外周に荷重をうける円板の応力について

【

論

　

文

l

UDC ：624

．

042 ：624

．

073 日本建築 学会構 造系論文 報 告集 第 363号

・

昭 和 61 年 5月

外周

に

_荷

重

を う

け る

円板

の

_{応 力}

に

つ

い

て

塚

松

員 員 会 会 正 正

越

井

源

勇

＊

吾

＊ ＊ 　 は じめ に

　

鉄

骨

造

の

立

体

トラス の

上

弦材

，

下弦 材

な

ど

は

，

節点

に

集

る

部 材 数

が

多

く

，

接

合 板

と して円 形 が

採 用

さ れ るこ と が

多

い。 こ の

円 板

は，

板

に

平 行

な 圧

縮

や

引 張

りの

外 力

を

周

に う け ることに なるが

，

こ の

場

合

の

板 内

の

応 力 分 布

や

最 大応 力

につ い て

，

便 覧

な どに も

示

さ れてな く

，

設 計

に

不 便

で

あ

る。

本 論 文

は

，

フ

ー

リ

エ

級 数 を用

い た

解

に

よ

り

円板 内 部

の

応 力 分 布

，

最 大 応 力

を

調

べ

，

_{設 計}

の

資 料

とす るこ と を

目的

と す る。

特

に

，

引 張

りと 圧

縮

が

交

互に

加

わ る

場 合

は

，

せ ん

断 応 力

が

大

き く

，

その

検 討

が

必 要

で

あ

る こと を

指 摘

し て い る

。

　

円板

の

外 周

に

集 中 荷 重

が

加

わる

場 合

の

解

は_，

教 科 書

な

ど

に

も載

っ て 1）_{お り} ， そ れ

を重

ね

合

わ せすれ ば

応 力 を知

り う る わ け で あ る が， その

解

が

荷 重 点

が

座 標

の

原 点

であ るこ と な

ど

か ら，

円

板内

部

全体

の

応 力 を

求

める の に は

不

便

で あ る

。

　

本 論

文

で は， 外 周の

荷 重

をフ

ー

_{リエ級 数に}

置

き 換え て

内部

の

応

力

を

求

め ている。 フ

ー

リエ

級

数

に よ る

解

も

，

相

対

す る

2

個

の

荷

重

につ いて

解

か れ てい る2｝_{か ら}

_，

_{そ れ を}

角 度

を

変

え

，

荷

重の符

号

を

変

え た もの を 加 え

合

わ せ れ ば

応 力

を

知

るこ と がで き る。 これ と

同

じ

意 味

で あ る が

，

外

周

の

種

々の

荷

重

をフ

ー

リエ

_{級 数}

で

表

してお き

，

これ を

解

く と

応 力

の

解

が

簡 単

になり

，

ま た

級 数

の

収 束

も

早

い。

本

論 文

は

後 者

の

_{方 法 を採 用}

し た。 ま た

光 弾 性 実 験 を行

い

，

円板 解

の

検 討

，

多 角 形 板

の

円 板

との

相 違 も考 察

し た

。

　

1．

引張

り，

圧 縮 を交 互

に

う け

る

場 合

　 ま ず 第

1

図

に

示 す

，

荷 重

が

4

個

の

場 合

につ い て

解

く。

周 辺

の

荷 重

／

（

θ

｝を 次 式

の フ

ー

リ

エ

_{級 数}

と

_す

る

．

∫

（

θ

）

≡

Co

十

Σ

l

　

Cncos

　nθ

　　　　　　

c

・一

岩ズ

π

∫

（

・

）

・θ

　　

　

　　

　

C

・

−

if

， ’「「

f

（

・

）

・ ・sn ・

d

・

第

1

図の場

合

で は

　 　 　 　

8q

　

1

　

．

　 　 　

C

，

＝

・

O

，

Cn＝

　　　　　　　　　

π

゜

万

sm ηγ

’

……・

・

_（

₁

_）

・

_（

₂

_）

函

第

1

図 荷 重4個

，

引張り圧縮 交互

　 　　　 　　　 　　　（

た だ しn

・

＝2，6，

ユ

0，14…

〉

と なる

。

し たがっ て

荷

重

f

（

θ

｝

は

次 式

と なる

。

　　

　

f

（

・

）

− 8

ノ

Σ

毳

・

i

・・_{n γ}・ ・sn ・

　 　　　 　　　 　　　 　　 　（

n

＝

2

，

6

，

10，14・

・

・

）

　

この

場 合

の

応 力

函

数 を

　 　　

φ

＝

Σ二

_（

」

4π

7π十

B π

r” ＋ ：

）

COS 　nθ

　 　　　 　　　 　 （

た だ し

An，

　

Bn

は

常 数

であ る

）

と す る と

，

応

力

は

次

の よ うに なる

。

　　

　

砺 一

塁

詳

・

1

，

誰

一

Σ ［

n

（

1

−

_n

_）

_A

・・ ”

