後期 期末試験（２月７日）類題と解答 （ kimatsu-11-2

微積分

I (2011

年度後期)

期末試験類題

(理工学部共通)

1 次の関数の n 次導関数を求めよ。

《基本》

(1)√x (2) 1

x (3) e

x _{(4) log|x| (5) sin x (6) cos x}

《標準》

(7)√2x + 1 (8) 1

2x + 1 (9) e

2x _{(10) log|1 − x|}

(11) cos 2x (12) sin x cos x (13) sin2x (14) cos2_x

《応用》（ライプニッツの公式を用いて求めよ） (15) xex _{(16) x}2_e2x _{(17) x}2_{sin x} 2 次の関数にマクローリンの公式を適用して x4_{の項まで求めよ。但し剰余項は R} 5としてよい。 《基本》 (1) ex _{(2) sin x (3) cos x (4)}√_{1 + x (5)} 1 1 + x (6) log(1 + x) 《標準》 (7) e2x _{(8) e}x2 (9) x2_e2x _{(10) e}x_{+ e}−x _{(11) sin(2x)} (12) √ 1 1− x (13) √ 1− 2x (14) x√1 + x (15) log(1− x) (16) 1 1− x 《応用》 (17) sin2x (18) cos2_{x (19)} x 1− x2 3 次の極限を求めよ。 《基本》 (1) lim x→0 sin 3x x (2) limx→0 tan 3x tan 2x (3) limx→0 log(1 + x) x (4) limx→0 e−x− 1 x 《標準》 (5) lim x→+∞ x2 ex (6)_x→+∞lim x log x (7) limx→0 3x− 2x x (8) limx→0 x2 e2x− 1 − 2x (9) lim x→0 e−2x− 1 + 2x − 2x2 x3 (10) lim_x→0 1− cos x x2 (11) lim_x→0 1−x₂2 − cos x x4 (12) lim x_→0 √ 1− 2x − 1 + x x2 (13) lim_x→0 log(1 + x)− x + x₂2 x3 (14) lim_x→+0x log x 《応用》 (15) lim x→0 x− sin x cos x x3 (16) lim_x→+0x x _{(17) lim} x→+∞ x− sin x x 4 (i)《標準》次の関数の増減、極値、凹凸、変曲点を調べ，グラフの概形を描け。 (1) y = x3− x (2) y = x4− 5x2+ 4 (3) y = xe−x (4) y = e−x22 (5) y = x x2_{+ 1} (6) y = x √ 1 + x2 (ii)《標準》次の関数の増減，凹凸，与えられた区間における最大値，最小値を調べ，グラフの概形を描け。 但し (5) では x 軸との交点の座標を求めなくてもよい。 (1) y = x log x (x > 0) (2) y = ex_{sin x (−π 5 x 5 π)} (3) y = x +√1− x2 _{(−1 5 x 5 1) (4) y = x}√_{1− x}2 _{(−1 5 x 5 1)} | {z } 国家公務員 II 種試験改題 (5) y = x−2 sin x (−π 5 x 5 π)   5 《基本》次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。但し，k は実数の定数とする。 (1) x3+ k = 0 (2) x3+ 3x− k = 0 (3) x3− 3x2− k = 0 (4) x = ex (5) x = cos x (6) x4−4 3x 3_{− 4x}2_{+ k = 0} | {z } 労働基準監査官採用試験より出題 (7) x3− 4x2+ 6x = x + k

