河野　将希

特別研究報告書

固定費付き取引コスト関数をもつ 最適資産配分問題の解法

指導教員 福嶋雅夫 教授     

京都大学工学部情報学科 数理工学コース 平成１９年４月入学 平成２３年３月卒業

河野 将希

平成２３年１月３１日提出

固定費付き取引コスト関数をもつ 最適資産配分問題の解法

河野 将希 摘要

平均・分散モデルに基づいた資産配分問題はさまざまな定式化が研究されてい る. 現実には資産の取引を行う際に手数料などのコストがかかることが往々にし てあるため,取引コストを考慮した問題も数多く提案されている. その一つとして, 固定費付き取引コストを予算制約に含めた問題がある. 固定費付き取引コスト関 数は原点で不連続であり, それ以外の区間では線形な関数で与えられる. この問題 の実行可能領域は凸集合にならないため,一般にこのような問題を厳密に解くのは 困難である. ゆえに, 短時間で良い近似解を得ることが目的となる.

本報告書ではまず固定費付き取引コストを予算制約に含めた資産配分問題を定 式化し,問題の特徴を有効に利用した新しい解法として凸制限反復法とシグモイド 近似法の二つを提案する. また, 提案手法において用いられる凸緩和問題を構築す る方法について詳しく述べる. さらに, 株式資産の実際のデータを用いて数値実験 を行い,提案した手法と従来手法によって得られる解や計算時間を比較することに より, 提案手法の有効性を検証する.

目 次

1

1

2

1

2.1

. . . . 2

2.2

. . . . 3

2.3

. . . . 3

2.4

. . . . 3

2.5

. . . . 4

3

4 3.1

. . . . 5

3.1.1 x _i

. . . . 5

3.1.2

. . . . 7

3.2

. . . . 8

3.3

. . . . 11

4

13 4.1

. . . . 14

4.2

. . . . 16

4.3

. . . . 17

5

18

1

本報告書では

Markowitz

[3]

分散モデルは,それまで投資のリスクという一見して捉えどころのない概念を分散 という明確な概念によって定量的に把握できるという点で画期的なものであり, そ の後に続く投資理論の出発点を与えることとなった.

本報告書では固定費付き取引コストを取引の収支に含め,資産配分の分散や予算 などの制約の下でのリターンの期待値の最大化を図る資産配分問題を考える. 固 定費付き取引コスト関数は原点で不連続となり,それ以外の区間では線形な関数で 表わされる. このような問題は凸計画問題ではないので, 大域的最適解を求めるの は困難である. そこである程度短時間で良い近似解を得ることが求められる. この 目的を達成するものとして, 本報告書では凸制限反復法とシグモイド近似法という 二つの解法を提案する. さらに数学的な議論や実際のデータに基づいた数値実験 により, 提案した手法の有効性や性質などを検証, 考察する.

本報告書の構成を以下に記す. まず

2

(凸緩和問題の最適値はもとの問題の最適値の上界値を与え

[2]

5

2

n

(この取引

一定期間

(以下これをピリオドと呼ぶ)

ドの初めで取引を行った後, ピリオドの途中で取引をしない. 投資者の目的は資産 配分の制約を満たしつつピリオド後の資産価格

(以下これをリターンと呼ぶ)

現在保有する

n

w = (w ₁ , ..., w _n ) ^⊤

1

1 ∈ R ⁿ

1 ^⊤ w

例えば

w ∈ R ³

w 1

(日本円), w 2

(US

w ₃

w = (50, 100, 200)

50

100

200

x = (x 1 , ..., x n ) ^⊤

i

x i > 0,

x _i < 0

w + x

2.1

取引量

x

ϕ(x)

1 ^⊤ x + ϕ(x) ≤ 0

(2.1)

いま, 取引コスト関数

ϕ(x)

ϕ(x) =

∑ n i=1

ϕ _i (x _i )

とする. 一般に取引コスト関数は凸にはならず, 実際には凹関数である

(取引量が

β _i ⁺ ≥ 0, β _i ⁻ ≥ 0, 1 > α ⁺ _i ≥ 0, 1 > α ⁻ _i ≥ 0

ϕ _i (x _i ) =

 



