SC2006c.ppt

1 _{National Institute of Advanced Industrial Science}

and Technology (AIST)

2 _{Hakodate National College of Technology}

高温超伝導の理論的研究

1. Introduction

2. Superconductivity

3. High Temperature Superconductivity

4. Hubbard Model

5. Variational Monte Carlo method

6. Stripes in high-Tc cuprates

7. Spin-orbit coupling and Lattice distortion

8. Summary

1. Introduction

Key words: Physics from U (Coulomb interactions)

•A possibility of superconductivity

Superconductivity from U •Competition of AF and SC •Incommensurate state

Stripes and SC

Compete and Collaborate

•Stripes in the lightly-doped region •Singular Spectral function

0 100 200 300 T(K) Concentration x in Ln 2-xMxCuO4-y SC AF AF SC Hole doped Electron doped 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Pseudo-gap Stripes

1. Origin of the superconductivity • Symmetry of Cooper pairs

• Mechanism of attractive interaction

Coulomb interaction U, Exchange interaction J

2. Physics of Anomalous Metallic behavior

• Inhomogeneous electronic states: stripe • Pseudogap phenomena

• Structural transition LTO, LTT

2. Superconductivity

Temperature K

1911
Kamerlingh Onnes Elements that become superconducting

Superconductive at low temperatures

Superconductive under pressure

R es is ti v it y

巨視的量子現象

引力相互作用によるフェルミ面の 不安定性によって超伝導がひきお こされる

kと-kの電子がペアーを

つくり、ゲージ（位相）

不変性が破れた状態

BCS理論 電子には位相という仮想的 空間内での回転の自由度が あり、勝手な方向を向いて いる。が、超伝導状態では すべての電子ペアが同じ方 向を向いている。 対称性の破れ k -k

超伝導体の特徴

電気抵抗
0 マイスナー効果 金属 半導体 超伝導体 磁場は超伝導体に 
入り込むことが 

 できない フッシング効果 超伝導体に磁石を近付けておいて冷やすと超伝導体          内部に入り込んだ磁場により（第２種超伝導体）、          つりあげることができる。

BCS理論

BCS理論 どうして電子対を考えたか 超伝導状態:

一つのSlater行列式では表わせない （近藤淳「超伝導」（固体物理）より） 電子間引力 _H1 H = H₀ + H₁ Ψ = c_j j

∑

Ψ_{j Ψj : Slater行列式} Ψ₀ : Fermi球 Ψ = c₀Ψ + c_j j≠0

∑

Ψ _j 波動関数 摂動計算 _c0 ≈1 c_j Ψ₀H₁Ψ_j < 0 ΨHΨ =

∑

c_j2 Ψ_jH₀Ψ_j +

∑

c_ic_j Ψ_iH₁Ψ_j エネルギー もし、すべての Ψ_iH₁Ψ_j < 0 なら、すべての c_j > 0 Ψ_jとしてペアーの状態をとるならば、c_j>0として エネルギーを下げることができる。

BCS波動関数

電子対 _Ψi = k1 ↑ −k1↓, k2 ↑ −k2↓, k3 ↑ −k3↓,L Ψj = k'1 ↑ − k'1↓, k2 ↑ −k2↓, k3 ↑ −k3↓,L Ψ_iH₁Ψ_j = k'₁−k'₁|V|k₁ − k₁ < 0 順番を変えても 符号は変わらない。 基底状態はすべての対状態の一次結合で表わされる: Ψ =

∑

ck1k2L k1 ↑ −k1↓,k2 ↑ −k2↓,L 独立対近似（一体近似）をすると Ψ =

∑

ck1ck2L k1 ↑ −k1↓, k2 ↑ −k2↓,L N電子項のみを取り出すとして Φ =

(

u_k + v_k k ↑ −k ↓

)

k

∏

BCSの波動関数 N− N ( )2 N ∝ 1 N 粒子数のゆらぎは小さい 非対角要素を常に負にできる

3.
高温超伝導

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1920 1940 1960 1980 2000 Transition temperature (K) Year P b Hg N b NbN V 3Si N b 3Sn Nb-Al-Ge N b 3Ge K 3C60 MgB 2 La 2-xBaxCuO4 La 2-xSrxCuO4 YBa 2Cu3O7 Bi 2Sr2Ca2Cu3Oy Tl 2Ba2Ca2Cu3Oy HgBa 2Ca2Cu3Oy HgBa 2Ca2Cu3Oy (Under Pressure) TlBaCaCuO Liquid N 2 Liquid H 2 超伝導臨界温度 La₂CuO₄ YBa₂Cu₃O₇

