On umbilics on newly born surfaces (Singularity theory of differential maps and its applications)

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(1)185. 数理解析研究所講究録第2049巻 2017年 185-193. On umbilics. on. newly bom surfaces. 岩手医科大学教養教育センター. 長谷川大. Masaru HASEGAWA. Center for Liberal Arts and Sciences, Iwate Medical. University. 序. 1 $\epsilon$. を十分小さな実数とし,関数 f : \mathbb{R}^{3}\rightar ow \mathbb{R} が原点でモース特異点を持つと. する.指数が1または2のとき,局所的に. f^{-1}(0) は錘面, f^{-1}( $\epsilon$). は一葉双曲. 面または二葉双曲面となり,指数が 0 または3のときは,局所的に孤立点, f^{-1}( $\epsilon$) は凸閉曲面となる.筆者は最近. f^{-1}(0) や f^{-1}( $\epsilon$) に興味があり,[5] において,指数が1または2のときの f^{-1}(0). f^{-1}(0). は. の幾何的性質上の放物的曲. 線(parabolic curve), 峰(ridge curve), 劣放物的曲線 (sub‐parabolic curve) について解析した.本稿では,指数が 0 または3の場合の. f^{-1}( $\epsilon$). 上の腑点. (umbihc) の個数とタイプを調べることが目標である. 3次元ユークリッド空間内の曲面の膀点の近くでの曲率線のジェネリックな形状は図1のように3つのタイプに分類されることが知られている ([1],. [3], [4]). 図1の左のような曲率線の形状の膀点はレモンまたは \mathrm{D}_{1} 図1の中 ,. 央のような曲率線の形状の膀点はモンスターまたは D_{2} 図1の右のような曲 ,. 率線の形状の謄点はスターまたは \mathrm{D}_{3} と呼ばれる.レモンとモンスターの指数は. +. 1/2, スターの指数は -1/2 である.. 図1. 膀点の近くの曲率線のジェネリックな形状の3つのタイプ.左から. 順にレモン,モンスター,スター..

(2) 186. 第2節では,3次元ユークリッド空間内の. f^{-1}( $\epsilon$) の膀点について, f. のヘッ. セ行列の固有値がすべて異なる場合と,2つが等しい場合について述べる.第 3節では,3次元ミンコフスキー空間内の. f^{-1}( $\epsilon$) の謄点について, f. のヘッセ. 行列の空間的固有ベクトルに対応する2つの固有値が異なる場合と,その固有値が等しい場合について述べる. 本稿の内容は Farid Tari 氏との共同研究 [6] に基づく.証明等の詳細は [6] を参照されたい.. 3次元ユークリッド空間内の曲面. 2. 可微分関数. f : \mathbb{R}^{3}\rightar ow \mathbb{R} の正則値の逆像で与えられる正則な曲面を. る.与えられた曲面上の点の近傍で. S とす. f_{\mathrm{z} \neq 0 と仮定しても一般性を失わない.. このとき, S は局所的にある可微分関数 g. :. U\subset \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathrm{S} のグラフとして表. され,局所的なパラメータ表示 $\varphi$(x, y)=(x, y,g(x, y)) を持つ.したがって, $\varphi$ に関する第一基本形式の係数 E,. f(x, y,g(x, y))\equiv 0 を微分することで, S. の. P, G および第二基本形式の係数 l,. に関する次の関係式を得る:. (f_{z}^{2})E=f_{x}^{2}+f_{z}^{2}. m,. n. (2.1). ,. (f_{z}^{2})\mathrm{F}=f_{x}f_{y\prime}. (f_{z}^{2})G=f_{y}^{2}+f_{z}^{2}. (2.2) (2.3). ,. -(f_{z}^{3})l=f_{xx}f_{z}^{2}-2f_{x}f_{z}f_{xz}+f_{X}^{2}f_{zz\prime}. (2.4). -(f_{z}^{3})m=f_{xy}f_{z}^{2}-(f_{y}f_{xz}+f_{x}f_{yz})f_{z}+f_{x}f_{y}f_{zz\prime}. (2.5). -(f_{z}^{3})n=f_{yy}f_{z}^{2}-2f_{y}f_{\mathrm{z} f_{yz}+f_{y}^{2}f_{z\mathrm{z}. (2.6). 膀点には次のような同値な定義がある: \bullet. 型作用素が単位行列の定数倍になる点,. \bullet. 主曲率が等しくなる点,. \bullet. 第一基本量と第二基本量が比例する点,. \bullet. 曲率線の微分方程式が特異点を持つ点.. ..

