Ibaraki Univ.
最適化手法の体系と用語解説
茨城大学 宮下朋之
Ibaraki Univ.内 容
設計最適化
/
満足化の
概念・歴史
最適化問題の例
用語と数学的表現
最適性の条件
最適設計問題の例
最適設計の手順
最適化手法とその分類
各種の最適化手法
最適設計の現状と応用
多目的最適化と満足化
各種の最適化手法
Ibaraki Univ.はじめに
「最適化手法の体系と用語解説」とのことでし
て，最新の研究成果ではなく，入門的に考え
て資料を作成
ですので，極力に複雑な数式は省略してあり
ます．ある程度ご存知の方は内容に不足が
あると思います．
Ibaraki Univ.(a)
担当者の分野
(b)
担当者の所属
(c)
最適化設計を知っている
(d)
最適化技術に興味がある
(e)
最適化技術を使ったことがある
(f)
最適化技術を使った部位あるいは部品
(g)
最適化技術を利用しない理由
興味がある
205人
興味がない
3人
どちらとも言えない
33人
Ibaraki Univ.(a)
担当者の分野
(b)
担当者の所属
(c)
最適化設計を知っている
(d)
最適化技術に興味がある
(e)
最適化技術を使ったことがある
(f)
最適化技術を使った部位あるいは部品
(g)
最適化技術を利用しない理由
使ったことがある
134人
使ったことがない
104人
Ibaraki Univ.(a)
担当者の分野
(b)
担当者の所属
(c)
最適化設計を知っている
(d)
最適化技術に興味がある
(e)
最適化技術を使ったことがある
(f)
最適化技術を使った部位あるいは部品
(g)
最適化技術を利用しない理由
車体
44人
パワートレイン
44人
コンポ
43人
車両全系
19人
その他
21人
Ibaraki Univ.
(a)
担当者の分野
(b)
担当者の所属
(c)
最適化設計を知っている
(d)
最適化技術に興味がある
(e)
最適化技術を使ったことがある
(f)
最適化技術を使った部位あるいは部品
(g)
最適化技術を利用しない理由
ソフトが世にない
8人
ソフトが
身近にない
27人
ハードがない
5人
修得時間
24人
解析時間
11人
難しそう
23人
その他
22人
Ibaraki Univ.設計最適化
/
満足化の概念
何らかの指標が最も良くなるよう（最適）
/
ある程度の
水準を満たすように（満足）に各種の事項を決定す
ること．
表 最適化/満足化が活用されている学問領域と一例 新材料開発のための最適条件 材料・物質工学 港湾・道路・建築物に関連した設計・計画 土木・建築工学 航空機・ロケット・宇宙ステーションや関連機器の最適設計 航空宇宙工学 信頼性設計 信頼性工学 システムや機器の制御 システム・制御工学 機器の各種の設計 機械工学 データ分析と事象推定 気象・統計学 資金の運用法，経営戦略の決定など 経済・経営学 各種政策などの決定 政治・社会学 内 容 例 分 野 Ibaraki Univ.設計最適化
/
満足化の歴史
表 最適化/満足化の歴史 Ibaraki Univ.最適化問題の例
前提条件
決定すべき事項が変数として定義
良くしたい指標などが関数として定義
C0
級，
C1
級，
C2
級などの数学的仮定は説明は省略
0 5 10 15 200 10 20 30 -10 -5 0 5 0 5 10 15 20 Ibaraki Univ.最適化問題の例
多くの手法が繰り返し計算
初期点を与える
繰り返し計算の停止条件（
terminate condition
）
簡単な例：１変数ニュートン法
2 3 4 5 6 x 2 4 6 8 10 12 14 16 fHxL 2 3 4 5 6 x −15 −10 −5 5 10 15 f'HxL( )
( )
( )
( )
( )
( )
1'
''
i i i if
x
x
x
f
x
+=
−
( )
i1( )
ix
+−
x
≤
ε
Ibaraki Univ.用語と定義および数学的表現
設計変数（design variable）
定義：構造物の設計を決定する主要素
構造物の幾何学的形態
部材の断面形状
使用材料
建造方法
・・・
数学的表現：
定義域が連続領域か離散領域（集合）
{
1
,
,
}
T
n
x
x
=
x
Ibaraki Univ.