0 x _i = 0

β _i ⁺ + α ⁺ _i x _i x _i > 0 β _i ⁻ − α ⁻ _i x _i x _i < 0

で与えられると仮定する. とくに,取引がなければコストはかからないことに注意 する. この関数は下半連続であるので, 式

(2.1)

x

- 6

x _i ϕ _i (x _i )

α ⁻ _i

β _i ⁻

α ⁺ _i β _i ⁺

図

1:

ϕ _i (x _i )

本報告書では, 簡単のため

β _i ⁺ = β _i ⁻ , α ⁺ _i = α ⁻ _i

ϕ i (x i )

β _i ≥ 0, 1 > α _i ≥ 0

ϕ _i (x _i ) =

{ 0 x _i = 0

β _i + α _i | x _i | x _i ̸ = 0 (2.2)

I, I _α ⁰ , I _β ⁰

I := { 1, ..., n } I _α ⁰ := { i | α i = 0 } I _β ⁰ := { i | β i = 0 }

で定義する. 以後の議論を進める上で, この仮定によって一般性が失われることは ない.

2.2

資産保有量の上限に関する制約は資産

i

p _i

w _i + x _i ≤ p _i (i = 1, ..., n)

2.3

空売りに対する制約もまた線形不等式であり, 資産

i

s _i ≥ 0

w _i + x _i ≥ − s _i (i = 1, ..., n)

で表される. もし空売りが許されていないならば,

s _i = 0

2.4

資産

i

a _i

E

a = (a 1 , ..., a n ) ^⊤

Ea = ¯ a E(a − a)(a ¯ − a) ¯ ^⊤ = Σ

は既知であり

¯ a > 0

i

¯ a _i

i

i

0

ピリオド後の資産量は確率変数

W = a ^⊤ (w + x)

EW = ¯ a ^⊤ (w + x) E(W − EW ) ² = (w + x) ^⊤ Σ(w + x)

ピリオド後の資産量

W

σ _max (> 0)

(w + x) ^⊤ Σ(w + x) ≤ σ _max ² (2.3)

行列

Σ

2.5

予算制約

(2.1)

S = { y | − s ≤ y ≤ p, y ^⊤ Σy ≤ σ ² _max } ⊆ R ⁿ

と表す.

S

maximize ¯ a ^⊤ (w + x) subject to 1 ^⊤ x + ϕ(x) ≤ 0

w + x ∈ S

(2.4)

ここで,

¯

a ∈ R ⁿ ₊₊

w ∈ R ⁿ

x ∈ R ⁿ

ϕ : R ⁿ → R

であり, 資産

n

“現金資産”

n

0, ¯ a _n = 1

n

α _n = β _n = 0

問題

(2.4)

(つまり解のベクトルにおける非零要素が少ない)

があることが知られている. 実際,多くの種類の資産を取引すればそれだけ多くの 固定費がかかり非効率的であるので, 少数の資産の取引を行うのがよいというのは 合理的と考えられる.

3

この節では資産配分問題

(2.4)

問題

(2.4)

(以下凸緩和問題と呼ぶ)

て詳細に説明する. この凸緩和問題は提案する解法において用いられる. 3.2節で 提案手法の一つである凸制限反復法について述べ, 3.3節でもう一つの解法である シグモイド近似法について記す.

3.1

この節では, 資産配分問題

(2.4)

(2.2)

ϕ _i (x _i )

w + x ∈ S

(2.4)

x _i

ϕ i (x i )

ϕ ^c.e. _i (x _i )

ϕ ^c.e. _i (x _i )

(2.4)

3.1.1 x i

問題

(2.4)

x _i

(2.4)

w + x ∈ S

I _σ ⁰

I _σ ⁰ := { i | (Σ) _ii = 0 }

で定義する. ただし

( · ) _ii

(i, i)

I _σ ⁰ = { l + 1, ..., n } , I \ I _σ ⁰ = { 1, ..., l } (l ∈ I)

Σ ∈ R ^{l × l}

( ˜ Σ) _ij = (Σ) _ij (1 ≤ i, j ≤ l)

Σ =

[ Σ 0 ˜ 0 0 ]

となる. いま,逆行列

Σ ˜ ^{− 1}

Σ ^†

Σ ^† =

[ Σ ˜ ^{− 1} 0

0 0

]

で定義する. 各

i

(2.3)

maximize x _i

subject to g(x) = (w + x) ^⊤ Σ(w + x) − σ _max ² ≤ 0 (3.1)

minimize − x _i

subject to g(x) = (w + x) ^⊤ Σ(w + x) − σ _max ² ≤ 0 (3.2)

(3.2)

σ _max ² > 0

x = − w

g( − w) = − σ _max ² < 0.

