【論 文】 UDC ：624
．
e44 日本 建 築 学 会 構造 系 論 文 報告集 第 365 号・
昭和 61 年 7月離散系
の
固 有 周 期
を
調 整
す
る
た め
の
2
つの
公
式
正 会 員橘
英
三郎
＊ L 序 構 造 体の局所 的な変更や ほ かの 構 造 体との連 成が元の 構 造 体の固有周期にいか な る影 響を及ぼすか とい っ た問 題は構造設計上 重要であり，
これ まで広い範囲 で研究が 成さ れ てい る。 そ れ ら は目 的の 少 し異な る二 つの流れ に 分け ること がで き る。
一
つ は，
初め に与え ら れ た モ デル 〔以下で は基 本モデ ル）の剛 性や質 量の微 少 変 化に対し，
固有値が解 近 傍で どの ように変 動 をす る か とい っ た，
所 謂，
感 度 解 析と呼 ばれ て い る研究で あ る。 1846年にJacobii
〕は 行 列の要 素の微少変 化によ り生 じ る固 有 値の第一
変 分 を示 し てい る。
1962
年に な りwittrick2i
はJacQbi
の 考え を板の座 屈問題等に応 用し，
その工学 的な有 用 性 を改 めて示し た。
その 後，Woodcock3
！は 二 次の微 係 数 を 示 し， また，
Fox
‘） ら は 固有ベ ク トル の，
Farshad5〕は 固有関 数の微 係 数を そ れ ぞ れ示 し て い る。Gawronski6
」はVetter7
） に よ る行列のTylor
展 開 を 利 用 して，
質 量 行 列と剛 性 行 列に分けて，
そ れ ぞ れ の変 動に対する固有 振 動数の微係 数 を得て い る。
また，Pedersen8
）．
9〕 ら はこう し た成 果を 利 用し固有 値に関する付 帯 条 件 付きの最適 設計問題へ と 発 展させ てい る。
もう一
つ の流れ は， 基本モ デルの解 近 傍の変動だけで はな く， 変 更 後の モ デル （以下では修正モ デル ）の固 有 値その ものを，
基 本モ デルですで に得 ら れて い る諸量か ら効 率 的に求め よ う と し た研究で あ る。 代表的なもの に はKron
］olの 方 法 （Diakoptics
）を応用 し た SimpsQn，
Tabarroki
］｝−
17），
Bramelleri8
｝らの研 究や，
Weinsteini9）’
zo） の公式に帰 結す るDowel12i
・
）N23．
：，
Kerstens24】−
z6 ］ らの研 究 を挙 げるこ と ができる。
また，
少し異な る立場か ら の 平 井，
吉 村27 ）−
29 ）らの研究が あ る。
しか し， こ う し た研 究の 多く は， 建築以外の分 野で主 に成され ており，
建 築へ の応 用の立 場か ら す る と，
必ず しも的を得た形 式で示さ れ て は い な い。
特に，
ある特 定 の 固有 周 期を指 定し た場 合，
そ れに合わせ るた めに初め の モ デ ル をどの よ う な 修 正 を す れ ば よい かにつ いて直接 日本 建 築 学 会 学 術 講 演 梗 概集（昭和56年9月 ）に一
部 を発 表。
拿 大 阪 大 学 助 手・
工修 （昭和 60 年 10月 11日 原 槁 受 理 〕 答え る 公式や，
簡 便な方 法を示し た もの は筆 者の調べ た 限り見当た ら ない。本報 告 は
，
1）建築 構 造 物の マ クロ な固有周期 変動 を 調べ る意 味で，
対 象と する モデルか ら連続 体を は ず し，
比較的扱い や すい質 点系
を 中 心 とし た離 散系に限 定し，
2）Kron
が大次元の固 有 値 問 題に適用 し た方 法を発 展さ せ，
3｝ 初 等 力 学 的な記 述 方 式に よ り4）あ る目 的 と す る固 有 周 期 T＊ を修 正モ デルに与える た め に必要な付 加 剛 性 △h
もし く は付 加 質量A7n
を次の よ うに explicit な形 式で表 す。
△ん＝
9κ（τ 蠧，T
‘，
蠖，
C
｝ Am ； 9m（T
＊，
T
∫，
軌，
c
） た だ し，T
、，
凱 は基本モデル の 固有 周 期 と， そ れに対 応 す る固 有ベ ク トル。C
は付 加さ れ る質量 やバ ネの取 付 け位置に よ り決 ま るベ ク トル。9k
，g
皿 はそ れ らの 関 数。2．
基本モ デル とその固 有 値に関 する性質変 形パ ラメ
ー
ター
（一
般 化 座 標 ＞qi，
qi，…，
qnに よ り表さ れ，
平 衡点 近傍の 自 由振 動が次 式で与え ら れ る離 散系を考え る。［M ］
la
｝＋［K ］lql
＝
lo
｝・
………・
・
……・
・
一 ・
…・
・
（1） た だ し，
［M ］は正の要 素か ら な る対角 行 列とし （当 然，
正定値 行 列で もある），
［K
］は正 定値の対 称 行 列とする。
ま た，
1
引，
lq
｝は1
す，，
a2
，…，
す漏 「，
lqi
，
qt，…，
q．IT
を 表す。
今，
lq
｝＝
IXI
・
exp （ia
，t
）・
………・
……
｛2） ただし，
亅X｝は時間t
と は独立 なベ ク トル と置く と，
