図形の拡大・縮小場面における大学生の面積判断―面積の乗法性に着目させる教授の効果―

(1)

図形の拡大・縮小場面における大学生の面積判断―

面積の乗法性に着目させる教授の効果―

著者

佐藤誠子

雑誌名

東北教育心理学研究

巻

11 ページ

21-29

発行年

2009-03-25

URL

http://hdl.handle.net/10097/00121898

(2)

図形の拡大・縮小場面における大学生の面積判断

一面積の乗法性に着目させる教授の効果-佐藤誠子

(東北大学大学院教育学研究科)

問題と目的

面積には、互いに直交する縦の距離×横の距離で決まるという性質(乗法性)があり(堀部， 1971;大津， 1981， 1982)、このことはどのような図形の面積にも成り立つ大きなルールとして存在している。にもかかわらず、このルールは学習者にとって十分には意識されていないようである。例えば、複数の平面図形の面積比較において定性的な判断が求められると、児童は「底辺(横)と高さ(縦)Jには着目せずに、図形の周長がより大きい方が面積は大きいと判断したり、図形の周長が同じ場合には面積は同じと判断したりすることがある(細谷， 1976;工藤・白井， 1991)。また、面積を規定する変数である「縦と横」に着目できても、適切な判断がなされない例も示されている。Andersonand Cuneo (1978)によると、 5歳児は、長方形の面積の大小を判断するとき「縦×横」のルールで、はなく、「縦+横」のルールに従って判断してしまうと推測されている。さらにLeon (1982)によると、7歳児は、対角線に基づく一次元の拡がりを指標として長方形の面積判断をしてしまうと推測されている。これらは、面積の乗法性が理解されていないために出現するものであると考えられる。面積学習において、面積の乗法性を意識させ、それを適用した解決が行われるためにはどのような教授法が効果的であるのかを検討する必要がある。本研究で取り上げる課題は、図形の拡大・縮小場面における面積判断課題である。図形を拡大・縮小すると、それらは相似な図形となる。相似図形の面積については「相似比m nならば面積比m2:nうというルールが成り立つ。すなわち、図形の拡大・縮小場面に当てはめると、「図形を k倍すると面積はk2 倍になるJ(以下、「面積の2乗倍ルーノレ」と呼称)ということである。このルールは、面積が「縦× 横」によって求められることから導かれるものであり、平面上のどのような図形の面積にも成り立つ。しかし、拡大図形の面積について、「図形をk倍拡大したら、面積もk倍になる」とする誤判断がみられることが先行研究より明らかになっている(VanDooren，DeBock，Hessels

，

J

anssens，&

Verschaffel， 2004)0 Van Dooren et al. (2004)は、この誤判断は「どんな量の関係も一方がk倍になると他方もk倍になる」とする線型ルールに起因していると想定した。その考えは、日常経験において広く適用可能で役立つものとして存在する。例えば、「今、 30分歩いて 2km進んだ。ということは、同じベースで 60分歩いたら 4km進める」などと予測することがそうである。それゆえ、拡大図形の面積の場合にもそうした比例関係が成立するとみなされてしまい、上記のような誤判断がなされると考えられている。そこで、 Van Dooren et al.(2004)は、 8年生を対象に、この誤判断の修正を目指した教授実験を行ったところ、幾何図形の面積問題への線型ルール適用による誤判断は減少した。しかし一方で、なお線型ルールを誤適用し続ける者や、逆に、比例関係が成立する問題(図形の周長)に線型ルールを適用しなくなってしまった者もみられた。誤判断の要因と想定された線型ルールの面積への過剰適用を否定することで、「相似図形の面積比は辺の長さの比と同じで、はない」ことは把握される。しかし、「相似図形の面積比は辺の長さの比の2乗に等しい」ことを理解させるには、そもそも面積概念の中核である「縦×横」という乗法性を捉えさせる必要があるだろう。この性質を最も簡潔に表しているのは長方形の求積公式であるが、それを他の図形に拡張できるか否かが適切な面積判断の鍵となると思われる。相似図形の面積の学習においても、面積の乗法性をいかに捉えさせるかが重要となるのである。