一

・

　 　 　 　 　

十

（

2−

n

＞

（

n十

1

）

B

．r ”

］

cos 　_nθ ・θ

嘉

一

Σ

［

_・

（

_・

− 1

蹴

・

　　

十

（

η十

2

）（

π十

1

）

13

霞r

π

］

cos ηθ 砺

一一

£ （

1

∂

φ

r ∂θ

）

一

_Σ

_［

・

（

・

−

1

）

A

．

・”

一

・

　 　

十 n

（

n 十

1

＞

B

πT π

］

sin ηθ ・ _{中 部 大 学 　 講 師}

・

_{工 修} 綿 早 稲田大学

　

教 授

・

工 博 　 （昭 和60年10月 11日原 稿 受 理 ｝

　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

3

）

　

こ こで

，

第

1

図

の

_{場 合}

の

_{境 界 条 件}

は

，

r

；

αにおい て

　 　 　

τ

。

θ

ヨ0

， σ。

己

∫（

θ

〉

で

表

され る

。

　

せ ん

断 応 力

ゼ ロ の

_{条 件}

か ら 　 　 　

1

　n

− 1

　　　

Bn＝

＝

　

rr

。

・

’

。＋

iAn

また

，

二

番 目

の垂

直応 力

の

条 件

か ら

一

₂₂

一

NII-Electronic Library Service

　 　

Ana

”

T2・2

（

1−

n

）

＝

Cn

と な る。 よっ て

，

　

　

A

・一 、

（

1．

乱

）

ゴ ・

q ・

泓

一

、

（

1

聿

。

）

ゴ

α

と な る。 これに

前 記

の

Cn

を

代

入 す れ

ば

，

第 1

図

の

場

合

の

応 力

は

次 式

と なる

。

ar一

罕

Σ

吉

・

…

γ

［

・

（

舌）

n

−

2

　　

・

（

・

一

・

）

（

訓

・ ・s ・・ ・

− 4

ノ

Σ

吉

・… _γ

［

一

・

（

釜

厂

　　

・

（

・＋・

）

（

訓

・ ・s ・・ げ

亨

Σ

・・…

卜

（

舌广

2

　　

・

（

訓

・・…

・

・

・

・

…



_（

₄

_）

　 　 　　 　 　 　　 　 　（

た

だ

し

，

n＝

2

，

6

，

10

，…

）

　

数 値 例

と し て

，

2

γ＝

b

（

_{荷 重 幅 ）}

_{が α}

_／

2

_の

_{場 合}

_と a

／

4

の

場

合

を

第

2

図

に

示

す。

　

垂

直

応 力

の

_{最 大}

は r

ニ

αの

周 辺

で ある が

，

実 際

問 題で は

，

この

荷 重

を 加 え る

部 材

は

，

円周

で は な く

円 板 内 部

に 入 り

込

ん で，

溶接

や ボル

ト

で

接 合

さ れ るのが

普 通

で

あ

る

。

　

し た がっ てこ の

部 分

の

垂 直応 力

は

問 題

で はない

。

重 要

なの は r＝

0

の

_中

央

部

である。 この

部 分

で は

荷 重 幅

が

小

さいとい く ぶ ん

最 大 応 力

は

増 す

。

荷 重 幅 を 極 端

に

小

さ く

，

集 中荷

重

と す る と

，

垂 直

応 力

，

せ ん

断 応 力

と もに

（

4

／

π

）

・

（

P

／

a

）

≒

1

．

27P

_／

αの

純

せ ん

断

の

状 態

である_。 た だ し

P

＝

_qb

_と

_す

_る 。

鋼

の せ ん

断 許 容 強 度

は

引 張

り 圧

縮

の

1

／

V

｛

i

で ある か ら

，

こ の

場 合

は せん 断で

板

厚 が 決 定 さ れ ることになるD

　

な お

，

こ の

解

に

お

いて

，

外 周

の

_荷

重

の フ

ー

リエ

_{級 数}

_は

30

項

まで とっ て も

正 確

な 形

状

とは な り え ない が

，

応

力

の

級 数

は

第

2

項 位

まで で

収 束

し て

十 分

正

確

であ る。 これ は

外 周

での

細

かい

波 形

の

外 力

は 円

板 内

部

で は

相

殺

さ れ る

　　　　　　

t た め か と

思

う

。

　 第 3

図

は

荷 重

が

6

個

の

_場

_合

で あ る。 この

場 合

の

（

1

）

式

の

C

。

，Cn

は

次

の よ うに な る

。

198 　 　1

．

0

b ・

・

号

454 1

．

0

　 　 　

12q

　

1

　

．

　 　 　

Co

＝

O

，　

Cn

＝

　　　　　　　　　

π

’

万

SM 　nγ

　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　

（

n＝

3，9，15，21，…

　〉

応 力 函 数

，

境 界 条

件

を前

の

場

合

と

同

じ と す る と

，An，

　