(3) 187. したがって,謄点は. \left(\begin{ar y}{l E&F&G\ l&m&n \end{ar y}\right). の小行列式が 0 となる点といえる.その小行列式を. ‐Fl,. U=Em. とする.これらは,(2.1). V=Fn. Gm,. V\mathrm{V}=En. —. Gl. (2.6) の関係式を用いると f の偏微分で記述で. から. きる.曲面 S 上の謄点は. —. f^{-1}( $\epsilon$). ,. U=0, V=0, W=0 の交点であるから,. U=0, V=0, \mathrm{W}=0 の交線を考えればよい.(実際には, U=0, V=0, W=0. のうちの2つの交線で十分である.). S 上の謄点. $\varphi$(X0, y\mathrm{o}) Fn. において. G\mathrm{l}=A_{1}(x-x_{0})+A_{2}(y-y_{0})+ 0(2), En-Gl=B_{1}(x-x_{0})+B_{2}(y-y_{0})+\mathrm{O}(2) Em ‐Fl =C_{1}(x-x_{0})+C_{2}(y-y_{0})+0(2) —. ,. とし,. $\psi$ (p)=A_{2p^{3}+}(2B_{2}+A\mathrm{i})p^{2}+(2B_{1}+C_{2})p+C_{1}. とおくと, ンである. (2.7). $\psi$ の判別式の符号が負であるとき,膀点 $\varphi$(x_{0},y_{0}) のタイプはレモ. ([2]).. 今われわれの考えている曲面 S は,. $\epsilon$. を十分小さな実数としたとき,原点で. 指数 0 または3のモース特異点を持ちヘッセ行列の固有値がすべて異なる関数. f : \mathbb{R}^{3}\rightar ow \mathbb{R}. のファイバー. f^{-1}( $\epsilon$) で与えられている.よって, f. f=\displaystyle\frac{x^{2}{$\lambda$_{1}^{2}+\frac{y^{2}{$\lambda$_{2}^{2}+\frac{z^{2}{$\lambda$_{3}^{2}+O(3)(0<$\lambda$_{1}<$\lambda$_{2}<$\lambda$_{3}). として. (2.8). を考えても一般性を失わない.. f が(2.8) で与えられているとき,(2.1). から. (2.6) を用いると,. U=\displayst le\frac{2($\lambda$_{3}^{2}-$\lambda$_{1}^{2}){$\lambda$_{1}^{4}$\lambda$_{2}^{2}$\lambda$_{3}^{4}xyz+\mathrm{O}(4) W=\displayst le\frac{2}$\lambda$_{1}^{2}$\lambda$_{2}^{2}$\lambda$_{3}^{4}z(\frac{$\lambda$_{2}^{2}-$\lambda$_{3}^{2} $\lambda$_{1}^{2}x^{2}+\frac{$\lambda$_{3}^{2}-$\lambda$_{1}^{2} $\lambda$_{2}^{2}y^{2}+\frac{$\lambda$_{2}^{2}-$\lambda$_{1}^{2} $\lambda$_{3}^{2}z^{2})+\mathrm{O}(4) ,. (2.9). (2.10).

