今日のテーマ：ラグランジュ形式の力学の応用

力学２演義アドヴァンスト 問題５ 解説

担当教員：富田 賢吾 （宇宙地球科学専攻 [email protected] 居室：F616） TA：荒田 翔平（[email protected] 居室：F624）

仲田 祐樹（[email protected] ^居室：F617^）

今日のテーマ：ラグランジュ形式の力学の応用

問１ [^{二重振り子}]

有名問題なので答えのみ。運動方程式を立てるのに手間取るような複雑な問題でも解析力学なら ば機械的に導出できる良い例（解けるわけではないが）である。一度は自分で計算してみること。

(1) L= 1

2(m₁+m₂)l₁²θ˙₁²+1

2m₂l²₂θ˙²₂+m₂l₁l₂θ˙₁θ˙₂cos(θ₁−θ₂) + (m₁+m₂)gl₁cosθ₁+m₂gl₂cosθ₂ (m₁+m₂)l₁θ¨₁+ (m₁+m₂)gsinθ₁+m₂l₂

[θ¨₂cos(θ₁−θ₂) + ˙θ₁θ˙₂sin(θ₁−θ₂) ]

= 0 l2θ¨2+gsinθ2+l1

[θ¨1cos(θ1−θ2)−θ˙1θ˙2sin(θ1−θ2) ]

= 0 (2) 微小振動の運動方程式は

θ¨1+ ¨θ2 + g

lθ2 = 0 2¨θ1+ ¨θ2 + 2g

lθ1 = 0

ω₀² = ^g_l としてこの方程式を対角化すると固有振動数は ω = √ 2±√

2ω0、固有ベクトルは (1, ∓√

2)（複合同順）。

問２ [電磁場中の荷電粒子の運動]

略：全て誘導通りに計算するだけである。ベクトル解析の公式が正しく使えない学生が多いこと に非常に大きな衝撃を受けた。今後絶対に必要になるので必ず復習しておくこと。また見慣れな い表式等を見ても怯まずに、必要なら自分で調べて取り組むこと。大学は自分で勉強する所であ ると肝に銘じてほしい。

問３ [倒立振り子]

(1) L= ¹₂m( ˙x² + ˙y²)−mgyに与えられた座標を代入して L= 1

2m [

l²θ˙²cos²θ+ (−lθ˙sinθ+ωAcosωt)²

]−mg(lcosθ+Asinωt)

ml²θ¨+mlAω²sinθsinωt=mglsinθ

(2) 指示通りθ=ϕ+δを代入して展開するとsinθ ≃sinϕ+δcosϕ。δ(t) = ^A_l sinϕ(t) sinωtを 代入し高周波成分の一周期について運動方程式の時間平均を取るとsinωt^{に比例する項は周期関} 数なので全て落ちる。その結果

ml²ϕ¨+mA²ω²cosϕsinϕ⟨sin²ωt⟩=mglsinϕ

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

Potential

Angle (radian)

残るsin²ωtの項は定義通り平均を取る：

⟨sin²ωt⟩= 1 T

∫ T 0

sin²ωtdt= 1 2 よって運動方程式はω₀² = ^g_l とすると

ϕ¨=ω₀²sinϕ (

1− A²ω² 2gl cosϕ

)

右辺を積分して有効ポテンシャルを求める と、振り子の頂点をϕ= 0として

Ueff(ϕ) =ω²₀cosϕ− A²ω²

8l² cos 2ϕ

振動数ωが高ければ振り子の最下点だけでなく頂点付近もポテンシャルが極小をとり安定になる。

この時概形は右上図のようになる。頂点付近が安定になる条件は運動方程式からA²ω² > 2gl。 ϕ_max はポテンシャルを微分して極大値を求めれば良い。

問４ [簡単な剛体の運動]

(1) 円盤の中心を原点とする極座標を用いる。並進方向と回転方向のなす角度を ϕとし、回転速 度はrωだから

T =

∫ r 0

dr^′

∫ 2π 0

dϕ [1

2σ(V²+V r^′ωcosϕ+r^′2ω²)r^′ ]

= 1

2M V²+ 1

4M r²ω² すなわち円盤の慣性モーメントはI = ¹₂M r²。

(2) 略：円盤の回転エネルギーをゼロとする。微小振動の周期はT = 2π

√R−r g 。

(3)(a) 円盤の重心の位置を最下点から測った角度θ で表し、円盤の円弧の長さを角度ϕで表すと

Rθ =rϕ。この時円盤が実際に回転した角度はα =ϕ−θ = ^R−_r^rθ。 (b) 円盤の重心の速度はV = (R−r) ˙θ。ラグランジアンと運動方程式は

L= 1

2M(R−r)²θ˙²+ 1

2Iα˙²+M g(R−r) cosθ = 3

4M(R−r)²θ˙²+M g(R−r) cosθ θ¨=− 2g

3(R−r)sinθ (c) 周期は

T = 2π

√

3(R−r) 2g これは回転しない場合よりも √

3

2 倍長い。円盤の回転にエネルギーが使われるためである。

r →0の極限でもこの比は変わらず、周期は質点の振動の場合よりも長い。

(4) 凍っていない缶ジュースは転がしても中身の液体が回転しないが、凍った缶ジュースは中身も 一緒に回転する。そのため例えば坂道を転がせば凍っていない缶の方が速く転がるであろう。

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