量子力学
古典力学と量子力学
• 運動量ｐと位置ｘの差異の表現→量子力学
p
E
ｘ ℏ
量子力学
→pとxは可換でない
古典力学
→pとxは可換である p
E
ｘ
ｔ ｔ
𝑥, 𝑝 = 𝑖ℏ
古典力学
2 2 2
2
2 0 2
2 0 2
0
2 0
2 ) 1 ( ) (
: :
,
: :
) (
) ( 2 ),
( 1 ) 2
(
2 1 2
1 2
2 2 1 ,
x m x
V
mgx x
V
L H
V T L V T H
V T
dx F dV
Fx x
V m mv
p p T
Fx x ma mv
m mv
t ax v
v
at v v
at t
v x
dt a v dv dt dx
調和振動子 重力場
ラグランジアン ハミルトニアン、
エネルギー 位置（ポテンシャル）
運動エネルギー、
倍 両辺を
を消去）
（
変分原理
𝐿 𝑞, 𝑞, 𝑡 = 𝑇 − 𝑉
𝐿 をラグランジアンという。 𝑞, 𝑞 は時間 𝑡 の関数である。作用積分の変分がゼロという条件
（最小作用の原理）から、
𝛿
𝑡 1 𝑡 2
𝐿 𝑞, 𝑞, 𝑡 𝑑𝑡 = 0
𝜕𝐿
𝜕 𝑞 𝛿 𝑞 + 𝜕𝐿
𝜕𝑞 𝛿𝑞 𝑑𝑡 = 0
𝛿𝑞 は仮想的な変位であり、 𝑞(𝑡) 近傍の別の仮想的な経路との差である。 𝛿 𝑞 = 𝑑
𝑑𝑡 (𝛿𝑞) を時間 で部分積分すると、
𝜕𝐿
𝜕 𝑞 𝛿𝑞| 𝑡
1
𝑡 2
+ − 𝑑 𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑞 + 𝜕𝐿
𝜕𝑞 𝛿𝑞𝑑𝑡 = 0
終点においては経路が固定されているので、 𝛿𝑞 𝑡 1 = 𝛿𝑞 𝑡 2 = 0 𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑞 − 𝜕𝐿
𝜕𝑞 = 0
これを、オイラー・ラグランジュ方程式という。 𝑇 = 1
2 𝑚 𝑞 2 , 𝑉 = 𝑉 𝑞 とすると、
𝑚 𝑞 = − 𝑑𝑉
𝑑𝑞
これは、ニュートンの運動方程式である。
Hamiltonの正準方程式
• 一般化運動量 𝑝 𝑖 ≡ 𝜕𝐿( 𝑞,𝑞,𝑡)
𝜕 𝑞 および一般化座標 𝑞 𝑖 を用いて、ハミルト ニアン 𝐻(𝑝 𝑖 , 𝑞 𝑖 , 𝑡) = 𝑖 𝑝 𝑖 𝑞 𝑖 − 𝐿 = 𝑇 + 𝑉 を定義（ハミルトン形式）
H=T+V
q
t p
𝑝 = − 𝜕𝐻
𝜕𝑞
H=T+V
q
t p
𝑞 = 𝜕𝐻
𝜕𝑝
• ラグランジアン（およびハミルトニアン）が 𝑡 に陽に依存しないとき、
𝑑
𝑑𝑡 𝐻 𝑝, 𝑞 = 𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑞 𝑞 + 𝜕𝐿
𝜕 𝑞 𝑞 − 𝜕𝐿
𝑑𝑞 𝑞 + 𝜕𝐿
𝜕 𝑞 𝑞 = 𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
𝜕 𝑞 − 𝜕𝐿
𝑑𝑞 𝑞=0 （エネル
ギー保存法則）
ポアソン括弧
• 𝐴, 𝐵 = 𝑖 𝜕𝐴
𝜕𝑞 𝑖
𝜕𝐵
𝜕𝑝 𝑖 − 𝜕𝐵
𝜕𝑞 𝑖
𝜕𝐴
𝜕𝑝 𝑖 をポアソン括弧という。
• 𝑞 𝑖 , 𝑞 𝑗 = 0, 𝑝 𝑖 , 𝑝 𝑗 = 0, 𝑞 𝑖 , 𝑝 𝑗 = 𝛿 𝑖𝑗 → 量子力学の交換関係（正 準交換関係）に対応
• 物理量 𝐴(𝑝, 𝑞, 𝑡) の時間発展は、
• 𝑑𝐴
𝑑𝑡 = 𝜕𝐴
𝜕𝑞 𝑑𝑞
𝑑𝑡 + 𝜕𝐴
𝜕𝑝 𝑑𝑝
𝑑𝑡 + 𝜕𝐴
𝜕𝑡 = 𝜕𝐴
𝜕𝑞
𝜕𝐻
𝜕𝑝 − 𝜕𝐻
𝜕𝑞
𝜕𝐴
𝜕𝑝 + 𝜕𝐴
𝜕𝑡 = 𝐴, 𝐻 + 𝜕𝐴
𝜕𝑡 → 量子
力学の「ハイゼンベルクの運動方程式」に対応
シュレーディンガー方程式（非相対論的 量子力学）
• ポテンシャル 𝑉(𝒓) 中を運動する運動量 𝒑 、質量 𝑚 の粒子の エネルギーを座標と運動量で表したものをハミルトニアン 𝐻 という。
• 𝐻 = 𝒑 2