-21-さて、相似図形の面積の2乗倍ルールについて、小学校での既習事項を用いた説明としては、次のような2種類の教授法が挙げられる。一つは、拡大前の図形を拡大後の図形に敷きつめることで2乗倍ルールを示す方法で、ある(以下、「図形操作」とする)。これは、長方形や三角形など、 k倍拡大した図形の中に拡大前の図形がピ個敷きつめられることから説明可能なものである。もう一つは、「面積=縦× 横」という公式の変数を操作して2乗倍ルールを示す方法である(以下、「公式操作」とする)。これは、縦と横をそれぞれk倍すると、(縦Xk)X (横Xk)= (長方形の面積)Xピとなることから説明可能なものである。面積学習

(3)

では「縦×横」の概念を様々な図形の面積に拡張できるか否かが鍵となることを踏まえると、面積の 2乗倍ルールについての説明は、どちらがより効果的であろうか。長方形の整数倍拡大場面では拡大後の図形に拡大前の図形を隙間なく敷きつめられるため、学習者は直観的には変形前の図形の敷きつめで面積を理解している可能性がある。図形の敷きつめで面積の 2乗倍ルールを捉えた場合は、正方形、長方形、平行四辺形、三角形など、変形前の図形(以下、基準図形)が拡大後の図形内に敷きつめ可能であればノレール適用に納得し解決できる。しかし、台形、多角形や不規則図形(曲線で固まれた図形)では、基準図形を拡大後の図形内に敷きつめることができないため、図形操作による理解で、はルール適用に確信が持つことができないと思われる。一方、公式は「縦×横」という面積の乗法性を明瞭に表したものlである。公式の変数操作によって2乗倍ノレールを捉えた場合は、公式から「縦方向」と「横方向」の変化が強調されることで、面積が2次元に拡がる量であることが理解できるだろう。そうすれば、拡大図形内に基準図形を敷きつめられない規則図形でも、まず求積公式があれば変数を操作して面積比較が可能になる。そして、縦・横の変化による面積変化が抽象的に捉えられることによって、不規則図形の面積に対しても適切な判断がなされる可能性がある。面積は客観的に存在している実在量であり(遠山・長妻， 1963)、それに関するルールはどのような図形の面積にも当てはまる、ということの理解は、適切な面積概念として重要である。以上のように想定すると、適切な面積概念形成のためには、公式操作による教授が望ましいと思われる。本研究では、①学校教育で面積学習を経た大学生においても、図形の拡大・縮小場面における面積判断課題において2次元の方向を考慮しない誤判断がみられるかを確認すること、そして、②ルールを説明する際に操作する表象の違い(公式・図形)によって、学習者の問題解決の様相が異なるかどうかを検討することを目的とする。仮説学習者に形成される知識表象は、提示される学習材料の様式に依存するだろう。それゆえ、図形操作によって面積の 2乗倍ルールが説明されれば、拡大前の基準図形の敷きつめ個数の変化として面積変化が捉えられるだろう。一方、公式操作によってルールが説明されれば、縦と横の 2次元の方向の変化として、面積変化が高い抽象度で捉えられるだろう。結果の予想 (1)敷きつめ可能な規則図形では、公式操作、図形操作とも正判断の割合は同程度であろう。 (2)敷きつめ不可能な規則図形および不規則図形では、公式操作の方が正判断の割合が高いだろう。

方法

1.対象者私立A大学生 57名(公式操作群 29名、図形操作群 28名) が対象者となった。 2.手続き実験は、2007年 10月下旬に講義の時間の一部を借りて行われた。所要時間は20'"30分であった。 10ページからなるクリップ留めの質問紙冊子 (A4判)が角型2号の封筒に入った状態で、配布された。解答の際、前のページに戻って答えが修正されるのを防ぐために、1ページごとに、解答が済んだら冊子から抜いて順次封筒に戻してもらう形式で行った。最初に実験者が質問紙冊子の扱い方について説明した後、学習者各自のベースで解答が進められた。

T

l

a

b

l

e

l

面積に関する知識測定項目

①長方形の面積を求める式は，

r

縦×横」だ。

(0)

②平行四辺形の面積を求めるには，底辺と高さの長さをかけあわせればよい。

(0)

③三角形は， 3辺の長さがわかれば，面積は求められる。

(0)

④面積を求める公式がない図形(ハート形など)は，面積を求めることができない。(

x)

⑤台形の面積は，結局は長方形の面積を求める式から導くことができる。

(0)

⑥ひし形の面積は，平行四辺形の面積を求める公式でも求めることができる。

(0)

⑦平行四辺形の底辺が一定の場合，高さが小さくなると，面積は小さくなる。

(0)