用語と定義および数学的表現
目的関数
(
objective function
)
定義：最小化あるいは最大化を目的する量
数学的表現：
目的関数
( )
f x
( )
1
( )
( )
T
m
f
f
=
f x
x
x
Ibaraki Univ.用語と定義および数学的表現
制約条件（constraints）
定義：構造物に所定の安全性や有用性を確保するため
に，状態変数や設計変数に付加される条件．
側面制約条件
(side constraints)
と挙動制約条件
(behavior
constraints)
や活性（
active
）や不活性（
inactive
）などの分類
数学的表現：設計変数の関数で表現される．一般に不等
式群で表現
等式は２つの不等式で表現
( )
=
{
g
1
( )
,
,
g
k
( )
}
≤
g x
x
x
0
i
i
i
x
≤ ≤
x
x
Ibaraki Univ.用語と定義および数学的表現
単一目的最適設計問題
制約条件下で単一の目的関数の最小化をするよ
うな設計変数を見つける問題
{
}
( )
( )
1
,
,
_
n
i
i
i
find
x
x
minimize
f
subject to
x
x
x
=
≤ ≤
≤
x
x
g x
0
Ibaraki Univ.用語と定義および数学的表現
多目的最適化問題
制約条件下で複数の目的関数の最小化をするよ
うな設計変数を見つける問題
{
}
( )
( )
1
,
,
_
n
i
i
i
find
x
x
minimize
subject to
x
x
x
=
≤ ≤
≤
x
f x
g x
0
Ibaraki Univ.用語と定義および数学的表現
収束条件（terminate condition）
定義：繰り返し計算を終了させる条件．いくつか
の条件が存在
数学的表現：
( ) ( )
( )
( )
1 1 2 1 3 i i i i i j i if
f
f
f
x
i
N
ε
ε
ε
+ +−
≤
∂
≤
∂
−
≤
≥
x
x
x
x
x
x
Ibaraki Univ.制約条件
g
j(X)=g
j(x
1, x
2)
<
0
(j=1, 2, …,k)
許容設計領域g
2g
1g
kg
4g
3２変数（２設計変数）
X={x
1, x
2}
T 図 設計変数空間x
2x
1用語と定義および数学的表現
許容設計空間（feasible domain）
定義：制約条件を満たす設計変数の集合
Ibaraki Univ.
用語と定義および数学的表現
感度
設計変数の変化に対する目的関数や制約条件の
変化の割合
最適化手法の主要な手法の一つの傾斜法を形成
感度の算出は差分計算により近似することも多い
( )
( )
( )
1 T n f f f x x
∂ ∂
∇ =
∂ ∂
x x x( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 n n nf
f
x
x x
f
f
f
x x
x
∂
∂
∂
∂ ∂
∇
=
∂
∂
∂ ∂
∂
x
x
x
x
x
Ibaraki Univ.最適性の条件
Karush-Kuhn-Tucker
条件（
1951
）
次式を満たす設計変数は最適解を与える
( )
( )
( )
( )
* * 1 * *0
0
0,
0
m j j j j j j jf
g
g
g
λ
λ
λ
=∇
+
∇
=
=
≤
≥
∑
x
x
x
x
∇gで形成される錐の内部にある ことを意味し，この状態の場合， x*の近傍には目的関数の値がよ り小さい設計変数は存在しない． Ibaraki Univ.最適設計の簡単な例(3-bar truss)
設計変数
制約条件
・応力制約
g
5= -
σ
1+
σ
1L< 0
g
6=
σ
1-
σ
1U< 0
g
7= -
σ
2+
σ
2L< 0
g
8=
σ
2-
σ
2U< 0
・断面制約
g
1= -x
1+ x
1L< 0
g
2= x
1- x
1U< 0
g
3= -x
2+ x
2L< 0
g
4= x
2- x
2U< 0
•
最適設計問題：制約条件を満た
す変数
X = {x
1, x
2}
Tの中で目的関
数
f(x) = M(x
1, x
2)
を最小とするものを
見い出す問題
•
満足化設計問題 ：
制約条件を満
たす変数
X = {x
1, x
2}
Tの中で次の
目的関数をさらに満足するもの
を
見い出す問題
M < M
S, u
j< u
jS( j = 1,2 )
外力 P 変位 u1 u2 L L L A B C D x1 x2 x1 θ θ(2) (1) (3)部材(1), (3)の断面積： x
1（対称性考慮）
部材(2)の断面積：x
2X = {x
1, x
2}
T応力制約（許容応力の上下限）
σ
jL<
σ
j<
σ
jU(j=1,2)
