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はじめに
シグナル インテグリティ問題を解決するには、複数の ツールを使ってシステムの挙動を解析するのが最善の 方法です。信号経路にアナログ/ デジタル (A/D) コン バータが存在する場合、基本的な3 つの方法で回路の 性能を評価できます。これら3 つの方法により、ADC の変換プロセスと、ADC と回路の他の部分の間の相互 作用を評価します。本書では、MXDEV™ ハードウェ アおよびMXLAB ソフトウェア開発ツールを使って全 てのデータを収集します。これら3 つの方法は周波数 解析(FFT)、時間解析、DC 解析テクニックを使います。 DC または静的解析により、システムの精度を評価し ます。オフセット誤差とゲイン誤差を評価する事によ り、信号クリッピングと絶対計測誤差の原因に関する 情報が得られます。また、システムの微分直線性と積 分直線性を調べる事により、信号のフルスケール レン ジに対する信号歪みのレベルに関する情報が得られま す。 その他の情報は、時間解析と周波数解析の組み合わせ により得られます。時間領域データにより、システム の問題 ( 信号変調または時間に対するドリフト等 ) を 素早く調べる事ができます。時間領域データでは問題 を特定できなくても、周波数領域での評価によって重 大な問題を見つけ出せる場合があります。 周波数領域の評価により、ノイズ源またはライン周波 数の影響あるいは信号経路内のアナログおよびデジタ ル回路の問題を素早く見つけ出せます。 高速フーリエ変換(FFT) ツールは、この種の離散化シ ステムのAC 性能を周波数領域で解析するために使い ます。フーリエ級数の理論は複雑ですが、応用は簡単 です。フーリエ変換は、全ての信号( 波形 ) は 1 つま たは複数の正弦波をそれぞれ適切な振幅、周波数、位 相で合成する事により再構成できるという前提に基づ きます。 例えば、矩形波は以下のフーリエ級数から再構成でき ます。sin(x) + 1/3 sin(3x) + 1/5 sin(5x) + 1/7 sin(7x)... 図 1 に示す通り、この級数の各項を順番に加算する事 で、基本周波数の正弦波(sin(x)) は矩形波に近付きます。 フーリエ変換の結果は、X 軸を周波数 (Hz) とし Y 軸を 正弦波の振幅(dB) とするグラフで示されます。 FFT は、離散フーリエ変換 (DFT) を使って高速に計算 できます。DFT は、それぞれの信号の総和を活用した 信号の離散数式です。高調波間の関係を取り除く事で、 フーリエ級数の項の加算はより一般化されます。この 方法により、全ての信号を評価できます。 図1: 矩形波は、基本周波数の正弦波に奇数次の高調波を加算する事により再構成できます。
Author: Bonnie C. Baker
Microchip Technology Inc.
a square wave can be made by adding...
the fundamental
plus 1/3 of the third harmonic
plus 1/5 of the fifth harmonic
plus 1/7 of the seventh harmonic
高速フーリエ変換
(FFT) の活用法
注意: この日本語版文書は参考資料としてご利用ください。最
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図2: FFTプ ロットの基本要素 : 入力信号の基本周波数成分 (A)、信号ヘッドルーム (B)、 信号/ノ イズ比 (C)、スプリアスフリー ダイナミック レンジ (D)、平均ノイズフロア (E)FFT プロットの読み方
FFT プロットは、A/D の出力から周期的に多数のデジ タルサンプルを収集する事により生成します。一般的 に、A/D コンバータのデータシートに記載されている 代表性能曲線は、コンバータの入力でシングルトーン / フルスケールのアナログ信号を使って計測されます。 これらの条件の下で、コンバータのフル ダイナミック レンジが評価されます。このデータは、図2 と同様の プロットに変換されます。このプロットの周波数ス ケールは必ず線形であり、レンジは0 ～ 1/2 サンプリ ング周波数です。A/D コンバータへの入力信号の時間 領域プロットを図3 に示します。 振幅軸(Y 軸 ) のスケールは 0 を最大値とします。ス ケールの最小値( 負の値 ) は、コンバータのビット数 とFFT計算に含まれるサンプルの数によって決まりま す。A/D コンバータがアナログ入力信号からフルス ケール出力を生成した場合、FFT プロット上の振幅は 0 dB です。フルスケールより小さな振幅は、以下の式 によりデジタルコードに変換できます。 DOUT : デジタル出力コードの 10 進表現。DOUTは最も 近い整数に丸められます。 MAGNITUDE : FFT プロットから読み取った振幅 (dB)VOUT (RTI) : DOUTをアナログ入力電圧と同じ単位に変
換した値。この値は RTI ( 入力換算 ) であ り、アナログ入力電圧VINの近似値です。 n : A/D コンバータのビット数 FSR は、アナログ フルスケール入力レンジ ( 単位は V) です。 図2 には、FFT プロットから読み取れる 5 つの重要指