Slater

ゆえに,問題

(3.1)

x ^∗

KKT

x ^∗

ることは同値である

[1, pp.241-249].

(3.1)

i ∈ I _σ ⁰

x ^∗

i

x ^∗ _i

+ ∞

i / ∈ I _σ ⁰

場合は,

e _i

i

1

λ ∈ R

KKT

 



− e _i + 2λΣ(w + x ^∗ ) = 0 (3.3a)

λg(x ^∗ ) = 0 (3.3b)

λ ≥ 0, g(x ^∗ ) ≤ 0 (3.3c)

となる. 式

(3.3a)

λ ̸ = 0

(3.3b)

g(x ^∗ ) = (w + x ^∗ ) ^⊤ Σ(w + x ^∗ ) − σ _max ² = 0

Σ(w + x ^∗ ) = 1

2λ e _i (3.4)

を代入すると

g(x ^∗ ) = (w + x ^∗ ) ^⊤ ( 1

2λ e _i )

− σ _max ² = 1

2λ (w _i + x ^∗ _i ) − σ ² _max = 0

λ = w _i + x ^∗ _i

2σ _max ² (3.5)

となる.

λ > 0

w _i + x ^∗ _i > 0

(3.5)

(3.4)

Σ(w + x ^∗ ) = σ ² _max

w _i + x ^∗ _i e _i

Σ ^†

[ E _l 0 0 0 ]

(w + x ^∗ ) = σ ² _max

w _i + x ^∗ _i Σ ^† e _i = σ ² _max

w _i + x ^∗ _i (Σ ^† ) _{• i}

となる. ただし,

E _l

l × l

· ) _{• i}

i

w i + x ^∗ _i = σ _max ²

w _i + x ^∗ _i (Σ ^† ) ii = σ _max ²

w _i + x ^∗ _i ( ˜ Σ ^{− 1} ) ii

であるので,

(w i + x ^∗ _i ) ² = σ ² _max ( ˜ Σ ^{− 1} ) ii

であり, さらに

w _i + x ^∗ _i > 0

w _i + x ^∗ _i = σ _max

√

( ˜ Σ ^{− 1} ) _ii x ^∗ _i = σ _max √

(Σ ^† ) _ii − w _i

となる.

以上から, すべての

i ∈ I

x ^∗ _i

S − w

x

i

x _i

u _i

u i := min { x ^∗ _i , p i }

同様にして, 問題

(3.1)

x ^∗ _i =

{ −∞ (i ∈ I _σ ⁰ )

− σ _max √

(Σ ^† ) _ii − w _i (i ∈ I \ I _σ ⁰ )

となることから, 集合

S − w

x

i

x i

− l i

− l _i := max { x ^∗ _i , − s _i }

で与える.

u _i , − l _i

S − w

x

i

x _i

各

i

T := { x ∈ R ⁿ | − l _i ≤ x _i ≤ u _i (i ∈ I) }

S − w ⊆ T (3.6)

となる.

3.1.2

定義

3.1.

I ⊆ R

I := I × ( −∞ , ∞ )

f : R → R

co (epi f ∩ I) = epi ˜ f ^c.e. ∩ I ˜

を満たす関数

f ^c.e. : R → R

I ⊆ R

f

S

co S

S

f

f

簡単のため, 3.1.1節で求めた

l _i , u _i

− l _i < 0 < u _i

β _i ^u :=

{ β _i /u _i (u _i < + ∞ )

0 (u _i = + ∞ ) β _i ^l :=

{ β _i /l _i ( −∞ < l _i ) 0 (l _i = −∞ )

と定義すると, 式

(2.2)

ϕ i (x i )

[ − l i , u i ]

ϕ ^c.e. _i (x i ) =

{ (β _i ^u + α i )x i x i ≥ 0

− (β _i ^l + α _i )x _i x _i < 0

と表わされる.

