量子ビーム基礎

6/21　 No. 1

量子ビーム基礎

6 月 7 日　レーザーとは・レーザーの原理 6 月 21 日　レーザー光と物質の相互作用 6 月 28 日　レーザーの生体組織への影響 7 月 12 日　レーザーの応用

参考書：霜田光一著「レーザー物理入門」岩波書店

　　　　 M. Niemz, “Laser-Tissue Interactions,” Springer

石川顕一

6/21　 No. 2

２準位原子とレーザー光の相互作用 第１章

（コヒーレント相互作用）

•

半古典的記述

–

原子は量子力学的に取り扱う。

–

コヒーレントな光（レーザー光）は古典的

電磁波として取り扱う。

6/21　 No. 3

時間に依存する

シュレーディンガー方程式

相互作用項

がない場合

€

ψ_n(r,t) =ϕ_n(r)e^−iωnt

€

ω_n = ε_n h

遷移振動数（共鳴振動数）

€

hω₀ =ε₂ −ε₁

€

hω₀

€

ε₂

€

ε₁

２準位系

€

C₂ ²

€

C₁²

€

ih∂ψ

∂t = − h²

2m ∇²ψ(r,t) +V₀(r)ψ(r,t) +V_I(r,t)ψ(r,t) =[H₀ +V_I(r,t)]ψ(r,t)

相互作用（レー ザーの効果）

原子のポテンシャル

€

H₀ϕ_n(r) =ε_nϕ_n(r)

6/21　 No. 4

２準位系

€

hω₀

€

ε₂

€

ε₁

２準位系

２準位系

光の振動数が

に近いときは、

放射過程に関与するのは選ばれた 二つの原子状態のみ。

€

ψ(r,t) =C₁(t)ψ₁(r,t) +C₂(t)ψ₂(r,t) €

C₂ ²

€

C₁²

€

ih∂ψ

∂t = [H₀ +V_I(r,t)]ψ(r,t)

ポピュレーション

€

C₁(t)² + C₂(t)² =1

€

ih ∂C₁

∂t ψ₁+∂C₂

∂t ψ₂

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟=V_I(C₁ψ₁+C₂ψ₂)

€

ψ₁^∗,ψ₂^∗

を左からかけて空間積分

€

ih∂C₁

∂t =C₁V₁₁+C₂V₁₂e^−iω0t

€

V_ij = i V_I j = ∫ ϕ_i^∗V_Iϕ _jd³r

€

ih∂C₂

∂t = C₁e^iω0tV₂₁+C₂V₂₂

6/21　 No. 5

相互作用項

x

y z

€

E₀cos(ky−ωt)

€

H₀cos(ky−ωt)

k r

€

k = 2π

波数

波長 ( 数百ナノメートル程 度 )

€

y<<λ

€

ky<<1

€

E₀cos(ky−ωt)

€

E₀ cosωt

長波長近似

€

V_I = ezE₀ cosωt

電気双極子近似 レーザー光の電場

€

E₀ cos(ky−ωt)

y 〜 オングストローム程度

6/21　 No. 6

２準位系＋電気双極子近似

€

V_ij = i V_I j = ∫ ϕ_i^∗V_Iϕ _jd³r ^{= cosωt zE}∫ ^{0ϕi∗ϕ jd3r = Xij cosωt}

€

X₁₁ = X₂₂ = 0

€

i∂C₁

∂t = 2γC₂e^−iω0t cosωt

€

i∂C₂

∂t = 2γC₁e^iω0t cosωt

€

i∂C₁

∂t =γC₂[e^{i ω−ω( 0)t} +e^{−i ω+( ω0)t}]

€

i∂C₂

∂t =γC₁[e^{i ω+ω( 0)t} +e^{−i ω−ω( 0)t}]

€

X₁₂ = X₂₁ = 2hγ（実数）

6/21　 No. 7

回転波近似

回転波近似

€

i∂C₁

∂t =γC₂[e^{i ω−ω( 0)t} +e^{−i ω+ω( 0)t}]

€

i∂C₂

∂t = γC₁[e^{i ω+ω( 0)t} +e^{−i ω−ω( 0)t}]

€

i∂C₁

∂t =γe^{i ω−ω( 0)t}C₂

€

i∂C₂

∂t =γe^{−i ω−ω( 0)t}C₁

初期条件

€

C₁ =1, C₂ = 0

€

C₁(t) = cosΩt −i ω( −ω₀)

2Ω sinΩt

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟exp i

2(ω−ω₀)t

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

€

C₂(t) = −iγ

ΩsinΩtexp − i

2(ω−ω₀)t

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

€

Ω= γ² +(ω−ω₀)² 4

€

hω₀

€

ε₂

€

ε₁

€

C₂ ²

€

C₁²

6/21　 No. 8

ラビ振動

€

C₂(t)² = γ²

Ω² sin²Ωt

€

C₁(t)² =1− C₂(t)²

ポピュレーション

€

ω =ω₀

€

ω −ω₀ = 0.92γ

€

γ t

€

γ t

€

γ t

€

C₁(t)²

€

C₂(t)²

€

ω −ω₀ = 3.5γ

吸収 放出 吸収 放出 吸収放出サイクル

€

Ω= γ² +(ω−ω₀)² 4

6/21　 No. 9

第２章　光と物質

•

反射と屈折

•

吸収

•

散乱

散乱 反射 吸収

入射光

透過光

6/21 　 No. 10

反射と屈折

誘電体

€

n = c

v = με μ₀ε₀

＋ r

＋

−−

E

電気双極子能率

€

p= αE

€

α

電気分極率

€

D =εE =ε₀E +P

€

D=ε₀E

€

P = Np = NαE

€

ε =ε₀(1+ χ)

