Wersja z dnia: 02.05.2011 http://matematyka.strefa.pl Układy równań — strona 1
Układy równań stopnia pierwszego z dwiema i trzema niewiadomymi
Przedmowa
To opracowanie jest napisane z myślą o gimnazjalistach, ale mogą z niego korzystać także Ci, co chcą się dowie- dzieć np. jak rozwiązuje się układy równań liniowych (stopnia pierwszego) metodą wyznacznikową. Wszystko co tu znajdziesz jest wyjaśnione od podstaw. Nie musisz być orłem z matematyki by zrozumieć o co tu chodzi. Za- mieściłem tu bardzo dużo rozwiązanych zadań wraz z opisem wszystkich wykonywanych czynności.
Przystępując do omówienia układów równań, zakładam, że wszystko co było we wcześniejszych latach nauki w gimnazjum jest Ci już świetnie znane. Jeśli nie, to najpierw przeczytaj krótkie przypomnienie tego co powinno się umieć przed przystąpieniem do rozwiązywania układów równań (strona 66), a dopiero później zacznij czytać to opracowanie od początku.
Spis tematów
1. Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań? ... 3
2. Rodzaje układów równań i ich nazwy. ... 5
— układ sprzeczny ... 7
— układ nieoznaczony ... 11
— układ oznaczony ... 14
— układy równoważne ... 15
3. Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. ... 17
— metoda graficzna ... 18
— metoda podstawiania ... 19
— metoda przeciwnych współczynników ... 20
— metoda wyznacznikowa (Sarrusa dla układów Cramera) ... 25
— sprawdzanie otrzymanego wyniku ... 27
— zadania tekstowe ... 28
— o sumie i różnicy dwóch liczb ... 29
— z układaniem równania dotyczącego łącznej wartości czegoś ... 33
— o przelewaniu np. wody z jednego zbiornika do drugiego ... 37
— o wycieczce na którą pojechała jakaś grupa osób ... 39
— dotyczące geometrii np. trójkątów lub czworokątów ... 42
— na ułożenie 3-ch równań redukujących się do 2-ch równań stopnia pierwszego ... 42
— m.in. na przestawianie cyfr w liczbie ... 45
— dotyczące obliczania wieku (liczby lat) danej osoby ... 51
— dotyczące obliczania liczby rodzeństwa danej osoby ... 52
4. Rozwiązywanie układów trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi. ... 53
— metoda wyznacznikowa ... 53
— metoda przeciwnych współczynników ... 55
— zadania tekstowe ... 57
5. Rozwiązywanie układów równań z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia. ... 59
6. Stężenia procentowe. ... 62
7. Omówienie niektórych zagadnień przydatnych przy rozwiązywaniu układów równań. ... 66
— wzory skróconego mnożenia oraz przekształcanie wyrażeń algebraicznych ... 66
— sformułowania najczęściej występujące w zadaniach tekstowych ... 68
— procenty ... 68
— równania, proporcje ... 69
Wersja z dnia: 02.05.2011 http://matematyka.strefa.pl Układy równań — strona 3
Temat: Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań?
Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamerką np.
൜ݔ + ݕ = 10 ݔ − ݕ = 4 .
Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną zmienną (niewiadomą) np. ݔ lub ݕ . Zmienne mogą być podnie- sione do jakiejś potęgi, ale różnej od 0. Przykłady układów równań:
൜ 3 ݔ
− 7 ݕ
= 10
−5 ݔ − 4 ݕ = 4 ൝ 3 ݔ + 4 ݕ + 5 ݖ = 8
−5 ݔ − 2 ݕ + 3 ݖ = 7 0 ݔ + 5 ݕ − 3 ݖ = −10
Równania tworzące układ równań powinno się podpisywać tak, by znaki równości były idealnie jeden nad drugim.
W matematyce układy równań stosuje się w celu szybszego otrzymania wyniku z zadania tekstowego. Zasada jest taka, że na podstawie treści zadania układasz przynajmniej dwa równania z dwiema niewiadomymi, spinasz je z lewej strony klamerką i przystępujesz do znalezienia rozwiązania. Co jest rozwiązaniem układu równań napiszę później.
Ponieważ w gimnazjum omawiane są tylko układy złożone z dwóch równań o dwóch zmiennych podniesionych do potęgi pierwszej (wówczas potęgi się nie pisze), więc od tej pory wszystko co będę pisać, będzie się tyczyć wyłącznie tego typu układów równań.
Znalezienie rozwiązania danego układu równań polega na tym, by znaleźć takie liczby które wstawione za- miast zmiennych sprawią, że w obu równaniach strona lewa będzie równa stronie prawej. Zobacz to na przykładzie już wcześniej napisanego układu równań:
൜ݔ + ݕ = 10 ݔ − ݕ = 4
Jeśli w równaniu pierwszym zamiast ݔ napiszesz liczbę przypuśćmy 8 i zamiast ݕ np. liczbę 2, to strona lewa będzie równa stronie prawej. Wstawiając jednak te same liczby do równania drugiego, sprawisz, że jego strona lewa nie będzie równa stronie prawej. Wnioskujesz więc, że liczby te nie spełniają tego układu równań (nie są jego rozwiąza- niem), bo w równaniu drugim lewa strona nie wyszła równa stronie prawej.
Skoro powyższe liczby tj. ݔ = 8 i ݕ = 2 nie były rozwiązaniem powyższego układu równań, więc szukasz innych liczb i robisz to tak długo, aż znajdziesz dwie takie liczby, które spełniają oba równania jednocześnie. Wybierasz więc przykładowo ݔ = 5 i ݕ = 1 i sprawdzasz czy spełniają one dany układ równań. Jeśli zamiast ݔ w obu równaniach na- piszesz liczbę 5 i w obu równaniach zamiast ݕ napiszesz liczbę 1, to w drugim równaniu strona lewa będzie w praw- dzie równa stronie prawej, ale w pierwszym równaniu nie. Zatem ݔ = 5 i ݕ = 1 nie spełniają tego układu równań, bo tylko w jednym równaniu strona lewa wyszła równa stronie prawej. Szukasz więc innych liczb. Niech tym razem będą nimi: ݔ = −10 i ݕ = 15. Jeśli zamiast ݔ w obu równaniach napiszesz liczbę −10 i w obu równaniach zamiast ݕ napiszesz liczbę 15, to ani w pierwszym ani w drugim równaniu strona lewa nie będzie równa stronie prawej. Za- tem te liczby również nie spełniają tego układu równań. Wybierasz więc jeszcze inne liczby — takie które wydają Ci się że mogą spełniać ten układ równań, choć nie masz pewności czy tak w rzeczywistości będzie. Sprawdzasz więc liczby ݔ = 7 i ݕ = 3. Jeśli zamiast ݔ w obu równaniach napiszesz liczbę 7 i w obu równaniach zamiast ݕ napiszesz liczbę 3, to w pierwszym równaniu strona lewa będzie równa stronie prawej i w równaniu drugim również strona lewa będzie równa stronie prawej. Nareszcie metodą prób i błędów udało się znaleźć takie dwie liczby które spełnia- ją oba te równania jednocześnie. Zatem rozwiązaniem rozpatrywanego układu równań jest ࢞ = ૠ i
࢟=
lub krócej
— jest nim para liczb (7; 3) — zauważ, że liczby są ujęte w nawias zwykły i rozdzielone średnikiem (tak jakby to były współrzędne punktu w układzie współrzędnych).
W rozwiązywaniu układów równań chodzi o to, by nie znajdować rozwiązania (wspólnej pary dla podanych równań)
w taki sposób jak to robiliśmy powyżej (chybił-trafił), lecz dokładnie je wyliczyć w oparciu o jakąś metodę.
No dobra. Masz już rozwiązanie powyższego układu równań i mogłoby się wydawać, że to już koniec. Tymczasem tak nie jest.
Sformułowanie rozwiązać układ równań oznacza, że trzeba znaleźć wszystkie wspólne pary ( ݔ ; ݕ ) dla poda- nych równań, a nie tylko jedną z nich. Zobacz:
równanie pierwsze tj. ݔ + ݕ = 10 jest spełnione m.in. przez pary ( ݔ ; ݕ ):
(0; 10), (1; 9), (2; 8), (3; 7), (7; 3), (8; 2), (9; 1), (11; –1), (12; –2) a równanie drugie: ݔ − ݕ = 4 m.in. przez pary ( ݔ ; ݕ ):
(0; –4), (1; –3), (2; –2), (5; 1), (7; 3), (8; 4), (9; 5), (10; 6), (13; 9).
Ponieważ oba równania są spełnione przez nieskończenie wiele różnych par, więc może się zdarzyć, że oprócz znale- zionej wspólnej pary (7; 3) istnieją jeszcze inne wspólne pary które spełniają ten układ równań. Tych wspólnych par może być nawet nieskończenie wiele, a szukać ich należy także pośród ułamków, pierwiastków, liczb mieszanych oraz liczb ujemnych. Nie można więc poszukiwać rozwiązania układu równań metodą na chybił-trafił jak to było ro- bione powyżej. Co by było gdybym zamiast ݔ nie wstawił liczby 7 i zamiast ݕ liczby 3? Powstałoby wrażenie, że po- wyższy układ równań nie ma rozwiązania — a tak nie jest.
