構造物にある力が作用 した時

The two dimensional Stress Analysis by the Brittle Lacquer-Boundary Element Method

畑 俊 明 0紅 _{林 秀 治}^*

Toshiaki HATA,SyuJl KuREBAYASI

(昭和62年10月 12日受理

)

abstract

There are two kinds of methods in the field of stress analysis.One of them is the ex‐

perimental methOd.The other is the numerical面 ethod.These two methods have both merits and demerits in the analysis of structures. Therefore it is very difficult to analyse the stress Of structures accurately by nleans of one lnethod.

In the paper, we propose the new method, that is, the numerical・experilnental method, which´ conbines two kinds of methods. The method is the Boundary Element Method together with the Brittle Lacquer Method,which can analyse the stress in the structures accurately and

easily.

1 

は じ め に

構造物にある力が作用 した時

の構造物の部材内には

の力に対 して構造物の形状を維 持 しようとする力が生ずる。その部材内に生ずる単位面積当りの力を

^{料力学では応力 と呼} んでいる。その応力の大きさを予め知ることは

造物や道具類の安全で経済的な設計に重要 な意味をなすため

力解析は

^くから

くの人々により試みられてきた。

この応力解析の方法は

つに大別される。一つは

験的に解析する方法であり

^の一 つは

論的に解析する方法である。

実験的な方法には

弾性法

^アレ法

^{力塗料膜法}

トレイングージ法等

ある。

また

論的な解法には

論解法と数値解析法がある。理論解法 と呼ばれる方法は

力 ,

歪

位が領域内部で応力の釣合い方程式

力歪関係式

合条件式等を満足 し境界上で境 界条件を満足するように数式で解析を行なう方法であり

値解析法は

記の方程式が境界 条件を数値的に満足するように解析する方法である。後者には

分法

限要素法

^界要 素法等があるふ

実験的な方法は

能でなく一長―短がある。例えば

過光弾性法は

明な高分子材料 のモデルを使用 し

れに偏光を通すことにより

なり正確に応力や歪を測定することがで きる方法であるが

^れは

^{デル実験であり}

射式光弾性法を用いたとしても大きな構造 物の応力解析を行なうことはできない。また

アレ法は

アレ縞模様の理論に基づいでの歪 の測定法であるが

弾性実験法以上の結果は得にくい。大きな構造物の応力解析法としては ,

*大

学院教育学研究科研究生

畑

応力塗料膜法 とス トレイングージ法 を併用 し,応力集中の高い箇所の応力を直接測定する方法 が有効であるが,こ^{の方法で も},応力集中部付近の応力分布 を正確 に定量的に把握するのは困 難なように思われる。

理論的な解法は,一言でいえば

,Navierの

ところが,実際の構造物では,境界条件 を正確 に把握することは難 しいので,正しい解析結果 を得 ることは容易ではない。そこで実際の任意形状構造物の設計の際,正確かつ簡便な応力解 析法が要求される。

本報では, 2次元弾性問題に限定 し,自動入力によるパーソナルコンピューターを用いた境 界要素法解析 と,応力塗料膜法 とを組み合わせ る応力解析法を提唱する。この方法の利点は

,

実験的な方法 と理論的な解法を組み合わせることにより,実際の任意形状の構造物の応力解析 が簡単にかつ正確 に行えるものである。なぜなら,境界要素法の境界条件 を応力塗料膜法によ る実験値で与えることがで きるからである。本報の目的は,両側切欠を有する帯板の一軸引張

りを例に,この組合せによる応力解析 システムの有効性 を明確 にしようとするものである。

2 

境界 要素法 のみの

元弾性 問題 の応 力解析

境界要素法による応力解析は

単に述べると

のような過程を経て行なわれる。

まず

析する領域の境界を有限の大きさを持つ境界要素に分割する。次に領域内の任意点 における応力の値を関数値 として導き

れを連立一次方程式に構成 して解いていく。連立一 次方程式に構成 して解 くという点では

限要素法と大変類似 しているが

限要素法では解 析する領域全体を有限個の要素に分割するため

要素に与えるデータ数が

界要素法に比 して非常 に多 くなる。従って

ないデータで解析で きる境界要素法は

ーソナルコン ピューターの普及と共に注 目を浴びてきた。

^′

2‑1 

境界要素 法基礎 式 の導 出 ° ) 6)