資産配分問題

(2.4)

ϕ _i

ϕ ^c.e _i

maximize a ¯ ^⊤ (w + x) subject to 1 ^⊤ x + ∑ _n

i=1 ϕ ^c.e. _i (x _i ) ≤ 0 w + x ∈ S

(3.7)

また, 問題

(2.4),

(3.7)

S _o = { x ∈ R ⁿ | 1 ^⊤ x + ∑ n

i=1 ϕ _i (x _i ) ≤ 0 } ∩ ( S − w) S _cr = { x ∈ R ⁿ | 1 ^⊤ x + ∑ _n

i=1 ϕ ^c.e. _i (x _i ) ≤ 0 } ∩ ( S − w)

{ x ∈ R ⁿ | 1 ^⊤ x +

∑ n i=1

ϕ i (x i ) ≤ 0 } ∩ T ⊆ { x ∈ R ⁿ | 1 ^⊤ x +

∑ n i=1

ϕ ^c.e. _i (x i ) ≤ 0 } ∩ T

(3.6)

S _o ⊆ S _cr

となる. つまり, 問題

(3.7)

(2.4)

る. さらに

S _cr

(3.7)

(2.4)

(3.7)

(2.4)

(3.7)

W cr

(2.4)

W _o

(3.7)

[4].

3.2

各

i

ϕ ^b _i (x _i ) : R → R

ϕ ^b _i (x _i ) := β _i + α _i | x _i | (i ∈ I)

を定義する. これは,取引の有無に関わらず固定費が

β _i

x _i ̸ = 0

ϕ ^b _i (x _i ) = ϕ _i (x _i )

I ₀ (以後,

i ∈ I ₀

i

I \ I ₀

maximize ¯ a ^⊤ (w + x) subject to 1 ^⊤ x + ∑

i / ∈ I 0 ϕ ^b _i (x _i ) ≤ 0 w + x ∈ S

x i = 0 (i ∈ I 0 )

(3.8)

を考える. この問題は凸計画問題であり,問題

(3.8)

S _cb

S _cb ⊆ S _o

となる. ゆえに,目的関数は同じであるので問題

(3.8)

W _cb

W cb ≤ W o (3.9)

が成立する. よって以後,問題

(3.8)

資産配分問題

(2.4)

x ^∗

x ^∗ _i = 0

i

I ₀ ^∗

I 0

(3.8)

x ^∗

1 ^⊤ x + ∑

i / ∈ I 0 ϕ ^b _i (x ^∗ _i ) = 1 ^⊤ x + ∑

i / ∈ I 0 ϕ _i (x ^∗ _i ) ≤ 0 w + x ^∗ ∈ S

x ^∗ _i = 0 (i ∈ I ₀ )

を満たすので, 凸制限問題

(3.8)

W _cb ≥ a ¯ ^⊤ (w + x ^∗ ) = W _o

が成立する. これと式

(3.9)

W _cb = W _o

I ₀ ^∗

I ₀ := I ₀ ^∗

題

(3.8)

(2.4)

際には最適な非取引資産の集合

I ₀ ^∗

凸緩和問題

(3.7)

(2.4)

(3.7)

x ˆ

| x ˆ i | ≤ δ (δ

i

(2.4)

i

I 0

n

α n = β n = 0

I ₀

資産配分問題

(2.4)

I ₀

(2.4)

この予想のもとに, ある

I ₀

(3.8)

I ₀

しかし,

ϕ ^b _i (x _i )

ϕ ^b+ _i (x _i ) := β _i + α _i x _i ϕ ^b _i ⁻ (x _i ) := β _i − α _i x _i

と定義すると,

ϕ ^b _i (x i ) = max { ϕ ^b+ _i (x i ), ϕ ^b _i ⁻ (x i ) }

(3.8)

t = (t ₁ , ..., t _n ) ∈ R ⁿ

maximize a ¯ ^⊤ (w + x) subject to 1 ^⊤ (x + t) ≤ 0

ϕ ^b+ _i (x _i ) ≤ t _i , ϕ ^b _i ⁻ (x _i ) ≤ t _i (i / ∈ I ₀ ) w + x ∈ S

x i = 0, t i = 0 (i ∈ I 0 )

(3.10)

と表すことができる. この問題の制約関数はすべて微分可能である. 以上の議論を まとめると,次の凸制限反復法のアルゴリズムを得る.