6 次の不定積分を求めよ。 《基本》 (1) ∫ xndx (n̸= −1) (2) ∫ 1 xdx (3) ∫ exdx (4) ∫ sin xdx (5) ∫ cos xdx (6) ∫ 1 cos2_xdx (7) ∫ 1 1 + x2dx (8) ∫ 1 √ 1− x2dx 《標準》 (9) ∫ (2x3− 3x + 3)dx (10) ∫ x√xdx (11) ∫ 1 3 √ x2dx (12) ∫ dx 2x + 1 (13) ∫ (2x + 1)10dx (14) ∫ e−2xdx (15) ∫ sinx 2dx (16) ∫ x cos(x2)dx (17) ∫ log x x dx (18) ∫ ex 1 + exdx (19) ∫ tan xdx (20) ∫ x x2_{+ 2}dx (21) ∫ dx x2_{+ 2} (22) ∫ dx x +√x (23) ∫ x sin xdx (24) ∫ log xdx (25) ∫ x log xdx (26) ∫ x− 4 x2_{+ x}− 2dx (27) ∫ x3_{+ 1} x2_{+ 1}dx (28) ∫ (1 + tan2x)dx (29) ∫ sin2xdx (30) ∫ cos2xdx (31) ∫ x2cos xdx (32) ∫ exsin xdx (33) ∫ x x2− 4x + 13dx (34) ∫ sin ( x−π 5 ) sin ( x + π 20 ) dx (35) ∫ cos x cos 2xdx 《応用》 (36) ∫ dx 1 + ex (37) ∫ dx sin(2x) (38) ∫ dx √ x2_{+ 1} (39) ∫ √ 1− x2_dx (40)∫ √−x2− 2xdx ₍₄₁₎ ∫ sin−1xdx (42) ∫ tan−1xdx (43) ∫ dx x4_{− 1} 7 (1)《基本》y = xeax が恒等的に y′′− 2√2y′+ 2y = 0を満たすように，定数 a を定めよ。 (2)《標準》y = e√x+ e−√xが恒等的に xy′′+ ay′= 1 4yを満たすように，定数 a を定めよ。

(3)《標準》y = sin(4 sin−1x)が恒等的に (1− x2)y′′− xy′+ ay = 0を満たすように，定数 a を定めよ。

8 (1)《基本》次の不等式が与えられた区間で成り立つことを示せ。

(a) x > 1で x5_{+ 4 > 5x (b) x >−2 で x}3_{+ 2= 3x (c) x > 0 で 2x > sin 2x (d) x > 0 で cos 2x > 1 − 2x}2

(2)《基本》不等式 ex= 1 + x +x 2 2! + x3 3! が全ての実数 x に対して成立することを示せ。 また等号成立条件を求めよ。 (3)《標準》f (x) = x2_{とする。05 a 5 1，b = 1 − a のとき，任意の実数 x, y に対して不等式}

f (ax + by)5 af(x) + bf(y) が成立することを示せ。また，等号成立条件を述べよ。

9 (1)《標準》直円柱の表面積が 96π であるとき，体積の最大値を求めよ。但し直円柱の表面積とは 下面と上面と側面の面積の合計である (国家公務員 II 種試験より出題)。 (2)《標準》半径 a(a > 0) の球に内接する直円柱の体積の最大値を求めよ (国家公務員 II 種試験より出題)。 10《応用》2 以上の自然数 n に対して，In= ∫ cosnxdxとする。 (1) I2を求めよ。 (2) In= ∫ cosn−1x cos xdxと表せることと部分積分を用いて，漸化式 In = 1 ncos n−1_{x sin x +} n− 1 n In−2が 成り立つことを示せ。 (3) (2)の漸化式を用いて，I4を求めよ。 11《応用》半径 1 の円に内接する正 n 角形の面積を Sn(nは 3 以上の自然数) とする。 (1) S12を求めよ (国家公務員 II 種試験より出題)。 (2) Snを n と π を用いて表せ。また， lim n→∞Snを求めよ。 (3) Snが n について単調増加することを示せ。

