問題演習

問題演習

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１. 行列A=





5 2 0 1 4 2 1 3 3



の固有値を求めて下さい。

２. 行列B=





7 4 −16

−6 1 12 2 2 −5



は固有値−1,1,3をもつ事が知られています。

それぞれの固有値に関する固有ヴェクターを求めて下さい。

３. 行列C =





3 2 −2 2 3 −2

−2 −2 3



の固有値・固有ヴェクターを求め、更にD⁻¹CDが

対角行列になる様な行列Dを求めて下さい（D⁻¹は計算しなくて構いません）。

４. 行列F =





2 3 −2

−2 −2 1 4 −1 6



の逆行列を求めて下さい。

５. 次の連立方程式の解はmの値によってどう変化しますか。











mx+y+z= 1 x+my+z=m x+y+mz=m²

６. ２次正方行列Gが固有値2,5をもつとき、

（１）Gは正則である事を証明して下さい。

（２）G⁻¹の固有値を求めて下さい。

2

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１. 方程式x²−7y²= 1について、以下の問いに答えて下さい：

（１）1< x <10,1< y <10の範囲内にこの方程式の整数解が一つあります。それを 探して下さい。

（２）（１）で求めた解を(x, y) = (m, n)とします。このとき、点(m,−n)を点(1,0)に 移し、また点(1,0)を点(m, n)に移す一次変換の表現行列を求めて下さい。

（３）問題の方程式の正の整数解をもう一組求めて下さい。

２. 行列A=

√ 3 −1

−p² 3

!

（p >0）について以下の問いに答えて下さい：

（１）２つの異なる固有値w1, w2を求めて下さい。

（２）（１）で求めた固有値wjに対応した固有ヴェクターをuj(j= 1,2 )とした時、

u1とu2が直交するためのpの条件を求めて下さい。

３. 次の連立方程式の解を掃き出し法で求めて下さい。











x+ 2y+ 3z= 4 3x+ 4y+ 5z= 16 5x+ 7y+ 8z= 29

４. 行列B =





1 0 1 1 1 2 1 0 1



の固有値を求めて下さい。

５. 行列C=





2 1 −1 1 1 0

−1 0 1



の固有値は0,1,3である事が分かっています。それぞ

れの固有値に対応した固有ヴェクターを求めて下さい。

６. 以下に挙げるヴェクターはいずれも行列D=





1 −2 −2

−2 1 −2

−2 −2 1



の固有ヴェクター

である事が分かっています：



 1

−1 0



,



 2

−7 5



,



 0

−1 1



,





−3 2 1



,



 4 4 4



.

Revised at 01:41, July 26, 2015 数学特論Ａ 第１４回 http://my.reset.jp/˜gok/math/advanced/ 2

（１）下図の辺BCをBD : DC = 2 : 5に内分する点をDとした時、ヴェクター AD→ を求めて下さい。

（２）F⁻¹DF が対角行列になる様な正則行列F を求めて下さい。

3

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１. 4ABCの辺BC上に点Dがあり、4ABDと4ADCの面積がそれぞれ3,5で あるとき、ヴェクターAD^→ をヴェクターAB,^→ AC^→ で表して下さい。

２. 行列





1 3 2 2 8 9 4 13 11



 の逆行列を掃き出し法で求めて下さい。

３. 次の計算をして下さい。

（１）

√1 3

! √2 −1 5

0 4 1

!

（２）



 1 1 1



×





−3 6 2





４. 行列式 ØØ ØØ ØØ Ø

a b c a² b² c² bc ca ab ØØ ØØ ØØ Ø

を因数分解して下さい。

５. 行列





3 1 1 1 3 1 1 1 3



の固有値を求めて下さい。

６. 行列M = 1 6

√5 −1

−2 4

!

で表現される一次変換を考えます。

点P0(6,0)をこの一次変換で移した点をP1とし、更にこの点P1を同じ一次変換で 移した点をP2とします：

OP→1=MOP^→0= 1 6

√5 −1

−2 4

! √6 0

!

OP→2=MOP^→1=M²OP^→0.