⑧できるだけ大きい面積の三角形を描くには，底辺と高さをできるだけ長くすればよい。

(0)

⑨同じ面積の平行四辺形でも，形が違うことがある。

(0)

⑩図形が合同ならば，必ず面積は等しい。

(0)

⑪図形の周りの長さが大きいと，面積は必ず大きくなる。(

x

)

⑫円は，直径が大きくなると面積も大きくなる。

(0)

( )内は，正答を表す。

(4)

-22-3.冊子の構成フェースシート (1ページ) 解答の際の諸注意を記載した。所属、学年、学籍番号(二重解答防止および真剣に取り組ませるため)を記入させた。面積に関する知識測定項目(2ページ) 学習者のもつ面積についての知識を測定するために用いた。Table1の12項目について、面積に関して適切だと思うものには

O

を、適切でないと思うものには×を、わからないものには?を記入させた。このうち、①、②、③は「求積公式J(③はヘロンの公式のことを示している)、④は「面積の基本概念J(図形があれば面積は存在すること)、⑤、⑥は「図形と公式との関係」、⑦、⑧は「公式の変数関係」、⑨、⑩、⑪、⑫は「図形と面積との関係」についての知識を問うように作成した。「コピー機での拡大・縮小」の意味の説明 (2ページ) 以後のテスト課題で、拡大コピー・縮小コピーという方法で相似図形を作り出す状況を設定するため、「拡大コピー・縮小コピーが、何を拡大・縮小しているのか」について説明した。具体的には、例を 2つ提示し、線分を縮小(拡大) コピーするとその「長さ」が変わるということを図とともに提示した。例①は原稿上で10cmの線分を縮小コピーでO. 70倍 (70%)にすると長さが7cmになるという状況、例② は原稿上で10cmの線分を拡大コピーで1.50倍 (150%)にすると長さが15cmになるという状況であった。事前テスト問1(3ページ、不規則図形・小数倍縮小課題) 不規則図形(アメーパ形)を縮小コピーで0.73倍 (73%)にしたとき、縮小コピーする前(図形A)と後(図形B)の図形の面積を比較させた。解答は選択式による

(

4

択)。また、その判断理由も記入させた。図形Aは図示したが、視覚に頼った判断を防ぐために図形Bは示さず

r?J

と表した(Figure 1)。問

2(

4

ページ、台形・小数倍拡大課題) 四角形(台形) を拡大コピーで1.20倍 (120%)にしたとき、拡大コピーする前(図形A)と後(図形B)の図形の面積を比較させた。解答は4択(問1と同様)で求め、その判断理由も記入させた。図形 Bは図示せず

r?

Jと表した (Figure1)。問

3(

4

ページ、三角形・小数倍縮小課題) 三角形(鋭角三角形)を縮小コピーで0.90倍 (90%)にしたとき、縮小コピーする前(図形A)と後(図形B)の図形の面積を比較させた。解答は4択(問1と同様)で求め、その判断理由も記入させた。図形

B

は図示せず

r

?

J

と表した(Figure 1)。学習セッション(5ページ) 相似図形における相似比と面積比についての説明を文章と図で示した(Appendix参照)。く公式操作群> 長方形を2倍 (200%)に拡大する前(長方形A)と後(長方形B)の面積比について、「長方形の面積=縦の長さ×横の長さ」の求積公式を用いて、変数を操作することで面積の変化を説明した。 r(縦の長さx 2) x (横の長さx2)

=

(縦の長さ×横の長さ)x 2 X 2Jとして示した。三角形を2倍に拡大する前と後の面積比も、「三角形の面積=底辺×高さ-;-2Jの求積公式を用いて同様に説明した。なお、拡大前、拡大後の図形は図示してあった。最後に「相似形において、もとの図形を 1とすると、 n倍に拡大した図形の面積は

n

2

倍になる。相似比 1:

n

ならば、面積画面 ( 正答は 12J) 下のような図形

A

があります。図形

A

を縮小コピーで0.73倍 (73%)にしたものを図形Bとします。さて，このときの図形

A

と図形

B

の面積を比べてください。当てはまるものに

O

をつけてください。また，そう思った理由も書いてください。

ワ

縮小

図形

A

0.73倍 (73%)

図形

B

1. Bの面積は. Aの面積の0.73倍のはずだ 2. Bの面積は. Aの面積の0.73倍より小さいはずだ 3. Bの面積は. Aの面積の0.73倍より大きいはずだ 4. 具体的に面積を求められないから，わからないー画亘 ( 問題文は問1と同様。正答はほJ)

v

ワ

拡大 1.20

イ

音

(120%)

図形

B

図形

A

ー画副 ( 問題文は問1と同様。正答は也J) / ¥ ~ーゾ

ワ

/ ¥ 縮小

一図形

A

0.90倍 (90%)

図形

B

- 函喧 ( 問題文は問1と同様。正答は 12J)

む ?