12 《基本》関数 y(x) が y′′(x) = 2xを満たすとき次の問に答えよ。 (1) y′(x) = ∫ y′′(x) dxより y′(x)を求めよ。このときの積分定数を C とせよ。 (2)上で y′(1) = 0のとき積分定数 C の値を求めよ。 (3)上で y(x) = ∫ y′(x) dxより y(x) を求めよ。このときの積分定数を D とせよ。 (4)上で y(0) = 0 のとき積分定数 D の値を求めよ。 (5)以上のとき y(x) の極大値 M と極小値 m を求めよ。 13《基本》質量 m のおもりが自由落下運動する。時間 t = 0 で x = 0 の位置にあるおもりを静かに手離したとき， 下向きを正の方向として t 秒後のおもりの座標を x(t) とする。おもりの座標は g を重力定数とすると x(t) = gt 2 2 である。但し m, g は時間に依存しない正の定数とする。 (1) t秒後におけるこのおもりの速度 dx(t) dt を求めよ。 (2) t秒後におけるこのおもりの加速度d 2_x(t) dt2 を求めよ。 14《標準》質量 m のおもりが空気抵抗中を落下運動する。時間 t = 0 で x = 0 の位置にあるおもりを静かに手離 したとき，下向きを正の方向として t 秒後のおもりの座標を x(t) とする。このおもりは速度に比例した空気抵抗 力を落下方向と逆向きに受けて，その大きさは kdx(t) dt である。結果としておもりの座標は g を重力定数とすると x(t) = mg k t− m2g k2 ( 1− e−mkt ) であることが知られている。但し m, g, k は時間に依存しない正の定数とする。 (1) t秒後におけるこのおもりの速度 dx(t) dt を求めよ。 (2)速度が V となるときの t の値を，m, k, g, V のうち必要なものを用いて表せ。但し 0 < V <mg k とする。 (3) t秒後におけるこのおもりの加速度d 2_x(t) dt2 を求めよ。また，これにより m d2_x(t) dt2 = mg− k dx(t) dt を満足することを確かめよ。 15《標準》時刻 t = 0 で地面に対して角度 θ で斜めに初速度 v0で投げ出した物体の時刻 t のとき (t= 0) の位置 を (x(t), y(t)) とする。投げ出した位置を原点，地面を x 軸，鉛直上方向を y 軸の正の方向とする座標をとると， x(t)，y(t) は次式を満足する。

x′′(t) = 0, x′(0) = v0cos θ, x(0) = 0, y′′(t) =−g, y′(0) = v0sin θ, y(0) = 0

このとき以下の問いに解答せよ。尚，g, v0, θは時間 t に依存しない正の定数であり，θ は 0 < θ < π 2 を満足する ものとする (労働基準監査官採用試験改題)。 (1) 物体の速度 x′(t)及び y′(t)を求めよ。 (2) 物体の座標 x(t) 及び y(t) を求めよ。 (3) 物体が最高点に達する時間 t1を求めよ。 (4) 物体が再び地面に落ちるときの時間 t2，及びそのときの x 座標 x(t2)を求めよ。 (5) v0を一定にして角度 θ を 0 < θ < π 2 の範囲で変えるとき，(4) で求めた x(t2)を最大にする角度 θ を求めよ。 16《標準》情報理論では事象の拡散の度合いを表すエントロピーという物理量を導入する。簡単のために 2 つの 排反な事象 1, 2 を考える。事象 1,2 のいずれか一方のみが必ず起こるので，事象 1 が起こる確率を x(0 < x < 1) と すれば，事象 2 が起こる確率は (1−x) である。これに対してエントロピーを f(x) = −x log2x−(1−x) log2(1−x) で定義する。エントロピーの最大値及びそのときの x の値を求めよ。