入力信号の基本周波数成分
図2 の FFT プロットは、MCP3201 (12 ビット A/D コ ンバータ) を使って生成しました。MCP3201 のサン プリング周波数は75 kHz (クロックレートは1.2 MHz) です。アナログ入力信号の基本周波数は36 kHz です ( 図 2 の A)。このプロットは、MCP3201 から取得し た4096 個の 12 ビットワードから生成しました。入力信号のヘッドルーム
図2 では、MCP3201 に入力した信号の基本周波数に 最も高いピーク(A) が現れています。この入力信号が コンバータでデジタルコードに変換されます。この試 験では、コンバータの入力レンジを可能な限り有効に 使って入力信号を変換しています。図2 では、基本周 波数の振幅(A) は、フルスケールに対して -0.5 dB ( フ ルスケールの94.4%) であり、コンバータ出力にはヘッ ドルーム(B) が残されています。このため、コンバー タのオーバードライブ( 信号クリッピング ) は発生し ません。信号クリッピングが発生すると、FFT プロッ トに基本周波数以外のスプリアスが現れ、信号が歪ん だ事が分かります。 -130 -120 -110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 0 10000 20000 30000 40000 50000 Frequency (Hz) Amplit ude (d B ) VDD = VREF = 5V FSAMPLE = 100ksps FINPUT = 9.985kHz4096 points A: Fundamental Input Signal Magnitude
B: Headroom = -0.5 db
C: Signal-to-Noise Ratio = 72 db
D: Spurious Free Dynamic Range = 78.5 db E: Average Noise Floor = -107 db
F: First Harmonic Magnitude = -79 db G: Second Harmonic Magnitude = -89 db
A C D E F G B DO U T = 2n–1 10 MAGNITUDE 20 VO U TRTI = DO U TFSR 2 n
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図3: この時間領域信号を MCP3201に 入力して得られた 4096個 のデジタル出力から図 2の FFTプ ロッ トを生成しました。信号
/ ノイズ比
信号/ ノイズ比 (C) により、A/D コンバータにおける ノイズを評価できます。信号/ ノイズ比 (SNR) は計算 値です。この値は、ノイズ電力に対する信号電力の比 を表します。SNR の理論的限界は 6.02n + 1.76 dB で す (n はコンバータのビット数 )。理想的な 12 ビット A/D コンバータの SNR は 74 dB です。FFT による SNR の計算には、全てのピークとノイズフロアが含まれま す。 LSB は、1 LSB あたりの電圧です。 FFT の SNR の計算には、各種ノイズ源からのノイズ が含まれます。ノイズ源にはA/D コンバータの量子化 誤差、A/D コンバータの内部ノイズ、参照電圧からの ノイズ、A/D コンバータの微分非直線性誤差、駆動用 アンプからのノイズが含まれます。スプリアスフリー
ダイナミック レンジ
スプリアスフリー ダイナミック レンジ (D) は、システ ム内の歪みの大きさを示す指標です。スプリアスフ リー ダイナミック レンジ (SFDR) は、入力信号の基本 周波数ピークと最も高い高調波ピークの差(単位はdB) として定義されます。 A/D コンバータの非直線性によって生じるピークは、 入力信号の基本周波数 (A) の整数倍の周波数 (B、E、 F、G) で生じてしまいます ( それらがエイリアシング によって生じたピークでなければ、Asin(bx))。エイリ アシングによるピークは、以下の周波数で発生します。 fINTERFERENCEは、高周波干渉の推定される周波数で す。 K は、正の整数です。 fSAMPLEは、A/D コンバータのサンプリング周波数 です。 fALIASEDは、FFT グラフに現れる折り返し信号の周 波数です。 一般的に、基本周波数の整数倍の周波数に現れるピー クは、A/D コンバータ内の誤差によって生じます。そ れ以外のピークは、他のデバイスまたは外部のノイズ 源によって発生します。 A/D コンバータによって基本周波数以外のピークが発 生する場合、コンバータがある程度の積分非直線性を 有している可能性があります。これらのピークは、信 号源またはコンバータを駆動するアンプによっても生 じます。その場合、これらのピークの周波数は基本周 波数とは無関係です。駆動用のアンプが原因である場 合、クロスオーバー歪みが生じているか、A/D コンバー タを適切に駆動できないか、帯域幅が不足している可 能性があります。回路の他の部分( デジタルクロック 源、AC 電源等 ) から注入されたノイズも、FFT プロッ トにピークとして現れます。 SNR = rms signal rms noise LSB2n–1 2 LSB 12 = 6.02n+1.76dB = fAN681
