P (,,0) XY xy (,,0) XY

(1)

[ 東京工業大学 2009 年後期１ ]

aが与えられた実数のとき，xyz^空間の点C( , 0, 3)a から出た光が球 x²y² (z 1)²≦1 でさえぎられてできるxy平面上の影をS^{とする。点}( ,X Y, 0)がSに含まれる条件を求めよ。

( ,X Y, 0)

P とおく。

Cは級の上端より上にあるから，直線CPが球と共有点を持つための条件を求めればよい。

直線CP^{上の点は，媒介変数}tを用いて 0

3 3

x a X a

y t Y

z

      

      

     

      

     

と表せるので

2 2 2

( 1) 1

x y  z ≦ に代入すると



^a^⁽^X^^{a t}⁾



²^⁽^tY⁾²^

 

^{3 3}^ ^t



^¹



²^≦¹ ^…①

となる。①がtの方程式として実数解をもてばよい。

① ⇔



⁽^X ^^a⁾²^^Y²^⁹



^t²^^{2{ (}^{a X} ^{ }^a^{) 6}}^t^^a²^³^≦⁰ ^…②

であり，(X a)²Y² 9 0 より，②の左辺＝0の2次方程式の判別式をDとして

  

2 2 2 2

{ ( ) 6} ( ) 9 3 0

4

D  a X  a  X a Y  a  ≧

     

 

2 2 2 2 2 2 2

( ) 12 ( ) 36 3 ( ) 3 9 3 0

a Xa  a X  a  a  X a  a  Y  a  ≧

   

2 2 2 2

3(X a) 12 (a X a) 36 a 3 Y 9 a 3

       ≧ 

^³^X²^⁶^aX ^



^a²^³



^Y²^≧^⁹

 

²



²



² ²

3 X a  a 3 Y ≦3(a 3)

 

² ²

2 1

3 3

X a Y

a

 

 ≦

よって求める条件は

 

² ²

2 1

3 3

X a Y

a

 

 ≦