ある弾性体内に働 く応力を示す式として

力 の釣合方程式がある。ここで

1に 示すよう に

面上の弾性体の領域をΩ

界を

「 とすると

内で作用する力の釣合方程式は ,

一般に式(1)のように示される。

σヵ″+bじ =0(J・ ノ

=1,2)in 

ここで, のプは応力,bιは物体力である。 また,

図

1 

コンマの次の添字のプは場 での偏微分を意味する。このときの境界

の境界条件 として ,

変位

表面力ρが与えられる。ここでは

界

「

を

して■ とF2と した時の境界条件 を式

示す。ただし

字の

′方向の成分であることを意味 している。

鶴ι

ぅ

1,p多

「 ,「 十匡

ここで_{,aι ,pじ} はそれぞれ変位,表面力であ り,効^ι,pJは,変位量,表面力量である。境

要素法では

^{の を式}

23,p3を 用いて求めようとするものである。そこで境界上の 変位及び表面力と領域、 内の応力 との関係式を導 くために基本解を用いる。基本解 とは

限領 域に単位集中力が作用 した時の応力

位及び表面力をいう。

無限領域上の点

単位集申力が作用 した時の点 ρ上の応力をσ誌とすると式

釣合方程 式は ,却 ^3)に 示される。

or*; * t(p,f ) e, =g

ここでδ

(p,p')は

ように示される。・    ^′ '      1       _‐

鶴考(ρ

)=zttJ eJ

ρす(p)=ρ ちθ

J       (4)

ここで_,%島は,変位の基本テンソル_,p島は,表面力の基本テンソルとする。この基本テンソ ルは,単位力が作用したときに生ずる変位と表面力である。但し,各基本テンソルの第一添字 は,生 じた変位及び表面力の方向を示し,第二添字は,作用した単位力の方向を示している。^. 平面応力時の基本テンソルの内容は,具体的には,茨式のようになる。

鶴L=岩 { ^{一 月 職} _わ ^{π十 に} +月

サ

^l

ρ 挽一赫

升

π   π 尉、  10

‑に 一月

_物

｀ハ

ここで

δι れはクロネッカのデルタ関数,η ι ,π πはχι ,χ π方向の境界外向き法線の方向余 弦

単位力の作用点 ρ

らの点

での距離で, Eは 縦弾性係数

はポアソン比を意 味する。

更に

,却 ^1)か

「 上におけ る変位と表面力から求める式を導く。相反定理より,領域Ω内の物体力と表面力及び変位の基 本解との積は,基本解の単位力及び表面力とΩ上の変位との積に等しい。従って

:次

ノρ

 ^bι

^+/「

̀乞すαΓ=ノρδ(p,p')θ

̀a′αθ十ノFρす%JJF      (6)

ここでの解析では,重力や磁力による影響が少ない場合の応力解析に嗅るもあとして物体力を

0とみなす。また単位集中力は,点 多

^'に

(0は式

^(つ

ノΓη_̀%ま

^d「

80 畑

そ して

,斑 ^4)を

^(7)へ

/「

ρ』 π

α

̀(ρ')+√_rpす

ι ^ttJ  α

"(p')=/F(」

ここで

,基 本テ ンソルマ トリ 'ク

スである。式

り

性領域内の点

における変位は

本テンソルと境界上の変位及び表面力により求められる。

さらに

領域内の点ρ

境界

「

上の点

移動させ

の極限値 を求めたならば ,

境界積分方程式が得 られる。この境界積分方程式は

式

なる。

(Q)=2/「 (υ精′一F政 )dF

式αOの境界積分方程式 は,境界上の未知 な変位 と表面力の値 を求めるために用い られる。

従 って,式

^(9)及

^{1内 ￨の}

σιπ=μ

^{(Zι ,π}

,ぉ (J,π

ここで μ

" 

λはラーメの定数である。

以上境界要素法では

^ら

用いることにより

界上の変位 と表面力から

^{域 1内} 部任意点における応力値を計算できることになる。

2‑2 

数値 計算

数値計算に際して

^{(8)及 蝋 9)を 離散化 しガ} ウスの

積分公式を用いて計算 した。計算機 としてパーソナルコンピューター

用いて行なった。境界条件代入の際, ￨ デジタイザ (グ ラフテック帥マイタブレット

I)(6)を

用いることにより

界条件の一つの 図形情報を

単に入力できるようにした。ま た

界条件としての変位及び表面力の値の代

図

2 

      .  :