高温超伝導体の相図

高温超伝導体の相図 電子キャリアー数 ホール数 温 度 超伝導 反 強 磁 性 Tc T_N 異 常 金 属 相 反 強 磁 性 超 伝 導 キャリアー数

銅と酸素を含む二次元面 銅酸化物の特徴 • 二次元的である • スピンが1/2（小さい） • 銅,
酸素のhole levelが近い Cu O d_x2_-y2

ε

_d

ε

_d

+

U_d

ε

_p ドープされたホール p_x

高温超伝導体のモデル

電気抵抗の温度依存性

比 熱

Loram et al., Phys. Rev. Lett. 71, 1740 (1993)

Loram et al., Physica C162-164, 498 (1989)

磁気緩和率

Yasuoka et al., Physica B199 (1994)278

YBa₂Cu₄O₈ アンダードープ域 T_c= 81K Tcより上の温度から帯磁率が 下がりはじめる。 擬ギャップ スピンゆらぎ理論によると T_c χ Tcより上から 減少すること はない。

量子臨界現象

量子相転移 • T= 0で起こる相転移 • 量子ゆらぎが重要  量子ゆらぎにより引きおこされる • 圧力、磁場変化、元素置換等に よる相転移 • 量子臨界点（相転移点）の近く では非フェルミ流体の振る舞い が見られることがある。  抵抗、比熱、帯磁率 ρ χ(Q) C/T Ferro. -lnT T-4/3 T5/3 T-4/3 AF _T1/2_T-3/2 _T3/2 _T-3/4 3D χ_s スピンゆらぎ理論（Millis, Moriya） ρ χ(Q) C/T Ferro. T-1/3 (TlnT)-1 T4/3 χ(Q)3/2 AF -lnT  T-1 _{T T}-1 ２D χs

4. Hubbard Model

Itinerant Electrons

↑

_↓

↑

↓

Atoms Electrons

Mott insulators

MnO, FeO, CoO, Mn₃O₄, Fe₃O₄, NiO, CuO

Insulators due to the Coulomb interaction

(Note: Antiferromagnets such as MnO and NiO are not Mott insulators in the strict sense.)

On-site Coulomb Interaction

↑

Coulomb interaction

↑

ε₀ ε₀+U U >> t  Insulator

↑

↑

t +U

↑

↑

Gap in the Hubbard Model

Hartree-Fock theory (Half-filling)

AF Gap Δ = Um Δ ~ t e-2πt/U _{d = 1, 3} ~ t e-2π(t/U)1/2 d = 2 1D Hubbard model

U << t U >>t Hubbard gap Δ (16 / π) tUe−π / (2U) U Spin-wave velocity 2v_s/π = J (4t /π)(1−U /4πt) 4t2/U

Δ ε k 0 v_sk ~U ~1/U v_s Δ

Cu-O

₂

Model and Hubbard Model

Cu-O₂ model (d-p model)

t-J model Hubbard model

t_pd << U_d-(ε_p−ε_d) t_pd << ε_p−ε_d

ε_p−ε_d << U_d

U >> t

ε_p−ε_d ~ 0(t_pd)