2𝑚 + 𝑉 𝒓 , 𝒑 = (𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 , 𝑝 𝑧 )
• ここで、 𝒑 → −𝑖ℏ𝜵(𝜵 ≡ 𝜕
𝜕𝑥 , 𝜕
𝜕𝑦 , 𝜕
𝜕𝑧 ) と置き換える（量子化す る）と
• 𝐻 = − ℏ 2
2𝑚 Δ + 𝑉(𝒓) は演算子となる。 ( Δ = 𝜕 2
𝜕𝑥 2 + 𝜕 2
𝜕𝑦 2 + 𝜕 2
𝜕𝑧 2 )
• 粒子の状態 𝜓(𝒓, 𝑡) （波動関数）の変化は、方程式 𝑖ℏ 𝜕𝜓
𝜕𝑡 =
𝐻(𝒓, 𝜵)𝜓 によって記述される。これをシュレーディンガー
方程式という。
• 定常状態の波動関数を空間部分と時間部分に分離する
→ 𝜓 𝒓, 𝑡 = 𝑆(𝑡)𝜙(𝒓)
• 定常状態のシュレーディンガー方程式は、 𝐻𝜙 𝒓 = 𝐸𝜙(𝒓) , 時間発展は、 𝑆 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 −𝑖𝐸𝑡/ℏ
) ( ) ( , exp
) (
) (
) ) (
( /
) ( ) (
) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) , (
r E r iEt H
t S
r E r t H
t S i S
r t S
r H t S t r
i S
t H i r t S t r H
（定数）とおくと、
で割ると、
両辺を
に代入 を
、 が時間によらない場合
簡単な系
• 自由粒子( 𝑉 𝑥 = 0 )→ 𝜙(𝑥) ∝ exp(±𝑖𝑘𝑥) （一次元） 𝐸 = 𝑘ℏ 2
2𝑚
• 調和振動子( 𝑉 𝑥 = 1
2 𝑚𝜔 2 𝑥 2 ) → 𝜙 𝑛 (𝑥) ∝ (エルミート多項式)・ 𝑒𝑥𝑝 − 𝜉 2
2 𝜉 = 𝑚𝜔
ℏ 𝑥 , 𝐸 𝑛 = 𝑛 + 1
2 ℏ𝜔 𝑛 = 0,1,2, ⋯
• 中心力ポテンシャル →球面調和関数（角度部分）
球面調和関数
• 直交座標( 𝑥, 𝑦, 𝑧 )→極座標( 𝑟, 𝜃, 𝜙 )
) 2 exp(
sin ),
exp(
cos sin
, 1 cos
3 ) (
) exp(
sin ,
cos )
(
1 ) (
: ) ( ) ( )
, (
: ) (cos
) (cos )
1 ( ) (
) ( ) 1 ( ) sin (
sin sin 1
] exp[
) (
) ( ) ( ) ( ) , , (
sin sin 1
sin 1 1
cos sin sin
cos sin
2 2
, 2 1
, 2 2
0 , 2
1 , 1 0
, 1
0 , 0
2
|
|
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
i Y
i Y
Y
i Y
Y Y Y P
P
l m l
d d d
d
im d m
d
r R r
r r
r r r r z
y x
r z
r y
r x
m lm
lm m l
m l m m lm
m
球面調和関数 ルジャンドル陪関数
変数分離
2π回転したときに 系の状態が不変
→mは整数
水素原子の波動関数
0 0
2
0 0
2
0 1
2 0 0
0 1 2 0
0 2 2
2 2
exp )
1 ( )
(
exp 2 )
(
exp 2 2
) (
exp ) (
2 1
0
, , 2 , 1 , 0
1 , , 2 , 1 , 0
, 3 , 2 , 1
: ) exp(
) exp(
) (
4 : :
exp 2 ) (
) 4 (
0 ) ( )
2 ( ) 1 (
2
na n r
r r R
a r r
r R
a r a
r r R
a r r
R
d l
p l s
l
l m
n l
n
d d d
L d
c m e a m
n
na L r na r r r
R
r r e
V