プ レー上で,位置 を確認 しなが ら行 なえ

.る

応力問題を任意に選択できるようにした。そのシステム図を図

^2に

2‑3  境界要素法解析 に関する考察

この境界要素法による応力解析システムを用いれば,任意形状の応力値を簡単に求めること

(8)

l101

詢 い

解析結果 の表示

パソコン

m2

境界条件の入力

算

ができる。ところが,実際の構造物の応力解析を行なう際,境界条件を仮定しなければならな い。この問題は,境界要素法だけでなく,数値解析法の全てに関して言えるものである。

そこで,本報では,こ の境界条件を,実験的な応力解析法で求めることを検討してみた。そ の結果,実際の構造物の境界応力が比較的簡単に求められる応力塗料膜法が最適であると考え た。なぜなら,応力塗料膜法

￨ま

3 応力塗料膜法のみの応力解析

応力塗料膜法とは,脆性の高い塗料を試験物体上に直接塗布し,負荷時に現れるき裂模様か ら物体表面の応力・歪分布を全体的に解析する方法をいう。●。ここでは,その測定法について 述べる。

3‑・

き裂 と歪 の関係

塗料膜は

張 り主歪の方向に垂直にき裂する。そのき裂は

^{体表面に生 ・ じた歪の大きさ} に対応し

が大きいところではき裂が多 く

力Ⅵヽさいところではき裂が少ない。この対応 関係を利用することにより

量的な応力解析を行なうことができる。

そこで応力塗料膜法では

料を塗った帯状試験片に片持ち曲げ荷重を加えることにより ,

塗膜に生 じた単位長さ当 りのき裂数 (以 後 き裂密度と言う。

歪の関係を明らかにする。塗 料を塗った帯状試験片に

^{持ち曲げ荷重}

加えれば塗膜に縞のようなき裂が生 じる。 (図

3(a)及

び

荷重点からき裂を生 じ始めた点までの距離を ^,。 とす

。 れば

の点の応力σ及び歪 εは

式で示される。

σ=(67/bん^2)ι

O      ca

ε=(3/2)(んJO/L3)δ

o       l131 

意^{:i]』[i言J馨][[[息}

^]][[[lil」

き裂縞模様 は,荷重端か ら遠 ざかるにつれて,す^な

わち歪量が増すにつれて き裂密度 (本/呻)は増加す    ^図

ε°

 V:VXtr

3歪

る。ところが

^れは

がて飽和状態に達 し歪量が増加 してもき裂密度は一定 となる。 (図

3(C》 この歪 とき裂密度が

比例する範囲を用いれば歪の定量的測定 を行なうことがで きる。

って

^{物試験の場合}

の片持ち梁試験を同時に行なうことによって

験物体 の塗膜面直下の主歪値を測定することができる。この歪値に縦弾性係数をかけることにより具 体的に応力値を求めることが可能になる。

3‑2 

応 力塗料膜法 によ る

_{元応 力解 析} ^°

塗膜に生ずるき裂は

験片に生ずる最大主歪に垂直に生ずる。 ②この性質を利用 して, 2

次元の応力解析を行なうことができる。この場合

歪の方向と主引張 りの方向は

^致する

畑

ものと考えると,塗膜のき裂密度 より主歪の大 きさを知ることができる。この主歪に縦弾性係

数をかけることにより(■―νL)なる応力値が求められるしなお,■ , の は主応力である。

他方

元の応力解析においては

応力

和

十の

の平面内においてラプラス 方程式を満足する

^し

験片の境界周辺で は

る故に■のみの応力 となる

従って

界周辺での応力値は

単に求め

応力塗料膜法では,これらの性質を利用 して

,

主応力

a, 

平面内において主応力和 は,ラプラス方程式 を 満た している。

PS=0

ここで

ある。図

ように試験片内の平面

υ平面

を原点と して

軸及び

に平行な多数の平行線により分割する。その場合一つの網目の間隔をごと すれば

プラス方程式は

似的に次式となる。

器

器 二地 製

■ 秒 蛭 中 塑

得・キ

^{=夕 1釧}

+S(■ ,y一

)‑4S(χ

ここで,却^0及び式⑮ より,S(r,y)は ,次式により求まる。

S(Ly)=:お

_(κ

S(χ

式

り

おける主応力和

値は

の周辺隣接位置の

値から得 ら れる平均をとることにより求められる。ところが

接点の中で数点がごより小さくなる場合 には

の砂谷

来の式 Cが

用いる。この式の

応力和

あたる。

式

用いれば形状が複雑な場合にも主応力和

値を,,c,を 適当に与えることにより求め ることができる。

(0<ρ <ll, 0<g<1)