Bn

と

Cn

と

の

関 係

は

前

の

場 合

と まっ た く

同

じ と な る。

　

応 力 を 求

め，

数 値 計 算

の

結果

を

第

4

図

に

示

す。 せ ん

断

応 力

の

最 大

は θ

＝

π

／

6

， r≒

o．

6

α で

，

ほ ぼ

1

．

OP

／

α に

近

い

。

　

荷 重 幅 を

極

端

に

小

さ く し た

極

限

で は

，

こ の

値

は

1

．

O

P ／

a と なる_。

垂

直

応 力

σ．につ い ては

，

前 述

の よ うに

外

か らの

部 材

が

板 内

部

に 入 り

込

む ので

，

例

え ば r

＝

0

．

5a

ま

で入っ てい た と す る と

，

その

辺

で の

値

は

最 大

せん

断 応

力

と ほ ぼ

等

しい。 し た がっ て

，

この

場 合 も板 厚

は せ ん

断

応 力

で

_決定

さ れ る。

　 第

5

図

の

8 個

の

荷

重

の

場

合

は

，

Cn

は

以 下

の よ うに

表

さ れ る。

　　　

Cn一

_甼

・

_麦

_・

_in

・n _γ

（

・一 ・ ，・

12

，…

，・

・

・

）

前 と同

様

に して

応

力

を

算 出

すると

第

6

図

と な る。

6

個

の

荷 重

の場 合 と よ く

似

て い る が_， せん

断 応 力

の

_{最 大}

_{は θ}

＝

π

／

8

， r≒

0．6a

の

点

で

，

そ の

大

き さ は

1．1P

／

a であ る

。

　 第

7

図

の

_荷

重

が

10

個

の

場 合

は

　　　

Cn

一

聖

・

蓋

… _nγ

_（

_n

−

_・

，15，

_・

5，…

_）

と

し

，

応 力

を

第 8

図

に

示

す

。

最 大

せん

断

応

力

は θ

＝

＝

π

／

10

_， r≒

O．

7a

の

_点

で

，

その

大

き さ は

1．

2P

／

a で

あ

る

。

　

2．

引 張 り （また は圧 縮

）

の み

を

う け

る

場 合

　

第

9

図

の よ うに

2

個

の

荷 重

が

相 対

して

働

い て い る

_場

合

，

（1

）式

の

C

。，

Cn

は

次

式

の よ

う

になる

。

　　　

c

・

一

聖

・

・，

Cn一

撃

・

i

・

in

・nr

　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　 　

（

n

＝

2

，4，6，…

　

）

　

境 界 条 件

に よ り，

An，

　

Bn

と

Cn

の

関 係 を

求

め る と

，

第

1

図

の

場 合

と まっ た く

同

じ と なる

。

た

だ

し

，

n

＝O

の

_場

合

は

板

に

一

様

に

2g

γ

／

π の

応 力

が

生

じて い るこ とに な る

。

b

_尋

20

_εピ



O　臼

一

20



4P



2

．

0衝

　　

O



萬

一

20 　 6 　 　 　T　 　 　 　ド

T

　　 　 　　 　 　 　

第

2

図

　

同応 力 （単 位：

P

_〆a）

宀

第3図 　 荷 重6個

．

引 張り圧縮交 互

一 23 一

N工 工

一

Eleotronio _Library

2

．

i3　 　1

．

0b

・

_号

2

、

O　 　 O　 　

−

2ρ 　 　 　4

．

0　　　

2

．

0

　　　　

0

　　　

−

2

．

0 第

4

図

　

同 応 力 〔単 位 ：

P

／a）

　　　　　

b

一

_号

1

．

9。 1・

　

笋

　 　 　 q　 　NS

　

α

一

_。71

聖

　 　 　

q5

9

　 2D 　 　 O　 　

−

2ρ

　　　　　　　

b ・

号

・61

　

1・

　 ご

q・ 　 　 　 　 q　　ぜ

　　

a

・

₋

₀



如 　 　 　 　

Q5

　

8

　　　

b一

号

？

．

。・

・

1・

紫

　　　

Ve

　

ぽ ｛le 　 σ

「

　 　 　 　0

．

　 　 　

q5

9

　2ρ　 　 O　 　

−

2ρ 　 　 　 40 　　　20 　　　　0　　　

−

2

．

O 第

6

図 　 同 応 力 （単 位：P／α）

　

　

　

　

　

　

　

　

3

，

B4

憶

磐

　　 　 　　 　 　　 　　 　 　

q

　

ぽ 　 　 　 1？ 　 　 　 o

、

　 　 　 σ

「

　 　 　

Q5

　 　 　 9 　 　 　 4

．

0

　 　20　 　

0

　 　

−

2

．

0

第

8

図

　

同 応 力 （単 位

　

P

／a） OI

．

O

24

　

3

．

58 1

．

0

b

尋

第10図 　 同応 力 （単 位 2

’

°

§

°

爭

一

2

’