縮小 0.81倍 (81%)

図形

A

図形

B

Figure1

事前テスト問

1，2， 3

および

円べ U つ臼

(5)

比1:I12」というルールとしてまとめた。く図形操作群> 長方形を2倍 (200%) に拡大する前(長方形A)と後(長方形B)の面積比を、長方形Bに長方形 Aを 4つ敷きつめた図を示して説明した。同様に、三角形を2倍に拡大する前と後の面積比も、拡大前の図形を拡大後の図形に敷きつめることによって説明した。最後に「相似形において、もとの図形を1とすると、 n倍に拡大した図形の面積は

n

z

倍になる。相似比1: IIならば、面積比1・

d

」というルールとしてまとめた。事後テスト 1 問

4(

6

ページ、平行四辺形・整数倍拡大課題) 相似の平行四辺形(図形 A:図形 B= 1 : 5) を提示し、図形 Aの面積が10のときの図形 Bの面積を求めさせた。解答は記述式であった(正答は r250J、Figure2)。問5(6ページ、四角形・整数倍拡大課題) 相似の四角形 (図形A:図形B

=

1 : 3)を提示し、図形Aの面積が10のときの図形Bの面積を求めさせた。解答は記述式であった (正答は r90J、Figure2)。問6(7ページ、不規則図形・小数倍縮小課題) 不規則図形(葉形)を縮小コピーで0.81倍 (81%) にしたとき、縮小コピーする前(図形A)と後(図形B)の図形の面積を比較させた。解答は4択(問 1と同様)で求め、その判断理由も記入させた。図形Bは図示せずr?Jと表した (Figure 1)。

ー唖旦

下のような相似図形AとBがあります。図形Aと図形B の相似比は， 1: 5です。図形 A の面積が 10のとき，図形Bの面積を求めてください。

ζ

フ

図形A (面積 10) 図形B (面積は?) ー層圏 ( 相似比は図形A:図形 B=l:3である。問題文は問 4と同様。)

ム

図形 A (面積10) 図形B (面積は?) Fi思lre2 事後テスト問 4，5の提示図形水平・垂直方向異倍率での拡大・縮小コピーの説明

(

7

ページ) 問7、8では、図形を水平方向・垂直方向それぞれ異なる倍率で拡大・縮小コピーする状況を設定した。その説明のために、直角をなす2線分(横 10cm，縦10cm) を水平方向に1.20倍 (120%) に拡大、垂直方向に 0.70倍 (70%) に縮小すると、長さが横12cm縦 7cmとなるという例を図とともに提示した。事後テスト

2

(発展問題) 問

7(

8

ページ、不規則図形・小数倍異倍率変形課題) 不規則図形(花形)をコピー機で水平方向に0.90倍 (90%) に縮小・垂直方向に1.10倍 (110%)に拡大する前(図形A) と後(図形B)の図形の面積を比較させた。解答は選択式による (4択 :1.Bの面積と、 Aの面積は同じはずだ /2. Bの面積は、Aの面積よりも小さいはずだ/3.Bの面積は、 Aの面積よりも大きいはずだ/4.具体的に面積を求められないから、わからない)。また、その判断理由も記入させた。図形A、図形Bともに図示した(正答は r2J、Figure3)。問8(8ページ、台形・整数倍異倍率拡大課題) 四角形(不等脚台形;図形

A)

をコピー機で水平方向に2倍 (200%) に拡大・垂直方向に3倍 (300%)に拡大した後の図形を図形Bとし、図形Aの面積が10のときの図形Bの面積を求めさせた。解答は選択式による

(

4

択 :1.

B

の面積は、 30になるはずだ/2.Bの面積は、40になるはずだ/3.Bの面積は、50になるはずだ/4.