By znaleźć wszystkie rozwiązania danego układu równań, należy posłużyć się jakąś metodą która pozwoli w sposób rachunkowy (bez zgadywania), wyznaczyć wszystkie wspólne pary. W przypadku układu równań składającego się z dwóch równań stopnia pierwszego (zmienne są podniesione do potęgi pierwszej), metody pozwalające wyznaczyć wszystkie rozwiązania nazywają się tak:
— podstawiania (algebraiczna)
— przeciwnych współczynników (algebraiczna)
— graficzna
— wyznacznikowa (algebraiczna) zwana także metodą Sarrusa
— eliminacji Gaussa
— Kroneckera-Cappellego
i zostaną one pojedynczo omówione w następnych tematach (oprócz dwóch ostatnich — zakres studiów).
Zauważ, że sposób zapisywania par spełniających dane równanie jest dokładnie taki sam jak sposób zapisywania współrzędnych punktów w układzie współrzędnych. Nie jest to zbieg okoliczności. Każdą parę spełniającą dane rów- nanie możesz zaznaczyć w układzie współrzędnych jako punkt. Jeśli w jednym układzie współrzędnych zaznaczysz wszystkie pary spełniające równanie pierwsze (na ogół będzie ich nieskończenie wiele), to otrzymasz jakąś linię (wy- kres funkcji) — w zadaniach z zakresu gimnazjum na ogół będzie to prosta. Gdy zrobisz to samo z drugim równa- niem, to otrzymasz drugą linię (następny wykres funkcji). Rozwiązaniem danego układu równań będą współrzędne tych punktów które należą jednocześnie do obu narysowanych wykresów.
Ćwiczenie: Sprawdź czy para (5; 3) spełnia układ równań: ൜ 7 ݔ − 2 ݕ = 29
4 ݔ + ݕ = 23 .
[Podpowiedź. W obu równaniach zamiast ݔ napisz liczbę 5 (pierwsza podana współrzędna) a zamiast ݕ liczbę 3. Sprawdź, czy w każdym równaniu strona lewa jest równa stronie prawej. Odp. Tak, spełnia.]Ćwiczenie: Wypisz 8 par ( ݔ ; ݕ ) spełniających równanie pierwsze, a następnie 8 par ( ݔ ; ݕ ) spełniających równanie drugie układu równań: ൜ 2 ݔ − ݕ = 12
ݔ + 2 ݕ = 6 . Jaka para liczb ( ݔ ; ݕ ) jest wspólna dla obu tych równań?
[Odp. (ݔ;ݕ) = (6; 0).]
Ćwiczenie: Wypisz po 10 par ( ݔ ; ݕ ) spełniających równania układu równań: ൜ 2 ݔ − 3 ݕ = 12
3 ݔ + 2 ݕ = 5 . Jaka para liczb ( ݔ ; ݕ )
jest wspólna dla obu tych równań?
[Odp. (ݔ;ݕ) = (3; −2).]Wersja z dnia: 02.05.2011 http://matematyka.strefa.pl Układy równań — strona 5
Temat: Rodzaje układów równań i ich nazwy.
Układowi równań możesz nadać nazwę zależnie od:
1. Liczby równań
— układ mający 2 równania nazywa się układem 2-ch równań
൜ 2 ݔ − ݕ = 12 ݔ + 2 ݕ = 6
— układ mający 3 równania nazywa się układem 3-ch równań
൝ 3 ݔ + 4 ݕ + 5 ݖ = 8
−5 ݔ − 2 ݕ + 3 ݖ = 7 0 ݔ + 5 ݕ − 3 ݖ = −10
itd.
2. Liczby zmiennych
— układ mający 2 zmienne np. ݔ i ݕ nazywa się układem o 2-ch zmiennych
൜ 2 ݔ − ݕ = 12 ݔ + 2 ݕ = 6 Układ równań: ቄݕ = 7
ݔ = 6 też jest układem o 2-ch zmiennych, bo można go zapisać w postaci równoważnej: ൜ 0 ݔ + ݕ = 7 ݔ + 0 ݕ = 6 .
— układ mający 3 zmienne np. ݔ , ݕ , ݖ nazywa się układem o 3-ch zmiennych
൝ 3 ݔ + 4 ݕ + 5 ݖ = 8
−5 ݔ − 2 ݕ + 3 ݖ = 7 0 ݔ + 5 ݕ − 3 ݖ = −10 itd.
3. Największego stopnia równania
— układ którego największy stopień równania wynosi 1 (wszystkie zmienne podniesione są do potęgi 1) nazywa się układem stopnia 1-wszego lub układem liniowym
൜ 2 ݔ − ݕ = 12 ݔ + 2 ݕ = 6
— układ którego największy stopień równania wynosi 2 nazywa się układem stopnia 2-giego
൜ 3 ݔ
− 7 ݕ
= 10
−5 ݔ − 4 ݕ = 4 itd.
4. Liczby różnych rozwiązań (lub ich braku)
— układ nie mający ani jednego rozwiązania (0 rozwiązań) nazywa się układem sprzecznym
൜ݔ + ݕ = 5
ݔ + ݕ = 6
— układ mający nieskończenie wiele różnych rozwiązań nazywa się układem nieoznaczonym
൜ݔ + ݕ = 10 ݔ + ݕ = 10
— układ mający skończoną liczbę różnych rozwiązań np. dokładnie 1 rozwiązanie lub dokładnie 2 rozwiązania lub dokładnie 3 rozwiązania itd. nazywa się układem oznaczonym
൜ݔ + ݕ = 10 ݔ − ݕ = 4
Każdy układ równań ma precyzyjną swoją nazwę. Tworzy się ją zawsze z 3-ch pierwszych powyższych punktów.
Przykładowo układ równań:
൜ݔ + ݕ = 10 ݔ − ݕ = 4
precyzyjnie nazywa się układem dwóch równań liniowych o dwóch zmiennych, zaś układ równań:
൝ 3 ݔ + 4 ݕ + 5 ݖ = 8
−5 ݔ − 2 ݕ + 3 ݖ = 7 0 ݔ + 5 ݕ − 3 ݖ = −10
precyzyjnie nazywa się układem trzech równań liniowych o trzech zmiennych. Układ równań:
൜ 3 ݔ
− 7 ݕ
= 10
−5 ݔ − 4 ݕ = 4
nazywa się układem dwóch równań stopnia drugiego o dwóch zmiennych. Zauważ, że w tego typu układzie równań wystarczy, że przynajmniej jedno z równań jest stopnia drugiego.
Ćwiczenie: Nazwij precyzyjnie układy równań:
൜ 2 ݔ − ݕ = 12
ݔ + 2 ݕ = 6 ൝ 2 ݔ − ݕ = 12 ݔ + 2 ݕ = 6
5 ݔ − 3 ݕ = 0 ൝ 3 ݔ + 4 ݕ + 5 ݖ = 8
−5 ݔ − 2 ݕ + 3 ݖ = 7 0 ݔ + 5 ݕ − 3 ݖ = −10
൝ 3 ݔ + 4 ݕ + 5 ݖ + = 8
−5 ݔ − 2 ݕ + 3 ݖ − 3 = 7 0 ݔ + 5 ݕ − 3 ݖ + 2 = −10
[Odp.: a) Układ dwóch równań liniowych o dwóch zmiennych. b) Układ trzech równań liniowych o dwóch zmiennych. c) Układ trzech równań liniowych o trzech zmiennych. d) Układ trzech równań liniowych o czterech zmiennych.]
Uwaga. Aby układ równań można było rozwiązać w sposób jednoznaczny, to liczba zmiennych w nim występujących musi być równa liczbie równań lub od niej mniejsza. Oznacza to, że w powyższym ćwiczeniu ostatni układ równań jest nierozwiązywalny, gdyż ma 4 zmienne, a tylko 3 równania. By dało się rozwiązać trzeba albo skasować jedną zmienną, albo dopisać co najmniej jedno równanie o tych samych zmiennych.
— Układ równań liniowych (stopnia pierwszego) może mieć 0 rozwiązań lub 1 lub nieskończenie wiele.
— Układ równań stopnia 2-giego może mieć 0 rozwiązań lub 1 rozwiązanie lub 2 lub nieskończenie wiele.
— Układ równań stopnia 3-ciego może mieć 0 rozwiązań lub 1 rozwiązanie lub 2 lub 3 lub nieskończenie wiele.
— Układ równań stopnia n może mieć od 0 do n różnych rozwiązań lub nieskończenie wiele.
Wniosek 1:
Jeśli układ równań jest stopnia 17-stego, to może mieć on do 0 do 17 różnych rozwiązań lub nieskończenie wiele.
Jeśli z obliczeń wyjdzie Ci że ma dokładnie 18 rozwiązań, to poszukaj błędu w obliczeniach.
Zapamiętaj
Wersja z dnia: 02.05.2011 http://matematyka.strefa.pl Układy równań — strona 7
Wniosek 2:
Układ 2-ch równań liniowych z 2-ma niewiadomymi:
൜ݔ + ݕ = 10 ݔ − ݕ = 4
rozpatrywany na samym początku tego opracowania może mieć 0 rozwiązań lub 1 lub nieskończenie wiele. Zatem znaleziona para liczb (7; 3) jest jedyną parą która go spełnia — innych par być nie może.