° P／a）

宀

第

5

図

　

荷重 8個

，

引 張り圧 縮 交 互

　　　　　　鹵

第

7

図

　

荷重

10

個

，

引 張り圧 縮 交互

宀

第

9

図

　

荷 重2個

，

上下に引 張り

　　　　　　函

　 　 　 qF γ τ θ 　

警

O   り 脹 謂 全 楓 ヨ 重 荷 図

11

第

NII-Electronic Library Service

221 　 　

1

．

D

b

一

_号

羅 強

爨

TI

瀏

ー

⊥

d 4

．

16 1

．

0

b 一

_甚

第

12

図 同 応 力 〔単位 ；

P

／α_｝ 1

二

b

吝

o

b

＝

α／

2

　　　　　　

b

＝

α／

4

写 真

1

上 下 圧縮の光 弾 性 等色線 （明視 野 ）

　　　　　　　 宀

醸

’

飄

⊥

鵠

　

、

、

　

脾

　

鷲

箭

価

m

＿

　 　 　 b

−

1

．

5tse

．

TsCff

第

14

図

　

三方 向圧 縮の光 弾

　　　　

性 試 験 片



_第

₁₅

_図



_{荷 重}4個

，

全 部 引 張り し た がっ て_，

各 応 力

は

　

　

・r

一

聖

・

γ＋

？

’

L

Σ

；

1

_，

・

i

・

・n_γ

［

n

（

f

）

n

−

2

　

　　

　

・

_（

・

−

n

）

（

訓

・・s ・・

　

　

ae

−

『

ヂ

・

_・＋

『

ヂ

_Σ

÷

_{… nγ}

［

−

_n

（

E

）

n

−

2

　

　　

　

・（・＋n

）

（

訓

・ ・sn ・

　

　

T・e

−

『

尹

Σ

・・…

卜

（

r α

）

n

−

2

　　　　

・

（

訓

曲 θ

　　 　　　 　　　 　

・

・

−t・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

5

）

　　　　　　　

（

n

＝

2

，

4

，

6

_，…



_）

こ の 場

合

の 応

力

を

荷 重 幅

b

が α／

2

，

α

／

4

の場

合

につ

・

1

　 　 　 b

−

1

．

50

，

0

．

75

［

m

第

13

図



上 下 圧 縮の光 弾性

　 　 　 　 試験片

b

＝

・

a／

2

　 　 　　 　　 　　 　 　　 　　 　

b

＝

　a_／4

　

写 真

2

　

三方 向圧 縮の光 弾 性

等

色

線 （

明視

野

）

いて

算 出

し た

も

の

を

第

10

図

に

示 す

。

　

応 力

の

分 布

の

_状

態

は

第

2

図

に

よ

く

似

て いる

が

，

せ ん

断

応 力

の

値

は

ず

っ と 小 さい。 σ， に よっ て

板厚

が

決定

さ れ る

。

　

第

11

図

は

3

個

の

荷

重

の

場 合

で

あ

る

。

こ の

_{場 合}

は

　　

　

・・

−

3Lt

_・

r

，

　

C

・

一

『

歸

… nγ

　 　　 　　　 　　　 　　　 　　 （

n＝

3

，

6

，

9

，・

・

・

_）

とな り

，

応 力

の分

布

を

第

12

図

に

_示

す。 これは

第

4

図 に

似

た

分 布 を

示

す が

，

せ ん

断 応 力

の

値

は

小

さい

。

　

こ の

第

9

図

，

第

ll

図

の

場 合

につ い て

光 弾 性 実 験 を行

っ た

。

荷 重

はすべ て圧

縮

とした。

第

13

図

は

第

9

図

に

対応

する

も

の であ る。

写 真

1

は その

等

色 線

で

あ

るe ま た

第

14

図

は

第

11

図

に

対 応 す

る

実 験

である

。

　

その

等

色

線

が

写 真

2

であ る。

実

験

は

両 方

と も，

b＝

α

／

2，

b

＝

α

／

4

につ い て

行

っ てい る。

　

実 験 結 果 を

第

10

図

，

第

12

図

に_， 黒

丸

，

白 丸

でプロ ッ トし て い るが

，

割 合

い に

一

致

し てい る。 た だ

，

載 荷 部

分 で は

多 少

の

_誤

差 が あ る。 これ は

載

荷面

が

，

理 論

の

仮 定 ど

おり に なっ てい ない た めであろう

。

　

こ の

実験 結 果

を も とに して

，

重

ね

合

わ せ の

_{方 法}

に

よ

り

，

第

2

，

4

図に

実 験 値

と して

プ

ロ ッ

ト

し た

。

割 合

に

計

算 値

と

一

致

して いる。

　

第

15

図

は

荷重 4

個

の

場 合

であ る

。

こ の

場 合

は_，

　　

　

・・

−

t

’

・

・

，

　

