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半導体の数理モデル

龍谷大学理工学部数理情報学科 T070059 田中元基 T070059 田中元基 T070117 吉田朱里 指導教授 飯田晋司 指導教授 飯田晋司

目次

第 章 半導体 流れる電流

目次

第５章 半導体に流れる電流 ５－１：ドリフト電流 ５－２：拡散電流 ５ ３ ホ ル効果 第１章 はじめに 第２章 数理モデルとは？ 第３章 半導体の性質 ５－３：ホール効果 第６章 接合の物理 ６－１：pn接合 ６ ２ ショットキ 接合とオ ミック接触 第３章 半導体の性質 ３－１：半導体とは ３－２：バンド構造 ６－２：ショットキー接合とオーミック接触 第７章 ダイオードとトランジスタ ７－１：ダイオードとは ７－２：代表的な他のダイオードの種類別構造 第４章 キャリア ４－１：状態密度 ４－２：量子統計 ７－２：代表的な他のダイオードの種類別構造 ７－３：ダイオードを使った簡単な電気回路 ７－４：トランジスタとは ７－５：代表的な他のトランジスタの種類別構造 ４ ２：量子統計 ４－３：p型半導体とn型半導体 ７ ５：代表的な他のトランジスタの種類別構造 ７－６：トランジスタを使った簡単な電気回路 第８章 まとめ 参考文献・参考サイト 参考文献 参考サイト

吉田

_田中

吉田

_田中

はじめに

はじめに

このテーマにした理由は、講談社出版の「高校数

学でわかる半導体の原理」に興味を持ったことが

きっかけである。特に、半導体が電気を通さなか

ったりすることが 興味深いものであり 性質を

ったりすることが、興味深いものであり、性質を

調べた。

数理モデルとは

数理モデルとは

大気中で空気抵抗を受ける物体の

大気中で空気抵抗を受ける物体の

落下運動

2 2

( )

= −

−

( )

モデル

d x

dx

m

t

mg

k

t

dt

dt

実際の現象

モデルの結果

k

比較

0 0

( )

= −

{(

+

)(

−

− +

1)

}

+

k t m

m

m

x t

v

g e

gt

x

k

k

比較

半導体とは

半導体とは

金属は電気を通し導体と呼ばれ ガラスは電気を通さず絶縁体と呼

金属は電気を通し導体と呼ばれ、ガラスは電気を通さず絶縁体と呼

ばれる。さらに、物質の中には電気を通したり通さなかったりする物

質があり、今日半導体といわれる物質である。半導体は、抵抗率が

電気を通す導体と電気を通さない絶縁体の中間の値を示す物質であ

るので、この呼び名がある。以下に、導体と半導体と絶縁体の抵抗

率の一覧を掲載する

率の

覧を掲載する。

抵抗率

主な物質

導体

金、銀、銅など

半導体

ケイ素 ゲルマニウム スズなど

8

10

−

Ω・

m

4 5

10

−

～

10

Ω

・

m

半導体

ケイ素、ゲルマニウム、スズなど

絶縁体

ガラス、プラスチック、木など

10

10

Ω

m

9

10

Ω・

m

バンド構造

ギ プ ギ

バンド構造

伝導帯

バンドギャップエネルギー 縦 軸

電子

伝導帯

軸 が電 子 の エ

禁制帯

g

E

エ ネル ギ ー

価電子帯

ー 2

K 2 10 eV



×

−

３００

室温

0.1eV ~ 3eV

半導体

eV

３

以 上

絶縁体

p型半導体とn型半導体

p型半導体とn型半導体

p型半導体は、正(positive)の電荷である

正孔

が多数あって電気

を流す半導体であり、n型半導体は、負(negative)の電荷である

電子

が多数あって、電気を流す半導体である。

p型半導体

n型半導体

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅶ

Ⅷ

H

H

半導体にまぜる不純物

H

He

Li

Be

B

C

N

O

F

Ne

Li

Be

B

C

N

O

F

Ne

Na

Mg

Al

Si

P

S

Cl

Ar

K

Ca

Ga

Ge

As

Se

Br

Kr

アクセプタ

ドナー

n型半導体のキャリア密度の近似

n型半導体のキャリア密度の近似

( )

_q

( )

E

n

=

∫

∞

f E D E dE

1

( )

C

E

D E dE

∞

∫

∫

( )

1

C F B

q

E

E

k

E

T

D E dE

−

=

+

∫

1

+

e

k T

B

:

E

_F

:

擬フェルミエネルギー

E

擬フェルミエネルギー

フェルミ・ディラック分布

ある ネルギ

_{を持 粒子が存在する確率ｆ( )}

あるエネルギー を持つ粒子が存在する確率ｆ(E)

1

1

( )