B

の面積は、60になるはずだ)。また、その判断理由も記入させた。図形A、図形Bともに図示した(正答は r4J、Figure3)。問

9(

9

ページ、逆操作課題) r花子さん」が星形の型紙を作っている状況を設定した。もとの星形の2倍の面積をもっ星形を作るには、もとの図形をおよそ何倍の倍率でコピーすればよいかを求めさせた。解答は記述式で、小数第 1位までの数字で答えさせた(正答は r1.4J)。

ー画回

し

i

t >iM

"

O

>

~

"

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)

- 水平方向に 0.90倍 (90%) ¥.J 図形 A 垂直方向に1.10倍 (110%) 図形 B

厘函回

てフ

国ゆ ¥ / 水平方向に 2倍 (200%) ¥_一一一_ j 図形 A _{垂直方向に 3倍 (300%)} _図形_B (面積10) _(面積は?) Figure3 事後テスト問 7，8の提示図形 A せ

っ

山

(6)

結果

1.面積に関する知識項目面積に関する知識12項目の正答率をTable2に示す。①、 ⑫ではほとんどの学習者が正答したが、一方、③、⑤、⑪ では正答率が低く、項目によって正答率が異なった。これら12項目の合計正答数は、公式操作群8.79 (S D= 1.70)、図形操作群8.54(S D = 1.55)であり、群聞に有意な差はみられなかった。よって2群を等質とみなす。 Table2 面積に関する知識項目の正答者数 ( % ) 群 ¥ 項目

①

② ③ ④ 29 20 10 23 公式操作(29名)(1;;.0)

(60) (35)

₍₇₉_.₃₎ 28 19 11 20 図形操作(28名)

(1;~.0) (6;~9) (4~~3)

(71.4) ⑤ ⑥ ⑦ ③ 10 22 24 25 公式操作(29名)

(3~~5)

₍₇₅_.₉₎₍₈₂_.₈₎₍₈₆_.₂₎ 9 23 23 23 図形操作(28名) (3;.1)_{(82.1) (82.1) (82.1)} ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ 25 23 15 29 公式操作(29名)

(8~~2)

₍₇₉_.₃₎₍₅₁_.₇₎ ₍₁₀₀_.₀₎ 26 19 12 26 図形操作(28名)

(9;~9)

₍₆₇_.₉₎₍₄₂_.₉₎₍₉₂_.₉₎ 数字は人数， ( )内は%を表す。

2 .

事前テスト群を統合した全体の事前テストの結果をTable3に示す。解答をみると、正答は少なく、どの問でも rB (拡大・縮小後)の面積は、 Aの面積に図形の拡大(縮小)倍率をかけたものに同じ」とする誤答が半数以上を占めた。また、「具体的に面積を求められないからわからない」とする者は、 Table3 事前テストにおける解答人数(%) 問1 間2 問3 解答(Bの面積は) (不規則) (台形) (三角形)

A

の面積に図形の披汰備制、) 30(52.6) 40(70.2) 32(56.1) 倍率をかけたものに同じ A の面積に図形の拡大~判、) 倍率をかけたものより小さ詔皇1.1) 1(1.6)

2.五鐙並

し、 Aの面積に図形の拒汰拘官小) 倍率をかけたものより大き 4(7.0) 16(鐙.1) 3(5.3) し、具体的に面積を求められな 10(17.5) 0(0.0) 1(1.6) し、から，わからない無答 1(1.6) 0(0.0) 0(0.0) 数字は人数， ( )内は%を表す。下線部が正答。曲線で固まれた図形である不規則図形(問1)の面積判断においてややみられた。

3 .

事後テスト各群における事後テスト問4"-'問9の正答者数をTable 4に示す。なお、問9で、は小数第1位までの数字で答えるものであったが(正答は r1.4J)、「占」、 r1.41Jも答えとして正しいものであるため正答とした。問 4"-'問 8ではいずれも公式操作群の正答率がやや高い。問ごとに、各群の正答者数の比率についてが検定を行った結果、いずれの聞においても群聞に統計的な有意差はみられなかった。ただしTable4の結果は、事前での成績を考慮していないため、事前で正答していた者も含まれている。そこで次に、事前テスト3聞において3問とも誤答を示した者を対象として分析を行う。そのような者は公式操作群16名、図形操作群15名であり、そのうち事後テスト各問の正答者数はTable5に示す通りであった。問ごとに、各群の正答者数の割合を比較したところ、問6において有意差がみられ、公式操作群の正答者数の割合が高いことが示された(x2₍₁₎₌ 5.49