断面制約（寸法の上下限）
x
jL< x
j< x
jU(j=1,2)
質量 f(x) = M(x
1, x
2)
【
変位 u
j(x) ; ( j =1,2 )
】
目的関数
制約条件
定式化
Ibaraki Univ.予備知識
(a)
線形最適化問題と非線形最適化問題
問題
線形
非線形
制約条件
目的関数
設計変数の線形な条件
設計変数の線形式
設計変数の非線形な条件
設計変数の非線形式
(b)
連続系と離散系の最適化問題
問題
連続系
離散系
11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n mn n m m m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + ≤ + + + ≤ + + + ≤ f(x)=c x1 1+c x2 2+ +c xn n () ( ) 0 1,2, , jg
j
m
≤ = x ( )f x
条 件
例
設計変数が連続変数 設計変数が離散変数・一般の最適化
組合せ最適化、整数最適化、 位相最適化、規格材使用手順、 板取り、部材選択 {1, , ,2 } ( ) T n n i x x x x R = ∈ x 1, , ,2 ( ) l i i i i n i x x x x x D → ∈最適設計問題の分類
Ibaraki Univ.最適設計の手順
対象系のモデルと 解析 ①静的平衡条件式または 運動方程式等 ②解析 ③運動方程式 ･･････････････････ 最適設計問題の 定式化 ①最適設計のための モデル化 ②設計変数，制約条件， 目的関数の選定 ③問題の定式化 ･･････････････････ 定式化された 問題の前処理 ①スケーリング ②階層化， 部分問題化 ③変数変換 ･･････････････ 最適化計算 ①最適化手法の選択 ②既存のプログラム利用 またはプログラム作成 ③最適化計算による求解 ･･････････････････ 結果の検討 ①最適性の検討 ②最適解の挙動の検討 ロバスト性等の検討 他 ③制約条件，目的関数の 挙動の検討 ･･････････････････ (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅴ) (Ⅳ) (Ⅲ) 図2 一般的な最適設計の手順 対象系のモデルと 解析 ①静的平衡条件式または 運動方程式等 ②解析 ③運動方程式 ･･････････････････ 対象系のモデルと 解析 ①静的平衡条件式または 運動方程式等 ②解析 ③運動方程式 ･･････････････････ 最適設計問題の 定式化 ①最適設計のための モデル化 ②設計変数，制約条件， 目的関数の選定 ③問題の定式化 ･･････････････････ 最適設計問題の 定式化 ①最適設計のための モデル化 ②設計変数，制約条件， 目的関数の選定 ③問題の定式化 ･･････････････････ 定式化された 問題の前処理 ①スケーリング ②階層化， 部分問題化 ③変数変換 ･･････････････ 定式化された 問題の前処理 ①スケーリング ②階層化， 部分問題化 ③変数変換 ･･････････････ 最適化計算 ①最適化手法の選択 ②既存のプログラム利用 またはプログラム作成 ③最適化計算による求解 ･･････････････････ 最適化計算 ①最適化手法の選択 ②既存のプログラム利用 またはプログラム作成 ③最適化計算による求解 ･･････････････････ 結果の検討 ①最適性の検討 ②最適解の挙動の検討 ロバスト性等の検討 他 ③制約条件，目的関数の 挙動の検討 ･･････････････････ 結果の検討 ①最適性の検討 ②最適解の挙動の検討 ロバスト性等の検討 他 ③制約条件，目的関数の 挙動の検討 ･･････････････････ (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅴ) (Ⅳ) (Ⅲ) 図2 一般的な最適設計の手順 Ibaraki Univ.最適化手法とその分類
シミュレーティドアニーリング法 遺伝的アルゴリズム 乱数 乱数・多点 離散/
連続変数 なし/
非線形 非線形Particle Swarm
法 乱数・多点 連続/
離散変数 なし/
非線形 非線形 ニュートン法 最急降下法 準ニュートン法 傾斜投影法，共役傾斜法 一般縮約勾配法 可能方向法 逐次線形計画法 逐次２次計画法 ペナルティ関数法 双対法 感度２次 感度１次 感度１次 連続変数 なし 非線形 非線形 分枝限定法 離散/連続変数 シンプレックス法 カーマーカ法 － 連続変数 線形 線形 手法名称 戦略 設計変数 制約条件 目的関数Ibaraki Univ.
