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統計学 第13
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13
区間推定の問題演習 解答例基本演習
13.1
ある材料１０個の直径を測定したところ次の値が得られました。こ のとき母平均の推定値を点推定によって求めて下さい。3.055, 3.012, 3.045, 3.033, 3.070, 3.038, 3.052, 3.044, 3.072, 3.005
3.0426.
基本演習
13.2 (
問題集5.5)
ある高専の３年生の中から無作為に２５名を抽出して身長を測定したところ次の結果が得られました。身長の分布が標準偏差
5.5
の 正規分布に従うものとして、その高専の３年生の身長の平均値を信頼度９５％で推 定して下さい。168 168 167 178 164 170 167 169 172 175 178 170 160 176 167 172 158 171 180 174 173 180 172 170 165
[168.4, 172.7].
基本演習
13.3 (
教科書 問題16.8
母分散既知に改題)
ある高専３年男子学生の１００メートル走の記録の度数分布は分散が
(1.88
秒) 2
で、正規分布に従うものと します。学生の中から４０人を無作為に選び、１００メートル走の記録をとったと ころ平均値が15.3
秒でした。全学生の平均値を信頼度９５％で推定して下さい。[14.72, 15.88].
基本演習
13.4
全国一斉にある教科のテストが行われました。受験生から１００名 を抽出し、その得点の平均と標準偏差を求めたところそれぞれ58.3
点、12.4
点で した。全受験生の平均得点の９５％信頼区間を求めて下さい。母分布：
unknown
母平均：
unknown
母分散：
unknown
サンプルサイズ：
100
（large
） サンプル平均：58.3
サンプル分散：
12.4 2
大きなサンプルを取っているので母分散は標 本分散で代用出来ます。また母平均を
m
とすれ ば中心極限定理により、この母集団からとった大 きさ100
の標本平均X ¯
は正規分布N ≥
m, 12.4 100
2¥
で近似されます。そこでまず
P [ | X ¯ − m | ≤ d] = 0.95
となる様なd > 0
を求めます。少し変形すれば0.95 = P
Ø Ø Ø Ø Ø Ø
X ¯ − m q
12.42 100Ø Ø Ø Ø Ø Ø ≤ d
q
12.42 100
∼ P
| N(0, 1) | ≤ d q
12.42100
= 2P
0 ≤ N(0, 1) ≤ d q
12.42100
0.475 = P
0 ≤ N (0, 1) ≤ d q
12.42100
となりますが、標準正規分布表に依れば、
q d
12.4
2100
∼ 1.96, d = 1.96 × 12.4 10 ∼ 2.43
であれば良い事が分かります。従って
P [ | X ¯ − m | ≤ 2.43] ∼ 0.95
が分かりました。従って今回の標本平均の具体値は信頼度
95
パーセントで不等式| 58.3 − m | ≤ 2.43
すなわち58.3 − 2.43 ≤ m ≤ 58.3 + 2.43
を満たしていますので、求める信頼区間は[55.87, 60.73]
になります。Revised at 14:26, February 6, 2017
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基本演習
13.5
ある動物用の新しい飼料を試作し、任意抽出された１００匹にこの 飼料を毎日与えて１週間後に体重の変化を調べました。増加量の平均は2.57kg
、標準偏差は
0.35kg
でした。この増加量について母平均を信頼度９８％で区間推定して下さい。
母平均を
m
とします。大きさ100
の大きなサンプルを取っているので母分散は標本 分散で代用出来、従って中心極限定理によればこの母集団からとった大きさ100
の標本 平均X ¯
は正規分布N ≥
m, 0.35 100
2¥
で近似されます。
そこでまず
P [ | X ¯ − m | ≤ d] = 0.98
となる様なd > 0
を求めます。少し変形すれば0.98 = P
Ø Ø Ø Ø Ø Ø
X ¯ − m q 0.35
2100
Ø Ø Ø Ø Ø Ø ≤ d
q 0.35
2100
∼ P
| N (0, 1) | ≤ d q 0.35