W tym opracowaniu będziemy się zajmować tylko układami równań stopnia pierwszego. Zatem układy równań jakie będziemy rozpatrywać będą mogły mieć albo: 0 rozwiązań, albo dokładnie 1 rozwiązanie albo nieskończenie wiele rozwiązań. Innych możliwości w ich przypadku nie ma.
Układ sprzeczny
Układ sprzeczny to taki, który nie ma rozwiązania (brak rozwiązania które było spełnione jednocześnie przez wszyst- kie równania tego układu). Przykładem układu sprzecznego jest:
൜ݔ + ݕ = 5 ݔ + ݕ = 6
Przyjrzyj się mu uważnie i zauważ, że w obu równaniach po lewej stronie znaku równości jest dokładnie to samo wy- rażenie, a po prawej co innego. Oznacza to, że nawet jeśli Ci się uda znaleźć takie dwie liczby ݔ i ݕ które spełniają równanie pierwsze, to nie będą one spełniać równania drugiego i odwrotnie — jeśli uda Ci się znaleźć takie dwie liczby ݔ i ݕ które spełniają równanie drugie, to nie będą one spełniać równania pierwszego. Taki stan rzeczy za- wdzięczasz oczywiście temu, że lewe strony tych równań są sobie równe, a prawe nie.
Przykłady sprzecznych układów dwóch równań liniowych o dwóch zmiennych:
൜ݔ − ݕ = 5
ݔ − ݕ = 6 ൜ݔ + 3 ݕ = 17
ݔ + 3 ݕ = 14 ൜ −5 ݔ + 16 ݕ = 5
−5 ݔ + 16 ݕ = −6 ൜ −17 ݔ − 2 ݕ = 3
−17 ݔ − 2 ݕ = 24
Ćwiczenie: W brakujące miejsca wpisz takie liczby by podane układy równań były sprzeczne.
a) ൜ … ݔ − ݕ = 5
… ݔ − ݕ = 16 b) ൜ 3 ݔ + . . . ݕ = 12
… ݔ + 8 ݕ = 29 c) ൜ −8 ݔ + 19 ݕ = . . .
−8 ݔ + 19 ݕ = . . . d) ൜ … ݔ − 2 ݕ = . . .
−17 ݔ − . . . ݕ = 24
[Odp. a) W oba brakujące miejsca trzeba wpisać te same liczby (obojętnie jakie, byle te same). b) Przy ݕ trzeba wpisać liczbę 8, a przy ݔ liczbę 3. Lewe strony obu tych równań muszą być identyczne. c) Możesz wpisać jakie chcesz liczby, byle tylko nie były one takie same. Muszą to być 2 różne liczby np. 5 i 13. d) Przy ݔ trzeba wpisać liczbę −17, przy ݕ liczbę 2 (bo minus już jest), a po prawej stronie znaku równości liczbę różną od 24. Prawe strony równań nie mogą być identyczne.]
Mam pytanko. Jaką liczbę trzeba wpisać w poniższym układzie równań by był on sprzeczny?
൜ −84 ݔ + 17 ݕ = −18
−84 ݔ − . . . ݕ = 24
Powiem tyle. Na pewno to nie jest liczba 17. Zauważ, że przed brakującą liczbą stoi znak minus, a w pierwszym rów- naniu w tym miejscu jest plus. Zatem by ten układ równań by sprzeczny, w brakujące miejsce trzeba wpisać −17, bo wówczas dwa minusy obok siebie dadzą plus.
Ćwiczenie: W brakujące miejsca wpisz takie liczby by podane układy równań były sprzeczne.
a) ൜ 3 ݔ + . . . ݕ = 5
3 ݔ − 7 ݕ = 16 b) ൜ −4 ݔ + 9 ݕ = 23
−4 ݔ − . . . ݕ = 22 c) ൜ … ݔ + . . . ݕ = −20
−8 ݔ − 19 ݕ = −16 d) ൜ 6 ݔ − 2 ݕ = 21
… ݔ − . . . ݕ = 24
[Odp. a) -7, b) -9, c) -8 oraz -19. Liczby przy ݔ muszą być identyczne. d) 6 oraz 2.]
Układy równań nie muszą mieć napisanych równań w taki sposób by wyrażenie z ݔ było pod wyrażeniem z ݔ a wyra- żenie z ݕ pod wyrażeniem z ݕ . Innymi słowy możesz spotkać się także z takimi układami równań:
൜ ݔ − 5 = ݕ
−6 − ݕ = − ݔ
Wówczas by sprawdzić czy dany układ jest sprzeczny musisz w pierwszym równaniu zmienną ݕ przenieść na lewą stronę równania (ze zmienionym znakiem), a liczbę −5 na stronę prawą (również ze zmienionym znakiem). W rów- naniu drugim liczbę −6 przenosisz na stronę prawą, a − ݔ na stronę lewą. Robiąc tak, dostaniesz nowy układ równań równoważny powyższemu:
൜ݔ − ݕ = 5 ݔ − ݕ = 6
Teraz już wyraźnie widzisz, że jest on sprzeczny, bo lewe strony obu równań są identyczne, a prawe różne.
Ćwiczenie: Sprawdź które z układów równań są sprzeczne. Pamiętaj, że przy przenoszeniu wyrażenia na drugą stronę znaku równości trzeba zmienić jego znak na przeciwny.
a) ൜ 5 ݔ = 7 ݕ − 4
7 ݕ = 5 ݔ + 4 b) ൜ݕ = 2 ݔ + 4
ݕ = 2 ݔ − 4 c) ൜ݔ = 7 ݕ − 8
ݔ = 7 ݕ + 16 d) ൜ 5 ݔ = 3 ݕ − 6 5 ݕ = 3 ݔ − 6
[Odp. a) nie, b) tak, c) tak, d) nie.]
To jeszcze nie koniec o układach sprzecznych. Układ równań:
൜ 4 ݔ − 16 ݕ = 24 6 ݔ − 24 ݕ = 9
również jest sprzeczny. Aby się o tym przekonać wystarczy obie strony pierwszego równania podzielić przez 2 i do- datkowo obie strony równania drugiego podzielić przez 3. Robiąc tak dostajesz nowy układ równań równoważny powyższemu:
൜ 2 ݔ − 8 ݕ = 12 2 ݔ − 8 ݕ = 3 no i już wyraźnie widzisz, że jest on sprzeczny.
Nie ma przymusu wykonywania w obu równaniach dzieleń obu stron. Może się zdarzyć i tak, że obie strony jednego równania będą podzielone przez jakąś liczbę, a drugiego pomnożone przez jakąś liczbę. Przykładem jest układ rów- nań:
ቊ 4 ݔ − 16 ݕ = 24
ݔ −
ݕ =
Aby przekonać się o sprzeczności powyższego układu równań wystarczy obie strony pierwszego równania podzielić przez 2 i dodatkowo obie strony drugiego równania pomnożyć przez ułamek
ళయ
. Nie ma też przymusu jednokrotnego wykonywania działań na obu stronach danego równania. Równie dobrze równanie drugie można najpierw pomno- żyć przez 7, a potem obie jego strony podzielić przez 2. Mnożenie zaś przez ułamek
ళమjest lepsze, bo daje ten sam re- zultat od razu. Pamiętaj tylko o tym, że jeśli któreś z równań przekształcasz kilkukrotnie, to równanie którego nie przekształcasz musisz przepisać. Zobacz to na przykładzie powyższego układu równań.
ቊ 4 ݔ − 16 ݕ = 24 /: 2
ݔ −
ݕ =
/⋅ 7
Wersja z dnia: 02.05.2011 http://matematyka.strefa.pl Układy równań — strona 9
൜ 2 ݔ − 8 ݕ = 12 6 ݔ − 24 ݕ = 9/: 3
൜ 2 ݔ − 8 ݕ = 12 2 ݔ − 8 ݕ = 3
Wykonywanie działań na jednym z równań, zawsze powoduje automatyczne przepisanie wszystkich pozostałych równań, nawet jeśli na nich nie jest robione żadne przekształcenie.
Ćwiczenie: Sprawdź które z układów równań są sprzeczne wykonując odpowiednie przekształcenia obu stron rów- nań.
a) ൜
భయݔ +
ఱలݕ = 1
భయ0,5 ݔ + 1,25 ݕ = 3 b) ൜ 0,5 ݕ − 0,375 ݔ = 0,625
33 ݔ + 55 = 44 ݕ c) ൜ 3,5 ݔ + ݕ = 0,5 21 ݔ − 6 ݕ = 12
[Odp. a) Tak, jest sprzeczny. Wystarczyło obie strony pierwszego równania pomnożyć przez 6 a drugiego przez 4. b) Nie jest sprzeczny, bo mnożąc obie strony pierwszego równania przez 8 i dzieląc obie strony równania drugiego przez −11 dostaniesz 2 równania równoważne sobie (identyczne). c) Nie jest sprzeczny. Mnożąc obie strony pierw- szego równania przez 2 i dzieląc obie strony równania drugiego przez 3, sprawisz, że lewe wyrażenia z ݔ będą takie same, a przy ݕ różne (będą się różniły znakiem który przed nimi stoi).]