Zhang-Rice singlet Mixed state of d and p

H = −t (c_i+_σ ij σ

∑

c_jσ + h.c.) + J S_i ij

∑

⋅ S_j H = −t (c_i+_σ ij σ

∑

c_jσ + h.c.) + U n_i↑ i

∑

n_i↓

5. Variational Monte Carlo method

適当な波動関数の期待値をモンテカルロ法により計算する Gutzwiller関数

ψ

G

= P

G

ψ

0 P_G =

(

1− (1− g)n_j↑n_j↓

)

j

∏

ψ

₀ : 試行関数 フェルミ球、反強磁性、超伝導 Gutzwiller演算子

0

≤ g ≤ 1

パラメータgによりオンサイトの相関を制御する weight g weight 1 Coulomb +U

変分モンテカルロ法

Normal state

ψ

_{0 Slater 行列式}

波数 k₁, k₂, …, k_n 座標
j₁, j₂, …, j_n を↑粒子が占めている時

det D

_↑

=

e

ik1j1

e

ik1 j2

L e

ik1 jn

L

e

ikn j1

e

ikh j2

L e

ikn jn ψ ₀ = a_l l

∑

ψ _{l ψ l :
実空間での粒子の配置} ウェイト a_l = det D_↑ det D_↓ Slater 行列式 粒子の配置の総数は大きな数 → モンテカルロ法

モンテカルロアルゴリズム

期待値 ψQψ = a_m mn

∑

a_n ψ_mQψ _n = am 2 a_l2 l

∑

m

∑

a_n a_m ψmQψ n n

∑

ψ

_m の出現確率が P_m = am 2 a_l2 l

∑

に比例するようにサンプルを生成すると ψQψ = 1 M a_n a_m ψmQψn n

∑

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ _⎠ ⎟ m

∑

m = 1,L , M Metropolis法 ψ j の次に ψn を生成した時（例えば、どれかの電子          を動かす） R = a_n 2 / a_j 2 ≥ξ _なら ψ_{n を採用} < ξ ψ j のまま ξ: 一様乱数 0 ≤ ξ <1 ψ_mQψ_n の計算には余因子展開を使うとcpu時間を稼げる

超伝導状態の波動関数

Ψ_s = P_NP_Gψ_BCS

ψ

BCS = (uk k

∏

+ v_kc_k+_↑c_{−k ↓}+ ) 0 P_N:
電子数をN個に固定 Ψs = PGPNexp v_k u_k ck↑ + c_{−k ↓}+ k

∑

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 0 = P_G vk u_k ck↑ + c_{− k↓}+ k

∑

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ N / 2 0 = PG aijci↑ + c+_j↓ k

∑

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ N / 2 0 a_ij = 1 V v_k u_k k

∑

eik⋅( Ri− Rj) N_↑ = N_↓ の時  ↑電子がi_{1, i2, .. iN/2}; ↓電子がj_{1, j2, .. jN/2} にいる時、ウェイトは行列式

a

_i 1j1

L a

i1jN / 2

L

a

_{iN / 2}

L a

_{iN / 2jN / 2} で与えられ、normal stateと同様に計算できる。 ♠ 一般のペアー状態は、近藤さんの レクチャーにあるように、一つの Slater行列式では書けないが、BCS 状態は一体近似をしているので、 行列式で書くことができる。

ψ

_CdS

= P

_G

(u

_k

k

∏

+ v

_k

c

_k+_↑

c

_{− k↓}+

) 0

Gutzwiller Projection P

_G

To control the on-site strong correlation Weight g Weight 1 Coulomb +U Parameter 0<g<1 Equivalent to RVB state (Anderson)

Superconducting state

k -k

SC Condensation energy

ΔE

_{S C}

= Ω

_n

− Ω

_s

= (S

_n 0 T_c

∫

− S

_s

)dT

=

(C

_s 0 T_c

∫

− C

_n

)dT

Loram et al. PRL 71, 1740 (‘93) T C/T SC Condensation energy ~ 0.2 meV

optimally doped YBCO Entropy

balance

Evaluations in the superconducting state

-0.738 -0.736 -0.734 -0.732 -0.730 0 0.05 0.1 0.15 E g /N s Δ 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0 0.005 0.01 ΔE/N 1/N a

Variational Monte Carlo method 10x10 Hubbard model U= 8

YBCO

E_cond ~ 0.2meV

SC condensation E

T. Nakanishi et al. JPSJ 66, 294 (1997)

K. Yamaji et al., Physica C304, 225 (1998) T. Yanagisawa et al.,

Condensation energy

E_cond ~ 0.00038t_dp = 0.56 meV/site δ = 0.333 t_pp= 0.2 SC order parameter

2D d-p model

6x6 and 8x8

Hole density

Condensation Energy for d-p model

Superconductivity and Antiferromagnetism

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 SDW(U=6,L=10) SDW(U=6,L=12) SC(U=6,L=10) SC(U=6,L=12) E cond t' Fig. 1 0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 Fig. 2 SC E_cond (ρ ~.84, U=5, t'=−.05) E cond 1/N_s Size dependence of Size dependence of SC condensation energy SC condensation energy