，

pく.05)。 Table4 各群の事後テストの正答者数(%) 問4 間5 群¥問 (平行四辺形) (四角形) 公式操作(29名) 17(58.6) 17(58.6) 図形操作(28名) 15(53.6) 14(50.0) 問 7 問 8 (不規則異倍) (台形異倍) 公式操作(29名) 4(13.8) 20(69.0) 図形操作(28名) 2(7.1) 15(53.6) 数字は人数， ( )内は%を表す。問6 (不規則) 17(58.6) 13(46.4) 問 9 (逆操作) 5(17.2) 5(17.9) Table5 事前誤答者における事後テストの正答者数(%) 群¥問公式操作(16名) 図形操作(15名) 問 4 問 5 (平行四辺形) (四角形) 8(50.0) 8(50.0) 8(53.3) 7(46.7) 問 6 (不規則) 11(68.8)合 4(26.7) 問 7 問 8 問 9 (不規則異倍) (台形異倍) (逆操作) 公式操作(16名) 2(12.5) 10(62.5) 1(6.3) 図形操作(15名) 1(6.7) 7(46.7) 3包0.0) 数字は人数， ( )内は%を表す。 *pく.05

考察

本研究では、図形の拡大・縮小場面における大学生の面積判断について、次の2点が明らかになった。①大学生においても2次元の方向を考慮しない誤判断がみられた。② 事前誤答者に対して、図形操作よりも公式操作による説明 F h d ヮ “

(7)

の方が、不規則図形の縮小場面における適切な面積判断を促進させる効果があった。よって、仮説に基づく結果の予想は一部支持されたといえる。事前誤答者を対象とした事後テストの結果、規則図形の整数倍拡大場面(問 4、問 5)では適切な面積判断の割合に群差はみられなかったが、不規則図形の縮小場面(問 6)では公式操作による説明の方が高成績で、あった。今回の実験で、学習セッションで提示されたのは敷きつめ可能な規則図形(長方形、三角形)の整数倍の拡大である。図形の拡大を基準図形の敷きつめによって理解していた場合、敷きつめ可能な図形の整数倍拡大という状況であれば敷きつめ方略によって解決できるが、そもそも小数倍縮小・拡大という場面では、図形の敷きつめでは対処できない。そうした問題状況では、面積を、図形の種類によらない、面の縦・横の拡がりとして抽象的に捉える必要がある。このような理解を促進させる効果は、公式操作の方が優れていたと考えられる。ただし、敷きつめ不可能な四角形の整数倍拡大という問題状況(問5)では、図形操作でも公式操作でも同程度の正答率で、あった。仮説における想定と異なり、そのような問題状況において差が生じなかったのは、両群の学習セッションにおいて長方形だけでなく三角形も例示されていたためであると考えられる。多角形は三角形に分割可能であるため、多角形それ自体では敷きつめられなくても三角形に分割して考えれば敷きつめ可能になるのである。そうしてルールが適用できる事例が拡がったため、三角形に分割できる規則図形では、図形操作でも面積の2乗倍ルールの適用が促進されたと思われる。加えて、学習後のルール適用についてさらに吟味するため、発展問題として位置づけた事後テスト2の問題、すなわち不規則図形の小数倍異倍率変形(問 7)と台形の整数倍異倍率拡大変形(問 8)と逆操作(問 9)の結果も用いて考察する。これらは、面積の乗法性が理解されていれば解決可能な問題である。台形の整数倍異倍率拡大変形(問8)の問題の正答率は、問7や問9のそれに比して高かった。この間では、規則図形の整数倍でどちらの方向にも拡大しているという状況が学習段階と同様であったため、学習されたルールの原理(すなわち、2乗倍ルールの基となる面積の乗法性)が活'性化されやすかったと思われる。一方、不規則図形の小数倍異倍率変形(問 7)と逆操作(問 9)の問題では、どちらの群においても正答率は2割にも満たなかった。このような問題において適切な課題解決が可能になるには、2乗倍ルールそのものの理解のみならず、どのような図形に対しても面積に関するルールが適用で、きることに納得できるような学習が必要になると思われる。以上、本研究の目的に沿って考察してきたが、今後さらなる検討を要することとして以下の2点が挙げられる。まずーっは、評価問題の設定の仕方についてで、ある。本研究で焦点を当てていたのは、敷きつめ可能な規則図形だけでなく、敷きつめ不可能な規則図形や不規則図形でも面積の 2乗倍ルールを適用した問題解決が可能かどうかということで、あった。そのため、評価問題は、主に図形の種類(敷きつめ可の規則図形、敷きつめ不可の規則図形、不規則図形) の違いによって配列されていたが、その変形の方向(拡大、縮小)、変形倍率(整数倍、小数倍)の組み合わせについてはシステマティックではなかった。例えば長方形に関して、整数倍拡大という場面では、長方形を敷きつめられるが、小数倍拡大・縮小という場面では、長方形でも図形を敷きつめることができない。事後で問うていたのは、敷きつめ可・不可図形の整数倍拡大と、不規則図形の小数倍縮小で、あった。そのため、公式操作、図形操作の教授の違いによる課題解決の様相について、さらに踏み込んだ検討ができなかった。変形方向(拡大・縮小)や倍率(整数・小数) を統一する、もしくは、今回用いた課題に加えて不規則図形の整数倍拡大課題や敷きつめ可能な図形の小数倍縮小(拡大)課題を用意することで、ルール適用事例の範囲拡大などについて込み入った考察が可能となると思われる。もう一つの課題点は、不規則図形を含むどのような図形の面積に対しても2乗倍ルールが適用できることを納得させる教授のあり方である。公式操作と図形操作とでは、2乗倍ルールの適用に確信がもてる図形が異なる。図形操作では、敷きつめ可能な図形のみ、説明可能である。公式操作では、それに加え、敷きつめ不可能な図形の場合も、規則図形であれば説明可能である。しかし、不規則図形の場合はどちらでも厳密な説明がつけられない。公式操作、図形操作のどちらであっても面積の2乗倍ルールそれ自体は理解可能であるが、図形の種類に関わりなくその適用に納得できるか否かが問題となるのである。事前テストの段階では、いずれの問でも単に長さの倍率をそのまま面積の倍率とする誤りが半数以上みられた。事後テストの結果をみると、正答率は事前よりは高いが、学習段階で学習したことをそのまま適用できる問題(問4)でさえも両群とも 5""6割程度にとどまっている。また、不規則図形縮小(問