Powyżej opisany sposób sprawdzania tego czy dany układ jest sprzeczny można zastąpić metodą jemu równoważną, która nie wymaga mnożenia obu stron równań. Mając postać np. taką:
൜ 4 ݔ − 16 ݕ = 24 6 ݔ − 24 ݕ = 9
wystarczy, że pomnożysz liczby wyróżnione tym samym kolorem (wraz ze znakami jakie przed nimi stoją) i spraw- dzisz, czy otrzymane wyniki są sobie równe. Zatem sprawdzasz czy:
4 ⋅ ሺ −24 ሻ ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ
= 6
ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ⋅ (−16)
Ponieważ lewa strona powyższej równości jest równa stronie prawej i w układzie równań liczby stojące za znakami równości tj. 24 i 9 są różne od siebie, więc stwierdzasz, że przedstawiony powyżej układ równań jest sprzeczny. Pa- miętaj, że w tym sposobie konieczne jest by każde równanie w układzie równań miało po lewej stronie wyłącznie wyrażenie z x oraz y oraz że te wyrażenia we wszystkich równaniach muszą być tak podpisane by iksy były pod iksa- mi a igreki pod igrekami. Zatem nie można stosować przedstawionego mnożenia po skosie gdy układ równań ma postać np. taką:
൜ 4 ݔ − 24 = 16 ݕ 9 = 6 ݔ − 24 ݕ
bo:
— w równaniu pierwszym po lewej stronie jest sama liczba (bez literki y)
— w równaniu pierwszym po prawej stronie występuje literka y
— w równaniu drugim po lewej stronie nie ma ani wyrażenia z x ani z y
— w równaniu drugim po prawej stronie nie ma samej liczby (bez x oraz bez y) W układzie takim:
൜ 16
ݕ+ 4 ݔ = 24
6 ݔ − 24
ݕ= 9
również nie wolno zastosować mnożenia po skosie, bo iksy nie są pod iksami a igreki pod igrekami. Aby w obu po- wyższych przypadkach można było zastosować mnożenie lewych stron po skosie, wówczas najpierw musisz prze- kształcić te równania które tego wymagają do postaci:
൜ 4 ݔ − 16 ݕ = 24 6 ݔ − 24 ݕ = 9
Dopiero teraz mając taką postać, możesz lewe strony mnożyć po skosie. Nigdy nie zapominaj o tym, że liczby za zna- kiem równości w takiej postaci nie mogą być takie same. Gdyby były takie same, to układ równań nie nazywałby się sprzeczny lecz nieoznaczony.
Przykład:
Bez mnożenia lub dzielenia obu stron równań sprawdź czy podany układ równań jest sprzeczny.
൝ 3 ݔ = 23,1 ݕ −
ݕ =
+
ݔ
൝ 3 ݔ − 23,1 ݕ = −
−
ݔ +
ݕ =
Ponieważ −
≠
oraz:
3 ⋅
ต
మభఱ
= −
⋅ ቀ −
ቁ ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
మభ ఱ
więc przedstawiony układ równań jest sprzeczny.
Ćwiczenie: Sprawdź które z układów równań są sprzeczne wykorzystując powyżej opisany sposób.
a) ൜
భయݔ +
ఱలݕ = 1
భయ0,5 ݔ + 1,25 ݕ = 3 b) ൜ 0,5 ݕ − 0,375 ݔ = 0,625
33 ݔ + 55 = 44 ݕ c) ൜ 3,5 ݔ + ݕ = 0,5 21 ݔ − 6 ݕ = 12
[Odp. a) tak, b) nie, c) nie]
Zbliżamy się do końca układów sprzecznych. Zostały w zasadzie już tylko dwie rzeczy do omówienia. Zobacz przykła- dowy układ równań:
ቊ
ݔ +
ݕ = 3 0,5 ݔ + 1,25 ݕ = 3
Czy potrafisz bez robienia jakichkolwiek obliczeń lub przekształceń ocenić czy jest on sprzeczny czy nie? Jeśli odpo- wiedziałaś „tak” to gratuluję spostrzegawczości. Jeśli odpowiedziałaś „nie”, to zauważ, że za znakiem równości są w obu równaniach te same liczby. Układ sprzeczny nie może mieć za znakiem równości tych samych liczb. Zatem ten układ równań na pewno nie jest sprzeczny. A co powiesz o poniższym układzie równań liniowych?
൜ 8 ݔ − 6 ݕ = 20 6 ݔ + 24 ݕ = 9
On również nie jest sprzeczny i także widać to na oko (bez robienia czegokolwiek). W układzie sprzecznym lewe strony obu równań muszą być identyczne lub po przekształceniach stać się identyczne. Tu tak nigdy nie będzie, bo liczby stojące przed ݕ obu równaniach są przeciwnych znaków, a w wyrażeniach z ݔ te same. W równaniu pierw- szym masz −6 ݕ a w drugim +24 ݕ . No dobra, to teraz spójrz na taki układ równań:
൜ −4 ݔ − 16 ݕ = 24
6 ݔ − 24 ݕ = 9
Wersja z dnia: 02.05.2011 http://matematyka.strefa.pl Układy równań — strona 11
On również nie jest sprzeczny, bo w nim liczby stojące przy ݔ są przeciwnych znaków, a przy ݕ tych samych znaków.
No to teraz taki układ równań:
൜ 4 ݔ − 16 ݕ = 24
−6 ݔ + 24 ݕ = 9
Liczby stojące przy x są przeciwnych znaków, ale i przy y też są przeciwnych znaków. Ponieważ prawe strony są róż- ne, więc by rozstrzygnąć o jego ewentualnej sprzeczności trzeba jedną z czynności opisanych w początkach tego te- matu np. mnożenie po skosie. Wówczas okaże się, że układ ten jest sprzeczny. A co z układem takim jak ten:
ቄ 4 ݔ − 16 ݕ = 24
−6 ݔ − 15 = 9 ? Nic trudnego. Najpierw przekształcasz go do postaci:
൜ 4 ݔ − 16 ݕ = 24
−6 ݔ + 0 ݕ = 9 + 15
i na podstawie tego, że prawe strony obu równań są sobie równe, orzekasz, że nie jest on sprzeczny.
Na początku tego opracowania pisałem, że każde z równań jest spełnione przez nieskończenie wiele par ( ݔ ; ݕ ) i że każdą taką parę można zaznaczyć w układzie współrzędnych jako punkt. Jeśli zrobisz tak z równaniami które tworzą układ sprzeczny, to dostaniesz 2 wykresy funkcji które nigdy się nie przetną. Dla równań liniowych wykresami tymi będą 2 proste równoległe do siebie niepokrywające się.
Układ nieoznaczony
Układ równań jest nieoznaczony, jeśli wszystkie równania go tworzące mają ze sobą nieskończenie wiele wspólnych par (rozwiązań).
Zobacz przykładowy nieoznaczony układ równań:
൜ 2 ݔ + 4 ݕ = 6 2 ݔ + 4 ݕ = 6 .
i zauważ, że oba równania są identyczne, czyli, że każda para liczb ( ݔ ; ݕ ) spełniająca pierwsze równanie, spełnia au- tomatycznie także równanie drugie. Ponieważ par tych jest nieskończenie wiele, więc po zaznaczeniu ich w jednym układzie współrzędnych, dostaniesz dwie proste (dwa wykresy funkcji liniowej) pokrywające się ze sobą.
Przykłady nieoznaczonych układów dwóch równań liniowych o dwóch zmiennych:
൜ݔ − ݕ = 5
ݔ − ݕ = 5 ൜ݔ + 3 ݕ = 17
ݔ + 3 ݕ = 17 ൜ −5 ݔ + 16 ݕ = −6
−5 ݔ + 16 ݕ = −6 ൜ −17 ݔ − 2 ݕ = 24
−17 ݔ − 2 ݕ = 24
Ćwiczenie: W brakujące miejsca wpisz takie liczby by podane układy równań były nieoznaczone.
a) ൜ … ݔ − ݕ = 16
… ݔ − ݕ = 16 b) ൜ 3 ݔ + . . . ݕ = 12
… ݔ + 8 ݕ = 12 c) ൜ −8 ݔ + 19 ݕ = . . .
−8 ݔ + 19 ݕ = . . . d) ൜ … ݔ − 2 ݕ = . . .
−17 ݔ − . . . ݕ = 24
[Odp. a) W oba brakujące miejsca trzeba wpisać te same liczby (obojętnie jakie, byle te same). b) Przy ݕ trzeba wpisać liczbę 8, a przy ݔ liczbę 3. Lewe i prawe strony obu tych równań muszą być identyczne. c) Możesz wpisać jakie chcesz liczby, byle tylko były one takie same. Muszą to być 2 identyczne liczby np. 5 i 5. d) Przy ݔ trzeba wpisać liczbę
−17, przy ݕ liczbę 2 (bo minus już jest), a po prawej stronie znaku równości liczbę 24. Prawe strony równań muszą być identyczne.]
Mam pytanko. Jaką liczbę trzeba wpisać w poniższym układzie równań by był on nieoznaczony?
൜ −84 ݔ + 17 ݕ = −18
−84 ݔ − . . . ݕ = −18
Powiem tyle. Na pewno to nie jest liczba 17. Zauważ, że przed brakującą liczbą stoi znak minus, a w pierwszym rów- naniu w tym miejscu jest plus. Zatem by ten układ równań by nieoznaczony, w brakujące miejsce musisz wpisać licz- bę −17, bo wówczas dwa minusy obok siebie dadzą plus.