（1 ）は次 式となる。 （［K］一
λ［M
］）IX
｝＝
10
｝…
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（3） ただし，
λ＝
ω2 ［M
］の 対 角 要 素を mt と し， そ れ ら すべ て を砺
で置 き換え た行 列を［L］とすると，
［
M
］＝
［五］［L ］・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
−P鹽
9・
…
（4 ｝ （3）の左よ り［
L
］一
1 を か けて，
｛丿【｝＝
［L
ユー
11y ｝・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
…
一・
…
（5） と 置 く と，
（3）は対 称 行 列A よ り なる標 準 的な固 有 値 問 題 とな る301。
（［ノ1］−
QI
｝）亅y ｝＝
10
｝・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（6） た だ し，
［A］＝
［L］−
1［K］［L】−
1一 58 ．
［
M
］，
［K
］は 正定 値 行 列ゆえ，Rayleigh．
商31iは常に正と な り，
し た がっ て，
（3
｝や （6
）か ら得られる 固有値 もすべてfE
と な る。 今，
そ れ ら の固有値は すべ て異な る 値と仮 定し，
λ1，
λ，，…，
λn で表す。
こ れ らの 固 有 値に対 応 し，
（7），
（8）の よ うに 正規 化さ れ た2
種のモー
ド行 列［Ψ］＝
［V
、，V2，…，
ψ日，
［φ］ ＝ ［φi，
φ2，…，
Φ』を 以後の議 論の た めに準 備す る。
［Ψ］T ［則＝
［1
］………・
…・
…・
一
・
・
………
（7） ［Φ］T［ハf
］［φ］＝
［1
］…
一・
7・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
『
・
…
『
・
（8） た だ し，
［∬｝は単 位 行列であり 銑，
画 は （6），
（5）よ り得ら れ る固 有ベ ク トルy
‘，
凡 をそ れ ぞ れm
，
厭
で割ること よ り得ら れ たもの。
［列，
［φ］に対 し て次 式が成立す る’
；2）。
［Ψコ7 ［A］［ψ］＝
［9］・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
・
・
・
…
（9）［
di
］T ［K
］［φ］＝
［Ω］……・
…
1・
………・
（10） ただし，
［9 ］は λ吐，λ2，…
，賜 を 対 角一
ヒに要素と し て持つ 対 角 行 列 （ス ペ ク トル行 列 ）。3．
バ ネ， お よび質 量が付 加 さ れ た系の固 有 値 次に，
Fig．
1（a）に示す よ う な水 平 方向に の み移 動 可 能な系に Fig．
1（b）の よ う な付 加質量 △m ， 付 加剛性 Ah の与え られ たモ デル を 考え る。
△m，
Ak
は 0でない 有 限の値と する。
この系が自由振 動を して いる と き，
付 加 質 量Am
， 付 加 剛性Ak
は基本モ デル に対 して，
Fig．
ユ（c）で示す よ うに，
慣性力と復 原 力と を与え る。
し た がっ て，Afn，
△ んの与え られ た系の 自 由 振 動は 次 式で表すこと が で き る。
［M
］lij
｝十［K
］iq
｝＝ P 紺C
十PitlC辯・
……・
……
（ユ1｝ Pm＝− AmlCmTlll
｝…
t………・
……
（ユ2｝ Pk＝一
△κIC
計丁 剛・
……・
………・
・
・
・
…
（13｝ た だ し，
IC
．
｝，
1c8
は接続ベ ク トル で Fig．
1（c）の場合 は次の よ うに な る，．
｛C
鑓｝ T＝
｛ O，
O，
1iIC
，｝ T＝
1
−
1，
1，
01 い まこ の 系が自 由 振 動 をし て い るもの と考えlql
を次 式 に置き換え る。 ks一
，， N◎
鯉
゜質 量 △m mt−一
φ q2k2ml
− −
pqt k 口剛 性 △． 噂一 Pm
q−−
Pk一’
Pk ノ ／ （a ）基本モデル 〔b）修 正モ デル （c ）外 力化さ れ た モ デル Fig．
1 付加質量，
付 加剛性の外力 化iql
；
｝X＊lexp
（tto拳t ｝…………・
・
…・
…………
（14） た だ し， 医 ＊ ｝は時 間t
と独 立 付加 質量，
付 加剛 性の外力化さ れ た Pm，
Pk も次式で表 すことにす る と Pm＝
fm
exp （i
ω＊t）…・
・
……・
・
・
………・
…・
…
〔15）Pk
＝
fiC
exp （itO
＊t
）……・
……・
……・
…・
…・
…
（16
）た だ レ
，
fm
，
五 は時 間 tと は独立 （15），
（ユ6｝ より （ll） しよ （［K
］一
λ＊ ［M ］）IX
＊ ｝＝
fmlCm
｝十f
，ICJ
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（17） た だし，
λ＊；
ω＊t 次に左か ら［L
］−
1をか け，
さ らに，
