データの種類とデータの分布

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データの種類とデータの分布

統計基礎

の補足資料

2018年6月4日金沢学院大学経営情報学部藤本祥二

(2)

§2（教科書P.52）

データのばらつき

(3)

分布について

• データの分布

データ全体のばらつき具合（広がり具合）等の

全体的な様子

をとらえたもの

• 度数（頻度数）

ある項目，又はある値，又は範囲にデータが

どれくらい存在するのかを頻度で示したもの

• 度数分布

度数に関するデータ全体の様子

• 分布の特徴を，表やグラフや統計量を使って

明らかにすることが記述統計学の目的

(4)

§2.1（教科書P.53）

データの種類

(5)

データの種類

データは大きく分けて2種類

• 質的データ（category data，分類データ）

分類や種類の違い（カテゴリー）のデータ

例）国籍，血液型，好きな科目，趣味，…

• 量的データ（quantity data，数量データ）

数量で測れるデータ

例）身長，体重，気温，テストの点数，…

注意数字で書かれてるからと言って量的データとは限らない数値の大きさや順番，間隔などに意味があることが重要（電話番号などは数字で書かれてるが分類のための質的データ）

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更に細かな分類（統計検定２級相当）

• 質的データ

◦ 名義尺度（順番に意味がない分類）

好き・嫌い，男・女，好きな色，職業，血液型，…

◦ 順序尺度（順番に意味がある分類）

学歴，震度，５段階評価，優・良・可，松・竹・梅，…

• 量的データ

◦ 間隔尺度（数値の差に意味がある量）

摂氏温度，華氏温度，テストの点数，時刻，年齢，…

◦ 比例尺度（数値の差だけでなく比にも意味がある量）

長さ，重さ，速度，絶対温度，経過時間，…

(7)

§2.2（教科書P.55～77）

質的データの分析

(8)

質的データの分析

• 質的データの分布を調べる

• 項目ごとの度数（頻度，件数）を集計する

◦ 集計（教科書P.55の集計表，P62のクロス集計）

◦ 数え漏れ，数え過ぎ，をしないように注意

• 集計した度数から度数分布表や度数グラフを作

成する（度数の全体の様子が度数分布）

◦ 項目の順番に意味がないときは大きい順に並べる

◦ 大きく占める要因を知りたい時は累積度数を計算し

パレート図を作成する

(9)

データの集計（表2.2.1⇒表2.2.2）

日付時間学年組名前理由 12月1日 10:35 2年1組酒井はるこねんざ 12月1日 11:20 1年4組石田ななこ頭痛 12月3日 12:55 1年1組松井たかし腹痛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 理由に注目して集計保健室を利用した理由人数（度数）切り傷 ₅ すり傷 ₉ ねんざ 3 発熱 3 頭痛 12 腹痛 ₅ その他 ₃ 参考：画線法 - Wikipedia 日本，中国，韓国：ヨーロッパ，北米：スペイン語圏：

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図2.2.2～2.2.3

0 2 4 6 8 10 12 14 切り傷すり傷ねんざ発熱頭痛腹痛その他度数保健室を利用した理由 0 2 4 6 8 10 12 14 頭痛すり傷切り傷腹痛ねんざ発熱その他度数保健室を利用した理由 0 2 4 6 8 10 12 14 月曜日火曜日水曜日木曜日金曜日土曜日度数保健室を利用した理由（曜日別）横軸の順番に特に意味がないときは度数の大きい順に並べる（その他は度数の大きさに関係なく最後）横軸の順番に意味があるときはその順に並べる

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度数分布

• 度数（frequency）

その項目に存在するデータ数（頻度，件数）のこと

• 相対度数（relative frequency）

全体（総度数）に対するその項目の度数の割合

• 累積度数（cumulative frequency）

その項目までの度数の累積和

• 累積相対度数（cumulative relative frequency）

全体に対する累積度数の割合

• 度数分布（frequency distribution）

全項目の度数を眺めたもの（全項目の度数の様子）

この度数分布で全体の様子が把握できる

累積：累々と積み上げること相対度数の累積と考えても良い

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表2.2.5

球種度数累積度数相対度数累積相対度数ストレート ₁₅₆₀ ₁₅₆₀ _0.470 _0.470 スライダー ₈₁₄ ₂₃₇₄ _0.245 _0.715 カットボール ₃₃₉ ₂₇₁₃ _0.102 _0.817 チェンジアップ ₂₈₁ ₂₉₉₄ _0.085 _0.902 カーブ ₁₇₂ ₃₁₆₆ _0.052 _0.953 フォーク ₁₅₅ ₃₃₂₁ _0.047 _1.000 合計 ₃₃₂₁ _1.000 累積和累積和 281 3321 2994 3321 累積度数：その項目までの度数の累積和相対度数：度数の全体に対する割合累積相対度数：その項目までの相対度数の累積和累積度数の全体に対する割合