凸制限反復法のアルゴリズム

Step 1. δ

k := 0, ˆ δ := δ, δ ₀ := δ, W ^∗ = −∞ , I ˆ := { 1, ..., n − 1 }

(3.7)

x ˆ ⁰

Step 2. I ₀ := { i | | x ˆ ^k _i | ≤ δ, i ˆ ∈ { 1, ..., n − 1 }}

とする. この

I ₀

(3.10)

x ˆ ^k+1 ,

W ^k+1

Step 3. δ ₀ = 0

W ^∗ > W ^k+1

x ^∗ := ˆ x ^k

δ ₀ = δ

W ^∗ > W ^k+1

δ ₀ := 0 , x ˆ ^k+1 := ˆ x ^k

δ ₀ := δ, I ˆ := ˆ I \ I ₀ , W ^∗ := W ^k+1

Step 4. δ ˆ := min _{i ∈} I ˆ | x ˆ ^k+1 _i | + δ ₀ , k := k + 1

δ ˆ

I ₀

δ ₀

k ^∗

Step 3

δ 0 = δ

W ^∗ > W ^{k ∗ +1}

W ^{k ∗ +1}

W ^∗

I ₀

x ^{k ∗}

x ^{k ∗ +1}

δ 0 := 0

k ^∗ + 1

i

I ₀

Step 3

δ ₀ = 0

W ^∗ > W ^k+1

W ^∗

I ₀

x ^{k ∗ +1}

W ^∗ ≤ W ^k+1

x ^{k ∗ +1}

I ˆ := ˆ I \ I 0

δ ₀ := δ

このアルゴリズムによって得られた解

x ^∗

(2.4)

(3.10)

x i = t i = 0 (i ∈ I 0 )

3.3

各

i

A i (x i )

B i (x i )

A i (x i ) := α i | x i | B i (x i ) :=

{ 0 x _i = 0 β _i x _i ̸ = 0

と定義すると, 取引コスト関数

ϕ _i (x _i )

A _i (x _i ) + B _i (x _i )

A _i (x _i )

(2.4)

B i (x i )

B i (x i )

B _i (x _i )

B _i (x _i )

ς _g (x) = 1 − e ^{− gx}

1 + e ^{− gx} ( ^∀ x ∈ R )

を用いて

B _i (x _i )

β _i ς _g ( | x _i | )

g

ς g (x)

ς _g ^′ (x) = g

2 (1 + ς _g (x))(1 − ς _g (x))

のように簡潔に表せるので, 勾配を簡単に計算することができる.

O x

ς1(x)

1

-1

図

2:

g = 1

ς g (x)

O x

-1 1 ς5(x)

図

3:

g = 5

ς _g (x)

さらに, シグモイド関数を用いると, 取引コスト関数

ϕ _i (x _i )

ϕ ^s _i (x _i ) := β _i ς _g ( | x _i | ) + α _i | x _i |

で近似できる.

O

φ ^s (x i )

x _i

図

4: ϕ ^s _i (x _i )

資産配分問題

(2.4)

ϕ _i (x _i )

ϕ ^s _i (x _i )

maximize ¯ a ^⊤ (w + x)

subject to 1 ^⊤ x + ∑ n

i=1 ϕ ^s _i (x _i ) ≤ 0 w + x ∈ S

(3.11)

を考える. この問題の局所的最適解は, 元の問題

(2.4)

• i ∈ I _α ⁰ ∩ I _β ⁰

ϕ ^s _i (x ^∗ _i ) = ϕ i (x ^∗ _i ) = 0

• i ∈ I \ (I _α ⁰ ∩ I _β ⁰ )

– 1/g ≪ | x ^∗ _i |

ϕ ^s _i (x ^∗ _i ) = β _i ς _g ( | x ^∗ _i | ) + α _i | x ^∗ _i | ≈ β _i + α _i | x ^∗ _i | = ϕ _i (x ^∗ _i ) – x ^∗ _i = 0