1

−

=

+

F B

E E

k T

f E

e

: : 　フェルミエネルギー 　絶対温度 F E T

1

+

e

B

0

=

T

T

=

300K

≈

27

℃

スピンも考慮した電子の状態密度

（単位エネルギ

単位体積あたりの状態の数）

（単位エネルギー、単位体積あたりの状態の数）

1

2m

₃

ネ ギ

2

1

2

( )

(

)

2

q

m

D E

E

π

=

=

:

:

E

=

エネルギー

　換算プランク定数

状態密度

D E

_q

( )

が

エネルギー

の平方根

に

q

E

_E

比例する。

n型半導体の各ドナー原子が全てイオン化している

場合の

擬フェルミエネルギー

場合の

擬フェルミエネルギ

( )

( )

D

N

n

f E D E dE

∞

=

∫

´

log

log

C F B E E k T

N

_D

e

− − ´

( )

( )

1

( )

C q E

f E D E dE

D E dE

∞

=

=

∫

∫

´

log

B

log

D e e C

e

N

E

E

N

=

´ 3

( )

1

8 2

F C B F q E E E k T E E

D E dE

e

−

+

∫

log

C F D e B C

E

E

N

k T

N

−

∴−

=

´ 3 * 2 3

8 2

(

)

B B C C F k T k T q C E E E

m

e

E E e

dE

h

π

_∞ − −

≈

∫

−

´

log

B C D C B F e

N

E

k T

N

E

∴

=

+

C F B E E k T C

N e

−

=

g

C B F e C

N

;

D

N

N

ドナー密度

伝導帯の実効状態密度

;

;

C C

N

E

伝導帯の実効状態密度

伝導帯の最低エネルギー

ドリフト電流

ドリフト電流

V

=

RI

* ( ) ( ) x x dv m t = −qE 運動方程式 * * ( ) ( ) 0 ( x x dv m v t m t + 運動方程式と運動量) 電界Eをかけたとき _{電界を取り去ったとき} ( ) _x ( ) m t q dt 運動方程式 * ( ) x ( ) x qE v t t m = − 　 電子の速さ E ( ) 0 ( x x m t dt + τ = 　運動方程式と運動量) ( ) t x d v t = v e−τ 2 * ( ) ( ) 2 x x qE l v t dt t m =

∫

= − 　　移動距離 * * ( ) ( ) 2 2 x x a qE t qE t v m m τ _τ = − = − 　　= ：平均緩和時間 　　平均速度 　 * ( * ) ( ) d x x q q v E E m m τ _{μ μ} τ = − ≡ − 　　= ：移動度 　　ドリフト速度 2m m 2 :電子の有効質量 電荷 * : m q 電界 : E

( ) d J = −qnv = qn E

μ

　　電流密度 ( ) V E L = 　　電界 ( ) I = JS　　電流 VS qn VS I L

μ

= ( ) L V = × 電圧I 半導体の長さ 半導体の両端の電位差 : : L V ( ) L qn R S μ = 抵 抗 ( ) V I qn Sμ = × 電圧 半導体の両端の電位差 半導体の断面積 : : V S qnμ S

拡散電流

拡散電流

( : ) ( ) q q q J qD n D x = ∂ ∂ 　　 拡散係数 　　拡散電流 ( ) q q x q J qn E qD n x

μ

∂ = + ∂ 　　全電流密度 ∂ x ∂ qEx q n x n

μ

= −D ∂ ∂ ( ) E_x = ∂φ (電界) x E = ∂ − 　電界 0 ( ) B q k T n n e φ = 　　マクスウェル ボルツマン分布−

φ

∂ ∂ ( ) _x B B q q n nE k T x k n x T

φ

∂ ∂ = − ∂ ₌ ∂ q _B D_{q k T} B q q μ = : : n x φ ∂ ∂ ∂ 静 電 ポ テ 密 度 勾 配 ン シ ャ ル : x φ ∂ 静 電 ポ テ ン シ ャ ル アインシュタインの関係

pn接合

pn接合

①p型半導体には正の電荷を帯びた正孔、n型半導体には負の電荷を帯びた電子 がそれぞれ多く含まれており、両者を接合すると正孔と電子が互いに拡散して 結びつく また このときに拡散電流が生じる 結びつく。また、このときに拡散電流が生じる。 ②キャリアが打ち消し合った結果、接合部付近に空乏層(キャリアが少 ない部分)が形成される。また、電子と正孔をそれぞれn型、p型領域へ 引き戻そうとする電位障壁が生じる。このとき、熱平衡状態でありフェルミ準 引き戻そうとする電位障壁が生じる。このとき、熱平衡状態でありフェルミ準 位が一定となる。このとき、ドリフト電流が生じると同時に拡散電流と釣り合 う。

x

< −

x

①

電子 型半導体の 密度 2 i p p p A

n

=

n p



n N

p

x

<

x

①

n

x

>

x

②

電子 正孔 電 型半導体の 密度 型半導体の 密度 型半導体の 子密度 p n p : : : p p n n n p 2 i n n n D

n

=

n p



p N

D qV p n

x

x

x

−

< <

③

半導体 密度 型半導体の 密度 アクセプタ密度 正孔 : : n n A n N p D B qV p n k T n p n _p e n p − = = N N ⎛ ⎞ ドナー密度 : D N 2 log D A ( ) D B i N N qV k T n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠  電位障壁の高さ