ニュートン法（
Newton Method
）
基礎式
( )
( )
( )(
) (
)
( )(
)
( )
( )
2 1 1 21
2
T i i i i i i l l i T if
f
f
f
f
−f
+≅
+ ∇
−
+
−
∇
−
= − ∇
∇
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
( )
( )
( )
( )
1 * 1 2 1 2 l l i T i i T if
f
f
I
f
α
γ
+ − −= +
= − ∇
∇
= − ∇
+
∇
x
x
s
s
x
x
s
x
x
修正ニュートン法 ニュートン法 目的関数を二次関数で近似しながら最小点を求める Hesse行列を求める必要 Ibaraki Univ.準ニュートン法（
quasi-Newton Method
）
基礎式
( )
1 * 1 l l l l l l T iH
H
H
H
f
α
+ += +
=
+ ∆
= − ∇
x
x
s
s
x
T l T l lH
H
H
σ
τ
∆
=
pp
+
yy
2 l T T l l TH
H
H
σ τ
σ
σ
+
+
∆
=
pp
−
yp
py
( )
( )
1 1 l l l l T T l f f Hσ
τ
− − = − = ∇ − ∇ = = p x x y x x p y y y Davidon-Fletcher-Powell公式 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno公式 Ibaraki Univ.最急降下法（
Steepest decent method
）
基礎式
( )
1 * l l if
α
+= +
= −∇
x
x
s
s
x
効率の悪いケース Ibaraki Univ.傾斜投影法（
Gradient projection method
）
基礎戦略
活性な制約条件上に探索方向を射影し活性な制
約条件を次々に通る
Df Z Wq x1 x2 x3 x(i) x(i+1)=x(i) v x(i) 1 g1 g2Z x
P x
x
P x
x
a f a f a f
=
a f a f
⋅∇
⋅∇
q qf
f
Wq x qx T g g =m1a f, , a fr Pq I U xq Uq x U x U x T q q T xa f
= −a f a f a f
⋅[ ⋅ ]−1⋅a f
Uq u uq T xa f
= 1, , uj j j n T g x g x =RS
∂∂ ∂∂T
1UV
W
, , Ibaraki Univ.傾斜投影法（
Gradient projection method
）
処理手順
Ibaraki Univ.
傾斜投影法（
Gradient projection method
）
探索の様子
Ibaraki Univ.
一般縮約勾配法（
Generalized reduced gradient method
）
定式化の変更
{
}
( )
( )
1,
,
, ,
1,
_
0
n m i i i jfind
x
x s
s
minimize
f
x
x
x
subject to
s
=
≤ ≤
≤
+ =
x
x
g x
s
0
{
}
( )
( )
1 1 *,
,
, ,
,
_
n m i i i i i ifind
y
y z
z
minimize
f
y
y
y
subject to
z
z
z
=
≤ ≤
≤ ≤
=
x
x
g
x
0
Ibaraki Univ.一般縮約勾配法（
Generalized reduced gradient method
）
縮約勾配の導出
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1,
,
,
,
,
,
0
n m i i i i j i T T y zf
f
df
dy
dz
y
z
f
d
f
dz
d
Cd
Dd
= =∂
∂
=
+
∂
∂
= ∇
+ ∇
=
+
=
∑
y z
∑
y z
y z
y z
y
y z
g y z
y
z
1 1 1 1 n m m n g g y y C g g y y ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 1 1 1 1 m m m m g g z z D g g z z ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ( )
,
(
T( )
,
T( )
,
1)
y z Rdf
y z
= ∇
f
y z
− ∇
f
y z
D C d
−y
≡
G d
y
Ibaraki Univ.一般縮約勾配法（
Generalized reduced gradient method
）
処理手順
． 初期点を定める た ， だし zはDが特異 にならないように定 める 停止条件を満たせ ば終了 独立変数を更新y=y+αs 縮約勾配を算出 一次元探索問題 min f(y+αs) ． ， を解きαを定める ただし 側面制約を ， 破る場合には 制約上になるようにα を定める 従属変数zの値を求 める Ibaraki Univ.可能方向法（
feasible direction method
）
基礎戦略
活性な制約条件が見つかった際に，目的関数を
改良し，実行可能領域に向く探索方向を副次的
な問題を解き決定する．
( )
( )
maximize
0
_
0
1
1
T T j j ifind
f
subject to
g
s
β
β
θ β
∇
+ ≤
∇
+
≤
− ≤ ≤
s
s
x
s
x
Ibaraki Univ.可能方向法（
feasible direction method
）
処理手順
Ibaraki Univ.