￨    1    1    1

1 1 1 :

Sん

従って

膜のき裂密度より主応力和

周辺値 を求めることにより

^{を用いて順次内部} 各位置における主応力和 Sの 値を求めることがで きる。このようにして求められる

^と ,

塗膜のき裂密度より得 られる

_{νの を連立し} て

意点における

のの値を求めることが できる。

以上応力塗料膜法における応力解析の手順は ^,

次のようにまとめることができる。

5不

1)塗

料を塗った片持ち梁試験片に荷重をかけ, き裂密度 と歪の関係を明らかにする。

2)試 験片に生 じた塗膜のき裂密度から歪値を割 り出し

の歪値に試験片の縦弾性係数をか けて応力値 σを得る。

元問題では応力 σと主応力

の の関係は

式 .よ り得 られる。

σ

=σ

2

3)2次

元問題では

応力 ■ と● の和は

プラス方程式を満足する。従って

十の とお くと ,'72s=0と なる。試験片周辺におしヽ ては

の

^{り周辺部の}

^{値は ,}

式は

り得 られる。そして

の値をもとに

つを用いて順次階差的に主応力和

値を求めていく。

4)試 験片上の同一点における

値 とσの値 より式

式 l131を 連立させ

^{のの値を式}

09よ

り求める。

cr: L+v vS*o ^'

^2=1+ν

以上が応力塗料膜法における応力解析の方法である。

応力塗料膜法では

^述の

階の過程を経てようやく応力解析ができる。この実験方法は

実際の構造物から直接応力解析を行なうには非常に有効であると考えられるが

^{力の全体解} 析を行なう上で

び式はうを駆使 して内部における主応力和を求めなければならない。そ

して

の作業は非常に時間がかかるものである。

本報では

れらの欠点を補うために

力塗料膜実験により応力を全体的に解析せず一部 の解析結果のみを境界要素法の境界条件 として用いて解析を行なえば

際の構造物の応力解 析を簡単に行なえる点に着目して

力塗料膜法と境界要素法を組合わせた応力解析法を提唱 する。

4 

応力塗料膜 ―境界要素 法 によ る応 力解析

境界要素法では

意形状の応力解析が容易に行なえるものの

^{の境界条件は}

^{定 しな}

ければならないという欠点があった。また

^{力塗料膜法では}

^{力解析に式は}

^び式

^を用 いて主応力和を求めるために非常に解析に時間がかかる。そこで本報では

^{力塗料膜法で境} 界条件を求めて

れをもとに境界要素法応力解析を行なう。

l181

ハ

７

畑

ここでは,一軸引張 りを受ける両側に双曲線の切欠 きを有する帯板 を例 にこの組合せ による 応力解析の有効性 を明確にする。

4‑1試 験 片

試験片 は,図^6の形状 のアル ミニ ウム板

(厚

7200k9/1111112,ポ

0.34)を

4‑2 

実験方法及び実験 結果

本実験 で は ,応 力塗料 として応力塗料

殊塗料株式会社

用いた。

塗料乾燥後の試験片 をアムスラー型引張

図

6 

図7  き 裂 写 真          ^図18 歪 ― き 裂 密 度 曲 線 り試験機

(最

真撮影により行なった。その結果,試^{験片 については},図

^7の

^8に

示す歪 とき裂密度の関係が得 られた。

試験片上に得 られたき裂密度 より,各位置における (σl― ν σ2)を求める。次 に試験片の 周辺におけるき裂密度か ら,主^応力和 (■

+の )の

,

llE次

ような分布を示 した。これが応力塗料膜法のみから得 られた結果である。なお

^点鎖線は

Neuberの

計算結果による厳密解を示す。

7 

CI鶴_静

∞

:  