Cn

一

聖

・

吉

_・・…

一

₂₅

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

3

．

0 1，61

．

。

　

b

・

号

σ

，

　 　 雪

第

17

図 0

．

2 、

一

4

．

66 1。

b 一

号

OO   O Or　 　 O

．

46

　　　　　　　

4° 2

・

°

萼

゜ 第

16

図

　

同応 力 （単位 ：P／a

）

　 　 　

8

すぺ てが 同方 向の6個の等 分 布 荷重 を受け る 円板の応 力 （単 位 ：

P

／a） 372

　  

：

1

「vID b

一

旦

　 　 　 　

2°

曇

第

18

図 すべ て が同

方 向

の

8

_個

の

_等

分

布荷

重 を

受

ける円 板の応

　 　 　 　

力

（

単位

；

P

_／

α

）

　 　 　 （

n

＝

4

，

8

，

12

，…

　）

と な り

，

応 力

は

第

16

図

の よ うに な る

。

　

同 様

に し て，

荷 重 が

6

個

の

場 合

，

8

個

の

場 合

の

解 を求

め，

応 力 を計 算

す る と

第

17

，

18

図の よ うに な る

。

　

これ らの

場 合

の

中 央

の σ

。

と σθは

等

し く

，

外 周

の

荷 重

の

和 を 円周

で

割

っ た

値

　　　 　　 　　Σ

P

　　　

σT＝ α・；

扁

　 　　　 　　　

に

近

い

。

す な わ ち

，

荷 重 が

4

個

の

場 合

4

　

P

_／2

　_na

＝

o

．

64

　

P

_／

α_，

6

個

の と き

0．

96

　

P

／

α，

8

個

の と き

1．

27P

／

α

と

な る

が

， ほ

ぼ

これ に

近

い

値

で あ る。

　

せん

断 応 力

は

，

こ の

場 合

一

般

的

に は

_小

さい が

，

荷 重

の

終

る

付

近

の

周 辺

に

近

いところで

大

き く なっ て い る

。

　

3．

多

角 形 板

の

光 弾 性 実 験

　

多 角 形 板

につ い て

，

二 三 の

光 弾 性 実 験

を

行

い

，

その

応

力

か ら 円

板

と の

差

異

につ い て

考 察

す る

。

　

写 真

3，4

は

角 を 切

っ た

正 方 形

と

，

正 六

角 形

の

等

色

線

であ る

。

正

方

形 は

上

下

圧 縮

，

六

角 形

は三

方

圧

縮

であ る。

　

これ らに よ る

応 力 を

第 19

図

と

_第

20

図

に

示

す。 これ に

対 応

す る 円

板解

は

第

10

図 と第

12

図

で あ る。

第

19

，20

図

におい て

，

α は

内 接

円の

半 径

で

，

α

’

が

外 接 円

の

半径

で

，

（ ） 内

は a で

表

し た

時

の

数 値

で

あ

る

。

第

ユ

0

，

12

図

と

数

値 を比 較 す

る と

，

α とa’

を

平

均

し た

半 径

の

円 板 と

して

考

えた

値

に

近

い。

例

え ば

第

19

図

b

＝ α

／

2

の

中 央

は

，

0

．

98

と

（

0

．

86

）

で

あ

る が

，

こ の

_平

_均

は

O

．

　

92

_{で あ}っ て_，

第

10

図

の

0

．

94

に

近

い

値

で あ る。

正

多

角 形 板

は

，

外 接 と 内 接

の円の

半 径

の

平 均

を

出

し

，

そ れ を

半

径

と し た 円

板

と して

近 似 値 を 求 め

るこ と ができ る。

　

写 真

5

は

4

個

の

材

の

場 合

の と き よ く

使

れ る，

円弧 状

の

越

　 　 　

q1

一

1

．

61

一

1721

−

1bo

諸

■o ● o

ぶ

　　

ρ 奄

Q

略 　 　 σr 冨

・

oo ● 　 0 ● σ． o ● 　ん

・

5 　 ● ● 　 　 o 　 ● °

ジ

ρ

　　夢

P  

・

’

熏

oo

／

一

a

貯

_一

4

．

o

一

20o _蕎 2

，

0 一

■

o 旦

＿

」

一

4ρ

一

2

．

01o2

、

O

一

旦 a

♂

。 σ 】

口

）

曽

亭

　　　　　

．

畜

： °°

　　　　　

2

。

　　　　　

a

，

∵

。

　　 ％ 　 　

’

　 　 　 ロ

　

ρ_庵



bi



●

　　

sg

．

躰 ・

藪

旦 鋤

一

」

一一

」

一一

_一

L02 04

一

γ

い  

冖

。 ゜ 貼

糎

　

一

σe O ●

／

o● o 丶 ， 　 　 　 　 ■ ． ，

t

：

_富

　 　 　 　

　

0　 　 2ρ

■

LO 　　 　　 2

、

O

第

19

図

　

光 弾 性に よ る 正 方 形板の応 力

一 26 一

NII-Electronic Library Service

　

