前期 期末試験（ 7月28日） （ biI2-04s

微積分

I 2004

期末試験問題例題及び解答

(9) f (x) = log |x| (10) f (x) = log |3x + 1| (11) f (x) = sin x (12) f (x) = cos x (13) f (x) = sin(2x) (14) f (x) = cos(2x) (15) f (x) = sin x cos x (16) f (x) = sin2x

2 y = xeαx_{が全てのx に対して, y}00_{− 2}√_2y0_{+ 2y = 0 を満たす様に定数} α の値を定めよ. 3 y = cos(αx) が全ての x に対して, y00_{+ 12y = 0 を満たす様に定数 α の} 値を定めよ. 4 y = Ax sin(√3x) が全ての x に対して, y00_{+ 3y = 8 cos(}√_{3x) を満たす} 様に定数A の値を定めよ. 第5 章の問題の略解 1 (1)2n_e2x _(2)(−1)n_e−x ₍₃₎₂n_e2x+3 _(4)(x+n)ex ₍₅₎₍₂n_x+n2n−1_)e2x (6)(−1)_xn+1nn! (7) (−1)n₃n_n! (3x+1)n+1 (8)_(1−x)n!n+1 (9)f(n)(x) = ¡₁ x ¢(n−1) = (−1)n−1_xn(n−1)! (10)f(n)_(x)=3³ 1 3x+1 ´(n−1) =(−1)n−1_(3x+1)3n(n−1)!n (11) sin(x+nπ₂ ) (12) cos(x+nπ₂ ) (13)2n_{sin(2x +}π 2n) (14)2ncos(2x +π2n) (15)f(n)(x) = ¡₁ 2sin(2x) ¢(n) = 2n−1_{sin(2x +}π 2n) (16)f(n)(x) = ³ 1−cos(2x) 2 ´(n) = −2n−1_{cos(2x +}π 2n) 2 √2 3 ±2√3 4 _√4 3 第6 章テイラ−（マクロ−リン）の公式の問題 1 次の関数でマクロ−リンの公式を n = 5 の項 (R5) まで求めよ. (1) e2x _{(2) e}−x _{(3) e}x2 (4) xe2x _{(5) x}2_e−x _{(6) e}x_−e−x _{(7) sin(2x)}

(8) sin2_{x (9) cos}2_{x (10) sin x cos x (11) x}√_{1 + x (12) x}√_{1 − 2x}

(13) _√x 1+x (14) 1 √ 1−x2 (15) 1 1−2x (16) 1+xx (17) 1−xx2 2 次の極限値を求めよ. (1) lim x→0 ex2 − 1 − x2 x4 (2) lim_x→0 sin x cos x − x x3 (3) lim_x→0 log |x + 1| 2x (4) limx→+∞ x4 e2x 3 f (x) は何回でも微分できる関数とする.  次の問に答えよ. (1) f (x) をマクロ−リン展開したときの x100_{の係数を求めよ.} (2) x2_ex_{をマクロ−リン展開したときの x}100 _{の係数を求めよ.} (3) f (x) = x2_ex_{のとき f}(100)_{(0) の値を求めよ.} 4 f (x) は何回でも微分できる関数とする.  次の問に答えよ. (1) f (x) をマクロ−リン展開したときの x50_{の係数を求めよ.} 1

(2) x sin(2x) をマクロ−リン展開したときの x50_{の係数を求めよ.} (3) f (x) = x sin(2x) のとき f(50)_{(0) の値を求めよ.} 5 次の和を計算せよ. (1) ∞ X n=0 xn n! (2) ∞ X n=1 nx n n! (3) ∞ X n=2 n(n − 1)x n n! (4) ∞ X n=0 rn _{(|r| < 1) (5)} ∞ X n=1 nrn _{(|r| < 1)} 第6 章テイラ−（マクロ−リン）の公式の問題の略解 1 (1)1 + 2x + 2x2₊4 3x3+ 2 3x4+ R5 (2)1 − x + 1 2x2− 1 6x3+ 1 24x4+ R5 (3)1 + x2₊1 2x4+ R6 (4)x + 2x2+ 2x3+43x4+ R5 (5)x2− x3+12x4+ R5 (6)2x+1 3x3+R5 (7)2x−43x3+R5 (8)x2−13x4+R6 (9)1−x2+13x4+R6 (10)x−2 3x3+R5 (11)x+12x2−18x3+161x4+R5 (12)x−x2−12x3−12x4+R5 (13)x −1 2x2+38x3−165x4+ R5 (14)1 +12x2+38x4+ R6 (15)1+2x+4x2_+8x3_+16x4_+R 5 (16)x−x2+x3−x4+R5 (17)x+x3+R5 2 (1)1 2 (2) −23 (3)12 (4)0 3 (1)100!1 f(100)(0) (2)98!1 (3)9900 4 (1) 1 50!f(50)(0) (2)2 49 49! (3)250·52 5 (1)ex (2)xex (3)x2ex (4)1−r1 (5)(1−r)r 2 第６章 グラフの問題 1 次の関数 y = f (x) で増減表を作り、グラフの概形を描け。 (1) y = x3_{− 3x + 2 (2) y = x}4_{− 2x}2_{+ 3 (3) y = 4x}3_{− 3x}4 (4) y =_1+xx2 (5) y =_x1−x2₊₁ (6) y = xex (7) y = xe−x 2 (8) y = x − sin 2x (0 5 x 5 π) (9) y = x log x (x > 0) 2 次のグラフ (1),(2) の変曲点を調べよ。 (1) y = 2 2x2₊₁ (2) y = e−x 2 グラフの問題の略解 1 (増減表には y0_{の+0− が必要, グラフは下図)} (1) y0_{= 3x}2_{− 3 = 3(x + 1)(x − 1) より x = ±1 で y}0 _{= 0} x · · · −1 · · · 1 · · · y0 _{+ 0 − 0 +} y % 極大値 & 極小値 % 極値 4 0 (2) y0_{= 4x}3_{− 4x = 4x(x + 1)(x − 1) より x = 0, ±1 で y}0 _{= 0} x · · · −1 · · · 0 · · · 1 · · · y0 _{− 0 + 0 − 0 +} y & 極小値 % 極大値 & 極小値 % 極値 2 3 2 (3) y0_{= 12x}2_{− 12x}3_{= 12x}2_{(1 − x) より x = 0, 1 で y}0_{= 0} x · · · 0 · · · 1 · · · y0 _{+ 0 + 0 −} y % 極値無し % 極大値 & 極値 1 (x = 0 は極値を与えない。) 2