ix
＊1
＝
［L
］−
1［望］IZ
＊1
・
・
…
7…
7『
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（18） な る変 数 変 換を 用い る と， （4＞， （6．
）より （17）は （［ノ1］一
λ＊ ［∬］）［サ］IZ
＊1
；
プ義［L］−
1ヨCm
｝十ノ ［」L
］−
lIChi・
・
…
噛
曁
…
一噛
9…
9・
・
幽
…
9・
・
・
・
・
・
・
…
（19） 左か ら［列「 をか けると， （7 ）， （9 ＞よ り， （［Ω］一
λホ ［1
］）IZ
＊ ト＝
（ノ甜D
飛1
十f
，IDM
）・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（20
） た だ し，
｛Dml
； ［壁］「［L
］−
1｛Cm
｝IDII
＝
［v］T［L］一
1ic κ｝ し た がっ て，
IZ
＊1
＝
▽−
1〔fmlDm
｝十f
匠｛Dlt
＞t・
・
・
………・
・
…・
…
（21） が得 ら れ る。
た だし， ▽ は λ1一
λ＊ ， λ2一
λ 寧，…，
λn一
λ 孝 を対 角 上の要 素 とする対 角 行 列、
また，
（12），
（13） も （14），
（15），
（16
），
（ユ8
＞よ り，
fm
＝
λ串AmIDη
ITIZ
＊1
・
・
・
・
・
…
一…
tttS
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（22）
fiC
‘
＝
−
AiCID魔ITIZ
＊ ｝
………・
……・
……・
…・
・
…
（23
〕 と な る。
（i
） 質 量の み付 加され る場 合 （Ak
＝0
の場合） 質 量の み が付 加さ れ る 場合， す な わ ち，
五＝Ah ＝
O の場 合 （21｝，
（22｝か ら｝Z
＊ 陵 消去し て次 式が得 ら れ る。 （− 1
／Am
十 λ＊iD
．｝ 「 ▽−
11DmDfm＝
O…・
・
……・
（24）fm
＝0
以外の解を有す る た めには左 辺の括 弧 内の値 が0 でな け れ ば な ら ない。 し たがっ て 1／Am
＝ λ＊IDmlT
▽−
11D 叛｝・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
…
（25）dm，
jを 亅Dml
のノ番目の成 分と す る と，
（25）は 1／Am＝
Σ］ λ＊d 窺，
ノ／（λ」一
λ ＊ ）・
・
…
9・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（26
） 丿≡
1・
「
．
n 基 本モ デル と，
修．
正モ デル の固 有 周 期を，
T‘，
T ＊ と す る と，
λ‘三
ω1
＝
（2π／T‘） 2，
λ＊＝
ω＊ 2＝
（2π／T＊｝2 で ある こ と か ら， 1／△πF Σ 丁弖d
論，
」／（Tn − T
；）………
（27
） j＝
レ・
兄Am
は有限の 値ゆえ，
両辺と も0 と はな り得ない，
し たがっ て 公 式1
Am −
1／（
ΣTldk
．／（T
＊2− T3
＞ 丿一
1…
n）
…………
（28 ） が得ら れ る。
一
59
一
（
ii
） 剛 性のみ付 加さ れ る場 合 （Am＝
・
Oの場 合 ｝ 前と同様に してdw
をiD
君の ノ番 目の成 分と す ると （21），
〔23）から 1／Ak＝一
（T＊ ／2
π） ： Σ τ1
碣 ／〔T
＊ 一Tl
） j≡
1．
．
．
n・
・
・
・
…
9・
・
一・
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t…
（29
） し た が っ て が得ら れ る。 （“i
） 簡 単な応 用 例 （28）， （30）式と， そ の グラ フを 併 用 した簡単な固有 周 期 調 整の例．
を 次に示す。
Fig，
1（a）に示 す 離 散 系の場 合で Ml ＝0，1，
M2 ＝0，
1，
M3；
O．
05 （tonf・
sec ヲcm ），
h
，＝
30，
h2＝
20，
h3；15
（tonf／cm ）と すると 固有 値に関 す る諸量は次の よ うに な る。
T
，＝
＝O．
7748，
T2＝0．
3142，
T
，＝e．
2402・
・
・
・
…
（31
）… T
−
［
iliili
．
i
罵
i
；
iili
］
・
・3
・）．
今， 最 上 部 Ms にAm
だけを付 加す る と す る とtic
．
｝T＝10
，
0，1
レ…
．
・
・
………・
・
…・
……・
………
（33） O田
．
則
囗
田
．
「
O
ω
．
ロ
O
甲
．
ロ
ー
（
E 。丶
円
。
ロ
．
蜘
目
D ρ 〒 。N
乙匚
ぐ 四 齷巨
臼
勃｝
帛．
下 O．
−
．
呂．
富 呂．
富 它ob匚
o ご苦
ぐ 冒、
目 1 鏨 § 晨 と 呂．
O
甲 畧．
O Fig。
2 固有 周 期丁＊と付 加 質量 Am との関係．
山
Fig．
3 固有周期 T＊ と付 加剛性Ah と の関 係一
60
一
（4 ），
（20
），
（32
），
（33
）よりIDmlT