6 )

の問題においても、群差があったとはいえ公式操作群でも正答率はさほど高くなかった。このような事態を鑑みると、「面積は 2次元に拡がる量であり、直交する縦の距離×横の距離によって決まる」という面積概念を、面積学習において重要視して理解させなければならない。今後は、2乗倍ルールの適用に対する納得度をより高められるような教授文脈を考案する必要がある。

p o

ヮ “

(8)

引用文献

Anderson， N. H.， & Cuneo， D. O. 1978 The height+

width rule in children's judgment of quantity. Journal01 ex

ρ

erimental

ρ

sychology:General

，

107

，

335-378 堀部佑子 1971 面積の指導数学教室， No.209， 6-12 細谷純 1976課題解決のストラテジー藤永保(編) 思考心理学大日本図書 pp.136・156 工藤与志文・白井秀明 1991 小学生の面積学習に及ぼす誤ルールの影響教育心理学研究， 39， 21-30 Leon， M. 1982 Extent， multiplying， and proportionality rules in children's judgments of area. Journal 01 ex

ρ

erimentalchild

ρ

sychology， 33， 124-141 大津悦夫 1981面積概念の形成一加法性の授業の分析一日本教育心理学会第23回総会発表論文集， 84-85 大津悦夫 1982量概念としての面積概念の習得日本教育心理学会第24回総会発表論文集， 696-697 遠山啓・長妻克亘(編) 1963応用問題に強くなる量の指導入門上巻国土社

Van Dooren， W.， De Bock， D.， Hessels， A.，

J

anssens， D.，

& Verschaffel

，

L. 2004 Remedying secondary school students' illusion of linearity: a teaching experiment aiming at conceptual change. Learning and instruction， 14， 485-501

謝辞

本論文を執筆するにあたり、ご指導をいただきました小野寺淑行先生に深く御礼申し上げます。そして、実験にご協力いただきました学生の皆様に、心より感謝申し上げます。 1 r長方形=縦×横j，r平行四辺形=底辺×高さj，r三角形=底辺×高さ72j，rひし形=対角線×対角線7 2j， r台形 =(上底+下底)x高さ72jの公式の下線部分が「縦× 横」の意味にあたる。その点で，公式は「面積は直交する 2方向に広がる量である」という面積概念を端的に表したものと言える。