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松坂投手の球種の分布のパレート図

（図2.2.4）

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 ストレートスライダーカットボールチェンジアップカーブフォーク度数累積度数度数の目盛相対度数の目盛累積相対度数を見るとストレートとスライダーで全体の70%を占めることが分かる質的データの度数（棒グラフ）と累積度数（折れ線グラフ）を一緒に表示したものがパレート図度数の目盛3321を相対度数の目盛1（100%）に合わせる 3321

(14)

表2.2.4改

理由度数相対度数累積度数累積相対度数頭痛 ₁₂ _0.300 ₁₂ _0.300 すり傷 ₉ _0.225 ₂₁ _0.525 切り傷 ₅ _0.125 ₂₆ _0.650 腹痛 ₅ _0.125 ₃₁ _0.775 ねんざ ₃ _0.075 ₃₄ _0.850 発熱 ₃ _0.075 ₃₇ _0.925 その他 ₃ _0.075 ₄₀ _1.000 計 ₄₀ _1.000 パレート図を描くために，度数の大きい順に並べ替えて累積度数等を計算した

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表2.2.4のパレート図

0 0.25 0.5 0.75 1 0 10 20 30 40 頭痛すり傷切り傷腹痛ねんざ発熱その他度数累積度数度数の目盛相対度数の目盛累積相対度数を見ると腹痛までの要因で全体の75%を占めることが分かる質的データの度数（棒グラフ）と累積度数（折れ線グラフ）を一緒に表示したのがパレート図度数の目盛40を相対度数の目盛1（100%）に合わせる

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累積相対度数と帯グラフ

0 0.25 0.5 0.75 1 0 10 20 30 40 度数の目盛相対度数の目盛頭痛すり傷切り傷腹痛ねんざ発熱その他 0 0.25 0.5 0.75 1 帯グラフ帯グラフ（100%積み上げ棒グラフ）の境目は累積相対度数に対応

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§2.3（教科書P.78～129）

量的データの分析

今週§2.3.1（P.78）～§2.3.2（P.98）

§2.3.3以降は次週

(18)

量的データの分析

• 量的データは2種類ある

• 離散データ（discrete data，整数データ）

◦ 飛び飛びの値のデータ例）抜けた乳歯の本数、縄跳びを飛んだ回数 ◦ データ毎に集計し度数分布を調べ、グラフを描くグラフを描く際の横軸はデータの値の順に並べる

• 連続データ（continuous data，実数データ）

◦ 小数点以下いくらでも小さく半端な値を持つデータ例）身長データ，体重データ ◦ ○○以上○○未満の階級（class）に分けないと度数の集計ができない ◦ 度数分布のグラフでは棒と棒の間に隙間を入れない（棒の面積に意味があるため）このグラフのことを「ヒストグラム」という

(19)

量的データの分布の特徴

• ヒストグラムの特徴を分析（教科書P.84～89）

• 多峰性に注意

◦ 山の頂点が複数（多峰性）

異質の集団が混在してる可能性がある

• 単峰性の分布

◦ 分布全体のばらつき（広がり）具合

◦ 左右対称性（左右の歪み具合）

◦ 峰の尖り具合

• 外れ値の存在

◦ ミスの場合もあれば，重要なデータの場合もある

教科書の図を参照するように

(20)

単峰性（unimadal）データが集中してる部分（峰，山）が１つ多峰性（multimadal）２つ以上の峰異質の集団が混在してる可能性がある画像元：身近な統計第3回データのばらつきを表やグラフで要約する（量的データの場合）

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歪んだ分布（skewed distribution）右に歪んだ分布（右に裾を引く分布）外れ値（outliner）データの大部分が含まれる区間から, かけ離れたところに位置するデータ単なるミスの場合もあれば，重要なデータの場合もある画像元：身近な統計第3回データのばらつきを表やグラフで要約する（量的データの場合）

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表2.3.1の度数分布表（離散データ）

歩数[歩] 度数[人] 相対度数累積度数累積相対度数 0 4 0.143 4 0.143 1 6 0.214 10 0.357 2 10 0.357 20 0.714 3 5 0.179 25 0.893 4 2 0.071 27 0.964 5 1 0.036 28 1.000 計 ₂₈ _1.000

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図2.3.1

0 0.25 0.5 0.75 1 0 10 20 0 1 2 3 4 5 度数累積度数度数の目盛相対度数の目盛累積相対度数を見ると 2歩までで全体の75%を占めることが分かる数量データでは横軸は数量の大きさ順にする離散データの場合は棒の間を開ける度数の目盛28を相対度数の目盛1（100%）に合わせる 28 [歩]

(24)

表2.3.2の度数分布表（離散データ）

歩数[歩] 度数[人] 相対度数累積度数累積相対度数 0～5 1 0.025 1 0.025 6～10 7 0.175 8 0.200 11～15 16 0.400 24 0.600 16～20 9 0.225 33 0.825 21～25 5 0.125 38 0.950 26～30 1 0.025 39 0.975 31～35 1 0.025 40 1.000 計 ₂₈ _1.000