＝ ｛2．
841，−
3．
078，
1．
5671・
・
…
tt・
・
ts・
・
・
・
…
（34 ） （34 ）， （31 ｝か ら （28）を グ ラフ に描くとFig
．
2とな る。
もし，
一
次の固有周期を1秒に調 整し た い な ら，
この グ ラフか らAm ＝0．
07
（tonf・
sec2 ／cm ） 程 度で あ れ ば良い こ と が分か る。
また （28）の 右辺にT
＊＝ 1 を 代 入 すると，
厳 密に次の値 を求める こと もで き る。Am ＝
O．
0751 （tonf・
sec2 ／cm ＞ 次に，
質量付 加の か わ り に，一
層目にAk
の剛性 付 加 を行 うことにする。．
｛
C冊
1
’＝
亅1，
0，
0｝・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
…
（35 ） （4）
，
（20＞，
（32）， （35） よ り亅
D
冠丁＝
：
：
亅LO22
，2．
052
，2．
178
｝・
∵・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（36） （36）
，
（31）か ら （30） をグ ラフに描く とFig．
3と なる。
し た が っ て，一
次の 固有周期を1秒に し たい 場 合はおよ そAk
＝− 17
（tonf／cm ） 程度、
必要で あ ること が判る。 こ の場 合の負の符 号は実 際に は 剛性の削 減を意 味して い る。 （30）か ら の厳 密な 値は，
△た＝−
17．
023 （tonf／cm ＞とな る。
4．
考 察4．1
本論で示し た式と既 往の研 究との関 係 【Kron
法10） 】 Fig．
4（a）に示 す よ うな電 気 回 路 網の連 成につ い て考 え る。 基 本モ デル の固 有 値 問 題は次の よ うにな る。
［
ALi皇
、諏
H
・
…・
…
（… こ れ をま とめて ［A一
λ∬］IXI
＝
｛0
｝・
・
・
・
…
一・
・
9・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（38
） とす る。
［A − M
］は節 点の ア ド ミッ タンス 行列，
IXI
は 節 点の電圧ベ ク トル であ る。
次にFig．
4（b
）の よ うに，
電 気 抵 抗で連 成すれば，Kr6n
法に よ り次 式と な る。 ［A −
“1
］lX
＊ ｝＝
［C
］iJ
｝・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t…
ttt
・
一
…
（39
） ［C
］T｝X＊ ｝＝一
［W
］IJ
「・
r・
…
r・
・
・
・
…
r・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（40） Ca〕 Fig．
4 Kron 法 〔b｝5 q4 い 1基 本モ デ ル Fig
．
5傘
〔b）修正モ デ ル 分 離モデル の連 成 こ こ で， ［C
］は接続 行列であ り，IJI
は付 加さ れ た電 気抵抗か ら流入 す る節点 電 流ベ ク トル で あ る。
ま た， ［W ］は付 加さ れ た電 気 抵 抗の イン ピー
ダン ス行 列で あ り， 正 方の対 角 行 列とな る。
（38）の モー
ド行 列 として （7）の ［劉 を 用．
い， 変 数 変換1
丿【＊ ｝＝ ［Ψ］ヨy
串｝・
・
・
・
・
…
9・
・
…
一・
9・
・
・
・
…
曁
一幽
・
・
噛
曁
・
・
一
・
・
（41） に よ り， （19
）〜
（24
） と同 様に し て （［C
］［巫］▽一
匹 ［Ψ］T［C
］T十［W
］）IJ
「1
−loi
・
・
tt・
・
…
（42） が得られ る。
VI
−1eI
以外の解を有す るた めに は ，．
．
1
［C
］［璽弓▽−
1［Ψ］T［C
］T一
ト［咽！］1
＝0・
…
一噛
9…
曁
・
噛
（43
＞ で な け ればな ら ない。
この固 有 行 列の縦 横サイズは連 結 す る電 気抵 抗の個 数に一
致するた め， 全体を一
括して計 算す る よ り， 固有 値 計算が簡 単に な る。
これ が，Kron
法の 概要で あ る が，
本 論での （19）の右．
辺第 1 項を0と し た もの が （39
＞に相 当し，
（23
）が （40）に対 応して いること が判る。 （19）の右 辺 第 1項お よ び （22）は Kron 法に はない 部 分とな っ て い る。 本 論から，
〔28），
（30）は特に Kron 法を意 識せずと も，
初 等 力 学 的に導か れ ること が判る。 また，
こうし た対 応 性か らも明ら か な よ うに，
（30） は当 然Fig．
5の よ うな分 離し た系 を 連 結 する際に も用 いること がで き る。 こ の場 合 全 体の質量行列，
剛 性行列は （37）と同様…
一
［
M
，00M2
］
・
…一
［
舌£］
…噛
9
（… の形 式と な る。
ま た， 接 続ベ ク トル はFig．
5（b）の場 合のlqlT
＝
kli
，q2，…
，