　

　

　

　

　

卜

吃

　

　

　

　

　

　

　

　

ql

　 　

−

1

．

85

．

　　

〔

−

176 ）

　

・

　　

0

　　

1

．

O

　

　　　

　　

：

° a− ． ’

ρ

　 　 　 　

　　　　

a

・

●

　　　

避●

0

　　　　　　

°

　

・  

_％

ノ

縣

　

1

．

％

譜

　　 　 　　

鯨

　　

oD

P

　 　

−

　 　

＿．

購

・

言

一

4

・

O

P

−

4

・

o 石 C2

一

痴

／ ／

〔

_O 寸 O ↓ 　 　 N 寸

．

OI

4

。

％

0 0 2 」

2

一

₂

_．

_で3 　 　 　 （

一

一

261 ●o

き

1

−

2

．

37｝ 　 　 　 ● 　 　 　o σト● 　 　 oo 仇

　　

． ’

9

　　

0 κ 　● ● 　 　 　 ● 　 　 　 ●

　

q

姑

　　　　

・

％

v 　 o 　 o ●o 　 　．₀

∫

_》

／ ●　　　 　　　

〆

　 　 　 ／

P

　

り

　

牟

一

／ a

，−

4

_．

0　 　

−

2

．

0　 　 　2

．

O

＿

⊥

一

一

一

L

−＿

　　　（） 　

一

4

、

O

　 　

−

2

．

O

P

0　 　 　

2

，

0

一

a　　　　　　　　

へ

卜   0 占 南

_．

9

力

応 の

板

形

角

六 正 る よ に

性

弾

光

−

図

20

第

第

21

図

　

円弧 状 切 れ 込みのある板の上

．

．

ド

圧

縮

の応

力

　 　

b

＝

α／

2

　　　　　　

b

＝

α／

4

写 真

3

　

正方 形 板の上 下 圧 縮の等 色 線

（

明

視

野 ）

臣

懸

胛

購

＼

縄i 醗

_瞬

拓

＼

_、

認

　 　

b−・

a／

2

　 　　 　 　　 　　 　 　

b

＝

a／4 写

真

4

　

六角 形 板の三方 向圧縮の等 色 線 （明 視野｝ 　 　 　

一．27 −

　 　 　 N工 工

一

Eleotronio _Library

鮎 厂

一

ge

嵩

．

二

　 　

わ

＝

α

／

2

　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

b

＝

α〆4 写 真

5

　

円 弧 状切 れ 込 みのある板の上下 圧 縮の等 色 線 　 　 　 （明視 野 ） 14

P

P

P

o ● ● 1

工

．

7J

　 　 　 2　 　 　2　 　 　2　 　 　2

一

2

驚

灘

●

■

・

●

第

22

図

　

部 材 と 円 板のボル ト接 合

切

れ

込

み の

あ

る

板

が

，

上 下

に

圧 縮 を

う け た

時

の

_等

色

線

で あ る

。

第

21

図 はこの時の

応

力で あ る

。

こ の

_板

の

_{外 接}

す る

正

方形

を

求

め て

，

そ の

一

辺

を

2

α

〆

と し

，

内

接 円

の

半

径

を α と し

，

その

平 均

を

半径

と す る

円 板

と

考

える と

，

第

10

図の

_値

とほぼ

一

致 する

。

　

4．

荷 重 を板 内

に

う

け る

場 合

　

これ までは

荷 重

は

す

べ て

円板

の

外 周

に

加

わ る

も

の とし た。

実 際

は

，

外

の

部 材

が

円 板 内

に入 り

込

んでボル トや

溶

接

で

接 合 さ

れる で

あ ろ う

。

そ の

よ う

な

場 合

の

一

例 と

して

第

22

図

の

場 合

につ いて

有 限 要 素 法

で

応 力

を

求

め て み た

。

第

23

図

は_，

引 張

り，

圧 縮 交 互

に

荷 重

が

加

わ る 場

合

の

要

素

分

割

で あ る

。

第

24

図

は σ rの分

布

で あ る。 この

場

合

は

第

6

図

に

相 当

す る わ けで あ る が

，

θ

＝

0 線

上

の σ

。

は

，

ボ

ル トの は じ ま る

点

と

終

る

点

が

最 大

と な る が

，

第

6

図の

b

−

_a

_／

₄

の

_{場 合}

の

_半

_{分 以 下}

の

値

で あ る。 ま た

中央点

で は

小

さ な

値

であ る が

，

ゼロ で は ない

。

第

25

図 は σ θの 分

布

で ある

。

第

6

図の場

合

と よ く 似 た 形 で あ る が

，

その

値

は

1

／

2

以 下

で

あ

る

。

第

26

図

は τ

，

e で

あ

る

が

，

第

6

図

の

場 合

と よく

似

た

形

で あるが

，

その

値

は

約

20

％ 減 少

してい る。

　