平均ノイズフロア
図2 の平均ノイズフロア (E) は、ビット数と FFT に 使ったサンプル数によって決まります。これはA/D コ ンバータの性能とは無関係です。A/D コンバータの ビット数に関係なく、評価する必要のあるピークより もノイズフロアが低くなるようにサンプル数を選択す る必要があります。 M : FFT で解析するデータサンプルの数 ENBW : ウィンドウ関数の等価ノイズ帯域幅 n : A/D コンバータのビット数 12 ビット コンバータの場合、FFT のための適切なサ ンプル数は4096 です。 FFT 計算からは、もう 2 つの興味深い仕様値 ( 全高調 波歪み (THD) と SINAD 値 ) が得られます。THD は、 入力信号の電力に対する高調波成分( ピーク ) の電力 のRMS 和の比です。式 1 を参照してください。 A/D コンバータの積分非直線性誤差の影響は、通常 THD 値に顕著に表れます。Microchip 社は、THD の計 算に5 次までの高調波成分を含めています。 SINADは、SNRとTHDのから下式により求まります。 式1: 全高調波歪み (THD) の計算式 図4: SCX015 圧力センサの出力電圧を計装用アンプ (A1 と A2) で増幅した後、2 次ローパスフィルタ (A3) と A5 でフィルタ処理 / 増幅 / レベルシフトし、12 ビット A/D コンバータ (A4) でデジタル値 に変換します。 AverageFFTNoiseFloor(dB)=6.02n+1.76dB +10log3MENBW SINAD = –20log 10–SNR 10 +10+THD 10 THD RMS 20log 102ndHAR 20 2 103rdHAR 20 2 104thHAR 20 2 ... + + +input
signal power
---= A1 RG R2 R1 R1 R2 R1 R2 VDD SCX 015 SCK SI CS 68.1 k 10 k A5 35.7 k R1 = 30 k R2 = 10 k RG = 1.15 k R3 = 95.7 k R4 = 172 k R5 = 304 k C1 = 0.22 µF C2 = 0.22 µFA1 = A2 = A3 = Single Supply, CMOS op amp A4 = 12-bit, A/D SAR Converter
A5 = 10 k Digital Potentiometer
Level Shift Voltage and Offset Adjust
A4 and A6 can be replaced with a PICmicro that has
an on-chip A/D converter A3 PIC 16C6xx A4 A2 -1/2 MCP602 + Instrumentation Amplifier 2nd Order Butterworth Low Pass Filter
R1 C2 R5 R3 R4 C1 VDD = 5V MCP3201 SCLK DOUT CS A6 R2 MCP41010 -1/2 MCP602 + -MCP606 +
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FFT を使った問題の解決法
図4 に、12 ビット A/D コンバータ MCP3201 を使っ た代表的な圧力検出用アナログ信号経路を示します。 こ の 例 で は、抵 抗 ブ リ ッ ジ を 構 成 す る 圧 力 セ ン サ (SCX015) に電源電圧 VDD が供給されます。これによ り、センサの出力端子間に微弱な差動電圧が生じます。 この差動電圧は、圧力に対して6.0 mV/psi ( 公称値 ) の感度で変化します。センサ出力の差動電圧は、計装 用アンプ(A1 と A2 で構成 ) によって増幅されてから、 2 次ローパスフィルタ (A3) に入力されます。フィルタ を通過した信号は、12 ビット A/D コンバータ (A4) で デジタル信号に変換された後に、マイクロコントロー ラ(A6) で処理されます。電源ノイズ
多くの場合、電源はアプリケーション回路のノイズ源 となります。通常、電源ノイズは能動デバイスの電源 ピンから注入されます。図4 の回路の出力から生成し たFFT プロットの例を図 5 に示します。この例の場 合、計装用アンプ、参照電圧、A/D コンバータにバイ パス コンデンサを実装していません。また、A1 と A2 の非反転入力は、どちらも低ノイズのDC電圧源 (2.5V) とします。結果として、FFT プロットに基本入力周波 数のピークは現れません。しかし、高調波成分を含む 他の信号成分がプロットに現れています。 回路を詳しく調べると、FFT プロット上のノイズの原 因はスイッチング電源である事が分かりました。この ため、チョークコイルとバイパス コンデンサを回路に 追加しました。1 個の 10 μF コンデンサを電源に追加 し、3 個の 0.1 μF コンデンサを能動素子の電源ピンの できるだけ近くに追加しました。その結果を図7 のヒ ストグラムに示します。回路を変更した事で、ノイズ 源が信号経路から取り除かれた事が分かります。ヒス トグラムを使ったのは、１つのコードをFFT プロット から生成する事はできないためです。 図5: 図 4 の回路で計測した FFT プロット。電源にノイズが注入されています。これは、MCP3201 A/D コンバータからのデータによるFFT プロットです。AN681