q5｝・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
…
…・
・
・
…
一・
・
…
（45） に対してlC
，i
γ＝
11
0 0−
1 0｝……・
………・
（46＞ と な る。 Ml＝
M2・
＝
ms＝
0，
1， M3≡
O．
05， m4＝
0．
2 （tonf・
sec2／cm ），
k
，＝
30，
k2＝h3≡k5；
20，
h4＝
35 （tonf／cm ）に対 し，
（30
）を描いた の がFig．
6
で あ る。 こ のグラ フ か ら連 成 化する バ ネの剛 性の変化と固有周期 の変動の関 係がマ クロ に把 握で きる。
縦の破 線は基 本モ デルの 固有周期を表 し てい る（な お，入江，原 ：：1，
．
14 ）は （43） を 力 学 系の大 次 元 固有 値問 題に利用 するた め組 織 的な方 法を示し てい る）。
【Simpsonll
同 7〕 らの導い た公 式】 Fig．
5（b
）の よ う な連 成を考え る と き基 本モ デ ル を Fig．
7の よ う に と る。
この 場合も，
（44
）の よ う な形 式 とな るが，
結 合部分で質量 は重複す る。 し た がっ て，
m ，＝
mr ＋mr の よ うに適 宜 分割さ れて扱 わ れ ることに な る。 基 本モ デル の モー
ド行 列は ［Φ］を用い る。
また，
基本 モ デル は合 計 n一
自 由 度と し，
8 個の 節 点で結 合さ れ る と する と，
徇 東 条 件は一一
般に次の形 式で与え ら れ る。 ［Cs
］｛ql＝
IO
｝・
…・
・
…・
………・
・
…・
・
……・
・
（47＞ ただ し， ［C
。］は s 行 n 列の定 数 行 列Fig．7
の場 合は ｛σ｝T＝
｛qi，
q29…
，
95トー・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（48
）［Cs ］T
＝
11
0
0
−
10
01
・
・
……・
…………
（49）Lagrange
の不 定 乗 数 ttl，
μ・，…，
μs に より・運
動 方 程 式は次 式で与え られ るss ）一
’
：6｝。
［M ］IU
｝十［K ］1ql
＝
［C．
］Tlμ卜・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（50） ［Csl
］lq
｝＝
101
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
一・
・
・
・
・
・
・
・
…
（51） た だ し，
1
μ｝＝
1
μ1，
μ2，…，
μsl 臼 3．
［
⇔
O曽
．
鶉ワ
旧
．
冖
．
「
1
呂．
9
ψ
〔
匚 o＼
旧
Foθ
｝
を く 炉 ＝ 璽＝
「
＝ 苧 6 窮 な s ゼ亀
摯 Fig．
6 固有 周 期 Tホと付 加 剛 性A 。との関係Fig
．
7 Simpson型の Kron法q5
（50）の右 辺は
，
こ の形 式か ら見て明らか に拘 束によ り生じ る反 力 を意 味 してい る。
不 定乗 数ベ ク トル 岡と 剛を・
曾
・
・
…
一
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（56 ） を 用い，
後は （19）〜
（24）と同様の手続きで1
［C
コ［φ］▽−
1［φ］「 ［C
］TP＝0 ・
………
（57
） が得ら れ る。
こ の式はSimpson
ら が導い た式で あり，
Weinstein’
sdeterminantigl
・
zo〕と して知ら れて い るもの に一
致 する。
Simpson
は初めKron
法の応 用と して発 表し11 ｝，
そ の 後，Lagrange
の運動方程 式・
か ら導くこと がで きる こと を見いだしている14）。
（42
）と （57）の相 違は電 気 抵 抗．
（力 学系の場合は剛性バ ネに相 当）を介 し て連 成 化する か，
あるい は直 接 連 成 化 する か．
に より生 じる。
（50 ）， （51
） の段 階におい て既に単 独のAm ，
Ak
の付 加とい っ た考 え は薄く なっ て おり，
（57 ）と本 論で の （28｝，
〔30｝と の間に は相 当の差があるといえ る。
【平井， 吉 村の導いた式 Z9）
］
［K ］，
［M ］に行列と し て の ［AM ］，
［AK ］が つ け加わ る と す る と修正モ デル の固 有 値 問題は次 式と な る。
（［
K
一
λ＊Ml
十 ［∠L
κ一
λ＊AM
］）1x
率1
＝
10
｝・
・
・
・
…
（58 ） 基 本モ デル に対する モ
ー
ド行 列と して （8
）の ［Φ］を 用い る と （8
）， （10
）よ り， ［M
］；
［Φη一
1［φ］−
1，
［K
］＝
［φ1
−
i［9
］［φ］一
1・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
…
．
（59） し たがっ て， （21
）の行列 ▽を用い て ［K 一
λホ ルf
］＝
［φ7］−
1▽［φ］一
