論 文 の 内 容 の 要 旨 お よ び 論 文 審 査 の 結 果 の 要 旨
G a l o i s の 理 論 は ， 体 の 拡 大 に G a l o i s 群 が 対 応 し ， そ の 群 に よ っ て そ の 拡 大
の 様 子 を 記 述 す る も の で あ る 。 逆 に ， 与 え ら れ た 群 に 対 し て そ の 群 を G a l o i s 群 に 持 つ 拡 大 が ど の く ら い 有 る か 決 定 す る 問 題 を ，G a l o i s の 逆 問 題 と い う 。 特 に ， 有 限 巡 回 群 に 関 し て は ，K u m m e r 理 論 ，A r t i n - S c h r e i e r - W i t t 理 論 に よ り ， そ の 群 を G a l o i s 群 に 持 つ 拡 大 が 乗 法 群 ， あ る い は 加 法 群 の 完 全 列 に よ っ て 記 述 さ れ る 。 こ う し た 理 論 は ， 代 数 幾 何 学 の 言 葉 で 一 般 化 さ れ て お り 、 群 は 群 ス キ ー ム 、 体 は 一 般 の 代 数 多 様 体 で あ る ス キ ー ム と な り 、 拡 大 に 相 当 す る も の は t o r s o r と 呼 ん で い る 。
一 般 の 群 で は 、 位 数 が 素 数 の 群 は 同 型 を 除 い て 唯 一 つ し か な い が 、 位 数 素 数 の 群 ス キ ー ム は 沢 山 あ り 、O o r t - T a t e に よ っ て 完 全 に 分 類 さ れ て い る 。 そ う し た 群 ス キ ー ム は 、 普 通 の 群 に あ た る 群 ス キ ー ム を 捩 じ っ た も の で 、t w i s t e d
g r o u p s c h e m e と い わ れ る 。 こ う し た 捩 じ っ た 群 ス キ ー ム を G a l o i s 群 に 持 つ
t o r s o r を 決 定 す る こ と が 、 こ の 論 文 の 主 題 で あ る 。
こ の よ う な 捩 じ ら れ た 群 ス キ ー ム に 対 す る t o r s o r は R o b e r t s と か
A n d r e a t t a a n d G a s b a r r i が 扱 っ て い る が 、 手 法 が 全 く 違 う の と 、 条 件 が こ の 論 文 と は 異 な っ て い る 。
手 法 は 、 円 分 体 の 整 数 環 上 へ の １ の ベ キ 根 の 作 用 を ト ー ラ ス へ の 作 用 と み な し て 、 そ の 作 用 に よ り ト ー ラ ス を 捩 じ っ た も の （ こ れ を 円 分 捩 れ ト ー ラ ス と 呼 ぶ ） を 考 え 、 そ れ が ト ー ラ ス 間 の ノ ル ム 写 像 の 核 と し て 表 現 さ れ 、 そ の 表 現 は 様 々 な ノ ル ム 写 像 の 完 全 列 へ と 拡 張 さ れ 、 こ れ を 円 分 分 解 と 呼 ん で い る 。 円 分 捩 れ ト ー ラ ス の 自 己 準 同 型 環 が 元 の 円 分 体 の 整 数 環 で あ り 、 そ の 素 元 の 核 と し て 捩 れ 有 限 群 ス キ ー ム が 現 れ 、 上 記 の 円 分 分 解 を 用 い て 、 ト ー ラ ス の W e i l 制 限 の 完 全 列 に 埋 め 込 ま れ 、K u m m e r 型 の t o r s o r の 決 定 に 至 る も の で あ る 。
次 に 、 円 分 捩 れ ト ー ラ ス の 自 己 準 同 型 写 像 が 、 素 元 の ベ キ で あ る 場 合 を 議 論 し て お り 、 そ の 際 、 当 然 現 れ る 群 ス キ ー ム は 素 数 ベ キ の 群 ス キ ー ム と な る 。 こ う し た 群 ス キ ー ム に 対 し て 、 上 記 の 同 じ 手 法 に よ っ て 、t o r s o r が 決 定 さ れ る の で あ る が 、 問 題 は 、 そ う し た 素 数 ベ キ 位 数 の 群 ス キ ー ム の 構 造 で あ る 。 こ れ に つ い て 、 こ の 論 文 で は O o r t - T a t e に よ る 素 数 ベ キ の 群 ス キ ー ム の 分 類 手 法 を 拡 張 し 、 群 ス キ ー ム の 自 己 同 型 群 の 固 有 空 間 へ の 分 解 を 決 定 し 、 そ の 座 標 環 の 標 準 的 表 現 を 与 え て い る 。 そ の 際 、 位 数 素 数 ベ キ の 巡 回 群 の 場 合 、 自 己 同 型 群 は 、 素 数 ベ キ 部 分 と 素 数 と 互 い に 素 な 部 分 の 直 積 に な る が 、 取 り あ え ず 、 こ の 論 文 で は 、 素 数 ベ キ 部 分 の 作 用 は 除 外 し て デ サ ン ト を 行 い 、 素 の 捩 れ 群 ス キ ー ム を 具 体 的 に 記 述 し 、 そ の t o r s o r を 決 定 し て い る 。
素 数 ベ キ 部 分 の 作 用 に よ る 捩 れ も 含 め て 、 完 全 な デ サ ン ト に つ い て も 言 及 し て お り 、 そ れ は 關 口 ‐ 諏 訪 理 論 に よ る 素 数 ベ キ 巡 回 拡 大 の 標 準 化 を 用 い る こ と に よ り 記 述 さ れ 、 更 に そ の t o r s o r が 決 定 さ れ る こ と を 述 べ て い る 。
こ の 研 究 は 、 素 数 ベ キ 巡 回 群 ス キ ー ム の 構 造 決 定 に つ い て も 、 か な り の 知 見 を 与 え て い る も の と 思 わ れ 、 戸 田 氏 の 計 算 に よ り 殆 ど の 考 え ら れ る 素 数 ベ キ 群 ス キ ー ム が 現 れ て い る 事 が 分 か っ て い る 。 し か し 、 例 外 の 可 能 性 も あ り 、 更 な る 研 究 が 待 た れ る も の で あ る 。
以 上 の よ う に 、 用 い て い る 手 法 は 、 群 ス キ ー ム 理 論 、 群 ス キ ー ム の 降 下 理 論 、 円 分 体 理 論 を 駆 使 す る も の で あ り 、 ま た 、 今 後 の 研 究 に よ る 新 た な 知 見 が 期 待 さ れ 、 こ の 結 果 は 博 士 （ 理 学 ） の 学 位 論 文 と し て 価 値 の あ る も の と 認 め る 。