r R E r mr V l
dr l r d dr
d
nl p s s
k k
k m
m m
k
e e
l l n l nl
次式）
の
（
軌道という を
軌道、
を 軌道、
を
のとき
ラゲール陪多項式 ボーア半径 主量子数：
ただし、
を入れて解くと、
ル 水素原子はポテンシャ 波動関数の動径部分は
ディラックのブラケット
• 固有方程式のディラック表記 𝐴 𝑎 > = 𝛼 𝑎 >
• 𝐴 : 演算子→物理量（オブザーバブル）
• |𝑎 > : ケットベクトル（固有ベクトルまたは固有関数）→物理
系の状態を表す
• 𝛼 : 固有値（実数）
• < 𝑎| ： ブラベクトル |𝑎 >† =< 𝑎|, 𝐴 𝑎 > † =< 𝑎|𝐴 †
• < 𝑎|𝑏 > は内積を表す（ 𝑖 𝑎 𝑖 ∗ 𝑏 𝑖 )。 < 𝑎|𝑎 > はノルム（長さ）の ２乗を表す。
• < 𝑎|𝑏 > ∗ = 𝑎 𝑖 ∗ 𝑏 𝑖 ∗ = 𝑏 𝑖 ∗ 𝑎 𝑖 =< 𝑏|𝑎 >
• < 𝑖|𝑗 > = 𝛿 𝑖𝑗 (𝑖 = 𝑗 のとき１、それ以外のとき０）を満たす固
有ベクトルの組{ |𝑖 > }を、正規直交系（完全系）という。
• 𝐴 を行列とすると、 < 𝑖 𝐴 𝑗 > は行列の要素 𝐴 𝑖𝑗 （ 𝑖, 𝑗 成分）に対 応
dr r a r a r
a r a
r a r
a
a a
a a
a
a a
a a a
a a a a a
i i i
i i
n n
) ( ) ( )
(
| ) (
) (
|
|
|
|
|
|
|
*
2
*
*
* 3
* 2
* 1
3 2 1
とすると、
の関数 を
とすると、
固有値と固有ベクトルの性質
†
†
†
†
より、
をすると、
α
を掛けると、
右から
α α
αは実数より、
の共役転置をとると、
一方、
α
を掛けると、
左から α
とすると、
証明）固有ベクトルを
はエルミート は実数とするならば
固有値
ル）を表す行列 物理量（オブザーバブ
A A v
v A A v
v v v
A v
v
v v
A v
v v v
A v
v v v
A
v A
A
0
|
0
|
| ) 3 ( ) 2 (
) 3 (
|
|
|
|
|
|
*
| ) 1 (
) 2 (
|
|
|
|
) 1 (
|
|
) 0 (
| (
) ( 0
|
0
| ) (
) 2 ( ), 1 (
) 2 (
|
|
|
|
|
|
) 1 (
|
|
|
|
|
|
|
| )
) ( 0
|
|
j i v
v v v v v v
A v
v v
v A
v v v
A v
v A
A
v A
v
v v
A
j i v
v
v A
j i
j i j i
j i j j
i
i j
j j
j i i j
i
j i
i i
i i i
j i
i i
縮退がないので、
より、
をかけると、
に左から 一方、
をかけると、
より、右から
の共役転置をとると 証明
、 のとき縮退がなければ
、固有ベクトル の固有値が
エルミート行列
†
†
エルミート行列の対角化
n
n n n n
n
n n
n n
n n
n
n
n
n n n
n
n n
n
n
ij j i i
i
v v v
v v
v
v v v
v v
v
v v v
v v
v
v v
v v
v v
v v
v A v v v UAU
U E
v v v
v v
v
v v v
v v
v
v v v
v v
v UU
v v v U
v v
v U
v v v
n i
A
2 1
2 2
1 1
2 2
2 2 1 2 1
1 2
1 2 1
1 1
2 2 1 1 2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1
2
1 2
1 1
1 2
1 2 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)