，・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
…
一
（60） （ABC
）−
1 ＝C
−
iB−
iA−
L ゆ え37 ） ［K 一
λ＊M
］−
1＝
［Φ］▽−
1 ［φ7］・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（61） し た がっ て，
（58 ）は （［1
］十［φ］▽−
1 ［φ｝「 ［AK 一
んムM
］〕1X
寧1
＝
101
………
（62｝ix
＊Ho
｝以 外の解を有す る た め に は，
1
［1
］十［Φ］▽−
1［φ］’ ［AK 一
λAM
］！； 0・
・
・
・
・
・
…
（63） こ の式が平井， 吉村の式に相当す る。
実際の 計算で は ［AK
］，
［AM
］な ど が，
必要な部 分だけ 残し て縮 小さ れ，
その ことに よ り，、
（63
）の有効 性が生じ る。 形 式はKron，
Simpson
の式 よ り，一
般 的で あ る が，
接続ベ ク トルICI
などに相 当す る 「縮 小の 自動化」の た めの概 念が導入 さ れてい ない。
ま た， △κ は変 形 法 的な 剛 性 行 列であ ることか ら，
例えば，一
つ の ト ラ ス材の付 加につ き一
般に，
4×4の成 分が 新た に生 じ る。一
方，
lq
｝＝
i
文＊ ｝exp （‘α慶零ε）…・
・
…・
…・
・
…・
…………
（52）1
μ｝＝
Le
’lexp
｛’
i
ω電t）・
・
…………
…………・
・
（53 ） で表す と［
K 一
λ＊M
］IX
料＝
［Cs
］「tg
＊ 「・
………・
………・
・
（54
）［
Cs
］IX
＊t
＝10
｝・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
・
…
（
55
） と な る。
変数変換．
lx
＊ ト ［Φ］iz
＊1
・
・
……・
………・
一 62 ．
一
本 論で のAk
は軸方向の相 対 節 点 変位に対 す る剛 性 （応 力 法 的 剛 性）であ り，一
つ の トラス材につ き， あ．
く まで一
つ の ス カ ラー
量 と して対 応している 〔こ の ことは後述 の Fig，8の よ う な斜材を 追加す る場 合も （30 ＞．
が容 易 に対 応で き るこ とでより明ら か に な る）。
したが？て （
63
）と本論の （28），
（30）と はかな り異 なっ てい るe．
なお，．
連 続 体と して の は り に断面 欠損の あ る場 合 な ど の 固 有周期を，folding
forceの概 念を用い て効率
的に 求め る方 法が平 井，
吉村ら に よ り別 途提案さ れて い る2T）・
2S，。
，
し か し，
こ の 場 合 も，
あく まで修正系の 固 有 周 期 な ど を効 率 的に求め る．
こと を主眼 と1
し たもの であり，
本 論の よ うに，
そ の逆の，
修正 すべ きAm
や Ah をex−
plicitに求める ことを 目指し た議 論では な く，
そ う し た 公式も示さ れてい ない。
4．
2．
Rayleigh，
Bisplinghoff
の考 察との関 係一
般に・
（A
）質 量．
が付 加さ れ た場 合，
固 有 周 期は すべ て の次 数において長め と なり，
バ ネが付 加され た 場 合 は 短め とな る。
（B
）し か し，
そ れら の変 動領域は， 元の 固 有 周 期に は さ ま れ た範 囲に 限 定 され る。
こ の こ と は Rayleigh3siやBisplinghoff39
， に よ りすで に明 ら か に さ れ て い．
る。
し か し， 前半の （A）の部 分は感度解 析の立 場か ら考 察さ れ た も ので，
付 加さ れる質．
量，
バネと も微 少 量であるとの制約付きである。
また， 対 象と す るモ デ ルや，
質量， バ ネの付 加 さ れ る形式が曖昧な ま ま と なって い る
。Fig．
2
’
，Fig．
3，
Fig．
6な どか ら直観
的に も分 か る よ うに，
も し （28 ），
（30
｝．
式の右辺 が あ る 区間で単 調 増 加，
単 調 減 少である こと がい え， 漸近 線が基 本モ デ ル の 固 有 周 期の問にあるこ と がい え れば，
（A
），
（B
） 同時に説
明する ことが で き る はずであ る。
し か も その場 合 は微 少で ある ことの制 約 条件も はずれ る。 こうし た （28
），
（29
）の解 釈につ いて は，
固有周期の上下 界 問 題 と して一
括 し別の機 会に論じたい。
4．
3公 式の適 用 域につ い て（
28
＞，
（30）の 誘 導に用い てい る仮定 （暗 黙の内に認 め ら れて い るもの も含む）を整理 す る と以 下の ように な る。
【1】
12
】13114
】 【5
】 【61 【7 】 平 衡 点 近 傍の弾性振 動で あること。
系 は水 平 変位
の み可 能で ある。
［M ］は正の要 素か ら な る対 角行列。 ［K
］は 正定 値 行 列。 （6
）の固 有 値は重 根 を持た ない。
