α／3｝T十32／3・（d十2／3）］x2 十｛bT2十4（ろ十1／3）T十4／3｝｛cT2十4（c十1／3）T÷4／3｝＝0 16d（aT十2／3）y4−［adT3十8｛d（−3a十1／3）十2bc｝T2 十8｛2d（a−2／3）十5a／3｝T十32／3・（d÷2／3）］S，2
1・・・・・・・・・… 〔23）
・・・・・・・・・… （24）
十｛（ろ一a）T2−4（b−a十1／3）T十4／3｝｛（c−a）T2−4（c−a十1／3）T十4／3｝＝0 ・・一・・・・・・… （25）
この何れかの式においてTに一。。から＋。。の間の適当な値を選んでy2−x2線図を画 くことができる。それにより第6図に対応するz−x線図が得られる。
ここに注意すべきことはx−0の場合はT＝一プで，式（24）は
［砂4−4（ゐ十1／3）ッ2十4／3］［cy4−（ε十1／3）ッ2十4／3］＝0 …………（26）
この式は静止時の自由振動速度を与えるが，式の形が式（14）と全く同形であるから，第工 表または第5図がそのまま利用できる。
またy＝0の場合はT＝x2で，式（25）は
［（b−a）x4−4（b−a十1／3）x2十4／3］［（c−a）x4−4（c−a÷1／3）x2十4／3コ＝0・・・… （27）
この式は危険遠度を与えるが，やはり，式（14｝と全く同形である。
このように式（24）または（25）は完全に解かなくても，静止時の振動遠度および主危険速 度は容易に求まるから実用上は大変便利である。
さて式（24）または式｛25）は （1）α＞b＞c，（2）b＞a＞c，（3）b＞c＞aの3つの場合に応 じて，それぞれ異なる解を与えるが，ここにはその詳細な解析を省略して，ただ1例を示
す。
4．0
3．0
0 2Z−→111
1．0
0
oFIxx・ぐΦ〜 ∫s、
％も 鞭k、
a＝1．155 b＝0．866 c＝0．289
u2 恥 く⊃ ／
・ ／
『ノ／
ら／
T2 Z隻 Lシ
1
／
N； ●■●●■■
Z
Ml
■■●●
／
／ U1 ／． ／ ／
／
T1 ／
／Y全／
Z：
／
1．0 2．0 3．0
一一x
第7図 非対称軸系の2−X線図
第7図は回転板の重量を第6図の場合と同一とし，形状を非対称とした薄板（a＝1．155，
b＝0．866，c＝0．289，μ＝2α／（b＋c）−2）の場合につきz一エ線図を示す。第6図と異なる 点は静止時の出発点がモードエおよび1共にTl， t九およびT，， U2とそれぞれ2点であ
り，前進曲線は下方の点から，後進曲線は上方の点から出発すること，モードエの前進プ レセッション曲線では主危険速度点が，M， とAT、 と2個あり，その中間は不安定帯で あることである。
59 ここで回転板の非対称の程度を示す指数として次式のαを用いることにする。
αニゐ／c …………（28）
2．0
．1．5
ω＜
λ。
1 0
ー
0．5
N三
〆升…▽育一，．61
＼ ＼ ＼
，t
︑＼
C
a＝b十c b＝0．5厄
c＝0．5／／ff
0・ 5 10 15
一α＝b／c
第8図 非対称度に対する危険速度の変化
第8図には同一軸に同一重量で，非対称度αの異なる薄い回転板を取付けた場合に，不 安定帯M1 ATI の変化をOγと記した実線で示す。
3．2．2 両持軸の場合一この場合は式（19）の組合せにより（22）と同様に次式を作る。
［bz、4−az、3x−（ノ1み＋1）2、2＋Aaz、x＋1］
×［cz24−az23x−（Ac＋1）z22＋A．ax2x＋1］
＋［c2、4一α之、3x−（．Ac＋1）z、2＋Aaz、x＋1］
×［bz24−az23x−（Ab＋1）z22＋／1az、エ＋1コー0 よって式（24）および（25）に対応して次の2式を得る。
4d［AaT十2］x4−［adT3十2｛d（Aa十1）十2Abc｝T2 十｛d（A2a十8）十2a（A十1）｝T十2（Ad十2）］x2 ＋［bT2＋（Ab＋1）T＋1］［cT2＋（Ac＋1）T＋1］−0 4d［AaT十2コor4−［adT3十2｛d（−3∠4a十1）十2Abc｝T2 十｛d（A2a−8）÷2a（A十1）｝T＋2（・4d十2）コy2 ＋［＠一のT2−｛A（b一の＋1｝T＋1］
×［（c−a）T2−｛A（c−a）十1｝T十1］＝0
一一・・・・・・・… （29）
…………（30｝
…………（31）
この両式の性質ならびに取扱い方は全く前記（24）および（25）と同様であるから詳細な説 明を省略する。ただ前出の第8図に，極薄い回転板の場合において，それぞれA＝1，2 および3．61のとき，不安定帯M， ATI の変化を非対称度αに対し，破線で示しておいた。
3．3 設計上の注意
非対称軸系は以上に述べたような欠陥があるから，それを出来るだけ避けて対称軸系に 近似せしめるためには，J1，万， bおよびCを次の関係を満足するように選ぶとよい。
2L（・一・）（b−a）＋1／3−N／（b−a）2＋（b−・）／3÷1／9
・・・・・・・・・… （33）
」， 一 （b−a） °（c−a） 十1／3−N／ （c−a）2十（c−a）／3十1／9
ここIC 」，および」，は軸の最大および最小の断面2次モーメントで，これに回転板を取付 けるにはJ，の軸と1，の軸とが平行なるようにする。
文 献
t
（1）山田嘉久：高速機械における回転円板の独楽作用の研究，山梨大学工学部研究報告 第3号，
1952−3 その他
（2）A．S・。d。1・、K・ei・el・NK i・kung・皿R・・ierend・n S・h・ib・n・Z・i・…9…T・・bi・・nwesen・1917・
p．225
（3）R．B． Green・Gyr・・c・pi・Effec…n・h・C・i・ical Speed・・J・ApPli・d Mech・nics・1948−12
（4）S．Crandl−P． B…e…0・・h・S・・bili・y・f R・…i・n・f R・・・…J・ApPli・d Mech・nics 1961・
p．567 ．
（5）M．K。，h。1、The S・lfi・d・ced O・cill・・i・n・・f R…rs・・966・C・n・ul・・n・Bureau Ente「p「1ses お
（6）Y．Y。m。d。、On・h・C・i・ical・Speed・・f・R・…1・g Sy…mh・vi・g・n A・ymm・t・ical Disc・
Proc，4th Japan Nat， Congress f， Appl三ed Mechanics，1954 p．381
（7）相羽三良：回転軸の提振動に関する理諭的研究 山梨大学工学部研究報告 第4号，1953−7
（8）L．Y。． B、nach−Dim・n・berg・1・gibnae K・1・b・niy・Vra・ch・y・・cheg・・y・Val・・Mechanik・i Machinostroenie No．6，1960
（9｝A．T。ndl，S・m・P・・bl・m・・f R・…Dy・・mics・965・Czech・・1・v・k A・ad・my・f Science・