Ćwiczenie: W brakujące miejsca wpisz takie liczby by podane układy równań były nieoznaczone.
a) ൜ 3 ݔ + . . . ݕ = 16
3 ݔ − 7 ݕ = 16 b) ൜ −4 ݔ + 9 ݕ = 23
−4 ݔ − . . . ݕ = 23 c) ൜ … ݔ + . . . ݕ = −16
−8 ݔ − 19 ݕ = −16 d) ൜ 6 ݔ − 2 ݕ = 21
… ݔ − . . . ݕ = 21
[Odp. a) -7, b) -9, c) -8 oraz -19. Liczby przy ݔ muszą być identyczne. d) 6 oraz 2.]
Układy równań nie muszą mieć napisanych równań w taki sposób by wyrażenie z ݔ było pod wyrażeniem z ݔ a wyra- żenie z ݕ pod wyrażeniem z ݕ . Innymi słowy możesz spotkać się także z takimi układami równań:
൜ ݔ − 5 = ݕ
−6 − ݕ = − ݔ
Wówczas by sprawdzić czy dany układ jest nieoznaczony musisz w pierwszym równaniu zmienną ݕ przenieść na le- wą stronę równania (ze zmienionym znakiem), a liczbę −5 na stronę prawą (również ze zmienionym znakiem).
W równaniu drugim liczbę −6 przenosisz na stronę prawą, a − ݔ na stronę lewą. Robiąc tak, dostaniesz nowy układ równań równoważny powyższemu:
൜ݔ − ݕ = 5 ݔ − ݕ = 6
Teraz już wyraźnie widzisz, że nie jest on nieoznaczony, bo prawe strony są różne, a powinny być takie same (równe sobie).
Ćwiczenie: Sprawdź które z układów równań są nieoznaczone. Pamiętaj, że przy przenoszeniu wyrażenia na drugą stronę znaku równości trzeba zmienić jego znak na przeciwny.
a) ൜ 5 ݔ = 7 ݕ − 4
7 ݕ = 5 ݔ + 4 b) ൜ݕ = 2 ݔ + 4
ݕ = 2 ݔ − 4 c) ൜ ݔ = 7 ݕ − 8
−7 ݕ = − ݔ − 8 d) ൜ 5 ݔ = 3 ݕ − 6 5 ݕ = 3 ݔ − 6
[Odp. a) nie, b) nie, c) tak, d) nie.]
To jeszcze nie koniec o układach nieoznaczonych. Układ równań:
൜ 4 ݔ − 16 ݕ = 24 6 ݔ − 24 ݕ = 36
również jest nieoznaczony. Aby się o tym przekonać wystarczy obie strony pierwszego równania podzielić przez 2 i dodatkowo obie strony równania drugiego podzielić przez 3. Robiąc tak dostaniesz nowy układ równań równoważ- ny powyższemu:
൜ 2 ݔ − 8 ݕ = 12 2 ݔ − 8 ݕ = 12
no i już wyraźnie widzisz, że jest on nieoznaczony (2 identyczne równania).
Nie ma przymusu wykonywania w obu równaniach dzieleń obu stron. Może się zdarzyć i tak, że obie strony jednego równania będą podzielone przez jakąś liczbę, a drugiego pomnożone przez jakąś liczbę. Przykładem jest układ rów- nań:
ቊ 4 ݔ − 16 ݕ = 24
ݔ −
ݕ =
Wersja z dnia: 02.05.2011 http://matematyka.strefa.pl Układy równań — strona 13
Aby przekonać się o tym, że powyższy układ równań również jest nieoznaczony, wystarczy obie strony jego pierw- szego równania podzielić przez 2 i dodatkowo obie strony drugiego równania pomnożyć przez ułamek
ళయ
. Dostaniesz wówczas:
൜ 2 ݔ − 8 ݕ = 12
ݔ − 8 ݕ = 12
Nie ma też przymusu jednokrotnego wykonywania działań na obu stronach danego równania. Równie dobrze rów- nanie drugie możesz najpierw pomnożyć przez 7, a potem obie jego strony podzielić przez 2. Pamiętaj jednak o tym, że jeśli któreś z równań przekształcasz kilkukrotnie, to równanie którego nie przekształcasz trzeba przepisać.
ቊ 4 ݔ − 16 ݕ = 24 /: 2
ݔ −
ݕ =
/⋅ 7
൜ 2 ݔ − 8 ݕ = 12 6 ݔ − 24 ݕ = 36/: 3
൜ 2 ݔ − 8 ݕ = 12 2 ݔ − 8 ݕ = 12 Mnożenie przez ułamek
ళయ
było lepsze, bo dało ten sam rezultat od razu.
Ćwiczenie: Sprawdź które z układów równań są nieoznaczone wykonując odpowiednie przekształcenia obu stron równań.
a) ൜
భయݔ +
ఱలݕ = 2
0,5 ݔ + 1,25 ݕ = 3 b) ൜ 0,5 ݕ − 0,375 ݔ = 0,625
33 ݔ + 55 = 44 ݕ c) ൜ 3,5 ݔ + ݕ = 0,5 21 ݔ − 6 ݕ = 3
[Odp. a) Tak, jest nieoznaczony. Wystarczyło obie strony pierwszego równania pomnożyć przez 6 a drugiego przez 4. b) Tak jest nieoznaczony, bo mnożąc obie strony pierw- szego równania przez 8 i dzieląc obie strony równania drugiego przez −11 dostaniesz 2 równania równoważne sobie (identyczne). c) Nie jest nieoznacozny. Mnożąc obie stro- ny pierwszego równania przez 2 i dzieląc obie strony równania drugiego przez 3, sprawisz, że lewe wyrażenia z ݔ będą takie same, a przy ݕ różne (będą się różniły znakiem który przed nimi stoi).]
Czy bez robienia jakichkolwiek obliczeń lub przekształceń potrafisz ocenić czy poniższy układ równań jest nieozna- czony?
ቊ
ݔ +
ݕ = 3 0,5 ݔ + 1,25 ݕ = 5
Jeśli odpowiedziałaś „tak” to gratuluję spostrzegawczości. Jeśli odpowiedziałaś „nie”, to zauważ, że za znakiem rów- ności w obu równaniach nie są te same liczby. Układ nieoznaczony musi mieć za znakiem równości te same liczby.
Zatem ten układ równań na pewno nie jest nieoznaczony. A co powiesz o poniższym układzie równań liniowych?
൜ 8 ݔ − 6 ݕ = 20 6 ݔ + 24 ݕ = 20
On również nie jest nieoznaczony i także widać to na oko (bez robienia czegokolwiek). W układzie sprzecznym lewe strony obu równań muszą być identyczne lub po przekształceniach stać się identyczne. Tu tak nigdy nie będzie, bo liczby stojące przed ݕ obu równaniach są przeciwnych znaków, a w wyrażeniach z ݔ te same. W równaniu pierw- szym masz −6 ݕ a w drugim +24 ݕ . No dobra, to teraz spójrz na taki układ równań:
൜ −4 ݔ − 16 ݕ = 24 6 ݔ − 24 ݕ = 9
On również nie jest nieoznaczony, bo w nim liczby stojące przy ݔ są przeciwnych znaków, a przy ݕ tych samych zna-
ków. A co z układem takim jak ten:
ቄ 4 ݔ − 16 ݕ = 24
−6 ݔ − 15 = 9 ? Nic trudnego. Najpierw przekształcasz go do postaci:
൜ 4 ݔ − 16 ݕ = 24
−6 ݔ + 0 ݕ = 9 + 15
i na podstawie tego, że prawe strony obu równań są sobie równe a lewe różne, orzekasz, że nie jest on nieoznaczo- ny.
Aby orzec o tym, czy układ równań jest nieoznaczony, najpierw doprowadź go do takiej postaci, by lewe strony wszystkich równań były identyczne, a potem spójrz czy równania tworzące dany układ równań są identyczne.
Ćwiczenie: Stosując odpowiednie przekształcenia, wskaż, które z poniższych układów równań są nieoznaczone.
a) ൜ 4 ݔ − 6 ݕ = 8
10 ݔ − 15 ݕ = 20 b) ൜ 25 ݔ + 15 ݕ = 30
10 ݔ + 6 ݕ = 16 c) ൜ 14 ݔ + 26 ݕ = 50
21 ݔ + 13 ݕ = 25 d) ൜ −8 ݔ + 13 ݕ = 9
−16 ݔ + 5 ݕ = 1
[Odp. a) Tak, bo dzieląc obie strony pierwszego równania przez 2 i obie strony równania drugiego przez 5 powstaną 2 identyczne równania. b) Nie, bo dzie- ląc obie strony pierwszego równania przez 5 i drugiego przez 2 powstaną równania mające lewe strony równe, ale prawe różne. c) Nie, bo mnożąc obie strony drugiego równania przez 2, prawe strony będą równe, a lewe nie. Można też wykonać dzielenie obu stron pierwszego równania przez 2, ale wnio- sek będzie ten sam. d) Nie, bo mnożąc obie strony równania drugiego przez 9, prawe strony będą równe, a lewe nie.]