|
|
) , , 2 , 1
†
†
†
はユニタリー。
（単位行列）より、
より、
と表すと、
とする。（
トルを 規格化された固有ベク
、
（ の固有値を エルミート行列
ユニタリ変換
• あるユニタリー行列 𝑈(𝑈 † = 𝑈 −1 ) を用いて、演算子 𝐴 を 𝐴 → 𝐴 ′ = 𝑈𝐴𝑈 † と変換する。これ をユニタリ変換という。
• 𝐴 がエルミートなら、 𝐴′ † = 𝑈𝐴𝑈 † † = 𝑈𝐴 † 𝑈 † = 𝑈𝐴𝑈 † = 𝐴′ よって 𝐴′ もエルミート
• ハミルトニアン 𝐻 をユニタリ行列 𝑈 によって対角化→ 𝐻 ′ = 𝑈𝐻𝑈 †
1 0 0 '
, , 0 1 0 '
, 0 0 1 '
) , , 2 , 1 ( '
' '
' '
) (
) ( )
( ) (
2 1
2 1
n i
i n
n n
n n n
n n n
n n
n n
n n
n i
H
U H
U U U
UHU U
U U U
U H U U H
固有ベクトル とすると、固有値
ただし、
程式（行列表示）は シュレーディンガー方
†
†
†
†
†
†
波動関数の確率解釈(M. ボルン)
• ある物理量（オブザーバブル） 𝐴 の固有状態の組 |𝑎 𝑖 >（固有値 𝛼 𝑖 ）が完全 系をなすとき、任意の状態| 𝜓 >は
| 𝜓 > = 𝑖 𝑐 𝑖 |𝑎 𝑖 >
と表すことができる（状態の重ね合わせ）
• このとき 𝐴 の期待値は < 𝐴 >=< 𝜓|𝐴|𝜓 >= 𝛼 𝑖 |𝑐 𝑖 | 2 ただし、< 𝜓|𝜓 >= |𝑐 𝑖 | 2 = 1 （規格化）
• |𝑐 𝑖 | 2 は 𝐴 の測定値が 𝛼 𝑖 となる確率を表す。
• 測定（観測）によって特定の状態が選び出され“重ね合わせの崩壊”（状 態の収縮） | 𝜓 > → |𝑎 𝑖 >が起きる。これは非因果的過程である。（射影仮
説）
ディラックのデルタ関数
) ( 2
) 0 ( )
( ) (
) ( ) 0 (
0 ) (
1 )
(
x dk
e
f dx x x
f
f x x
x
dx x
ikx
デルタ関数の例
に対して 任意の実連続関数
デルタ関数の性質
ルタ関数という。
を（ディラックの）デ を満たす関数
x=0
波動関数の収縮x→x 0 を表す
𝛿 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑓 1
𝑑𝑥 𝑥=𝑥0
ただし、 𝑓 𝑥 0 = 0
座標表示と運動量表示
• 位置演算子 𝑥(= 𝑥) を対角化した表示を座標表示（シュレーディンガー表示）という。
• 𝑥 の固有値、固有関数は 𝑥 ′ , 𝛿(𝑥 − 𝑥 ′ ) (ディラックのデルタ関数）
• ハミルトニアンは一般に対角化されていない→対角化するユニタリー行列を求めること をシュレーディンガー方程式（固有値問題）を“解く”という。
• 座標表示と運動量表示はフーリエ変換によって移り変わる。
示の間の変換を行う。
が座標表示と運動量表
いう。
これをフーリエ変換と または、
をかけると、
左からブラ
）
、
（完全正規直交性より
を展開 を用いて一般のケット
座標表示のケット 基底の変換
) / 2 exp(
| 1
) (
| )
ˆ (
|
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
ipx x
p
dx x x
p p
dx x
x p p
p
dx x x dx x
x
x
交換関係
が成り立つ
、交換関係 について成立するので
これが任意の
とすると、
座標表示において、
i p x
i
dx x
x i
dx x
dx x d dx x d x i
x p p x
dx i d p
ˆ ] ˆ , [
|
|
|
|
|
|
| ˆ ) ˆ ˆ ˆ (
ˆ
ない。
交換関係は表示によら