Am ，
Ak
の一
方だけが付 加され る。
か つ， 同 時に △m ，，Afn
，，
Am
，ee
の よ う に複 数 個は付 加され ない。
【81Am，4k
は0でない有 限の値。
【1 】は （1）．
に implicitに含ま れて い る。 【2．
】は黏
躯
Fig．
8 付 加 筋 違の場 合築の立場 か らの固 有 値 問 題に関するべ
一
シック な議 論 も 今後必要であ る と考え る。
謝 辞 の た め の本論文を含む
一
連の離 散 系の扱い につ い て の研 究に対 剛 性 △k し，
種々励ま しの言葉を頂いた故 鷲 尾 健三先 生に深く感謝の意を捧げ ま す
。
ま た，
こうし た テー
マ の研究活動を支え て頂いてい る大 阪 大 学 教 授の井 上 豊 先 生に対し感
．
謝 の意 を表 し ま す。
Fig．
9 T‘
に co が 含 ま れ る場 合 議 論の単純化の た めに用い た もの で，Fig．
8の よ うな場 合 も適 用 可 能で ある。 そ の場 合，
lql
＝’
iq
，
，
q、
，
q3，
q
、i
に 対して接 続ベ ク トル はICI
’；
io
，
O，
cos θ，
sin θ！ とな る。
【3
】は （4）の コ レ スキー
分解が可 能であ れ ば よ く，
実 際は 正定 値 行 列で あ れば十分であ る40） 。 した がっ て ［M
］が動 連 成 項 を含む場 合も拡 張 可 能で あ る。
た だ し その場 合，
（4 ）は ［M
］＝ ［L
］T［L
］と な り［L ］は 3 角 行 列と な る。 【4 】の条件は， さ ら に半 正 定 値 性にま で弛め る と，
固 有 値に 0，
し た がっ て固 有 周 期に無 限 大 の値が含まれ る ことに な り411，
本 論の議 論は若干の修正 が必 要 とな る。
実際は，Fig．
9
の ように基 本モデルが 剛 体 的 移 動の可 能な部 分 を含む場合に そうし た問題 が生じ る。
【5】
は固有ベ ク トル の 独 立性の な く な る こ と4Me 避けるた めに用い た仮 定で，
もし重 根が認め ら れ る な ら，
モー
ド行 列の逆 行 列な ど が存 在し な く な る。
例えば，
Fig．
5の よ うに連 成さ れ る と き，
2つ の系が た ま た ま同 じ形 状で あ る 場合そ う し た問 題が生 じる。
【6
】，
【7
】 は （28），
（30）に 対する厳 し い制限であ り， 逆 に，
この 制 限に よ り，Am ，
Ak
に 対する explicit な表現が可 能 となっ てい る。
【8
】で の Dで ない有 限の値の制約 条 件 は （24），
（29
）を導く際に必 要 となら
てい る が，
こ の制 約 条 件はこれら の公式を用い る際に は問 題と なら な い。
5．
結 論固有周期調整の た め の簡 単な道具 と して使わ れる こ と を 念 頭において
，
設 定 条 件を単純化す るこ とにより，
あ る目的と す る固 有 周 期に モデルを 合わ せ る た めに必 要な 付 加 質 量や，
付 加剛 性を決 定する （28），
（30）式を導い た。
（28＞，
（30
｝式に よ れ ば一
度だ け 固有値 計 算をし，
あ と は， 接続ベ クトルICI
を変え ること か ら，
色々な 部 分に 付 加した場 合の Fig、
2，
Fig．
3の よ う な固 有 周 期の 変 動 をマ クロに示 す 図 が得られる。
ま た
，
本 論に関連す る既往の研 究 との比 較お よ び（28
），
（30）の適 用 域につ いて若 干の考 察を行っ た。
数 学 的に は特 殊であ り す ぎ， 電 気 や機 械などで は意 味 の ない 大 胆な仮 定 も
，
建 築で は十分 に意 味を持つ場 合 も あ り得る。
他の分野だ けに まか す の で はな く，
筆 者は建 文 献1〕
Jacobl
C．
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ein lelchtes Verfahlen die in derTheorie
deT
Sacularstorungen
ve πkommenden Gieichu・
ngen numerisch aufzu ［osen
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9227） Hirai I
．
，
Yoshimura T，
：Eigenvalue Analysls of Struc．
28） 29｝ 30） ）
） ー ワ
臼
33 33｝ 34） 35） 36） 7833 39） 40） 41） 42｝tules by Folding Force
，
ASCE，
EM6，
（1970）pp
．
1081−
1092平井
一
男，
吉村虎 蔵 ：修 正さ れ た構 造 物の 固．
有 値 解 析に 関 する．
一
手 法，
JSSC，
マ トリッ ク ス構 造 解 析 法 研 究 発 表 論 文．
集 （1971）PP．
80−
87Hirai I
．
，
Yoshimura T．