Na początku tego opracowania pisałem, że każde z równań jest spełnione przez nieskończenie wiele par ( ݔ ; ݕ ) i że każdą taką parę można zaznaczyć w układzie współrzędnych jako punkt. Jeśli zrobisz tak z równaniami które tworzą układ nieoznaczony, to dostaniesz 2 wykresy funkcji które będą się idealnie pokrywać. Dla równań liniowych wykre- sami tymi będą 2 proste równoległe pokrywające się.
Układ oznaczony
Układ równań nazywa się oznaczonym jeśli ma przynajmniej 1 rozwiązanie (wspólną parę) i liczbę wszystkich jego rozwiązań (wspólnych par) można dokładnie policzyć. Innymi słowy liczba rozwiązań musi być skończona tj. dokład- nie równa 1 lub 2 lub 3 lub 4 lub 5 lub … . Liczba rozwiązań nigdy nie może być równa nieskończoności.
Aby sprawdzić czy układ równań jest oznaczony wystarczy przekształcić go do takiej postaci by każde równanie naj- pierw miało wyrażenie z ݔ potem wyrażenie z ݕ a za znakiem równości samą liczbę (bez iksa i bez igreka) np.:
൜ 2 ݔ + 4 ݕ = 6 8 ݔ + 7 ݕ = 6
a potem sprawdzić, czy mnożąc po skosie liczby wyróżnione wyżej tym samym kolorem wraz ze znakami jakie przed nimi stoją otrzymasz różne wyniki. Jeśli tak, to dany układ dwóch równań liniowych jest oznaczony. Liczby za zna- kami równości są nieistotne. Powyższy układ równań jest oznaczony bo 2 razy 7 nie daje tyle samo co 8 razy 4. Przy- pominam, że jeśli dany jest układ dwóch równań liniowych (stopnia pierwszego) z dwiema niewiadomymi i jest on oznaczony, to ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wynika z tego że rozpatrywany na początku tego opracowania układ równań:
൜ݔ + ݕ = 10 ݔ − ݕ = 4
ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim wyłącznie znaleziona wtedy para (7; 3). Innych par w jego przypadku nie ma.
Aby się przekonać, że powyższy układ jest oznaczony choć nie ma liczb przed zmiennymi, najpierw w myślach zapi- sujesz go w postaci równoważnej:
൜ 1 ݔ + 1 ݕ = 10 1 ݔ − 1 ݕ = 4 i tak jak poprzednio sprawdzasz czy: 1 ᇣᇧᇤᇧᇥ ⋅ ሺ −1 ሻ
= 1 ถ ⋅ 1
. Ponieważ nie jest to prawda, więc układ ten jest oznaczony.
Zapamiętaj
Wersja z dnia: 02.05.2011 http://matematyka.strefa.pl Układy równań — strona 15
Ćwiczenie: Sprawdź bez wyznaczania rozwiązań, które z poniższych układów równań są oznaczone.
a) ൜ 4 ݔ − 6 ݕ = 8
10 ݔ − 15 ݕ = 20 b) ൜ 25 ݔ + 15 ݕ = 30
10 ݔ + 6 ݕ = 16 c) ൜ 14 ݔ + 26 ݕ = 50
21 ݔ + 13 ݕ = 25 d) ൜ −8 ݔ + 13 ݕ = 9
−16 ݔ + 5 ݕ = 1
[Odp. a) Nie, bo 4 ⋅ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥሺ−15ሻ
= −6 ⋅ 10ᇣᇧᇤᇧᇥ
, b) Nie, bo 25 ⋅ 6ᇣᇤᇥ
= 15 ⋅ 10ᇣᇧᇤᇧᇥ
, c) Tak, bo −8 ⋅ 5ᇣᇤᇥ
≠−16 ⋅ 13ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ
.]
Ćwiczenie: W brakujące miejsca wpisz takie liczby, by powstał oznaczony układ równań.
a) ൜ … ݔ − 16 ݕ = 8
… ݔ − 8 ݕ = 2 b) ൜ 6 ݔ + . . . ݕ = 30
4 ݔ + … ݕ = 16 c) ൜ … ݔ + 4 ݕ = 50
6 ݔ + . . . ݕ = 25 d) ൜ −8 ݔ + . . . ݕ = 9
… ݔ + 5 ݕ = 1
[Odp. a) Można wpisać nieskończenie wiele różnych liczb byle tylko mnożąc po skosie nie otrzymać tego samego wyniku. Można więc przykładowo wpisać 5 i 7. Dopuszczalne są także ułamki oraz pierwiastki i liczby ujemne. b) Można wpisać nieskończenie wiele różnych liczb byle tylko mnożąc po skosie nie otrzymać tego samego wyniku. Można więc przykładowo wpisać 5 i 7. Dopuszczalne są także ułamki oraz pierwiastki i liczby ujemne. c) Można wpisać takie liczby które pomnożone przez siebie nie dają liczby 24 np. 5 i 7. d) Można wpisać takie liczby które pomnożone przez siebie nie dają liczby −40 np. 5 i 7.]
Układy równoważne
Aby mówić o układach równoważnych musisz mieć co najmniej dwa układy równań o dokładnie tych samych roz- wiązaniach. Przykłady układów równoważnych to:
൜ ݔ + ݕ = 10
7 ݔ − 7 ݕ = 28 ൜ 5 ݔ + 5 ݕ = 50 ݔ − ݕ = 4 bo:
— mnożąc obie strony pierwszego równania w pierwszym układzie równań przez liczbę 5
— dzieląc obie strony drugiego równania w pierwszym układzie równań przez liczbę 7 lub:
— dzieląc obie strony pierwszego równania w drugim układzie równań przez liczbę 5
— mnożąc obie strony drugiego równania w drugim układzie równań przez liczbę 7 dostaniesz w obu przypadkach taki sam układ równań:
൜ݔ + ݕ = 10 ݔ − ݕ = 4
Innymi słowy układy są równoważne, jeśli równania jednego z nich można tak przekształcić, by dostać równania drugiego z nich. Kolejność tych równań nie ma znaczenia. Oznacza to, że przykładowo takie układy równań:
też są sobie równoważne.
Ćwiczenie: Sprawdź które z poniższych układów równań są sobie równoważne.
a) ൜ 4 ݔ − 6 ݕ = 8
12 ݔ − 15 ݕ = 21 ൜ 4 ݔ + 5 ݕ = 7
2 ݔ − 3 ݕ = 4 b) ൜ 14 ݔ + 26 ݕ = 50
5 ݔ + 6 ݕ = 7 ൜ −7 ݔ − 13 ݕ = −25
−15 ݔ − 18 ݕ = −3
[Odp. a) Nie, bo dzieląc obie strony drugiego równania w pierwszym układzie równań przez liczbę 3 dostaniesz 4ݔ− 5ݕ= 7, a pierwsze równanie drugie- go układu równań jest takie: 4ݔ+ 5ݕ= 7. Jest różnica w znaku po lewej stronie równania. b) Tak, bo wystarczy obie strony pierwszego równania w pierw- szym układzie równań podzielić przez −2 i dodatkowo obie strony drugiego równania pomnożyć przez −3.]
Nie zawsze da się równania jednego układu równań tak poprzekształcać by otrzymać równania drugiego układu, a mimo to układy mogą być równoważne (będą mieć te same rozwiązania). Przykładem mogą być układy:
൜
ݔ+
ݕ= 10
7 ݔ − 7 ݕ = 28 ൜ 7 ݔ − 7 ݕ = 28
ݔ+
ݕ= 10
൜ݔ + ݕ = 10
ݔ − ݕ = 4 ൜ 3 ݔ − 7 ݕ = 0
5 ݔ − 2 ݕ = 29
Rozwiązaniem każdego z nich jest para (7; 3), ale równań pierwszego układu nie da się przekształcić na równania układu drugiego i odwrotnie. Mimo to układy te są sobie równoważne, bo ich rozwiązania są takie same.
Generalnie więc, by sprawdzić czy dwa układy równań są sobie równoważne, można:
a) znaleźć rozwiązanie pierwszego układu (jak to zrobić będzie opisane w następnych tematach); znaleźć roz- wiązanie drugiego układu; sprawdzić czy otrzymane rozwiązania są identyczne
b) znaleźć rozwiązanie pierwszego układu; sprawdzić czy spełnia ono oba równania drugiego układu
c) sprawdzić czy da się tak poprzekształcać równania jednego z układów, aby otrzymać równania drugiego układu. Kolejność równań nie ma znaczenia.
Jeśli równań jednego układu nie da się przekształcić na równania drugiego układu, to sprawdzanie równoważności tych układów należy wykonać metodą a) lub b).
Wersja z dnia: 02.05.2011 http://matematyka.strefa.pl Układy równań — strona 17
Temat: Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiado- mymi.
Sformułowanie rozwiązać układ równań o zmiennych ݔ i ݕ oznacza, że trzeba znaleźć takie liczby, które po napisaniu zamiast ݔ i zamiast ݕ sprawią, że we wszystkich równaniach strona lewa będzie równa jej stronie prawej. Przypuśćmy, że dany jest układ równań:
൜ 5 ݔ + 3 = 7 ݕ 2 ݕ − 4 ݔ = 9 Jego rozwiązaniem są liczby ݔ = −
i ݕ = −
, bo wstawiając je do obu równań dostaniesz w obu równaniach równość strony lewej i prawej. Znalezienie ich metodą prób i błędów nie jest łatwe. By je wyliczyć musiałem zasto- sować jakąś metodę która to umożliwia. Nazwy tych metod oraz na czym one polegają omówię za chwilę. Szukanie rozwiązania na chybił trafił jest dozwolone, ale w praktyce się go nie stosuje.