【 略 解 】 1 (1) 1· (−1) · (−3) · · · (−2n + 3) 2n x 1 2−n (2) (−1) n_n! xn+1 (3) e x ₍₄₎ (−1) n−1_{(n− 1)!} xn (5) sin(x +nπ 2 ) (6) cos(x + nπ 2 ) (7) 1· (−1) · · · (−2n + 3)(2x + 1) 1 2−n (8) (−2) n_n! (2x + 1)n+1 (9) 2 n_e2x ₍₁₀₎₋(n− 1)! (1− x)n (11) 2 n_{cos(2x +}nπ 2 ) (12) 2n−1sin(2x +nπ 2 ) (13)−2 n_{−1cos(2x +}nπ 2 ) (14) 2 n_{−1cos(2x +}nπ 2 ) (15) (x + n)e x (16) 2n−2{4x2+ 4nx + n(n− 1)}e2x (17){x2− n(n − 1)} sin(x +nπ 2 )− 2nx cos(x + nπ 2 ) 2 (1) 1 + x +x 2 2 + x3 6 + x4 24+ R5 (2) x− x3 6 + R5 (3) 1− x2 2 + x4 24+ R6 (4) 1 +1 2x− 1 8x 2₊ 1 16x 3₋ 5 128x 4_{+ R} 5 (5) 1− x + x2− x3+ x4+ R5 (6) x− x2 2 + x3 3 − x4 4 + R5 (7) 1 + 2x + 2x2+4 3x 3₊2 3x 4_{+ R} 5 (8) 1 + x2+ 1 2x 4_{+ R} 6 (9) x2+ 2x3+ 2x4+ R5 (10) 2 + x2+x 4 12+ R6 (11) 2x− 4 3x 3_{+ R} 5 (12) 1 + x 2 + 3 8x 2₊ 5 16x 3₊ 35 128x 4_{+ R} 5 (13) 1− x − 1 2x 2₋1 2x 3₋5 8x 4_{+ R} 5 (14) x + 1 2x 2₋1 8x 3₊ 1 16x 4_{+ R} 5 (15)−x − x2 2 − x3 3 − x4 4 + R5 (16) 1 + x + x2+ x3+ x4+ R5 (17) x2− 1 3x 4_{+ R} 6 (18) 1− x2+ 1 3x 4_{+ R} 6 (19) x + x3+ R5 3 (1) 3 (2) 3 2 (3) 1 (4)−1 (5) 0 (6) +∞ (7) log 3 2 (8) 1 2 (9)− 4 3 (10) 1 2 (11)− 1 24 (12)− 1 2 (13) 1 3 (14) 0 (15) 2 3 (16) 1 (17) 1 4 (i) (1) f′(x) = 3x2− 1，f′′(x) = 6x，x =−√1 3 で極大値 2√3 9 ，x = 1 √ 3 で極小値− 2√3 9 ，x = 0 で変曲点 (f (0) = 0)，x 軸との交点 x = 0,±1，y 軸との交点は原点 (2) f′(x) = 4x3− 10x，f′′(x) = 12x2− 10，x = 0 で極大値 4，x = ± √ 5 2 で極小値− 9 4，x =± √ 5 6 で変曲点 (f ( ± √ 5 6 ) = 19 36)，x 軸との交点 x =±1, ±2，y 軸との交点 y = 4 (3) f′(x) = (1− x)e−x，f′′(x) = (x− 2)e−x，x = 1 で極大値1 e，極小値無し，x = 2 で変曲点 (f (2) = 2 e2)， lim x→−∞f (x) =−∞， limx→+∞f (x) = 0，x,y 軸との交点は原点 (4) f′(x) =−xe−x22 _，f′′_{(x) = (x}2− 1)e−x22 _{，x = 0 で極大値 1，極小値無し，x =}±1 で変曲点 (f (±1) = √1 e)， lim x→±∞f (x) = 0，x 軸との交点無し，y 軸との交点 y = 1 (5) f′(x) = 1− x 2 (x2_{+ 1)}2，f′′(x) = 2x(x2_{− 3)} (x2_{+ 1)}3 ，x = 1 で極大値 1 2，x =−1 で極小値 − 1 2，x = 0,± √ 3で変曲点 (f (0) = 0，f ( ±√3 ) =± √ 3 4 (複号同順))， limx→±∞f (x) = 0，x,y 軸との交点は原点 (6) f′(x) = 1 (x2_{+ 1)}32 ，f′′(x) =− 3x (1 + x2₎52 ，極大極小値無し，x = 0 で変曲点 (f (0) = 0)， lim x_→±∞f (x) =±1(複 号同順)，x,y 軸との交点は原点