図6: 図 5 の FFT プロットで回路に注入されていたノイズを時間領域で表示した波形です。
図7: 図 5 の FFT プロットに現れたノイズは、アナログ電源のチョークコイルとバイパス コンデンサに より取り除かれました。
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外部クロックからのノイズ
クロック源または回路内のデジタル スイッチングも システムノイズの原因となります。この種のノイズが 変換プロセスに関係がある場合、変換処理に影響は生 じません。しかし関係がない場合、その影響はFFT 解 析で容易に判別できます。 クロック信号ノイズの例を図8 の FFT プロットに示し ます。この例では、図4 の回路にバイパス コンデンサ を実装しています。図8 の FFT プロットには、基板上 のクロック信号による影響が1900 Hz 近傍に見られま す。この基板は、トレース間のカップリングに配慮せ ずにレイアウトしています。このFFT プロットは、そ のような不注意なレイアウトの影響を示しています。 この問題は、基板のレイアウトを変更して、高インピー ダンスのアナログトレースをデジタル スイッチング トレースから遠ざけるか、A/D コンバータの前のアナ ログ信号経路にアンチエイリアシング フィルタを実 装する事により解決できます。 ランダムなトレース間カップリングを見つけるのは、 容易ではありません。そのような場合、時間領域解析 の方が効果的かもしれません。 図8: この FFTプ ロットは、回路のデジタル部からアナログ信号経路に注入されたクロックノイズを示 しています。AN681
アンプの不適正な使用法によるノイズ
例として、図4 の回路で計装用アンプの非反転入力に 1 kHz の AC 信号を注入します。この信号は、図 2 の 圧力センサ回路の特性とは異なりますが、アナログ信 号経路内の他のデバイスの影響を示すために、この信 号を使います。 この条件での、回路の性能を図9 の FFT プロットに示 します。基本周波数成分が歪んだために、多数の高調 波ピークが現れています。 この歪みは、扱える可能振幅を少し超えて増幅した為 に発生しています。この問題は、帯域幅を拡げるため にアンプのゲインを下げ、より大きな電流を駆動する 事により解決します。 図9: この FFT プロットは、図 4 の回路で A/D コンバータの前の駆動用アンプで発生した歪みを示して います。AN681
周囲からのノイズ
多くの工業環境では、周囲から放射されたノイズが回 路の各所でカップリングします。多くの場合、このカッ プリングは不適切に実装された差動ラインで発生しま す。以下の例では、圧力センサへの2 本のワイヤの取 り回しを変更しています。周囲ノイズ( この場合ライ ン電圧) は、これらのワイヤで容易にピックアップさ れます。図10 の FFT プロットは、60 Hz の整数倍の 周波数で複数のピークを示しています。 この問題は、センサへの2 本のワイヤを撚り合わせる 事で容易に解決できます。 図10: この FFT プロットは、図 4 の回路に対する周囲ノイズの影響を示しています。AN681
まとめ
A/D コンバータの性能は、メーカーが提供する FFT プ ロットによって示されます。これらのプロットは、ア プリケーションに適したコンバータを選定するために 役立つだけでなく、組み込みアプリケーションで発生 した問題を解決するための手掛かりにもなります。 FFT は、アナログデバイスの性能に対するノイズの影 響や電源ノイズの問題を調べるために役立ちます。 しかし、FFT では問題を解決できない場合もあります。 そのような場合、時間領域解析およびDC 解析ツール が役立ちます。参考資料
http://www.tek.com/Measurement/App_Notes/fft/ http://www.bores.com/qedesign/tech/Crook, Cushing, “Sources of Spurious Components in a DDS/DAC System”, RF Design, April 1998, pg28 Marven, Craig, Ewers, Gillman, “A Simple Approach to Digital Signal Processing”, John Wiley New York Baker, Bonnie, “Using Single Supply Operational Amplifiers in Embedded Systems, AN682, Microchip
Technology, Inc., 1998
Baker, Bonnie, “Anti-aliasing Analog Filters for Data Acquisition Systems, AN699, Microchip Technology,
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