逐次線形計画法（
Sequential Linear Programming
）
基本戦略
目的関数および制約条件を線形近似し線形計画
法を適用する．
( )
( )
( )(
)
( )
( )
( )(
)
* *0
i i i i i i j j j i if
f
f
g
g
g
≅
+ ∇
−
≅
+ ∇
−
≤
− ∆ ≤ ≤ + ∆
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ibaraki Univ.
逐次２次計画法（
Sequential Quadratic Programming
）
基本戦略
目的関数を２次近似し制約条件を１次近似する．
( )
( )
( )(
) (
)
( )(
)
( )
( )
( )(
)
* 2 *1
2
0
T i i i i i i i i i j j jf
f
f
f
g
g
g
≅
+ ∇
−
+
−
∇
−
≅
+ ∇
−
≤
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x x
( )(
) (
) (
)
( )
i1
minimize
2
subject_to
T i i i i ifind
f
B
∇
−
+
−
−
≤
x
x
x x
x x
x x
g x
0
Ibaraki Univ.逐次２次計画法（
Sequential Quadratic Programming
）
処理手順
Ibaraki Univ.ペナルティ関数法
基本戦略
制約条件を目的関数に導入する際に制約を破る
場合にペナルティとして評価を悪化させる
( )
( )
( )
* 11
m i j jf
f
r
g
==
+
∑
x
x
x
( )
( )
(
( )
)
* 1max
, 0
m i j jf
f
r
g
==
+
∑
x
x
x
内点法（Sequential Unconstrained Minimization Technique） 外点法
Ibaraki Univ.
Simulated Annealing
法（
SA
）
基礎戦略
焼きなまし（
annealing
）される材料の結晶組織のエネル
ギー準位が最小化される現象を模倣
確率的なゆらぎを用いて局所的最適解から脱出し大域的
最適解への到達の可能性を高める
いくつかの用語
エネルギー
E
目的関数
f(x)
を表わす
温度
T
ゆらぎを制御するパラメータ
(
)
1
1 exp
/
p
E T
=
+
∆
-60 -40 -20 20 40 60 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ibaraki Univ.Simulated Annealing
法（
SA
）
処理手順
Ibaraki Univ.遺伝的アルゴリズム（
Genetic Algorithm
）
基本戦略
生物が持つ遺伝子による遺伝により生物が進化する
（ダーウィンの進化論）を模倣
複数の個体間の交叉や突然変異による遺伝子操作を繰
り返し，淘汰の過程より良い個体を残していく
①生物の多産性，②自然淘汰，③繁殖，④突然変異
多点探索，スキーマ保存定理
いくつかの用語
遺伝子
設計変数
x
より導出（コーディング）したビット列
特長
感度不要，離散変数の取扱いが可能
Ibaraki Univ.
遺伝的アルゴリズム（
Genetic Algorithm
）
フローチャート
Ibaraki Univ.
Particle Swarm Optimization
法
基本戦略
雁（設計変数）の群れの集団行動を模倣
特徴
多点探索，感度不要
設計変数更新式
( )
k
+
1
( )
k
( )
k
=
+ ∆
x
x
x
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
1 1 1 2 2 k k k personal best k global bestw
c r
c r
+ − −∆
=
∆
+
−
+
−
x
x
x
x
x
x
J.Kennedy, R.Eberhart, “Particle Swarm Optimization”, Proc. IEEE on Neural Networks, 1995
Ibaraki Univ.