(4) 188. を得る.ただし, f_{\mathrm{z} ^{4}U を U としている.. W に関しても同様である.. (2.9) と (2.10) の交線と,(2.7) の判別式の符号を調べることにより,次の定理を得る. 定理2.1 ([6]).. f:\mathbb{R}^{3},0\rightarrow \mathbb{R},0. を原点で指数 0 または3のモース特異点を. 持つ可微分写像芽とする.また, f の原点でのヘッセ行列の固有値はすべて異なるとする.このとき,十分小さな実数の場合は $\epsilon$<0 ) に対するファイバー. $\epsilon$. (指数が. 0 のときは $\epsilon$>0 指数が3 ,. f^{-1}( $\epsilon$) はちょうど4つの膀点を持ち,そ. れらのタイプはレモンである.. ヘッセ行列の固有値の2つが等しい場合は,(2.8) (2.9). において $\lambda$_{1}=$\lambda$_{2} として. (2.10) の交線を調べることにより,次の定理を得る.. と. 定理2.2 ([6]).. f:\mathbb{R}^{3},0\rightarrow \mathbb{R},0. を原点で指数 0 または3のモース特異点を. 持つ可微分写像芽とする.また, f の原点でのヘッセ行列の固有値のちょうど 2つが等しいとする.このとき,十分小さな実数指数が3の場合は $\epsilon$<0 ) に対するファイバー. $\epsilon$. (指数が. 0 のときは $\epsilon$>0,. f^{-1}( $\epsilon$) は2個,4個,6個また. は8個の騰点を持つ. 注意2.3. ついて. 定理2.1と定理2.2は2‐jetが非球面的な newly bom. surface に. Carathéodory 予想が正しいことを示している.また, f のヘッセ行列. の固有値がすべて等しい場合,すなわち2‐jetが球面的なbmnpy sphere の膀点の個数は f の3次の項によって決まり,少なくとも2個あることが知られている. ([8], [9]).. 3次元ミンコフスキー空間内の曲面. 3. 3次元の数ベクトル空間 \mathbb{R}^{3} の任意のベクトル. \mathrm{u}. =. (u_{1},u_{2},u_{3}). ,. \mathrm{V}. =. (v_{1},v_{2},v_{3}) に対して擬内積を \langle \mathrm{u},\mathrm{v}\rangle_{1}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}-u_{3}v_{3} と定義する.3次元の数ベクトル空間 \mathbb{R}^{3} と擬内積 \langle, \rangle_{1} の対空間. \mathb {R}_{7}^{3}. と呼ぶ.ベクトル. \mathrm{v}\in \mathb {R}_{1}^{3}\backslash \{0\}. (\mathbb{R}^{3},\langle, \rangle_{1}). を3次元ミンコフスキー. はそれぞれ \langle \mathbb{V},\mathrm{V}\rangle_{1}>0, \langle \mathrm{v},\mathrm{v}\rangle_{1}=0,.