(ii) (1) f′(x) = log x + 1，f′′(x) = 1 x，極大値無し，x = 1 e で極小値− 1 e，変曲点無し， lim x_→+0f (x) = 0， limx_→+∞f (x) = +∞，最大値無し，最小値 m = f ( 1 e ) =−1 e，x 軸との交点は x = 1(x = 0 は定 義域で無いので原点は交点ではない) (2) f′(x) =√2exsin ( x + π 4 ) ，f′′(x) = 2excos x，x = 3π 4 で極大値 e3π4 √ 2，x =− π 4 で極小値− e−π4 √ 2 ，x =± π 2 で変曲点 (f ( ±π 2 ) =±e±π2 _{(複号同順))，最大値 M = f} ( 3π 4 ) = e 3π 4 √ 2，最小値 m = f ( −π 4 ) =−e −π 4 √ 2 ，x 軸と の交点 x = 0,±π，y 軸との交点は原点 (3) f′(x) = 1− √ x 1− x2，f ′′_{(x) = −} 1 (1− x2₎3 2 ，x = √1 2 で極大値 √ 2，極小値無し，変曲点無し，最大値 M = f ( 1 √ 2 ) =√2，最小値 m = f (−1) = −1，x 軸との交点 x = −√1 2，y 軸との交点 y = 1 (4) f′(x) = 1− 2x 2 √ 1− x2，f ′′_{(x) =} x(2x2− 3) (1− x2₎32 ，x = √1 2 で極大値 1 2，x = − 1 √ 2 で極小値− 1 2，x = 0 で変曲点 (f (0) = 0)，最大値 M = f ( 1 √ 2 ) = 1 2，最小値 m = f (−1) = − 1 2，x 軸との交点 x = 0,±1，y 軸との交点 y = 0 (5) f′(x) = 1− 2 cos x，f′′(x) = 2 sin x，x =−π 3 で極大値 √ 3−π 3，x = π 3 で極小値− √ 3 +π 3，x = 0,±π で 変曲点 (f (0) = 0，f (±π) = ±π (複号同順))，最大値 M = f (π) = π，最小値 m = f (−π) = −π，x 軸との交点 x = 0,±α(f (_π 3 ) < 0 < f (_π 2 ) なので π 3 < α < π 2 であるが一般に方程式 x = 2 sin x を解く事は出来ないので α の値は特に明示しなくてもよい。)，y 軸との交点は原点

5 (1) 1つ (2) 1つ (3)−4 < k < 0 のとき 3 つ，k = −4, 0 のとき 2 つ，それ以外のとき 1 つ (4)なし (5) 1つ (6) 0 < k < 5 3 のとき 4 つ，k = 0, 5 3 のとき 3 つ，k < 0 又は 5 3 < k < 32 3 のとき 2 つ，k = 32 3 のとき 1 つ， k > 32 3 のときなし。 (7) 50 27 < k < 2のとき 3 つ，k = 50 27, 2のとき 2 つ，それ以外のとき 1 つ 6 （積分定数略）(1) 1 n + 1x n+1

(2) log|x| (3) ex (4)− cos x (5) sin x (6) tan x (7) tan−1x (8) sin−1x (9) 1 2x 4₋3 2x 2_{+ 3x (10)} 2 5x 2√_{x (11) 3}√3_{x (12)} 1 2log|2x + 1| (13) 1 22(2x + 1) 11 (14)−1 2e −2x _{(15)−2 cos}x 2 (16) 1 2sin(x 2_{) (17)} (log x)2 2 (18) log(1 + e x_{) (19)− log | cos x|} (20) 1 2log(x 2_{+ 2) (21) √}1 2tan −1(_√x 2 )