；On a Direct Eigenvalue Anaty・
sis for Locally Modified StJuctuies
，
Int．
J．
Num．
Meth．
Eng
，
，
Vol，
6，
（1973＞pp，
441−
456 R．
ツ ル ミュー
ル （瀬 川富士，
高 市成 方訳）： マ ト リッ ク スの 理論と応 用，
pp，
140，
な お，
ツ ル ミュー
ル は ｛31 を一
般固有 値 問 題 （Allegemeinere Eigenwertaufgabe｝ と 呼 び， ｛61 を 特 殊 固 有 値 問 題 〔speziellen Eigenwertaufgabe ）と呼んでお り，
数 値 解 析 を 念 頭にお いた 呼 び方と若 干異 な る。
文 献30）p．
154 文 献30）p．
184，
p．
188た だ し，
複 素 行 列に対す る．一
般 形で示さ れ てい る。 入 江良 彦 ；Diakopticsに よる立 体 骨 組 構 造 系の振 動 解 析，
第22回 応 用 力 学 連 合 講 演 会 予 稿 集，
〔1972） pp．
131−
132 入江 良 彦，
原 忠彦，
Diakopticsによ る立 体 骨 組 構 造 系 の振 勤 解 析，
三菱重工技報，
Vol．
14， No．
2， 〔1977） pp．
98−
106 山 内 恭 彦 ：一
般 力 学，
岩 波 書 店，
第 3版，
（1971） PP．
174 （36，
3） 式，
P．
178（38，
IL．
｛38．
’
3），
〔38，
4） 式 な ど よ り。
国井 修二郎，
「二 田 香 苗，
力 学 皿，
丸 善，
第2版 〔1967） p．
265 〔115．
20＞，
〔115．
21）式な ど よ り。、．
文 献30）p．
35Stヒutt
j．
W．
（Load Rayleigh）：The Theory oi Sound，
Vol
．
1（Dover P皿b、
1945）pp．
109−
lllBisplinghoff R
．
L，
，Ashley
H．
Halfman R．
L．
；Aeroelas・
ticity
，
Addison・
Wesley，
〔1955｝pp．
774−
779 文献3G＞P．
98 文献30）p．
142 文 南犬30） p．
145厂
「
L
一 64 −一．
SYNOPSIS
UDC :624. 044
'
ON
THE
NATURAL
PERIOD
FOR
LOCALLY
MODIFIED
DISCRETE
MODELS
by EIZABURO TACHIBANA, Member of A.I.
J.
It
is
veryimportant
toknow
how does thelocal
rnodification of the system affect the natural frequency of the original system.In
general,twodifferent
approaches are adopted to investigateabout thiskind
of problem.One
is
thesensitiv･ity
analysis of the eigenvalue whichis
based
onRayleigh's
quotientorJacobi's
variation,The another one isthe combined dynamical system analysis which
is
based
on the Weinstein'sdeterminant
orKron's
method, andby
these approaches, alarge
amount offormulas
has
been
proposed,but
when we want todesign
the system to have agiven
natural period,these formulas are not enough to use.We
need more sirnpletheoriesand moTe convenient forms.
Irf
thispaper,following
newformulas
are proposed whichdecide
the exact value of added massAm
or ofadded spfing
Ah
in order togetthe arbitrary natural period.･
'
i
Am=gza(T',
Ti,
Vi,
C)
･･
･
Ah=g,(T*,
T,,V,,C)
'where
T*･isthe
given
natural period, Tt and ei aie natural periods and mode vectors of the original system,,re-spectively, and
C
is a connection vectoi thatis
decided
from
which themass or the spring is added.Simple
ex-amples are shown
by
using theseformulas.
'
'
'
'
Some considerations