(5) 189. \langle \mathrm{v},\mathrm{v}\rangle_{1}<0 を満たすとき空間的ベクトル,光的ベクトル,時間的ベクトルと呼. \mathrm{v}\in \mathb {R}_{1}^{3} のノルムを | \mathrm{v}||= \sqrt{|\langle \mathrm{v},\mathrm{v}\rangle_{1}| と定義する.ここで,ベクトル \mathrm{v}\in \mathb {R}_{1}^{3}\backslash \{0\} と実数 c に対して,擬法線ベクトルがとなるような平面を P(\mathrm{v},c)=\{\mathrm{x}\in \mathbb{R}_{1}^{3}|\langle \mathrm{x},\mathrm{v}\rangle_{1}=c\} と定義する.平面 P(\mathrm{v},c) はそれぞれが空. ばれる.また,. \mathrm{v}. \mathrm{v}. 間的ベクトル,光的ベクトル,時間的ベクトルであるとき空間的平面,光的平面,時間的平面と呼ばれる.さらに,. \mathb {R}_{1}^{3}. には次の3つの擬球面が存在する:. H^{2}(-1)=\{\mathrm{x}\in \mathbb{R}_{1}^{3}|\langle \mathrm{x},\mathrm{x}\rangle_{1}=-1\} :双曲平面, S_{1}^{2}=\{\mathrm{x}\in \mathbb{R}_{1}^{3}|\langle \mathrm{x},\mathrm{x}\rangle_{1}=1\} ド.ジッター空間, L\mathrm{C}^{*}=\{\mathrm{x}\in \mathbb{R}_{1}^{3}\backslash \{0\}|\langle \mathrm{x},\mathrm{x}\rangle_{1}=0\} :光錘. :. S を. \mathb {R}_{1}^{3} 内の曲面とする.1の擬内積はある計量または擬計量を誘導す. る.擬計量は S 上の接平面が光的である点で退化する.このような点の軌跡をLocus of. Degeneracy (\mathrm{L}D). と呼ぶ. S が閉曲面のとき,その L\mathrm{D} は少なく. とも2つの互いに素な空でない S の閉部分集合の和集合である ([10]).. $\varphi$= $\varphi$(u,v):U\subset \mathbb{R}^{2}\rightarrow S. を S の局所的なパラメータ表示とする.このと. き, S の第一基本形式の係数を. \mathrm{E}_{1}=\langle$\varphi$_{u;}$\varphi$_{u}\rangle_{1\prime} F_{1}=\langle$\varphi$_{u\prime}$\varphi$_{v}\rangle_{1\prime} G_{1}=\langle$\varphi$_{v\prime}$\varphi$_{v}\rangle_{1} とする. U 内の L\mathrm{D}. である.今後, U を U. $\varphi$(U_{2}). =. の. $\varphi$. による逆像は,集合. \{(u,v)\in U|(E_{1}G_{1}-F_{1}^{2})(u,v)=0\}. LD とその逆像を同一視して考える.. U\mathrm{i}\cup U_{2}\cup LD と書く.ここで, $\varphi$(U\mathrm{i}) はRiemannian part,. はLorentzian. part である.このとき,次のような $\varphi$(U_{\mathrm{i} )\cap $\varphi$(U_{2}) 上. の2つのガウス写像がある: 1つは S のRiemannian. ド.ジッターガウス写像. $\varphi$(u_{1})\rightar ow S_{1}^{2}. .. part上で定義される. もう1つは S のLorentzian part 上. で定義される双曲的ガウス写像 $\varphi$(U_{2})\rightarrow. 曙 (-1). \mathrm{N}_{1}=$\varphi$_{u}\wedge$\varphi$_{v}/\Vert$\varphi$_{u}\wedge$\varphi$_{v}| で与えられる.ここで,. である.どちらの写像も. \wedge は. \mathr{u}\wedg\mathr{v}=\left|bgin{ary}l \mathr{e}_\mathr{l}&\mathr{e}_2&\mathr{e}3\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\ v_{1}&v_{2}&v_{3} \end{ary}\ight|.