Competition

Competition

Pure d-wave SC 0.41meV Experiments  0.26 meV/site 0.17~0.26 （critical field H_c） (C/T) AF SC

t’

6. Stripes in high-Tc cuprates

M.Fujita et al. Phys. Rev.B65,064505(‘02) S.Wakimoto et al. PRB61, 3699(‘00)

• Vertical stripes for x > 0.05 • Diagonal stripes for x < 0.05

SC+Stripes Coexist Vertical Diagonal Neutron scattering AF coexists with SC?

T.Y. et al., J.Phys.C14,21(‘02)

Vertical Stripes in the under-doped region

-10 -8.0 -6.0 -4.0 -2.0 0.0 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 E/N t pp Stripes Commensurate AF

Vertical stripes: 8 lattice periodicity (Tranquada)

x = 1/8 Charge rich Charge poor 3-band Hubbard VMC Charge rich 8 lattice period

Stripes and Superconductivity

H_ij↑ + F_ij F_ji* − H_ji↓ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ uj λ v_jλ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = Eλ ui λ v_iλ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ α_λ = u_iλ_a i↑ + vi λ_a i↓ + α_λ = ui λ a_i↑ + vi λ a_i↓+ ψ_SC = P_GP_Ne α_λ λ

∏

αλ+| 0 ∝ P_G (U−1V)_ija_i+_↑a_j+_↓ ij

∑

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ N_e/ 2 |0

Bogoliubov-de Gennes eq.

Wave function V_λj = v_jλ

( )

U _λj = uj λ ↑ ↑ ↓

SC coexists with stripes (AF)

Compete and Collaborate

La

La_2-x2-xSrSr_xxNiONiO₄₄ La

La_2-x2-xSrSr_xxCuOCuO₄₄ La

La_2-x-y2-x-yNdNd_yySrSr_xxCuOCuO₄₄

Diagonal stripes are observed for

Diagonal stripes in lightly doped region

0 100 200 300 T(K) Concentration x in Ln 2-xMxCuO4-y SC AF AF SC Hole doped Electron doped 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

δ can be explained by 2D

Hubbard model.

δ = x Vertical stripes Diagonal stripes

Incommensurability: Comparison with Experiments

LTT,LTO,LTLO,HTT

M.Fujita et al. Phys. Rev.B65,064505(‘02)

Structural transitions: Lattice distortions Stripes: suggested by Incommensurability

N.Ichikawa et al. PRL85, 1738(‘00) LTO LTT HTT Hole density T LTLO δ~x

1. Anisotropy of the transfer integrals Anisotropic electronic state

vertical stripes

Diagonal stripes x<0.05

2. Spin-Orbit Coupling induced from lattice distortions 3. Electron-phonon interaction LTO LTT HTT Hole density T LTLO vertical

0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 Δ (E n-Ecoexist) / Ns Δ, (E n -E coexist ) / N s β

LTT structural transitions stabilize stripes.

• = ty / tx

• X

• Y

One-band Hubbard model (Miyazaki)

tx LTLO LTT LTT LTLO LTO LTT HTT Hole density T

M. K. Crawford et. al.

tx

t

y LTLO Mixed phase of Mixed phase of LTT and LTLO LTT and LTLO

Stripes // tilt axis

Stripes // tilt axis

    Hole rich domain Hole poor domain Stabilize stripes

t

_x LTT HTT HTT LTT LTO LTT HTT Hole density T

M. K. Crawford et. al.

t

_x

t

_y

LTLO

Mixed phase of LTT and HTT

Mixed phase of LTT and HTT

Stripes perpendicular to tilt axis

Stripes perpendicular to tilt axis

Stable H. Oyanagi A. Bianconi Charge poor Charge rich -0.1 0 0.1 0.2 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 LTT-HTT Parallel //stripes Perpendicular ΔE/N u