とすると、同様にして 運動量表示において、
|
|
|
|
|
| ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ
ˆ
i
dp p
p i
dp dp p
p d dp p
p d i
x p p x
dp
i d
x
シュレーディンガーの見方とハイゼンベルクの見方
• 波動関数が時間部分と空間部分に分離できると仮定し、 𝜓 𝒓, 𝑡 > = 𝑆 † 𝑡 0 > とおく。 |0 >は 𝑡 = 0 における固有状態、 𝑆 † (𝑡) は時間発展のユニタリー行列 𝑆 𝑡 = exp 𝑖𝐻𝑡/ℏ
• 演算子 𝐴 の期待値< 𝐴 >( ≡< 𝜓 𝐴 𝜓 > )の時間発展は 𝑆 𝑡 を用いて< 𝐴 >=< 0|𝑆 𝑡 𝐴𝑆 † 𝑡 |0 >と表される。こ のとき系の状態は時間によらず、物理量Aが 𝐴(𝑡) ≡ 𝑆 𝑡 𝐴𝑆 † (𝑡) のように時間に依存すると考える のが、ハイゼンベルクの見方。
• 両辺を 𝑡 で微分すると、
𝑑<𝐴>
𝑑𝑡 = 𝑖
ℏ < 0 𝑆 𝑡 𝐻𝐴𝑆 † 𝑡 0 > − < 0 𝑆 𝑡 𝐴𝐻𝑆 † 𝑡 0 >
= 𝑖
ℏ < 0 𝑆 𝑡 𝐻𝑆 † 𝑡 𝑆 𝑡 𝐴𝑆 † 𝑡 0 > − < 0 𝑆 𝑡 𝐴𝑆 † 𝑡 𝑆 𝑡 𝐻𝑆 † 𝑡 0 >
= 𝑖
ℏ < 0 𝐻𝐴(𝑡) 0 > − < 0|𝐴(𝑡)𝐻|0 > （ 𝑆 𝑡 , 𝐻 = 0 より）よって 𝑖ℏ 𝑑𝐴(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝐴(𝑡), 𝐻 これをハイゼンベルクの運動方程式という。→ハミルトニアンと可換な物理量は
保存量となる。
• 一方、物理量Aは時間によらず、状態 |𝜓 𝒓, 𝑡 > = 𝑆 † 𝑡 |0 > が時間変化すると考えるのが、シュ レーディンガーの見方。両辺を 𝑡 で微分すると、
𝑖ℏ 𝜕𝜓>
𝜕𝑡 = 𝐻𝜓(𝒓, 𝑡) > となり、シュレーディンガー方程式が得られる。
ハイゼンベルクの運動方程式
• 𝑝, 𝑥 = −𝑖ℏ のとき、 𝑝, 𝑥 𝑛 = −𝑖ℏ 𝑛𝑥 𝑛−1 よって、 𝑉 𝑥 = 𝑛=0 ∞ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 とすると、
𝑝, 𝑉 𝑥 = 𝑝, 𝑛=0 ∞ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑛=0 ∞ 𝑎 𝑛 𝑝, 𝑥 𝑛 = −𝑖ℏ 𝑛=0 ∞ 𝑎 𝑛 𝑛𝑥 𝑛−1 = −𝑖ℏ 𝑑𝑉
𝑑𝑥
• ここで、 𝐻 = 𝑝 2
2𝑚 + 𝑉(𝑥) とすると、
• 𝑖ℏ 𝑑𝑝
𝑑𝑡 = 𝑝, 𝐻 = 𝑝, 𝑉 𝑥 = −𝑖ℏ 𝑑𝑉
𝑑𝑥 つまり 𝑑𝑝
𝑑𝑡 = − 𝑑𝑉
• これは古典力学の運動方程式である。 𝑑𝑥
• また、 𝑥, 𝑝 2 = 2𝑖ℏ𝑝 より、
• 𝑖ℏ 𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 𝑥, 𝐻 = 𝑥, 𝑝 2
2𝑚 = 𝑖ℏ𝑝
𝑚 つまり 𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 𝑝
• これは古典力学の速度である。 𝑚
H=T+V
x
t
p
2 ˆ 1 ˆ
ˆ ˆ ˆ
2 ˆ 1 ) ˆ
ˆ ˆ ˆ ( ˆ 2 ) 1 ˆ ˆ
2 ( ˆ 1
1 ˆ ] ˆ , [ ˆ ] ˆ , 2 [ ] 1 , ˆ [ ˆ
ˆ ˆ 2 ˆ 1
ˆ ˆ 2 ˆ 1
ˆ ] ˆ , [
1 ˆ , ˆ
ˆ ˆ
) ˆ ]
ˆ , ˆ [
2 1 2
ˆ ˆ
2 2 2
2 2
N H
N a a
a a a
a a a P
H Q
P Q i Q P i a
a
P i Q a
P i Q a
i P Q
m p P
m x Q