… … Ⅲ … Ⅲ …・ ―・ ―・・   厳      密      解

…¨…………・ 境 界 要 素 法 解 析 図

9等

●・ 角帰

お

り

纂〉

刀 ソ

一

応 力 塗 料 膜 法

……Ⅲ…‐―・―・……′周t    密

   :解

……二 …… 境 界 要 素 法 解 析

図10 等 応 力線^.図 くの

⁾

次に

力塗料膜一境界要素法解析法を示す。

図

図

り明らかなように

^{験片の端面付} 近では

^{直断面応力は,■}

=0と な る。また境界周辺のき裂密度は

■のみの値を 示すことより

れらを境界条件 として境界要素 を

分割 し

面応力解析を行なった。境界分 割図は

^{示す。その結果主応力}

^{の に} 関して

^図

点線で示す結果を得た。

図

11.境

4‑3考   

図^9よ り,切^{欠きの断面では},境界要素法解析の結果は,境界付近を除き,ほ^{とんどNue‐}

berの計算結果と一致している。ところが,応力塗料膜法では,境界要素法の解析結果ほど正 確な結果は,得られていない。その理由とし応力塗料膜法は,比較的高い精度

^t131で

るが

力集中部では単軸応力状態とは異なり

力分布が複雑であり

た

力和

(■

十 の

求めるにあたり周辺応力値から階差的に求めて行 くため誤差が多 くなるという 2点 が考えられる。ところが

界要素法との解析を併用すると

力分布や境界周辺での値 を境界条件とするために

力塗料膜法よりも正確で簡単に解析 し得ると考えられる。

5 

ま

^と

^め

本報は

力塗料膜―境界要素法による応力解析システムの有効性を実証することを目的と している。この応力解析システムの特徴は

際の構造物の境界条件を応力塗料膜法により解 析 し

の値を境界要素法による

元応力解析で解析することである。また

の解析には

パーソナルコンピューターとデジタイザを組合わせたシステムを用いることにより比較的簡単

i

ク

部     ^｀ 畑

に解析が行なうことができる。そして

体的に双曲線の切欠きを有する帯板に関して引張 り 実験を行ない

^の結果を

解析結果 と比較 し精度についての検討を行った。その結 果

応力解析システムの有効性が実証された。

境界要素法では

界が

^{由端であるならば}

面力

端であるならば

位

して境界条件を与えることができるが

重が負荷 している部分の表面力や変位を正確に

握できない。ところが

の組合わせによる応力解析システムを用いれば

^{界条件 となり得} る表面力をき裂密度から得ることができる。そして応力塗料膜法による全体解析 を必要 としな い非常に能率的な応力解析法が確立できた。

また

の方法は

際の構造物の応力を簡単に示すことができるため

造物設計や金属 加工学習に力学的根拠を与える教材 として中学校や高等学校の授業に利 ^1用 することもできよう。

最後に本研究に際し

々の御助言を頂 きました静岡大学教育学部須見尚文教授に謝意を表 します。

参 考 文 献

(1)菅

野昭

橋賞

野利男

力ひずみ解析

^倉書店

0)神 ^谷紀生

^{界要素法の基礎}

^風館

13)ブ

レビア

^谷紀生

^{中正 1隆}

申喜久昭

共調

^{界要素法入門}

^風館

(1980)

(4)ブレビア,C.A.,ウ^オーカー, S.(神^谷紀生,田中正隆,田申喜久昭 共訳):境界要 素法の基礎 と応用,培風館(1981)

(5)下関正義,戸川隼人 :パ ソコンによる境界要素法入門,サ^{イエ ンス社(1984)} (6)デジタイザK D4030マ ニュアル,グラフテ ック株式会社(1984)

(7)A.V.De FOrest,GFeer Ellls,F.B,SteFn Jr.:Journal of Applied Mё

chaics,vol。

(8)Greer Eliss:Proceeding of the Society for Experimental Stress Analyもis,v01.1,NO。 1(1943)

P。

(91  西原利夫,平^修二,前田春興 :日 本機械学会誌,53巻 380号,(1950)P。 ^340‑346

00  菅野昭

橋賞

野利男

力ひずみ解析

^倉書店

1111  西原利夫

田春興

^井太一

本機械学会論文集

0)西

原利夫

^修二

^田春興

^料試験

C)西原利夫,平修二,前田春興^:材料試験, 2巻 , 9号,1953)P。 ^4291493 はり Ho Neuber:Kerbspannungslehre,Springer̲Verlag(1958)