同様に続ける事によって点列{Pn}が得られ、点Pnの位置ヴェクターOP^→nは OP→n =MOP^→ n−1=· · ·=MⁿOP^→0

となりますが、

（１）行列M の固有値・固有ヴェクターを求めて下さい。

（２）行列M を対角化し、Mⁿを求めて下さい。

（３）点Pnの座標を求めて下さい。

（４）この点列は収束するでしょうか？するかしないか答え、更に収束する場合には 極限点も求めて下さい。収束しない場合にはしない理由も述べて下さい。

4

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１. 直線y=ax+bが行列

√−1 8

−2 7

!

の表す一次変換で自分自身に移る（つまり不動 直線である）とき、a, bの値を求めて下さい。

２. ２次正方行列A=

√a b c d

!

はA³=Oを満たしているとします。

（１）|A|= 0である事を証明して下さい。

（２）ケーリー・ハミルトンの等式A²−(a+d)A+ (ad−bc)E=O を使って実は 既にA²=Oである事を証明して下さい。

３. 行列





1 2 3 3 4 5 5 7 8



の逆行列を掃き出し法で求めて下さい。

４. 次の行列式を計算して下さい（特に因数分解する必要はありません）。

（１）

ØØ ØØ ØØ Ø

6 1 3

5 −2 −1

4 3 2

ØØ ØØ ØØ Ø

（２）

ØØ ØØ ØØ Ø

b+c a−c a−b b−c c+a b−a c−b c−a a+b ØØ ØØ ØØ Ø ５. 連立方程式： 









2x+y−z= 1 x+y= 3

−kx+z= 2

は異なる解を少なくとも２組もつ事が分かっています。このときkの値を求めて下さい。

６. 次の漸化式： 





an+1= 5an−bn

bn+1= 6an−2bn

, a0= 1, b0= 2

を満たす数列{an}n=0,1,2,...,{bn}n=0,1,2,...を以下の通りに求めて下さい。

（１）係数行列C=

√5 −1 6 −2

!

の固有値・固有ヴェクターを求めて下さい。

（２）係数行列Cを対角化し、そのn乗Cⁿを求めて下さい。

（３）漸化式の解{an},{bn}を求めて下さい。

5

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１. 図の様に4ABCの内部に点Eがあり、面積比が4ABE :4BCE = 3 : 2であ るとき、直線BEと辺CAの交点Dの位置ヴェクターOD^→ をOA,^→ OB,^→ OC^→ で表して 下さい。

２. ３点F(0,1,−2), G(3,2,1), H(−5,13,2)を通る平面の法線ヴェクターを求めて下 さい。

３. 次の行列式を計算して下さい。

（１）

ØØ ØØ ØØ Ø

1 a b+c 1 b c+a 1 c a+b ØØ ØØ ØØ Ø

（２）

ØØ ØØ ØØ Ø

7 2 0

−3 3 1 2 11 3 ØØ ØØ ØØ Ø ４. 行列

√p 2 3 1−p

!

の表す一次変換によって直線y=pxが自分自身に移るときのp 値を求めて下さい。

５. 行列





2 0 1

−4 1 3 3 0 2



の逆行列を、掃き出し法で求めて下さい。

６. 行列





2 0 3

4 −3 −2

−1 2 4



の固有値・固有ヴェクターを求めて下さい。

７. ２つの平行でない２次元ヴェクター , はどちらも２つの２次対称行列P, Q両方 の固有ヴェクターであるとします。この時P Qも対称行列である事を証明して下さい。

6

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１. ３次元ヴェクターの外積は次の２つの性質を持っています：

（い） 任意のヴェクターa,bに対して、a×b=−b×a.

（ろ） 任意のヴェクターcに対して、c×c=0.

