第
10
回 解析A
演習解答(7/9)
学科 学籍番号 名前 得点
次の関数の導関数を求めよ．講義中に出てきた初等関数の微分公式は証明なしに自由に用いてよい．
1. y= 2x
（解答）
y′ = 2xlog 2
2. y=ex2+1
（解答）
y′ =ex2+1·(x2+ 1)′
= 2xex2+1
3. y= tan−1x
（解答）
y′ = 1 1 +x2
4. y= logx x
（解答）
y′ = 1
x ·x−logx·1 x2
= 1−logx x2
5. y= √ x 1−x2
（解答）
y′ = 1·√
1−x2−x· 1 2√
1−x2 ·(−2x) 1−x2
=
√1−x2+ √ x2 1−x2 1−x2
= 1
(1−x2)√ 1−x2
6. y=xsin−1x+√ 1−x2
（解答）
y′ = sin−1x+x· √ 1
1−x2 + −2x 2√
1−x2
= sin−1x
7. y=xx
（解答）両辺の対数をとると
logy = logxx =xlogx であるから，両辺を x で微分して
y′
y = logx+x· 1
x = logx+ 1 よって
y′ =y(logx+ 1) =xx(logx+ 1)
点 a の近傍で定義された関数 f(x) が点 a で微分可能であるとは，極限値
xlim→a
f(x)−f(a) x−a
が存在することである．次の関数が x= 0 で微分可能かどうか判定せよ．
1. f(x) = x sinx
（解答）
xlim→0
f(x)−f(0)
x−0 = lim
x→0
x sinx−0 x
= lim
x→0 x · sinx x
= 0·1 = 0
よって，f は x= 0 で微分可能である．
（別解）
xlim→0
f(x)−f(0)
x−0 = lim
x→0
x sinx x ここで，右極限と左極限に分けて考える．
右極限は
x→lim0+0
x sinx
x = lim
x→0+0
xsinx x
= lim
x→0+0 sinx= 0 左極限は
x→lim0−0
x sinx
x = lim
x→0−0
−xsinx x
= lim
x→0−0(−sinx) = 0 よって
x→lim0+0
x sinx
x = lim
x→0−0
x sinx x = 0 であるから，極限は収束し
limx→0
x sinx x = 0
よって，f は x= 0 で微分可能である．
2.
f(x) = {
x2sin 1
x (x̸= 0) 0 (x= 0)
（解答）
xlim→0
f(x)−f(0)
x−0 = lim
x→0
x2sin 1 x −0 x
= lim
x→0xsin 1 x
ここで， sinθ 51 なので，x̸= 0 のとき 05 xsin 1
x 5 x であり
xlim→0 x = 0 から，はさみうち法より
limx→0xsin 1 x = 0 が成り立つ．つまり
xlim→0
f(x)−f(0) x−0 = 0 よって，f は x= 0 で微分可能である．
（注意）
講義中に説明したように
−15sin 1 x 51 より
−x5xsin 1 x 5x
なので，x→0として，はさみうち法より limx→0xsin 1
x = 0
とするのは誤りである．なぜならば，上の2番 目の不等式は x > 0 のときしか成り立たない．
x <0 のときは不等号が逆向きになる．
解答で絶対値記号を用いたのは，xの正負を気に せずに議論できるためである．
