「数学5」(2変数関数の微分積分)
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< 合成関数の微分法 4 >
例
2変数関数
f(x, y)に対し，
z =f(rcosθ, rsinθ)
とおくと
zは変数
r，θの
2変数関数となる。このとき，
∂z∂θ
を求めたい。
x=rcosθ , y =rsinθ
とおいて，r を定数と考え，θ だけの関数と思うと，
∂z
∂θ = ∂z
∂x ×∂x
∂θ + ∂z
∂y × ∂y
∂θ
が成り立つから
∂z
∂θ =fx(x, y)× ∂
∂θ(rcosθ) +fy(x, y)× ∂
∂θ(rsinθ)
=−fx(rcosθ, rsinθ)rsinθ+fy(rcosθ, rsinθ)rcosθ
問 1
z=f(rcosθ, rsinθ)に対し，
∂z∂r
を求めよ。
問 2
2変数関数
f(x, y), ϕ(u, v), ψ(u, v)に対し，合成関数
z =f¡ϕ(u, v), ψ(u, v)¢
は，u と
vの
2変数関数である。このとき
x=ϕ(u, v) , y =ψ(u, v)
とおけば
∂z
∂u = ∂z
∂x × ∂x
∂u +∂z
∂y × ∂y
∂u
=fx³
ϕ(u, v), ψ(u, v)´
ϕu(u, v) +fy³
ϕ(u, v), ψ(u, v)´
ψu(u, v)
である。同様にして，
∂z∂v
