実形の交叉
沼津研究会 田崎博之
筑波大学数理物質系
2017
年3
月6
日大円の交叉
対蹠点の対
S 1 ⊂ S 2
|| ||
P 1 ( R ) ⊂ P 1 ( C )
|| ||
Ad(SO (2))x 0 ⊂ Ad(SU (2))x 0
R P 1 は C P 1 の複素共役写像の不動点集
合 :
実形
C P 1 の複素共役写像の不動点集
合 :
実形
(SU (2), SO (2)) :
コンパクト対称対su(2) = so(2) + p :
標準分解x 0 =
√ − 1
− √
− 1
p = R x 0 + R
√ − 1
√ − 1
A = S (U (1) × U (1))
=
z
z − 1
z ∈ U (1)
SU (2) = SO(2)ASO (2)
SU (2) ∋ g = k 0 ak 1
(k 0 , k 1 ∈ SO(2), a ∈ A) L = Ad(SO(2))x 0
とおく。L ∩ Ad(g )L = Ad(k 0 )(L ∩ Ad(a)L)
Ad(a)
の作用はR x 0
を軸とする回転であり、L
を保たなければL ∩ Ad(a)L = {± x } .
(SU (n + 1), SO (n + 1)) :
コンパクト対称対su(n + 1) = so(n + 1) + p :
標準分解p = √
− 1 { X | X :
実対称行列trX = 0 } x 0 = √
− 1
n
− 1 n
∈ p Ad(SU (n + 1))x 0
∼ = SU (n + 1)/S (U (1) × U (n)) ∼ = C P n Ad(SO(n + 1))x 0
∼ = SO(n + 1)/S (O (1) × O (n)) ∼ = R P n
これらを同一視する。R P
n はC P
n の複素共役写像の不動点集合:
実形A =
z
1. . .
z
n+1
z
1, . . . , z
n+1∈ U (1) z
1· · · z
n+1= 1
o :
コンパクト対称空間SU (n + 1)/SO(n + 1)
の原点Ao : SU (n + 1)/SO(n + 1)
の極大トーラス対称空間の一般論より
SU (n + 1)/SO(n + 1) = ∪
k∈SO(n+1)
kAo
したがって、
SU (n + 1) = SO(n + 1)ASO(n + 1).
SU (n + 1) ∋ g = k 0 ak 1
(k 0 , k 1 ∈ SO(n + 1), a ∈ A) L = R P n = Ad(SO (n + 1))x 0
とおく。L ∩ Ad(g )L = Ad(k 0 )(L ∩ Ad(a)L)
L ∩ Ad(g )L
を調べることは、L ∩ Ad(a)L
を 調べることに帰着。交叉を記述する概念の導入
M :
コンパクトRiemann
対称空間s x : x
に関する点対称x ∈ M
定義
(Chen-Nagano 1988) S ⊂ M :
対蹠集合⇔ ∀ x, y ∈ S s x y = y
| S | :
集合S
の元の個数# 2 M : M
の2-number
= sup {| S | | S
は対蹠集合}
S :
大対蹠集合⇔ # 2 M = | S |
K = R , C , H
G k ( K n ) : Grassmann
多様体{ v i } : K n
のK
正規直交基底⇒ {⟨ v i
1, . . . , v i
k⟩ K | 1 ≤ i 1 < · · · < i k ≤ n } : G k ( K n )
の大対蹠集合# 2 G k ( K n ) =
( n k
)
これは
Z 2
係数Betti
数の総和(Grassmann
多様体やコンパクト型Hermite
対称空間を含む対称R
空間のクラスで成立。)
K¨ ahler
多様体内τ :
対合的反正則等長変換Fix(τ )
の連結成分:
実形K¨ ahler
形式はシンプレクティック構造を定める 実形は全測地的Lagrange
部分多様体Hermite
対称空間はK¨ ahler
多様体 複素射影空間内の実射影空間は実形定理
1(T. 2010) M :
複素二次超曲面L 0 , L 1 : M
の実形L 0 ∩ L 1 :
離散的⇒ L 0 ∩ L 1 :
対蹠集合 定理2(Tanaka-T. 2012)
M :
コンパクト型Hermite
対称空間L 0 , L 1 : M
の実形L 0 ∩ L 1 :
離散的⇒ L ∩ L :
対蹠集合定理
3(Ikawa-Tanaka-T. 2015)
M :
既約コンパクトHerm.
対称空間L 0 , L 1 : M
の実形L 0 ∩ L 1 :
離散的⇔
対称三対による条件 この場合L 0 ∩ L 1 : M
の対蹠集合、ある種の
Weyl
群の軌道、二点等質コンパクト型
Hermite
対称空間は、コンパク トLie
群の随伴軌道M = Ad(G)x 0 ⊂ g
にな ることを利用する。(G, K i ) : L i
を定める対称対g = k i + p i :
対応する標準分解、x 0 ∈ p i a : x 0
を含むp 0 ∩ p 1
内の極大可換部分空間o : G/K 1
の原点、Hermann
の結果よりG/K 1 = ∪
k ∈ K
0k exp ao
したがって、G = K exp aK .
G ∋ g = k 0 ak 1
(k 0 ∈ K 0 , k 1 ∈ K 1 , a ∈ A)
L 0 ∩ Ad(g )L 1 = Ad(k 0 )(L 0 ∩ Ad(a)L 1 ) L 0 ∩ Ad(g )L 1
を調べることは、L 0 ∩ Ad(a)L 1
を調べることに帰着。対称三対
⇒ L 0 ∩ Ad(a)L 1
が離散的になるた めの必要十分条件L 0 ∩ Ad(a)L 1 :
離散的⇒
対蹠集合、ある種 のWeyl
群の二点等質な軌道定理
4(Iriyeh-Sakai-T. 2013)
M :
既約コンパクト型Hermite
対称空間L 0 , L 1 : M
の実形L 0 ∩ L 1 :
離散的⇒ Floer
ホモロジーHF (L 0 , L 1 ) ∼ = ⊕
p ∈ L
0∩ L
1Z 2 p
生成系
L 0 ∩ L 1
の鎖複体、正則写像の個数から 定まる境界作用素によるホモロジーL 0 t L 1 , ϕ : M
のHamilton
変形| L 0 ∩ ϕ(L 1 ) | ≥ rankHF (L 0 , L 1 ) = | L 0 ∩ L 1 |
ある例外を除いて| L 0 ∩ L 1 | = min { # 2 L 0 , # 2 L 1 }
(L
i:
対称R
空間⇒ #
2L
i: Z
2 係数Betti
数の総和)
上記不等式と積分幾何学の応用例
複素二次超曲面
Q n ( C )
のHamilton
変形ϕ
と 実形S n
に対してn ≥ n
コンパクト
Lie
群の随伴軌道:
複素旗多様体M = Ad(G)x 0 ⊂ g
(G, K ) :
コンパクト対称対、g = k + p
L = Ad(K )x 0 :
実旗多様体(x 0 ∈ p) M : G
不変K¨ ahler
計量が存在、L : M
の実形コンパクト型