2100
となりますが、標準正規分布表に依れば、
P[ | N(0, 1) | ≤ 2.33] ∼ 0.98
ですから、q d
0.35
2100
= 2.33, d = 2.33 × 0.35
10 = 0.08155
であれば良い事が分かります。従って
P [ | X ¯ − m | ≤ 0.08155] ∼ 0.98
が分かりました。
従って今回の標本平均の具体値は信頼度
98
パーセントで不等式| 2.57 − m | ≤ 0.08155
すなわち2.57 − 0.08155 ≤ m ≤ 2.57 + 0.08155
を満たしています。従って元データの平均値
m
の、信頼度９８％の信頼区間は[2.49, 2.65]
になります。基本演習
13.6
ある母集団から２万個のサンプルを取って調査したところ、サンプ ルの平均は157.9
、サンプルの不偏分散は5.35 2
でした。母平均の95
％信頼区間を 求めて下さい。まず状況を整理すると以下の通りです：
【母集団】
分布： 不明 平均： 不明 分散： 不明
【サンプル】
サイズ：
20000
平均：157.9
不偏分散：5.35 2
母平均は不明ですが、計算の都合上仮に
m
としておきます。また、大きさ20000
の 大きなサンプルを取っているので母分散はサンプル不偏分散で代用出来ます。従って中心極限定理によれば、この母集団から取った大きさ
20000
の標本平均X ¯
は 正規分布N ≥
m, 20000 5.35
2¥
で近似されます。そこでまず
P [ | X ¯ − m | ≤ d] = 0.95
となるような正数
d
を求めますが、正規分布で近似して更に標準化すれば0.95 = P [ | X ¯ − m | ≤ d]
∼ P ∑ØØ Ø Ø N µ
m, 5.35 2 20000
∂
− m Ø Ø Ø Ø ≤ d
∏
= P
"
| N (0, 1) | ≤ d
5.35 100 √ 2
#
0.475 = P
"
0 ≤ N (0, 1) ≤ d
5.35 100 √ 2
#
ですから、正規分布表により 5.35
d
100√2
∼ 1.96
すなわちd ∼ 0.0744
ですから結局P [ | X ¯ − m | ≤ 0.0744] = 0.95
が得られた事になり、今回のサンプル調査の平均値が
X ¯
の１つの実現値である事に注 意すれば、信頼度95
％で| 157.9 − m | ≤ 0.0744,
すなわち157.83 ≤ m ≤ 157.97
が成り立つと言えます。従って求める信頼区間は[157.8, 158.0]
です。Revised at 14:26, February 6, 2017
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基本演習
13.7
ある工場で生産しているケース入洗剤の内容量は、従来の測定に よって母分散が(3.5g) 2
の正規分布に従う事が知られています。ある単位生産時間の製品の中から２５個を無作為に抽出して測定したところ、平
均値が
202.8g
でした。内容量の母平均m
に対して信頼度９５％の信頼区間を求めて下さい。
この母集団からとった大きさ２５の標本平均
X ¯
は正規分布N ≥
m, 3.5 25
2¥
に従います。
まず
0.95 = P [ | X ¯ − m | ≤ d]
となる正数
d
を求めます。0.95 = P ∑ØØ Ø Ø N µ
m, 3.5 2 25
∂
− m Ø Ø Ø Ø ≤ d
∏
= P
∑
| N(0, 1) | ≤ d
3.5 5
∏
= 2P
∑
0 ≤ N (0, 1) ≤ d 0.7
∏
0.475 = P
∑
0 ≤ N (0, 1) ≤ d 0.7
∏
ですから、標準正規分布表によれば
d
0.7 ∼ 1.96,
従ってd ∼ 1.372
が得られます。従ってP [ | X ¯ − m | ≤ 1.372] ∼ 0.95
ですから、今回のサンプル平均値が
202.8
だった事から、信頼度95
％で| 202.8 − m | ≤ 1.372,
従って201.428 ≤ m ≤ 204.172
が成立しており、これが求める信頼区間になります。基本演習
13.8
ある正規母集団から大きさ5
のサンプルを抽出したところ分散の実現値が
2.531
でした。母分散の信頼度９５％の信頼区間を求めて下さい。母集団は正規分布
N (m, v)
に従うものとします。するとここから取った大きさ５の 標本分散をV ¯
とすると5
v V ¯
は自由度４のカイ自乗分布に従います。このときカイ自乗分布表によれば