i p x x
m m H p
、
（数演算子）とすると
（エネルギー量子）
トニアン）
（調和振動子のハミル 係は、
と定義すると、交換関
（生成演算子）
（消滅演算子）
また、
交換関係
位置と運動量）
とおくと、（無次元の
において、
（ 調和振動子
ボゾン 無限次元行列
†
†
†
†
†
†
調和振動子の因数分解→生成消滅演算子
調和振動子
と表す。
これ以降、
。 より、
が成立（証明終わり）
、 となって矛盾。よって との内積を考えると、
とそのエルミート共役
、 が存在する。このとき
および固有状態 の固有値
を満たす より、
、 が整数でないとすると 証明）もし
は整数である。
の固有値である。
も より、
よって、
より、
とする。
固有状態を の固有値を
†
†
†
†
†
†
†
†
†
† †
†
†
†
†
†
†
†
†
†
†
†
n n
N N
a a
a a a
a a a
a a N N
a a
N a a
N
a a
N a a
N
N a
a a
a N
a a a a a
a a a
a a a
N
a a a a a a a a a a a N
n n
n n n
n
n n
n n
n n
n n
n
n n n n
n n
n n
n
n n
|
| ,
, 3 , 2 , 1 , 0 )
3 ( ), 2 ( ), 1 (
) 3 (
0 ) 1 ( ˆ |
| ˆ
ˆ | ˆ 1
ˆ
| ˆ ˆ |
ˆ ˆ
| ˆ 0
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| ˆ
1 ˆ 0
) 2 ( (
) 3 (
) 2 ˆ (
1
ˆ | ) 1 (
ˆ | ˆ ˆ ˆ |
ˆ
ˆ | ) 1 (
ˆ | ˆ ˆ
ˆ | ˆ
) 1 ( 0
0
|
|
| ˆ |
| ˆ
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|
| ˆ ,
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ˆ , [ ˆ ˆ ] ˆ , [
ˆ ] ˆ
, ˆ [ ˆ ˆ ] ˆ , ˆ [ ˆ ] ˆ , [ ˆ ˆ ] ˆ , [
2
1
| ˆ |
1
| 1 ˆ |
1
|
|
|
| 1 ˆ |
| ˆ
| 1 ˆ *
| 1
| ˆ |
2
n n n
a n n
n a
n c
c n
n a a n
n c a n n
c n a
同様にして、
ぶと、
より、位相を適当に選 より、
とすると、
規格定数
†
†
†
0 3
0 0
3 0
2 0
0 2
0 1
0 0
1 0
) 2 ˆ ( ˆ 2 ˆ 1
, 0
3 0
0
3 0
2 0
0 2 0
1
0 0
1 0
2 ) 1 ˆ ( ˆ 2 ˆ 1
ˆ 1 ˆ ˆ ] ˆ , ˆ [ ˆ
4 3 2 1 ˆ
, ˆ 3
2 1 0 ˆ
ˆ
0 0
0 0
3 0
0 0
0 2 0 0
0 0
1 0 , ˆ
0 3 0
0
0 0 2 0
0 0 0
1
0 0 0
0 ˆ
a i i a
P a
a Q
a a a a a
a
a a a
a
a a
†
†
†
†
†
†
†
†
運動量 位置
より、交換関係
（数演算子）
行列表示は、
y x
z x z
y
z x
y z
y x
z
z y x
y z
z x
z
z x
y z
y x
x y
x y
z
x y
x y
z
x y
x y
z
x y
z z x
y y z
x
z y
x
ij j
i
L i L
L L i L
L
L i yp
xp i
x p z p p
z p y
xp zp zp
zp xp
yp zp
yp
xp zp
zp yp
L L
z p y z p x z yp z
xp z
L
x i y