(22) 2 log(√x + 1) (23)−x cos x + sin x (24) x log x− x (25) x

2

4 (2 log x− 1) (26) 2 log|x + 2| − log |x − 1| (27) x2 2 − 1 2log(x 2_{+ 1) + tan}−1_{x (28) tan x} (29) x 2 − sin 2x 4 (30) x 2 + sin 2x 4 (31) (x 2_{− 2) sin x + 2x cos x (32)} e x 2 (sin x− cos x) (33) 1 2log(x 2_{− 4x + 13) +}2 3tan −1(x− 2 3 ) (34) √ 2x 4 − 1 4sin ( 2x−3π 20 ) (35) 1 2sin x + 1 6sin 3x

(36) x− log(1 + ex) (37) 1

2log| tan x| (38) log(x + √ x2_{+ 1) (39)} 1 2(x √ 1− x2_{+ sin}−1_x) (40) 1 2{(x + 1) √

−x2− 2x + sin−1_{(x + 1)}} _{(41) x sin}−1_{x +}√₁− x2 _{(42) x tan}−1_x−1

2log(1 + x 2₎ (43) 1 4log  x_{x + 1}− 1 −1₂tan−1x 7 (1) a =√2 (2) a = 1 2 (3) a = 16 8 (1) (a) f (x) = x5_{− 5x + 4 とおいて f(1) = 0、f}′_{(x) = 5(x}4_{− 1) > 0 が x > 1 で成立する。} (b) f (x) = x3− 3x + 2 とおいて増減を調べる。等号成立は x = 1 のとき。 (c) f (x) = 2x− sin 2x とおいて，x = 0 での f(x) の増減を調べよ。 (d) (c) の結果に注意せよ。 (2) ex= 3 ∑ k=0 xk k! + R4で剰余項は R4= x4 4!e θx_{= 0(0 < θ < 1) である。等号成立は x = 0 のみ。} (3) (右辺)−(左辺)= a(1 − a)(x − y)2 。等号成立は x = y 又は a = 0, 1 のとき。 9 (1) 128π (2) 4 √ 3π 9 a 3 10 (1) x 2 + sin 2x 4 (2)略 (3) I4= 3 8x + 3 16sin 2x + 1 4cos 3_{x sin x} ( =3 8x + 1 32sin 4x + 1 4sin 2x ) 11 (1)(2) Sn= n 2sin 2π n , S12= 3, limn→+∞Sn= π (3) f (x) = sin x x とすると，Sn = πf ( 2π n ) 。 f′(x) = x cos x− sin x

x2 で g(x) = x cos x− sin x とすると g(0) = 0，g′(x) =−x sin x より

0 < x5 2π 3 で単調減少なので f ′_{(x) =} g(x) x2 < 0 12 (1) y′(x) = x2+C (2) C =−1 (3) y(x) = x 3 3 −x+D (4) D = 0 (5) M = y(−1) = 2 3, m = y(1) =− 2 3 13 (1) dx(t) dt = gt (2) d2x(t) dt2 = g 14 (1)dx(t) dt = mg k ( 1− e−ktm ) (2) t =−m k log ( 1−kV mg ) (3) d 2_x(t) dt2 = ge −kt m_{，左辺・右辺ともに mge}−ktm

15 (1) x′(t) = v0cos θ，y′(t) =−gt + v0sin θ (2) x(t) = v0t cos θ，y(t) =−

g 2t 2_{+ v} 0t sin θ (3) t1= v0 g sin θで最高点 y = v02sin2θ 2g (4) t2= 2v0 g sin θ，x(t2) = 2v20 g sin θ cos θ (5) θ = π 4 で最大値 x(t2) = v02 g 16 f′(x) = log₂ ( 1 x− 1 ) より x =1 2 で最大値 1 をとる。