(4) y0₌(1+x2_)−x(2x) (1+x2₎2 = (1−x)(1+x) (1+x2₎2 よりx = ±1 で y0= 0 x · · · −1 · · · 1 · · · y0 _{− 0 + 0 −} y & 極小値 % 極大値 & 極値 −1 2 12 (5) y0₌−(x2_{+1)−(1−x)(2x)} (x2₊₁₎2 = (x−α)(x−β) (x2₊₁₎2 よりx = α, β で y0 = 0 x · · · α · · · β · · · y0 _{+ 0 − 0 +} y % 極大値 & 極小値 % 極値 1/2 +√2/2 1/2 −√2/2 (α = 1 −√2, β = 1 +√2) (6) y0_{= e}x_{+ xe}x_{= (x + 1)e}x よりx = −1 で y0_{= 0} x · · · −1 · · · y0 _{− 0 +} y & 極小値 % 極値 1/e (7) y0_{= (1 − 2x}2_)e−x2 よりx = ±1/√2 で y0_{= 0} x · · · −1/√2 · · · 1/√2 · · · y0 _{− 0 + 0 −} y & 極小値 % 極大値 & 極値 −1/√2e 1/√2e (8) y0_{= 1 − 2 cos 2x より 0 5 x 5 π では x = π/6, 5π/6 で y}0_{= 0} x 0 · · · π/6 · · · 5π/6 · · · π y0 _{− 0 + 0 −} y 0 & 極小値 % 極大値 & π 極値 π/6 −√3/2 5π/6 +√3/2

(9) y0_{= log x + 1 より x = 1/e で y}0_{= 0 ( lim}

x→+0x log x = 0 に注意) x 0 · · · 1/e · · · y0 _{× − 0 +} y × & 極小値 % 極値 × −1/e (x = 1 で y = 0) (1)-(9) のグラフ -4 -2 0 2 4 6 8 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 (1),(2),(3)
 (1) (2) 0 (3) -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 "(4),(5)
 (4) (5) 0 (3) 3

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 "(6),(7)
 (7) (6) 0 (3) -2 -1 0 1 2 3 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 "(8),(9)
 (9) (8) 0 2 (1) 変曲点 x = −1/√6, 1/√6 (2) 変曲点 x = −1/√2, 1/√2 第７章 不定積分の問題 次の不定積分を計算せよ。 (1) R(2x3_{− 3x + 3)dx (2)} R 2 s+1ds (3) R (t − cos 2t)dt (4) R 2 1+3xdx (5) R _t 1+tdt (6) R (√x − 2 sin 3x + e−2x_)dx (7) R ex 1+exdx (8) R _x x2₊₃dx (9) R x sin xdx (10) R 2 x2₋₁dx (11) R x2_e−x_{dx (12)} R 1 x log xdx (13) R x tan−1_{xdx (14)} R p_{(x − a)(b − x)dx (a < b)} 不定積分の略解 答の不定積分をI で、積分定数を C で表す。 (1) I =1 2x4−32x2+ 3x + C (2) I = 2 log |s + 1| + C (3) I =1 2(t2− sin 2t) + C (4) I =23log |1 + 3x| + C (5) 1+tt = 1 −1+t1 よりI = t − log |1 + t| + C (6) I =2√x3 3 +23cos 3x − 12e−2x+ C (7) t = ex_{と置換するとI = log(1 + e}x_{) + C (8) I =}1 2log(x2+ 3) + C

(9) I =R x(− cos x)0_{dx = −x cos x +}R_{cos xdx = −x cos x + sin x + C}

(10) 2

x2₋₁ =_x−11 −_x+11 よりI = log |x − 1| − log |x + 1| + C = log |x−1_x+1| + C

(11) I =Rx2_(−e−x₎0_{dx = −x}2_e−x_{+ 2}R_xe−x_{dx = (−x}2_{− 2x − 2)e}−x_{+ C}

(12) t = log x, dt = 1

xdx と置換し I =

R ₁

tdt = log |t| + C = log | log x| + C

(13) I = 1 2(x2tan−1x + tan−1x − x) + C (14) p (x − a)(b − x) = q (b−a 2 )2− (x −a+b2 )2より, I = 12{(x −a+b2 ) p (x − a)(b − x) + (b−a 2 )2× sin−1 2 b−a(x −a+b2 )} + C 4