こ の

場 合

の せん

断 応 力 最 大

o

．

SOP

／

a で

設 計

さ れ た と して

も

σr

，

σ eの

_{最 大}

は

1

．

35P

／

αで あ る から

，

許 容 応 力

の

rk

　

VT

_{を か け た}

0．

8

_×

_育

＝1．39

_{で あ}

Ol

　 t

安

全

で あ る

。

し か し

，

ボル トの配 置 な ど

，

いろい ろ

変

ること も

考

え る と

外 周

に

荷 重

の ある

，

第

6

図

の

値

ユ

．

1P

／

α で

設 計

さ れ るべ _{きで あ ろ う}

。

　 第

27

図

は

荷 重

が

全 部 引 張

りの

時

の

要 素

分

割

で ある

。

Nb

第

23

図

　荷重

の交 互 する場 合の要 素 分 割 1

．

5 sP

　

1

・

Q （）

，’

e7

　 ／

v

’

a

「

の eつ

，

尸

＼

へg

　

to Oう5Q 劉 　 0 o θ

み

IP

〆

〆

oう

一

’

．

　

　

　

　

　

1

−　

一

O

．

5 第

24

図

　

同σ r の分 布 （単 位 ；

P

／a

）

1

．

0

・

θ

＝

O 丶 x

・

論

ll

：

1

　 　 　 σo 　 　 　

／

レへ

、

　　　　　　　

tt／ ／

　　　

丶

　　　　　　　　　

／

　 　 　 　 　1

　　

　　

／

一

_詬

　 　 　 　

l

q21

　

／

　　　　　　　1

　　　　　　　

−一 」

θ

．

0 　 　 　 05

　　　　　　　

f

・

『

　 　 　 　

II

　 　 　

−

O

．

46 　　　　　　11

　　　　　　　 ’

第

25

図

　

同aeの分

布 （

単位

：P／a

_）

rt

’

e

o丿

ζ

黜

ρ

e

毒

e 　 　 　 F 

・

_o 　 　 　 co　 　 　 　

．

−

　

　

，＿

貧 ど

ご

ニ

ー

一

_。

啄

践 （

一

丿

eta° 第

26

図 　 同τ

，

θの分 布 （単 位 ；

P

／α）

一

₂₈

一

NII-Electronic Library Service

P

R

P

P

O

PBA

，

Xg

P

−

5P _B 　 　 　 2　 　 　 2 　 　 　 2　 　 　2

−

2 第

27

図　 全 部 引 張りの場 合の要 素分割 ss1

．

5 　 　 1

．

Osp 　 1

　

0b　5 ・

第

28

図

　

同σ r の分布

（

単 位：P／α） σ

・

　 　

一

／ y 　、

・

／

．

〆

　　　　　　

．

_箭

　　　 ／

／

　

_＿

_{一 ＿ ＿ ＿}

」

　 　 　 1

、

0

Qノ

匙

o ₀

_，

₅

第

29

図 同σeの分 布 〔単 位 ：

P

〆a

）

T

．

o

＼

丶 θ

iO

xD 05

6

る

毒

 

・ θ

毒

囓

　 　 　

8

　 　 　

1

　

π

　　　　

一

丿

一

和 θゴ冨 　 　 　 1 o

一

一

」

θ

y

° 第

30

図

　

同τ

，

eの分布 〔

単

位 ：

P

／a）

第

28

図

と

第

29

図

は

垂 直 応 力

の

_分布

で あ る。こ の

場 合 は

，

第

18

図

に

相 当 す

るわ けで あ る が

，

外

周

に

荷 重 が 加

わ る

場 合

と

比

べ て_， ボル ト

位 置

で

，

σr

も

σ_eも

応

力

が

低

い。

外 周

で は か な り

高

いが

，

第

18

図

の

値

の

1

_／

2

_以

_下

であ る

。

た

だ中 央

で は

高

い

_値

と なっ て い る

。

外

周の 力の

和

を

円周

で

割

っ た

値

では 危

険 側

にな る

。

こ れ は

_荷重

が

内

部

に

入 り

込

ん でい るの で，

小

さい

径

の

円 板

になっ てい る と

考

え ら れ る

。

この

場 合

L27 ／1

，

5

＝

O

．

85

である か ら

，

15

％

径

の

小

さい 円

板

と

考

え な け れ ば なら な い

。

こ の

_{場 合}

_，

ボル ト の

力

の

中

心

位

置

ま で の

円 板

と

す

れ ば

0．

75

αで あ る か ら

，

25

％ 径

が

小

さ く な る。 ボル

ト

の

配 置

はい ろいろで あ る か ら

，

安

全 を

見

てボル

ト

の

中

心 ま で を

径

と す る

小 さ

い

円

板

と して

計算

す

べ き だ

と思 う

。

　