Oscillation of tilt angles

H_SO = ξ(r )L⋅ S

d_xz(r)↑|H_SO|d_yz(r)↑ = − i 2ξ

d_yz(r)↑|H_SO|d_xz(r)↑ = i 2ξ

p_x(x − a / 2, y)↑|H_{d p}|d_xz(r)↑ = −t_xze−ikx/ 2⋅a

p_y(x, y− a / 2)↑|H_{d p}|d_yz(r) ↑ = −t_yze−iky / 2⋅a

Effective iξ term for p-p transfer

Friedel et al., J.Phys.Chem.Solids 25, 781 (1964) Spin-Orbit Coupling induced by the Lattice distortion

Five orbitals × (↑↓): （d_x2-y2, d_xz, d_yz, p_x, p_y） d_x2 _{− y}2(r)↑|H_SO|d_yz(r)↓ = i 2ξ d_x2 _{− y}2(r)↑|H_SO|d_xz(r)↓ = 1 2ξ t_xz, t_yz ≠0 ~ tilt angle Ｑ1 Cu Oxygen Ｑ２ Tilting

H_kin = − (t_ij + ijσ

∑

icσθ_ij )d_i+_σd_jσ

(Bonesteal et al.,PRL68,2684(‘92))

One-band effective model

(π/2,π/2) d-p model Zone boundary (K.Yamaji, JPSJ(1988)) ξ = 0.4 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 φ = π/100 φ = 3π/100 E k=-2(coskx+cosky) E k k (0,0) (π,0) (π,π) (0,0)

φ φ φ −φ −φ φ φ φ

Excitation: Dirac fermion

Linear dispersion

Fermi point (half-filling)

Small Fermi surface

E_k

E(k_x ,k_y) = ±eiφ / 4eikx + e− iφ / 4eiky +eiφ/ 4

e−ikx + e−iφ/ 4e−iky

φ

Inhomogeneous d-density wave

Flux state

Flux state Pseudo-gap G_σ(r, r' ,iω) = ϕσm(r)ϕσm * (r' ) iω − E_σm m

∑

H

ϕ

_σm

(r)

= E

_σm

ϕ

_σm

(r)

N_σ(k,ε ) = − 1 π Im Gσ(k,ε + iδ ) Density of states Eigenfunction

ϕ

_σm

(r)

An origin of pseudo-gap LTO LTT HTT Hole density T LTLO 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 φ = 0 φ = π/100 φ = 3π/100 N( ω ) ω/ t

φ φ φ −φ −φ φ φ φ φ Φ = 4φ

Diagonal Stripe & d-density wave

Diagonal stripes with Spin-orbit coupling

-0.575 -0.57 -0.565 -0.56 -0.555 -0.55 0 0.02 0.04 0.06 0.08 E/N φ/π Diagonal Vertical Uniform x = 0.03

Spin-orbit coupling stabilizes

the diagonal stripes. VMC

bond-center site-center

d-density wave

iΔ_QY(k) = c_k+_+Qσ c_kσ

_Q

= (π,π)

Y (k) = cos(k_x) − cos(k_y) φ φ φ −φ −φ φ φ φ φ −φ −φ −φ −φ φ φ φ −φ −φ φ φ φ φ −φ −φ −φ −φ

Inhomogeneous density wave

Stripe

iΔ_QY(k) = c_k+_+Qσ c_kσ Δ_lQsσ = c_k+_+lQsσc_kσ k

∑

Q_s =(π+2πδ,π) vertical Q_s =(π+2πδ,π+2πδ) diagonal Nayak, Phys. Rev. B62, 4880 (‘00)

Chakravarty et al., PRB63, 094503 (‘01)

d-symmetry

incommensurate

300 200 100 0 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0 0.005 0.01 ΔE/N 1/N_a

ψ

_CdS

= P

_G

(u

_k k

∏

+ v

_k

c

_k+_↑

c

_{− k↓}+

) 0

Theoretical estimate of SC condensation energy

Agreement with Exp. E_cond ~ 0.2meV Incommensurability Neutron scatterings ARPES Measurements Explanation of spectra overdope underdope YBCO

8. Summary