この２つの性質について、次の問に答えて下さい：

（１） （い）を使って（ろ）を証明して下さい。

（２） （ろ）を使って（い）を証明して下さい。

ただし、外積の線形性：

(f +g)×h=f×h+g×h p×(q+r) =p×q+p×r は証明なしに使って下さい。

Revised at 01:41, July 26, 2015 数学特論Ａ 第１４回 http://my.reset.jp/˜gok/math/advanced/ 4 ２. ３次元のヴェクターa,bは、共にゼロヴェクターではないとします。このとき外

積a×bはヴェクターaと直交する事を示して下さい。

３. 三角形ABCにおいて、 CABの２等分線が辺BCと交わる点をDとします。

このとき、ヴェクターAD^→ をヴェクターAB,^→ AC^→ で表して下さい。

４. 方程式X²−8Y² = 1の整数解(X, Y)は、0≤X ≤100かつ0≤Y ≤100の範 囲に４組ありますが、一次変換を上手く使う事によって４組全てを求めて下さい。

５. 次の行列式を計算して下さい。

（１）

ØØ ØØ ØØ Ø

3 −1 0 0 2 −1

0 1 3

ØØ ØØ ØØ Ø

（２）

ØØ ØØ ØØ Ø

12 11 5 6 10 8 3 2 −1

ØØ ØØ ØØ Ø

（３）

ØØ ØØ ØØ Ø

−1 2 −1 3 −1 8 2 5 11

ØØ ØØ ØØ Ø

６. 次の行列式を因数分解して下さい。

（１）

ØØ ØØ ØØ Ø

l+m+n −n −m

−n l+m+n −l

−m −l l+m+n ØØ ØØ ØØ Ø

（２）

ØØ ØØ ØØ Ø

2−m −1 2

−1 5−m −1 2 −1 2−m

ØØ ØØ ØØ Ø

（３）

ØØ ØØ ØØ Ø

s s² t+u t t² u+s u u² s+t ØØ ØØ ØØ Ø

7

19

１. 三角形ABCの内部に点Gがあって、内部が３つの三角形に分割されています。こ れらの三角形の面積がそれぞれ、

（4CGBの面積）=S1、（4AGCの面積）=S2、（4BGAの面積）=S3

である時に以下の問いに答えて下さい。

（１）直線AGが辺BCと交わる点をD、直線BGが辺CAと交わる点をEとした とき、

BD:DC=S3:S2 CE:EA=S1:S3 · · ·(∗) となる事を証明して下さい。

（２）上の(∗)を使って次のようになる事を証明して下さい：

AD→ = S2

S2+S3

AB→ + S3

S2+S3

AC→

BE→ =−AB^→ + S3

S3+S1

AC→ · · ·(§)

（３）上の(§)を使って点Gの位置ヴェクターが OG→ =S1

OA→ +S2

OB→ +S3

OC→

S1+S2+S3

となる事を証明して下さい。

２. 行列





1 2 3 1 3 4 2 4 7



について以下の問いに答えて下さい：

（１）逆行列をヴェクターの外積を使って計算して下さい。

（２）逆行列を掃き出し法によって計算して下さい。

３. 次の行列式を計算して下さい。

（１）

ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ

9 5 4 3

4 18 2 8 6 −4 3 −2 9 13 4 7

ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ

（２）

ØØ ØØ ØØ Ø

−13 12 6

−12 11 6

−6 6 2 ØØ ØØ ØØ Ø

４. 次の行列式を因数分解して下さい。

（１）

ØØ ØØ ØØ Ø

a+f a+g a+h b+f b+g b+h c+f c+g c+h ØØ ØØ ØØ Ø

（２）

ØØ ØØ ØØ Ø

1 1 1 1 p p² 1 p³ p⁴ ØØ ØØ ØØ Ø

５. 行列M =





2 −1 1 6 −1 0 6 −2 1



に対して、M−xEが正則でない様なxの値を求めて下

さい。

平成27年度前学期 数学特論Ａ 課題 第４回 名 年科号 ₅

課題 1 ２次正方行列Gが固有値2,5をもつとき、

（１）Gは正則である事を証明して下さい。

（２）G⁻¹の固有値を求めて下さい。

課題 2 ２次正方行列A=

√a b c d

!

はA³=Oを満たしているとします。

（１）|A|= 0である事を証明して下さい。

（２）ケーリー・ハミルトンの等式A²−(a+d)A+ (ad−bc)E=O を使って 実は既にA²=Oである事を証明して下さい。