(9)

-27-Appendix 各群の

学

習セ

ッシ

ョ

ン

における 2乗倍ルールの説明

問題文中にコピー機の話が出てきましたが，ある図形

P

を拡大コピーしたものを図形

Q とすると，

図形

P

と図形

Qは相似図形となります。

ここで，相似比と面積比の関係について考えてみましょう。例えば，下のような長方形

A

をコピー

機で 2倍(200%)に拡大したものを，長方形 B とします。このとき，長方形 A と長方形 Bの面積比

は，何対何になっているでしょうか。(長方形

Aを 2倍に拡大した図;省略)

く

公式操作群

>

面積の変化をとら左金

l

三度

J

錐

l

企

I

債よ笠

2

1

5 聞の劉ほ雪之金必要があるのです。

長友震の貸主横が，それぞれ何倍になったか考えて

J

性支

L主

三

ι

コピー機で

2 倍に拡大したという

ことは，縦の長さは 2倍，横の長さも 2倍になったということです。

ここで，長方形の面積を求める公式は，

I

長方形の面積=縦の長さ×横の長さ￨です。

コピー機で拡大した後の面積は，

(縦の長さ X2)x

(横の長さ x2)=もとの長方形の面積 x2x2

2x2=4なので，拡大後の面積は，もとの面積の 4倍となりました。

よって，面積比は長方形

A:

長方形

B =1 :

4 となることがわかります。

それでは，三角形の場合はどうでしょうか。三角形 Cをコピー機で 2倍(200%)に拡大したものを

三角形 D とします。底辺と高さが，それぞれ何倍になったか考えてみましょう。(

三

角形 Cを 2倍

に

拡大した図;省略)

コピー機で 2倍に拡大したということは，底辺は 2倍，高さも 2倍になったということです。ここ

で，三角形の面積を求める公式は， I

三角形の面積=底辺×高さ

-

;

-

'

2 ￨

です。

コピー機で拡大した後の面積は，

(底辺 x2)x (高さ x2

)

-

;

-

'

2 =

(

底辺×高さ -

:

-

2 )x

2 x

2 2X2=4なので，拡大後の面積は，もとの面積の 4倍となりました。

面積比は，三角形

C:

三角形

D =1 :

4 です。

.

く

図形操作群

>

長方形

BI

こ最重堅企必質賃敷童

2 員長忽金全秀之支金支

L

主主

a

図のように敷きつめると，長方

形 Bには長方形 Aが 4個敷きつめられます。

よって，面積比は長方形

A:

長方形

B =1 :

4 となることがわかります。

A

l

1 .

H B

それでは，三角形の場合はどうでしょうか。三角形 Cをコピー機で 2倍(200%)に拡大したものを，

三角形

D とします。三角形 Dに三角形 Cが何個敷きつめられるか考えてみましょう。

j

忠犬

z

イ

者

(:200%)

L

v

~

D

図のように，このとき，三角形 Dには三角形 Cが 4つ敷きつめられるので，

面積比は，三角形

C:

三角形

D =1 :

4 となります。

cL

¥

く

2 群共通

>

このように，相似比と面積比の関係には，

r

面積比は相似比の

2 乗倍』というルールが成り立って

います。これは，平面図形一般に成り立ちます。

相似形において、もとの図形を1

とすると、

n

倍に拡大した図形の面積はn

2

_{倍になる。}

相似比

1 :

n

ならば、面積比

1:

n

2 n δ つ ω

(10)

University students' judgments of the areas in the context of enlargement/ reduction of geometrical figures: Effects of instruction on students' judgments to encourage comprehending the multiplicative rule about area. SATO， Seiko Graduate School of Education， Tohoku University This artic1e investigates effects of instruction on university students' judgments of the areas in the context of enlargement/ reduction of geometrical figures. The misconception is well known that if a geometrical figure enlarges k times， its area becomes k times larger too. In this experiment， university students were taught the rule that the area of a figure enlarges with factor k 2 when a figure is enlarged k times by means of either transformation of the formula (area

=

height x width) or iteration of a figure covering the area. The following results were obtained (a) at the pretest many university students failed to estimate the areas of similar figures correctly; (b) in such students， many of the students who were taught the rule by transformation of the formula estimated the area of similar irregular figures correctly. Key words: judgments of areas， the areas of similar fi思lres，the multiplicative rule ハ可 d q L