(6) 190. で与えられる擬外積である.ただし, \{\mathrm{e}_{1},\mathrm{e}_{2},\mathrm{e}_{3}\} 型作用素. A_{p}=-(d\mathrm{N}_{1})_{p}:T_{p}S\rightarrow T_{p}S. は. \mathb {R}_{1}^{3}. の標準的な基底である.. は任意の点 p\in $\varphi$(U)\backslash LD において自. 己随伴作用素である. $\varphi$(U)\backslash LD における第二基本形式の係数を. l_{1}=\langle \mathrm{N}_{1},$\varphi$_{uu}\rangle_{1}, m_{1}=\langle \mathrm{N}_{1}, $\varphi$_{uv}\rangle_{1\prime} n_{1}=\langle \mathrm{N}_{1}, $\varphi$_{vv}\rangle_{1} とする.. A_{p} が実数の固有値をもつとき,その固有値と対応する固有ベクトル. をそれぞれ S. の. p における主曲率,主方向と呼ぶ. (S のRiemarmian part で. は常に2つの主曲率が存在するが,Lorentzian part ではそうとは限らない.) 曲率線の微分方程式は. (E_{1}m_{1}-F_{1}l_{1})du^{2}+(E_{1}n_{1}-G_{1}l_{1})dudv+(F_{1}n_{1}-G_{1}m_{1})dv^{2}=0. (3.11). で与えられる.. (3.11) のすべての係数が. 0 となるRiemanman part とLorentzian part の. 点をそれぞれ空間的膳点,時間的膀点と呼ぶ.空間的膀点の近くでの曲率線の形状はレモン,モンスタースターのいずれかであるが,時間的膀点の近くでの曲率線の形状は図2のようになる ([7]).. 図2. L\mathrm{D}. 時間的膀点の近くにおける曲率線の5つの形状.. 上の点では, $\varphi$_{u}\wedge$\varphi$_{v} は光的ベクトルとなり,そのような点では A_{p} は定. 義されない.しかし,(3.11). は. l_{\mathrm{i} ,. m\mathrm{i}, ni について. homogeneous であるから,. | $\varphi$_{u}\wedge$\varphi$_{v}| をかけて,. \overline{l}_{1}=\langle$\varphi$_{u}\wedge$\varphi$_{v},$\varphi$_{uu}\rangle_{1},. \overline{m}_{1}=\langle$\varphi$_{u}\wedge$\varphi$_{v},$\varphi$_{uv}\rangle_{1\prime}. \overline{n}_{1}=\langle$\varphi$_{u}\wedge$\varphi$_{v},$\varphi$_{vv}\rangle_{1}. と置き換えることができる.この置き換えは (3.11) で定まるfoliationの組. を保存するので,新しい微分方程式. (E_{1}m_{1}^{-}-F_{1}\overline{l}_{1})du^{2}+(E_{1}\overline{n}_{1}-G_{1}\overline{l}_{1})dudv+(F_{1}\overline{n}_{1}-G_{1}m_{1}^{-})dv^{2}=0. (3.12).

(7) 191. は LD. 上で定義でき,その解は. る. LD 上の点で. \mathb {R}_{1}^{3}. LD. を通る曲率線の拡張と考えることができ. (3.12) の係数がすべて. 0 となる点を光的膀点と呼ぶ.. 内の凸閉曲面の膳点については次の結果がある.. 定理3.1 ([10]). S を. \mathb {R}_{1}^{3}. 内の. \mathrm{C}^{k}(k\geq 3) 級の凸閉曲面とする.このとき, S. は. 少なくとも2つの膀点を持つ. 3次元ユークリッド空間 \mathbb{R}^{3} 内の曲面で任意の点でガウス曲率が正であるものを卵形面 (ovaloid) という.言い換えると,卵形面は任意の点で接平面と. A_{1}^{+} ‐接触をする,すなわち任意の点で法線ベクトル方向に沿った高さ関数が A_{1}^{+} 特異点を持つ曲面といえる.. f:\mathbb{R}^{3},0\rightarrow \mathbb{R},0. 命題3.2 ([6]).. を原点で指数 0 または3のモース特異点を. 持つ可微分写像芽とすると,十分小さな実数が3の場合は $\epsilon$<0 ) に対するファイハー. $\epsilon$. (指数が. f^{-1}( $\epsilon$). は. 0 のときは $\epsilon$>0 , 指数. \mathbb{R}^{3} 内の卵形面である.. 