p y y p x y yp y
xp y
L
y i x p y x p x x yp x
xp x
L
yp xp
L xp zp
L zp yp
L
z q
y q
x q
z y x i
i p
q
] , [ , ]
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) (
] , [ ]
, [
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[ ] , [
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[ ] , [
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, ,
, ,
, ,
] , [
同様にして
と表す とし、
正準交換関係
軌道角運動量演算子
角運動量演算子
。 の同時固有状態となる と
も より、
これより また、
より、右辺 で挟むと、左辺
と 両辺を
） および とおく。（固有値
の同時固有状態を と
とおくと、
z z z
x y y z x z z
x y y z z
z
y x
z
z
z z y
x y x y x y x
z z y
x y x y x y x
y x
J J b a J
b a J b b a J J J b a J J
b a aJ b a J J b a J J
J J iJ J J i J J J J
J J iJ J J i J J J J
J J i J J J J
b a b
a b a
b a
b a J
J
J J J J J J
J J J J J i J J iJ J iJ J J J
J J J J J i J J iJ J iJ J J J
iJ J J
x
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
,
|
,
| ) 1 ( ,
| ) (
,
|
,
| ,
| ,
|
] , [ ] , [ ] , [
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0 ] , [ ] , [ ] , [
0 0
,
|
| ,
,
| )
2 ( 1
] , [ )
)(
(
] , [ )
)(
(
角運動量J x 2 +J y 2 の因数分解→昇降演算子
0 ] , [ ] , [
0
] , [ ] , [ ]
, [ ] , [
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, ,
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2 2
2 2 2
2
2 2 2 2
y x
y x x y x y y x
y z y z y y x z x z x x
z z z y z x z
z y x
z y x
y x z x z y z y x
J J J J
J iJ J iJ J iJ J iJ
J J J J J J J J J J J J
J J J J J J J J
J J J J
J J J
iJ J J iJ J J iJ J J
同様にして、
とすると、
はエルミート。
) 1 (
) 1 (
0
,
|
,
| 0 ,
|
max
max max max
2 max
max 2 2
2 max
max
l l a l
b
b b a b
b a
b a
J J J J J
b a J
b a J
b b
a J
z z z
と、
（方位量子数）とおく よって、
をほどこすと、
の両辺に
に反する。
をつくることができ、
の固有値が大きい状態
り、いくらでも に作用させることによ
を繰り返し
と、
が存在する。さもない となる