ϕ ^s _i (x ^∗ _i ) = ϕ _i (x ^∗ _i ) = 0

とくに

g

i ∈ I \ (I _α ⁰ ∩ I _β ⁰ )

| x ^∗ _i |

1/g

問題を解いて求めた解において

x ^∗ _i = 0

x _i

ϕ _i (x _i ) := β _i + α _i | x _i |

(2.4)

ただし,

ϕ ^s _i (x _i )

(3.11)

ϕ ^s+ _i (x _i ) := β _i ς _g (x _i ) + α _i x _i ϕ ^s _i ⁻ (x _i ) := β _i ς _g ( − x _i ) − α _i x _i

と定義すると,

ϕ ^s _i (x _i ) = max { ϕ ^s+ _i (x _i ), ϕ ^s _i ⁻ (x _i ) }

(3.11)

t = (t ₁ , ..., t _n ) ∈ R ⁿ

maximize a ¯ ^⊤ (w + x) subject to 1 ^⊤ (x + t) ≤ 0

ϕ ^s+ _i (x _i ) ≤ t _i , ϕ ^s _i ⁻ (x _i ) ≤ t _i (i ∈ I) w + x ∈ S

(3.12)

と表すことができる. この問題の制約関数はすべて微分可能である. また, シグモ イド近似問題

(3.12)

(3.7)

x ⁰

^⊤ = (x ⁰ ₁ , . . . , x ⁰ _n , ϕ ^s ₁ (x ⁰ ₁ ), ..., ϕ ^s _n (x ⁰ _n )) ^⊤

2

4

この節では, 前節で提案した方法に対して実際に計算機を用いて数値実験を行っ た結果を示す. 実験は

CPU

2.27GHz

Core i5,

4.0GB

MATLAB7.10.0

w ₁ , ..., w ₁₀₁ = 1/101

α ₁ , ..., α ₁₀₀ = 0.01, α ₁₀₁ = 0 s ₁ , ..., s ₁₀₀ = 0.005, s ₁₀₁ = 0.5 p ₁ , ..., p ₁₀₁ = 0.5

とし,無作為に選んだ

100

(分散 0

¯ a ₁₀₁ = 1)

加えた

n = 101

(2.4)

2006

1

24

2011

1

23

5

また, 特に断らない限り

β ₁ = · · · = β ₁₀₀ = 0.001, β ₁₀₁ = 0

(2.3)

σ _max := 0.1

[2]

x _i

0

δ := 10 ^{− 3}

g := 10 ³

4.1

凸制限反復法,シグモイド近似法,凸緩和反復法

[2]

近似問題

(3.12)

S _s

の実行可能領域

S cri

(2.4)

S o

(2.4)

x

x

(2.4)

(x / ∈ S o )

x

そこで,

x

| x _i | < δ

i

I ₀

制限問題

(3.10)

x ^∗

あった

x

x ^∗

x ∈ S _o

x ^∗ = x

そして最終的に,

x ^∗

¯ a ^⊤ (w + x ^∗ )

W

W

(3.7)

W _cr

図

5

β = β ₁ = · · · = β ₁₀₀

β

(β ₁₀₁

0)

W

6

σ _max

W

^*1 .

0 0.5 1 1.5 2

x 10 ⁻³ 1.04

1.045 1.05 1.055 1.06 1.065 1.07 1.075 1.08

β

W

0 0.5 1 1.5 2

x 10 ⁻³ 0

2 4 6 8 10 12 14 16

β

run time (sec)

図

5: β

W

(左図)

(右図)

*1

6

80

0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 1.02

1.025 1.03 1.035 1.04 1.045 1.05

σ

W

0.05 0 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

σ

run time (sec)

図

6: σ _max

W

(左図)

(右図)

各解法で得られる最適値

W

W

W _cr

W/W _cr

図

7

β = β ₁ = · · · = β ₁₀₀

β

(β ₁₀₁

0)

W/W _cr

σ _max

W/W _cr

0 0.5 1 1.5 2

x 10 ⁻³ 0.9975

0.998 0.9985 0.999 0.9995 1

β

rate

0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.988

0.99 0.992 0.994 0.996 0.998 1

σ

rate

図

7: β

W/W _cr

(左図)

σ _max

W/W _cr

(右図)