€

χ

電気感受率

€

χ = Nα ε₀

屈折率

通常

€

μ =μ₀

€

n = ε

ε₀ ≅1+ Nα 2ε₀

6/21 　 No. 11 反射光

入射光

n n’

屈折光

反射角は入射角に等しい

€

θ = θ′′

スネル (Snell) の法則

€

nsinθ = ′ n sin ′ θ

€

θ

€

′′ θ

€

′

フレネル (Fresnel) の法則

€

n = με

μ₀ε₀ = c με

€

v = c/n

z

€

z = 0

ｓ偏光

ｐ偏光

境界での連続性

• D と Bの法線成分

• E と H の接線成分

€

E

€

′′ E

€

E ′

€

′′ E _s

E_s = −sin(θ − ′ θ ) sin(θ + ′ θ )

€

′′ E _p

E_p = tan(θ − ′ θ ) tan(θ + ′ θ )

ｓ偏光 ｐ偏光

6/21 　 No. 12

反射と屈折

€

R_s = E ′ ′ _s E_s

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= sin²(θ − ′ θ ) sin²(θ + ′ θ )

€

R_p = E ′ ′ _p E_p

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= tan²(θ − ′ θ ) tan²(θ + ′ θ ) ｓ偏光

ｐ偏光

反射率

ブリュースター角

€

θ + θ′=π /2 ^即ち

€

tanθ = ′ n /n

水の反射率 vs 入射角

€

R_s > R_p

•

ｓ波の反射率 ＞ ｐ波の反射率

•

ｐ波には反射が全くない特別な

入射角（ブリュースター角）が

ある。

6/21 　 No. 13

光の吸収 (absorption)

光の吸収は

•

構成原子分子の電子構造

•

光の波長

•

吸収層の厚さ

•

媒質の温度・密度 に依存する。

入射光 透過光

吸収

入射光のエネルギーは、熱運動

や分子振動に変換される。 Lambert-Beer の法則

6/21 　 No. 14

Lambert-Beer の法則

z z+dz I(z) I(z+dz)

dz 十分薄い厚さ dz

の層による吸収

•

強度

に比例

• dz

に比例

€

I(z) −I(z+dz) =αI(z)dz

€

dI(z)

dz = −αI(z)

€

I(z) = I₀ exp(−αz) または

€

I(z) = I₀ exp(−z/L)



：吸収係数

：吸収長

透過光の強度が入射光の

になるような媒質の厚さ

6/21 　 No. 15

水の屈折率と吸収係数

•

可視光領域では水の屈折率は、およそ 1.33 。

•

可視光領域では波長にあまり依存しないが、重要。

可視光領域

図：水の分散関係

図：水の吸収係数 正常分散

異常分散

6/21 　 No. 16

生体組織による光の吸収

生体組織に関しては、吸収は主に、

• 水分子：赤外線領域

• タンパク質や色素等の高分子：可視光・紫外線領域

• 600nm 〜 1200nm: 高分子も水も吸収が小さい（治療の窓）

メラニン

ヘモグロビン

皮膚

大動脈壁 角膜

角膜と水晶体は可視光に対して透 明だが、赤外に強い吸収を持つ。

カットオフ

@280nm ：タンパク質

400nm から600nmでの複雑 なバンド構造

→生体分子の一般的傾向

似ている

クリプトンイオンレーザー (531nm,568nm)

→ 血液や血管の凝固

6/21 　 No. 17

光の散乱 (scattering)

光の散乱

弾性散乱

入射光の波長＝散乱光の波長

レイリー散乱 ミー散乱

粒子サイズ＜波長

粒子サイズ＞波長　例：血球

非弾性散乱

入射光の波長＝散乱光の波長

ブリルアン散乱

入射光 透過光

散乱

散乱によるレーザー光の減衰は、吸収に対す る Lambert-Beer 則と同じ形の式で表される。

€

I(z) = I₀ exp −α( _sz)

€

α_{s : 散乱係数}

音波が介在

ラマン散乱

6/21 　 No. 18

レイリー散乱

•

光の波長より十分小さいサイズの粒子

（原子・分子）による弾性散乱

•

厳密な導出：量子光学 ( 放射場の量子 化 )

–

ラウドン「光の量子論」（内田老鶴圃）

•

古典電磁気学による導出 (1871 年 )

6/21 　 No. 19

レイリー散乱

レイリー散乱の法則

光の電場

散乱原子密度

€

p= αE

€

pe^−iωt =αEe^−iωt

€

Ee^−iωt

€

I = 1

2cε₀²E²

振動する電気双極子

電磁波を発生（放射） 散乱光 放射される電磁波のパワー

€

W_s = p²ω⁴μ₀ 12πc

€

α_s = NW_s

I = 8π ³Nα²

3λ⁴ε₀² = 32π ³

3λ⁴N (n−1)²

6/21 　 No. 20

レイリー散乱

レイリー散乱の法則

波長 散乱原子密度

€

α_s ∝ 1 λ⁴

赤い光と青い光とでは、散乱

空は青い。

夕焼けは赤い。

（レイリー卿、

€

α_s = NW_s

I = 8π ³Nα²

3λ⁴ε₀² = 32π ³

3λ⁴N (n−1)²

屈折率

6/21 　 No. 21

自己収束（非線形光学効果）

レーザー光の強度

が高い場合、

€

n = n₀ +n₂I

光カー (Kerr) 効果 一般に

€

n₂ > 0

中心部で強度大 中心部で屈折率大 凸レンズと同じ効果

自己収束