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図2.3.2

0 0.25 0.5 0.75 1 0 10 20 30 40 0～5 6～10 11～15 16～20 21～25 26～30 31～35 度数累積度数度数の目盛相対度数の目盛累積相対度数を見ると 20歩までで全体の80%を占めることが分かる数量データでは横軸は数量の大きさ順にする離散データの場合は棒の間を開ける度数の目盛40を相対度数の目盛1（100%）に合わせる [歩]

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連続データの扱い

No. 名前体重[kg] 1 吉永カナ 37.0 2 酒井愛 45.6 3 武田智 45.0 4 渡辺さえ 42.2 ⋮ ⋮ ⋮ 階級度数 10kg未満 10kg以上20kg未満 20kg以上30kg未満 30kg以上40kg未満 40kg以上50kg未満 50kg以上60kg未満表2.3.3 集計前のデータ • 各データが必ずどこか１つの階級に属するように隙間のない階級に分ける． • 20kgぴったりや，30kgぴったりのデータがどの階級に所属するのか意識して「以上」や「未満」などの言葉を使う．連続データ：小数点以下いくらでも小さく半端な値を持つデータ階級（度数を集計するための区間）に分けて集計

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表2.3.5の女性の体重の度数分布表

階級［単位kg］度数相対度数累積度数累積相対度数 10未満 0 0.00 0 0.00 10以上 20未満 1 0.05 1 0.05 20以上 30未満 5 0.25 6 0.30 30以上 40未満 8 0.40 14 0.70 40以上 50未満 5 0.25 19 0.95 50以上 60未満 1 0.05 20 1.00 合計 ₂₀ _1.00 ヒストグラムや累積度数グラフを作る際の注意 • 連続データの場合，隣の棒との隙間を開けない • 連続データの場合，累積度数は階級の境目に点を打つ連続データの度数分布の棒グラフをヒストグラム（histogram）という

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 4 8 12 16 20 0 10 20 30 40 50 60 70 度数累積度数

女性の体重のヒストグラムと累積度数

度数の目盛 _{度数の目盛20を相対度数の目盛1（100%）に合わせる} 相対度数の目盛累積相対度数と下の目盛で 40kg未満の人で全体の70%を占めてること等が分かる・単峰性・左右対称・35[kg]あたりが中心 [kg]

(29)

表2.3.5の男性の体重の度数分布表

階級［単位kg］度数相対度数累積度数累積相対度数 20未満 0 0.00 0 0.00 20以上 30未満 1 0.05 1 0.05 30以上 40未満 2 0.10 3 0.15 40以上 50未満 4 0.20 7 0.35 50以上 60未満 8 0.40 15 0.75 60以上 70未満 5 0.25 20 1.00 合計 ₂₀ _1.00

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 4 8 12 16 20 10 20 30 40 50 60 70 80 度数累積度数

男性の体重のヒストグラムと累積度数

度数の目盛相対度数の目盛累積相対度数と下の目盛でどの値までが全体の何％になるか分かる・単峰性・左の裾が長い・65[kg]あたりの頻度が高い度数の目盛20を相対度数の目盛1（100%）に合わせる [kg]

(31)

表2.3.7の50m走の度数分布表

階級［単位：秒］度数相対度数累積度数累積相対度数 7未満 0 0.000 0 0.000 7以上 8未満 2 0.001 2 0.001 8以上 9未満 306 0.198 308 0.199 9以上 10未満 772 0.498 1080 0.697 10以上 11未満 384 0.248 1464 0.945 11以上 12未満 72 0.046 1536 0.992 12以上 13未満 8 0.005 1544 0.997 13以上 14未満 3 0.002 1547 0.999 14以上 15未満 2 0.001 1549 1.000 合計 ₁₅₄₉ _1.000

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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 度数累積度数

図2.3.11

50m走のヒストグラムと累積度数

度数の目盛相対度数の目盛 11秒より遅い人は 5%に過ぎない上位20%の記録は 9秒を切っている度数の目盛1549を相対度数の目盛1（100%）に合わせる [秒] 1549 0.95

(33)

階級幅が等しくない時

階級［円］階級幅［円］度数 0以上2000未満 2000 5 2000以上4000未満 2000 15 4000以上6000未満 2000 25 6000以上8000未満 2000 7 8000以上10000未満 2000 5 10000以上20000未満 10000 10 階級階級幅度数 10000以上12000未満 2000 2 12000以上14000未満 2000 2 14000以上16000未満 2000 2 16000以上18000未満 2000 2 18000以上20000未満 2000 2 階級幅を揃えて度数を等分する表2.3.6 小遣いの度数分布表

(34)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 10 20 30 40 50 60 -2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 度数累積度数

図2.3.10

度数の目盛 _{度数の目盛67を相対度数の目盛1（100%）に合わせる} 相対度数の目盛［円］ 67