Particle Swarm Optimization
法
処理手順
Ibaraki Univ.最適設計問題を解く際の留意点
使用するソフトにあわせた定式化
変数変換やスケーリング
不要な設計変数の除去
不要な制約条件の除去
階層化，分割化
Ibaraki Univ.スケーリング
量 数学的表現 スケーリング 設計変数 xi; (i=1, 2,･･･, )n xi=αixi; (i=1, 2,･･･, )n 制約条件 gj( ) ; (X j=1, 2,･･･, )k gj( )X=βjgj( ) ; (X j=1, 2,･･･, )k 目的関数 f X( ) f( )X=γf( )X 制 約 条 件 の感度 j i g x ∂ ∂ ; (j=1, 2,･･･, )k ; (i=1, 2,･･･, )n β α ∂ ∂ = ∂ ∂ j i j i i i g g x x ; (j=1, 2,･･･, )k ; (i=1, 2,･･･, )n 目 的 関 数 の感度 i f x ∂ ∂ ; (i=1, 2,･･･, )n j i i i g f x x γ α ∂ ∂ = ∂ ; (i=1, 2,･･･, )n Ibaraki Univ.感度の簡略計算
種類 基礎式 設計変数 xｊに関する感度の計算式 静的問題 [静的平衡条件式] KU=F K：剛性マトリックス U：変位ベクトル F：外力ベクトル [変位の感度]（Fもxjの関数の場合） 1 K K F;( 1, 2,, ) K K− ;( 1, 2,, ) ∂=∂−∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ −∂ = ∂ ∂ ∂ U F U F U j j j j j j j n x x x or j n x x x [実固有値の感度] ;( 1, 2,, ), ( 1, 2,, ) λ λ ∂ = ∂ −∂ = = ∂ ∂ ∂ T r r r r j j j K M U U r l j n x x x ただし T r r=1 U MU 動 的 問 題 固 有 値 問 題 [実固有値問題] r r (K−λM)U=O (r=1, 2, , )l r λ：r 次の固有値 r U：λrに対する固有ベクトル r =K−λM B とおき，すべての固有値が異なるとした場合， Bマトリクスの階数は l-1 Bの部分マトリクスを以下のように表現 11 12 r1 T r2 12b12 = B b U 0 U 0 b ここに B は(l-1)×(l-1)の大きさのマトリクス，b12は 1×(l-1) の列ベクトル，b22はスカラー量 [固有ベクトルの感度] ①第１の方法 r2 1 r1 11 11r1 12r2 12 j j j r j T T j r 2 jr r r r j j T r B b B b x x x x M x 2 MA x x 2 Ma − ∂ ∂ ∂ − + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ =∂∂ = − + ∂ ∂ ∂ − U U U U U U U UU U U ただし 1 1112 1 T 1 22 121112 1 11 1 12 11 11 j j j T 1 1 22 T 1 12 1 12 T 1 11 22 12 11 22 j 12 11 j j j B a B x x A b b b x x x x − − − − − − − − − − = ∂ ∂ − ∂ − ∂ = −∂∂ + ∂∂ −∂∂ + ∂∂ b b bBb B B b b b b bB B B ；(r=1, 2, , )l ( j=1, 2,, n )Ibaraki Univ.
最適設計の現状と応用例
実用的な最適設計は，詳細設計の部分に関して行
われているものが多い．その中でも部材等の寸法を
決定する，いわゆるサイジング問題（Sizing Problem）
と呼ばれる問題が多く扱われている．
設計の上流部に対する最適設計の実用例は少ない．
位相最適化問題も少しずつ，実用の域に入っている．
多領域の最適化問題に対する研究例，実用例が少
ない．
生産まで考慮した，あるいはコンカレントエンジニアリ
ング的な研究例，実用例は多くない．
Ibaraki Univ. ←→ 設計の流れ 実用面 研究面 最適化手法 ・AI -各種推論 -エキスパートシステム -オブジェクト指向 -エージェント指向 ・ニューラルネットワーク ・遺伝的アルゴリズム ・ファジィ推論 ・セルラーオートマトン 概念設計 基本設計 同上 ・数理計画法 ・最適性規準法 ・均一化手法 ・ニューラルネットワーク ・ファジィ推論 詳細設計 生産設計 同上 感性設計 最適構造形態設計 最適コンポーネント設計 形状最適化 コンカレントエンジニアリング 最適化機能付 CAD, CAE, FMS ロバスト設計 最適サイジングプログラム （部材のサイズ決定） 市販のプログラム FEM+数理計画法 ←→ 実用面 研究面 単一領域 多領域 ・セルラーオートマン 最適位相（レイアウト）問題 最適材料設計最適設計の現状