Do rozwiązywania układów dwóch równań liniowych (stopnia pierwszego) o dwóch niewiadomych, wystarczy zasto- sować np. metodę:
— podstawiania (algebraiczna, czyli wyliczeniowa)
Z jednego równania wyliczasz np. ݔ i to co otrzymasz wstawiasz do innego równania z którego wyliczasz drugą zmienną.
— przeciwnych współczynników (algebraiczna, czyli wyliczeniowa)
Przekształcasz równania układu równań w taki sposób, by po dodaniu równań stronami otrzymać 0 ݔ lub 0 ݕ . Wyliczasz tę zmienną która się nie wyzerowała i stosując metodę podstawiania obliczasz drugą zmienną z do- wolnego równania.
— graficzną (rysunkowa)
Z obu równań wyliczasz zmienną ݕ i oba równania które otrzymasz traktujesz jako wzory funkcji liniowych. Ry- sujesz wykresy tychże funkcji liniowych w jednym układzie współrzędnych i z rysunku (na oko) odczytujesz współrzędne punktu przecięcia tych wykresów. Jeśli takiego punktu nie ma, to układ równań jest sprzeczny, a jeśli punktów tych jest nieskończenie wiele (proste pokrywają się), to układ równań jest nieoznaczony.
— wyznacznikową (algebraiczna, czyli wyliczeniowa)
Wyliczasz 3 tzw. wyznaczniki i na ich podstawie prawie od razu dostajesz poszukiwane rozwiązania. Szczegóły są opisane w osobnym temacie.
— eliminacji Gaussa (algebraiczna, czyli wyliczeniowa)
Zapisujesz liczby występujące w obu równaniach w postaci tzw. macierzy i ją przekształcasz do tzw. macierzy schodkowej. Jest to zakres studiów, więc tekst ten napisa- łem małym drukiem i nie będę go omawiać.
— Kroneckera-Capellego (algebraiczna, czyli wyliczeniowa)
Wypisujesz liczby ze wszystkich równań i układasz je tak by utworzyły tzw. macierz. Następnie wykreślasz jedną kolumnę i jeden wiersz napisanej macierzy koniecznie z pierwszego wiersza lub pierwszej kolumny, dzięki czemu z niewykreślonych liczb powstanie Ci mniejsza macierz. Obliczasz wyznacznik tej mniejszej macierzy i mnożysz go przez liczbę która była na przecięciu wykreślonej kolumny i wiersza oraz dodatkowo otrzymany wynik mnożysz przez liczbę −1 lub 1 w zależności którym miejscu macierzy znajdowało się przecięcie wykreślonego wiersza i kolumny. Czynności te powtarzasz tyle razy ile masz kolumn lub wierszy w danej macierzy. Dla układów dwóch równań metoda ta jest równoważna metodzie wyznacznikowej. Tą metodą można rozwiązywać nawet układy mające 100 równań o 100 niewiadomych. Metody tej nie poznają gimnazjaliści ani licealiści ze względu na dość skomplikowane obliczenia.
Aby pokazać, że każda z powyższych metod daje ten sam wynik, rozwiążmy ponownie układ równań:
൜ݔ + ݕ = 10 ݔ − ݕ = 4
ale tym razem nie na chybił trafił, lecz powyżej wspomnianymi metodami.
Metoda graficzna
Rozwiązać układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi tą metodą, oznacza, że trzeba zaznaczyć w jed- nym układzie współrzędnych wszystkie pary spełniające równanie pierwsze i drugie (utworzą one dwa wykresy funkcji), a następnie odczytać z wykonanego rysunku wszystkie wspólne pary (współrzędne punktów przecięć) dla obu tych równań. W zadaniach z zakresu gimnazjum wykresami tymi będą proste i o ile nie będą do siebie równole- głe, to będą się przecinać w dokładnie jednym punkcie. Ponieważ to opracowanie jest kierowane do gimnazjalistów, więc tę metodę będę omawiać na przykładzie układów równań stopnia pierwszego, a zacznę od wspomnianego wcześniej układu:
൜ݔ + ݕ = 10 ݔ − ݕ = 4
— Aby szybko zaznaczyć w układzie współrzędnych wszystkie pary spełniające równanie pierwsze, warto prze- kształcić je na wzór funkcji liniowej czyli w tym przypadku na ݕ = − ݔ + 10 i narysować jego wykres.
— Aby szybko zaznaczyć w układzie współrzędnych wszystkie pary spełniające równanie drugie, warto przekształ- cić je na wzór funkcji liniowej czyli w tym przypadku na ݕ = ݔ − 4 i narysować jego wykres.
Metoda graficzna polega więc na przekształceniu układu równań, w tym przypadku takiego:
൜ݔ + ݕ = 10 ݔ − ݕ = 4 na układ mu równoważny:
൜ ݕ = − ݔ + 10 ݕ = ݔ − 4
narysowaniu wykresów powyższych funkcji liniowych i odczytaniu z wykresu współrzędnych ich punktu przecięcia.
Zapominalskim przypominam, że ݔ to pierwsza współrzędna punktu, zaś ݕ to druga współrzędna. Standardowo ݔ odczytujemy z osi poziomej, zaś ݕ z osi pionowej.
Wykonajmy więc rysunek (układ współrzędnych) i zobaczmy jak rysowanie wykresów tych funkcji wygląda w prakty- ce. Równania funkcji liniowych które będziemy rysować już mamy (są wyróżnione wyżej kolorem czerwonym). Pozo- staje tylko wyliczyć współrzędne co najmniej 2-ch punktów należących do każdej z nich i poprowadzić przez nie pro- ste. Zalecam wyznaczać minimum 3 punkty należące do podanych funkcji liniowych, bo pozwala to na wyłapanie ewentualnych błędów przy ich wyliczaniu. Zatem zróbmy 2 tabelki (po jednej do każdej funkcji liniowej) i wpiszmy do pierwszego wiersza przynajmniej 3 liczby. Najczęściej wpisuje się liczby: 0, 1, 2 (wyróżniłem je kolorem) i dla tych liczb wylicza się ݕ .
ݔ
0 1 2 ݔ 0 1 2
ݕ = −
ݔ+ 10 10 9 8 ݕ = ݔ − 4 −4 −3 −2
Uwaga. Gdyby w równaniu funkcji liniowej przy zmiennej ݔ był jakiś ułamek np. 2/7, to do wiersza pierwszego tabelki warto byłoby wpisać wielokrotności liczby znajdującej się w mianowniku tegoż ułamka, czyli wielokrotności liczby 7: {0, 7, 14, 21, 28, 35, …}.
Na podstawie tych tabelek widzisz (patrząc na kolumny), że dla pierwszej funkcji masz punkty o współrzędnych: (0; 10), (1; 9), (2; 8), a dla drugiej: (0; −4), (1; −3), (2; −2). Zaznaczasz więc je w jednym układzie współrzędnych i prowadzisz przez te punkty 2 proste (patrz rysunek obok).
Na podstawie rysunku obok widzisz, że istnieje tylko jeden punkt przecięcia narysowanych prostych i ma on współrzędne (7; 3).
Ponieważ pierwsza współrzędna punktu to ݔ , zaś druga to
ݕ, więc rozwiązaniem tego układu równań jest ݔ = 7 i ݕ = 3 — zgodność z tym co zgadliśmy na początku tego opracowania.
Użyte słowo „i” jest bardzo istotne. Zastąpienie go np. słowem oraz jest poważnym błędem mate- matycznym.
Wersja z dnia: 02.05.2011 http://matematyka.strefa.pl Układy równań — strona 19
W przypadku tej metody rozwiązywania układów równań, narysowane wykresy funkcji liniowych nie muszą się zaw- sze przecinać. Jeśli proste te:
— przecinają się w jednym punkcie, wówczas mówimy, że dany układ dwóch równań jest oznaczony
— pokrywają się, wówczas mówimy, ze dany układ dwóch równań jest nieoznaczony
— są do siebie równoległe i nie pokrywają się (są rozłączne), to dany układ równań jest sprzeczny.
Uwaga. Ponieważ odczytywanie współrzędnych punktu przecięcia wykresów prawie nigdy nie daje precyzyjnego wyniku, więc metody tej w praktyce się nie używa. Można ją jednak wykorzystywać do określania przybli- żonego rozwiązania danego układu równań.
Ćwiczenie: Stosując metodę graficzną, rozwiąż poniższe układy równań oraz oblicz pole figury ograniczonej wykre- sami funkcji o tych równaniach i osią odciętych.
[Inne nazwy osi odciętych, to: oś pozioma, oś argumentów.]a) ൜ ݔ = 3 ݕ + 5
2 ݔ − 7 ݕ = 6 b) ൜ ݕ = 4 ݔ − 2
5 ݔ + 3 ݕ = −8 c) ൜ − ݔ − ݕ = 11
ݔ = 6 ݕ d) ൜ 3 ݔ + 4 ݕ = −3 ݕ = 2 ݔ + 1 Ćwiczenie: Stosując metodę graficzną, rozwiąż poniższe układy równań oraz oblicz pole figury ograniczonej wykre-
sami funkcji o tych równaniach i osią rzędnych.