( ) = 電気的中性条件 A p D n N x_p N x φ :電位 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )φ ρ ( ) ε ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ _{= −} ∂ ∂ ∂ G G ポアソン方程式 r r x y z 2 D qN d V φ ε ρ 電荷 電 密度 誘 率 : : 2 D qN d V dx = − ε ( ) ( 2 ) (0 ) 2 D n n qN V x x x x x x ε = − − < ≤ 　 ,qN_D V ←φ ←ρ 0, 0 0 n dV x x x V dx = で− = = で = 2ε ( ) ( 2 ) ( 0) 2 A p p qN V x x x x x x ε = + 　 − ≤ < 2 2 ( ) ( ) q ( )( ) V V x V x N x + N x 電位障壁 dx 0, 0 0 p dV x x x V dx = − で = = で = ( ) ( ) ( )( ) 2 D n p D n A p V V x V x N x N x

ε

= − − = + 電位障壁

0 (

)

⎧

2

0 (

)

(

)

(

0 )

p A p p

x

x

q N

x

x

x

x

ε

< −

⎧

⎪

⎪

₊

₋

_<

_<

⎪⎪

　 　

2

(

)

(

)

( 0

)

2

D n D n

V

x

_{q N}

x

x

V

x

x

ε

ε

⎪⎪

= ⎨

−

−

+

<

<

⎪

⎪

2 2

(

) (

)

2

D n A p n

q

N

x

N

x

x

x

ε

⎪

⎪

₊

_<

⎪⎩

: n p型半導体の電子密度 ( ) : Cp Cn D V V E = E +q V − 順方向電圧

1

: : : p p n n p n 型半導体の 密度 型半導体の 密度 型半 電 p 子 正孔 導体の 子密度 p n 電

1

( )

1

Fn Cp B n _E E E q k T E E E E

n

D E dE

e

∞ −

=

+

∫

: n p n型半導体の正孔密度 3 * 2 3

8 2

(

)

Cp Fn Fn B B B Cp E E E E k T k T k T Cn C E

m

e

E

E e

dE

N e

h

π

_∞ − − −

=

∫

−

=

　

　

　

Cp Fp E −E − = B q k T n p V n n e qV B k T p C n N e − = = k TB p n p p e

正孔の電流連続の式

, p n x < −x x > x 電気的中性領域　 2 2

τ

(

)

∂

∂

Δ

=

−

Δ = −

∂

h

∂

　　　

n

p

p

p

D

p

p

p

t

x

2 2

τ

0

∂

−

−

=

∂

_h n

p

p

p

x

D

_h

( )

(

1)

n B qV x x k T D n n

p x

p e

τ

e

p

− −

=

− +

( )

, (

)

B qV k T n n n

p

∞ =

p p x

=

p e

　境界条件

(

,

)

∂

= −

< −

>

∂

　

　　

拡

散

電流

h h p n

p

J

qD

x

x x

x

x

( )

τ

(

1)

τ

− −

=

n B

−

qV x x k T h n D h

qD p

J

x

e

e

D

( )

(

1)

τ

τ

+

=

−

p B x x qV q p _D k T q

qD n

J

x

e

e

D

正孔による電流　

_{電子による電流}

qV

D n

D p

( )

(

)

(

k TB

1)

h n q p

J

s

J

=

J x

+

J

−

x

=

e

− 　

J

_S

q

(

D p

h n

D n

q p

)

D

τ

D

τ

=

+

まとめ

まとめ

名前だけしか聞 た とがなか た半導体が 内部

電子や

名前だけしか聞いたことがなかった半導体が、内部の電子や

キャリア、接合、電気回路まで理解できてよかったです。

特

講義 学 だ数

デ

磁気学を卒論

特に、講義で学んだ数理モデルや電磁気学を卒論に活かせた

ことが、とても光栄に思いました。

機会があれば、今回は数理モデルを中心に説明できなかった、

複雑な電気回路や集積回路も数値計算することでの分析だけ

でなく、実際に基板と電子部品を使い、設計や開発もしたいと

思います。