上記のように \mathbb{R}^{3} 内の卵形面のコンセプトは接平面との接触で記述でき. る.したがって,そのコンセプトは. \mathb {R}_{1}^{3}. 内の曲面においても有効である. (L\mathrm{D}. 上ではガウス曲率は定義できないが,卵形面であることの必要十分条件は. \overline{l}_{1}\overline{n}_{1}-m^{-2}>0 である.) 定理3. 3 ([10]). .. \mathb {R}_{1}^{3}. \mathb {R}_{1}^{3}. 内の. 内の卵形面の麟点については次の結果がある.. C^{k}(k\geq 3) 級の卵形面は少なくとも2つの膀点を持. ち,それらはすべて空間的膀点である. 例3.4 ([6]). 楕円面. \displaystyle\mathrm{E}=\{(x,yz)\in\mathb {R}_{1}^{3}\frac{x^{2}{$\lambda$_{1}^{2}+\frac{y^{2}{$\lambda$_{2}^{2}+\frac{z^{2}{$\lambda$_{3}^{2}=1\}. (0<$\lambda$_{1}<$\lambda$_{2},0<$\lambda$_{3}). は卵形面である. LD は2つの滑らかな閉曲線の和集合で,楕円面を3つの領. 域(中央は. Lorentzian. part, 残りの2つは Riemamman part) に分ける.ま. た,4つの異なる空間的膀点を持ち (2つずつ異なるRiemannnian part上に. ある), タイプはすべてレモンである. $\lambda$_{1}=$\lambda$_{2} の場合は,それぞれの Riemanman part にある2つの膀点は一致.

(8) 192. し,2つの Reimanman part に1つずつの膀点がある. 注意3.5. 命題3.2より,. f:\mathbb{R}_{1}^{3},0\rightar ow \mathbb{R},0. を原点で指数 0 または3のモース. 特異点を持つ可微分写像芽とする.また, f の原点でのヘッセ行列の空間的固有ベクトルに対応する固有値が異なるとする.このとき,十分小さな実数 $\epsilon$. (指数が. f^{-1}( $\epsilon$). は. 0 のときは $\epsilon$>0, 指数が3の場合は $\epsilon$<0 ) に対するファイバー. \mathb {R}_{1}^{3}. 内の卵形面である.. \mathbb{R}^{3} の場合と同様に局所的なパラメター表示を考えそのパラメータ表示に ,. 関して,. U_{1}=E_{1}m_{1}^{-}-F_{1}\overline{l}_{1}, V_{1}=F_{1}\overline{n}_{1}-G_{1}m_{1}^{-}, W_{1}=E_{1}\overline{n}_{1}-G_{1}\overline{l}_{1} を考えることで,次の定理を得る. 定理3.6 ([6]).. f:\mathbb{R}_{1}^{3},0\rightar ow \mathbb{R},0. を原点で指数 0 または3のモース特異点を. 持つ可微分写像芽とする.また, f の原点でのヘッセ行列の空間的固有ベクト. ルに対応する固有値が異なるとする.このとき,十分小さな実数のときは $\epsilon$>0 指数が3の場合は $\epsilon$<0 ) に対するファイバー ,. $\epsilon$. (指数が. f^{-1}( $\epsilon$). 0. はちょ. うど4つの膀点を持ち,それらは空間的でタイプはレモンである. 定理3.7 ([6]).. f:\mathbb{R}_{1}^{3},0\rightar ow \mathbb{R},0. を原点で指数 0 または3のモース特異点を. 持つ可微分写像芽とする.また, f の原点でのヘッセ行列の空間的固有ベクトルに対応する固有値が等しいとする.このとき,十分小さな実数のときは $\epsilon$>0 指数が3の場合は $\epsilon$<0 ) に対するファイバー ,. $\epsilon$. (指数が. 0. f^{-1}( $\epsilon$) は2個,. 4個,6個または8個の空間的膀点を持つ.. 参考文献 [1] J. W.. Bruce and D.. bilics. Proc.. Fidal, On binary differential equations and. Royal Soc. Edinburgh 111\mathrm{A} (1989),. 147‐168.. um‐.

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