[Inne nazwy osi rzędnych, to: oś pionowa, oś wartości funkcji.]a) ൜ 3 ݔ = 3 ݕ + 6
2 ݔ − 7 ݕ = 6 b) ൜ 4 ݕ = 4 ݔ − 10
5 ݔ + 3 ݕ = −8 c) ൜ − ݔ − ݕ = 11
7 ݔ = 14 ݕ d) ൜ 3 ݔ + 4 ݕ = −3 4 ݕ = 2 ݔ + 1
Metoda podstawiania
Metoda ta polega na tym, że z dowolnego równania wyliczasz jedną ze zmiennych i to co otrzymasz wstawiasz do równania z którego ta zmienna nie była wyliczana. Weźmy ponownie układ równań:
I:
II: ൜ݔ + ݕ = 10 ݔ − ݕ = 4
Zmienną ݔ możesz wyliczyć albo z równania pierwszego, albo z równania drugiego. Nie ma znaczenia z którego ją wyliczysz. Wynik końcowy wyjdzie ten sam. Zobacz:
Wyliczasz ile jest równy ݔ w równaniu pierwszym:
I: ݔ = 10 − ݕ
i wstawiasz otrzymane 10 − ݕ zamiast ݔ do równania drugiego tj. do: ݔ − ݕ = 4. Masz zatem:
10 − ݕ
ᇩᇭᇪᇭᇫ
− ݕ = 4 10 − 2 ݕ = 4 10 − 4 = 2 ݕ
6 = 2 ݕ /: 2 3 = ݕ
Wyliczasz ile jest równy ݔ w równaniu drugim:
II: ݔ = 4 +
ݕi wstawiasz otrzymane 4 +
ݕzamiast ݔ do równania pierwszego tj. do: ݔ + ݕ = 10. Masz zatem:
4 +
ݕᇩᇪᇫ
+ ݕ = 10 4 + 2 ݕ = 10 2 ݕ = 10 − 4 2 ݕ = 6/: 2
ݕ = 3 Aby wyliczyć ݔ patrzysz na to co masz w ramce na samej
górze i zamiast niewiadomej ݕ piszesz liczbę 3, bo tak przed chwilą zostało to wyliczone. Zatem:
ݔ = 10 − 3 = 7
Aby wyliczyć ݔ patrzysz na to co masz w ramce na samej górze i zamiast niewiadomej ݕ piszesz liczbę 3, bo tak przed chwilą zostało to wyliczone. Zatem:
ݔ = 4 + 3 = 7 Odp. Rozwiązaniem danego układu równań jest ݔ = 7
i ݕ = 3.
Odp. Rozwiązaniem danego układu równań jest ݔ = 7
i ݕ = 3.
W metodzie podstawiania nie musisz najpierw wyliczać zmiennej ݔ jak to zostało pokazane wyżej. Możesz najpierw wyliczyć zmienną ݕ z dowolnego równania, a dopiero potem ݔ . Nie ma to znaczenia. Wynik i tak wyjdzie taki sam o ile nie popełnisz gdzieś błędu rachunkowego.
Metodę tę najlepiej stosować gdy przynajmniej w jednym równaniu jest już wyliczona zmienna. Przykładowe układy równań, które warto rozwiązywać metodą podstawiania:
൜ ݔ = 3 ݕ + 5
2 ݔ − 7 ݕ = 6 ൜ ݕ = 4 ݔ − 2
5 ݔ + 3 ݕ = −8 ൜ − ݔ − ݕ = 11
ݔ = 6 ݕ ൜ 3 ݔ + 4 ݕ = −3 ݕ = 2 ݔ + 1 Zaletą tej metody jest prostota — stosują ją nawet uczniowie szkół podstawowych do rozwiązywania zadań w których występują dwa równania z dwiema niewiadomymi. Oczywiście nie spinają oni równań klamerką i nie wie- dzą, że stosowany przez nich sposób ma swoją nazwę, ale go znają.
Ćwiczenie: Stosując metodę podstawiania, rozwiąż poniższe układy równań.
a) ൜ ݔ = 3 ݕ + 5
2 ݔ − 7 ݕ = 6 b) ൜ ݕ = 4 ݔ − 2
5 ݔ + 3 ݕ = −8 c) ൜ − ݔ − ݕ = 14
ݔ = 6 ݕ d) ൜ 13 ݔ + 4 ݕ = −3 ݕ = 2 ݔ + 1
[Podpowiedź: a) W równaniu drugim zamiast ݔ napisz (3ݕ+ 5) bo tak masz w równaniu pierwszym. b) W równaniu drugim zamiast ݕ napisz (4ݔ− 2) bo tak masz w równaniu pierwszym. c) W równaniu pierwszym zamiast ݔ napisz 6ݕ bo tak masz w równaniu drugim. d) W równaniu pierwszym zmiast ݕ na- pisz (2ݔ+ 1) bo tak masz w równaniu drugim. Odp. a) (17; 4) b) ൫−భళమ; −రమభళ൯ c) (−12; −2) d) (−3; −5).]
Zadania tekstowe obrazujące wykorzystanie metody podstawiania znajdziesz w podtemacie dotyczącym rozwiązy- wania zadań (strona 28). W zadaniach tych za pomocą metody podstawiania będą rozwiązane tylko te za- dania które tą metodą liczą się łatwiej niż inną. Przy zadaniach rozwiązanych metodą podstawiania znaj- dziesz znaczek taki jaki widzisz po lewej stronie tego tekstu.
Metoda przeciwnych współczynników
Nim omówię tę metodę, musisz najpierw umieć dodawać równania stronami.
Dodawanie równań stronami oznacza nic innego jak dodawanie do siebie jednomianów ze wszystkich równań, przy czym oddzielnie dodaje się lewe (kolor żółty) i prawe (kolor zielony) strony tychże równań. Przypuśćmy, że masz układ równań:
ቄ 2 ݔ = 5
ݕ− 3 4 = 8
ݔ.
Dodając jego równania stronami (strona lewa + strona lewa = strona prawa + strona prawa), otrzymujesz:
2 ݔ + 4 = 5
ݕ− 3 + 8
ݔa po ich przekształceniu:
2 ݔ − 8 ݔ − 5 ݕ = −3 − 4
−6 ݔ − 5 ݕ = −7
Jeśli chcesz otrzymać to samo równanie co w powyższej ramce, ale dużo szybciej, to najpierw przekształcić układ równań do postaci mu równoważnej (wyrażenia z ݔ oraz ݕ przenosisz w obu równaniach na stronę lewą, a wyraże- nia nie zawierające ani ݔ ani ݕ przenosisz na stronę prawą):
൜ 2 ݔ − 5 ݕ = −3
−8 ݔ + 0 ݕ = −4
by mieć iksy pod iksami, igreki pod igrekami, a wyraz wolne po prawej stronie znaku równości i dopiero teraz dodaj te równania stronami (kolumnami tak jak pokazują to kolory). Robiąc tak, od razu otrzymasz to samo równanie co w powyższej ramce:
−6 ݔ − 5 ݕ = −7
Wersja z dnia: 02.05.2011 http://matematyka.strefa.pl Układy równań — strona 21
Zadanie: Przekształć najpierw podany układ równań do postaci mu równoważnej, a następnie dodaj jego równania stronami (kolumnami). Pamiętaj, że przy przenoszeniu wyrażenia na drugą stronę znaku równości, należy zmienić jego znak na przeciwny.
a) b) c)
൜ 7 ݔ = 2 ݕ + 1
2 ݔ = 6 + 8 ݕ ൜ −8 ݔ = 3 ݕ + 6
2 ݔ + 10 ݕ = 6 ൜ −2 ݔ = 7 ݕ + 5
−7 ݕ = 14 − 2 ݔ Postać równoważna: ൜ 7 ݔ − 2 ݕ = 1
2 ݔ − 8 ݕ = 6 ൜ −8 ݔ − 3 ݕ = 6
2 ݔ + 10 ݕ = 6 ൜ −2 ݔ − 7 ݕ = 5 2 ݔ − 7 ݕ = 14 Po dodaniu stronami: 9 ݔ − 10 ݕ = 7 −6 ݔ + 7 ݕ = 12
0 ݔ − 14 ݕ = 19 lub
−14 ݕ = 19 Ćwiczenie: Przekształć najpierw podany układ równań do postaci mu równoważnej, a następnie dodaj jego rów-
nania stronami (kolumnami). Pamiętaj, że przy przenoszeniu wyrażenia na drugą stronę znaku równo- ści, należy zmienić jego znak na przeciwny.
a) ൜ ݔ = 3 ݕ + 5
2 ݔ − 7 ݕ = 6 b) ൜ ݕ = 4 ݔ − 2
5 ݔ + 3 ݕ = −8 c) ൜ − ݔ − ݕ = 14
ݔ = 6 ݕ d) ൜ 13 ݔ + 4 ݕ = −3 ݕ = 2 ݔ + 1
[Odp.: a) 3ݔ− 10ݕ= 11 b) ݔ+ 4ݕ= −10 c) 0ݔ− 7ݕ= 14 d) 11ݔ+ 5ݕ= −2.]