第

30

図

は せ ん

断 応 力

の分

布

であ る。

分 布 状 態

は

第

18

図 よりな だら か となっ て い るが_，

最 大 値

は

近

い

値

で

あ

る

。

こ の

場 合

1

．

5

／

0

．

68

≡

2

．

2

＞

V

写

であ る か

ら

，

板 厚

は せ

ん

断応

力

で は なく

垂 直 応 力

で

決

定 さ れる

。

　 ま と め

　

円板

に

接続

す る

部 材

が

板 内

に 入 り

込

んで

接 合

さ れ るこ と を

前 提

と し て_，

　

外 力

が

引張

り

圧 縮 交

互のと き は せ ん

断 応 力

の

検 討

が

必

要

で

あ

る。 その

最

大

値

は

，1

個

所

の

荷 重 を

P

と

し

，

半

径

を α とすると_， 荷 重

4

_個

の と き

L27P

_／

a，

6

個

の と き

1

．

OP

／

α，

8 個

の と き

LIP

／

α

，

10

個

の と き

L2P

／

α で

あ

る

（

これ は

荷

重

が

内

_部

に

入

っ てい る

影 響 を無

視

し て い る の で

多

少安

全

側

で ある

）

。

　

外 力

が

_引

_張

り

，

ま た は

圧 縮 だ

けの

と

き は，

中央

の

垂 直

応 力

の

_検討

が 必

要

で あ る

、

その

応 力

は

外

力

の

総 和

を

円周

で

割

っ た

値

であ る が

，

外 力

が

板 内

に入っ て いる

場 合

は

実

際

の

_板

の

_半

_径

よ り

小 さ く

し ない

と 危 険

側

であ る。

多 少 安

全

側

で あ る が

，

外 力

の

中心 （ボ

ル トの

_中

心

）

まで を

半 径

と して円 周 を

計 算

す る

。

　

外 力

の

大

きさ が

違

う

場

合

に も，

上 記

二 っ の

場 合

の

組

み

合

わ せで

近 似 値 が 保

ら れ るので は ないか と

考

え る

。

　

多 角 形

の場

合

は_，

外

接 と 内 接の円の

_{半 径}

を

平 均

し た

_半

径

の

円 板 を

考

え る と， よい

近 似 値

が

得

ら れる

。

　 註

　1

＞

ティ モ シェ ンコ

，

グ

ー

ディヤ ：弾 性

論

，

金

多

他訳 （コ _ロ

　 　

ナ

社 ）

p

．

125

　　

倉 西 正 嗣 ：弾 性 号 複刻 版 （国 際理 工研 究 社

）

p

．

349

　 　

中 川 有三

，

小 林 虎男 ：

_「

周 辺 に

荷

重 を受け た る円板 内の内

　　

力

分

布

に就て」 機 械 学 会 誌

_，

昭和

7

年

8

月

　2

） 坪 井 善 勝：建 築 弾塑性 学

，

〔新 訂 建 築 学 大 系

，

彰 国 社

，

昭 　 　 和43年 ）p

．

63

　

3＞ 註

1

｝の 「弾 性 論」p

．

136

一 29 一

N工 工

一

Eleotronio _Library

SYNOPSIS

UDC:624.042:624.073

ON

STRESSES

OF

CIRCULAR

PLATES

LOADED

ON

CIRCUMFERENCES

by

ISAMU

TSUKAGOSHI

and

GENGO

MATSUI,

Dr.Eng.,

Members

of A. I.

J.

Circular

plates

are often used

to

connect a number of chords

for

steel space trusses,

Although

they

are

sub-jected

to

compressions andlor tensions on the circumferences, neither their stress

distributions

nor maximum

stresses arelavailable on any

handbeoks

or mannuals.

To

_provide

useful

data

for

design,

this

_paper

_discusses

_the

stresses

for

circular

_plates

by

Fourier

series expansion

technique,

By

.expanding

a external

load

distribution

to

a

Fourier

series and using

Airy's

stresg

function

in

the

polar

'

dinates

the

stresses are obtained.

For

two

tensile

and

two

compressive

loads'alternately

working on

the

_plate

as

depicted

in

Fig.1,

there

is

a

pure

shear with lt,=1.

27

Pla

at

the

center of

the

plate, providing

P

is

the

magnitude of

the

load

at one

_place.

For

external

load

distributions

shown

in

Figs,3,

5

and

7,

the

maximum shear stesses are

1,OPIa,

1.1Pla

and

1.2Pla,

respectively.

By

their

magnitudes

the

thicknesses

of

the

_plates

are

determined

in

structural

design.

Those

plates

simply submitted to tensions or compressions represented

in

Figs.9,

11

and

13

have

only small shear stresses, which are not

important

in

the

sense of

design.

The

normal stresses, a. and ae, at

the

centers are

obtained

by

dividing

the

total

magnitudes of

the

external

loads,

_£

P,

by

the

whole

lenghts

of

the

circumferences.

'

From

the

_photoelastic

experiments the stresses

for

_polygon

_plate

are

found

close to those

for

the ciicular

_plate

with

the

average radius of

the

inscribed

and circumscribed circles,

.1