Ibaraki Univ.多目的最適化と満足化
多目的最適設計問題例 f1=f1(x1, x2) f2=f2( x1, x2) F={ f1, f2}T （目的関数） X={x1, x2}T gj(X )≤0 （設計変数） （制約条件） (j=1, 2, …, k) f1, f2 （最適設計問題） → Min f2 f1 Q (f1*, f2*) × A B C D (b) 目的関数の空間 x2 x1 0 g1 g2 g3 g4 × (x1 *, x 2 *) p (a) 設計変数の空間(x1, x2) 区間A-B 区間C-D f1とf2はトレードオフ関係 （いずれか減少他は増加） →Pareto(パレート）解 f1, f2ともに減少 区間B-C f2 f1 ˆ Q=( ˆf1, ˆf2) ˜ Q=( ˜f1, ˜f2) ˆf1 ˆf2 × × 理想点 満足化設計領域 (c) 理想点と満足点 Ibaraki Univ.多目的最適化問題（基本概念）
就職問題？！？！？ f
1：仕事(Work)
f
2：給料(Salary)
f
3：・・・
g
1, g
2, g
3,
・・・制約条件
f
2f
1F*(
理想点)
F (
満足点)
0
Pareto
解
満足解
Ibaraki Univ.制約条件
g
j(X)=g
j(x
1, x
2)
<
0
(j=1, 2, …,k)
許容設計領域g
2g
1g
kg
4g
3多目的最適設計問題と最適解
２変数（２設計変数）
X={x
1, x
2}
T 図 設計変数空間x
2x
1２目的関数
f
1(X)=f
1(x
1, x
2)
f
2(X)=f
2(x
1, x
2)
Optimum Solution Pareto Solution 図 目的関数空間f
2f
1f
2f
1 Ibaraki Univ.多目的最適化
/
満足化手法
重み付き
Lp
ノルム法
ε制約法
選好最適化法
Geoffrion-Dyer-Feinberg
の方法
SWT
法
IFW
法
ゴールプログラミング
満足化トレードオフ法
Ibaraki Univ. f (X) p ω = (i = 1
Σ
wifi(X) l ) p 1 / p 1≤p <∞ = Max wifi(X) p =∞f
2f
1f
2f
1lp
ノルム法
Pareto
解
f
w2 p=2max
φ
w 2重み付きlpノルム法
f
w1 p=1max
φ
w 1 maxw φ=C maxw 1 =Cf
*f
w p=∞max
φ
w Pの値 ノ ノノ 1 F=w f11+w f22+ ⋅⋅ ⋅ +w fee （ 線線線み付け， 式(1)） 2 2 2 2 1 1 22 = + + ⋅⋅⋅ +ee F w f w f w f （ r.m.s値） ∞ F= =Max w f{ }ii [チチ チチチ チ (Tchebyshev)ノ ノノ] Ibaraki Univ.用語と定義および数学的表現
選好関数（
preference function
）
定義：複数の目的関数間の優劣を単一尺度にす
る関数
数学的表現：
一般に存在を仮定することは困難
個人によって好みが異なる
( )
( )
V f x
Ibaraki Univ.目標計画法（
Goal Programming
）
定式化
(
)
( )
1minimize
ˆ
_
k i i i i i i i ifind
w d
d
subject to
f
d
d
f
+ − = + −+
−
+
=
∑
x
x
( )
(
)
( )
(
)
ˆ ,0
ˆ
, 0
i i i i i id
Max f
f
d
Max f
f
+ −=
−
=
−
x
x
fiは目標値，d+iは超過達成，d-iは不足達成 Ibaraki Univ.満足化トレードオフ法（
Satisficing Trade-off Method
）
定式化
f*iは希求水準，faiは理想水準( )
(
)
( )
* *,
minimize
_
0
1
a i i i j a i a i ifind
z
z
w
f
f
z
subject to
g
x
w
f
f
−
≤
≤
=
−
x
x
Ibaraki Univ.満足化トレードオフ法（
Satisficing Trade-off Method
）
処理手順
(
)
Improve(
)
1
i j j j j i if
w
f
N
λ α
w
∈λ α
−
∆ =
+
∆
+
∑
Ibaraki Univ.満足化
f
i(x) f
i(i=1, 2, …r)
x
X
満足Pareto解の中から意志決定解を選ぶ→満足化トレードオフ法
例：
f
1f
2f
A
B
C
≤
∈
２通りの設計仕様A，Bがともに満足解
しかしBの方があらゆる点でAに優れる
better
なものが他にあることがわかればbetterな方をとる
他にあるかどうかを助言するのが
DSS
の役目
better
なものが他にはないというところまで効率化をはかる
→ Pareto最適
Ibaraki Univ.
