連続函数の可微分性について

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(1)Title. 連続函数の可微分性について. Author(s). 藤戸, 伊佐美. Citation. 北海道教育大学紀要. 第二部. A, 数学・物理学・化学・工学編, 26(2) : 93-96. Issue Date. 1976-02. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/5997. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . ６巻第２号昭和５１年２月北海道教育大学紀要（第２部Ａ）第２ｉｌｉＩＡ）ＶｏｔｌｏｆＨｏｋｋａｉｉｉｕａｒｙｌ９７６ｄｏＵｎｏｎ（ＳｅｃｔｏｎｌｔｙｏｆＥｄｕｃａＪｏｕｒｎａｖｅｒｓ．２６．２，Ｎｏ，Ｆｅｂｒ. 連続函数の可微分性について藤. 戸. 伊佐美. 北海道教育大学函館分校数学教室. ｉｎｕｏｕｓＦｕｎｃｔｉｏｎｏｎｔｈｅＤｉｉｉｌｉｆｆｔｙｏｆａＣｏｎｔｅｎｔａｂｅｒ工ｉＦＵＪＩＴＯｓａ１・・・ｌｉｌｆＥｄｕｃａｉｉｉｉｈｅＬａｂｏｒｔｄｏＵｎｔｔｙｏｒｙ。ｆＭａｔａｔｏｏｎｃｓｅＣｏｅｇｅｒｎａｔｖｅｒｓ，Ｈｏｋｋａ，Ｈａｋｏｄａ０４０Ｈａｋｏｄａｔｅ. ＡｂｓｔｒａｃｔｌｌｉｍｉｌｉｉｉｔｏｆａｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆＡｎｙｒｅａｌｖａｌｕｅｄｃｏｎｔｎａｃｏｓｅｄｉｎｔｅｒｖａｓｔｈｅｌｏｎｄｅｆｎｅｄｉｎｕｏｕｓｆｕｎｃｔ，ｉｉｎｔ尤ｉｎ ′ｓｏｔｈａｔｉｆｉｌｌｉｔａｓｓ）ｎｌ（Ｗｅｅｒｓｃｈｃｏｎｖｅｒｇｅｓｕｎｏｒｍｌａｓ｛凡｝ｗｈｙｉｐｏｙｎｏｍｉ．Ｌｅｔ β１ｂｅｔｈｅｓｅｔｏｆｐｏ. ｆ｛Ｐんｔ匁，ａｎｄ劫（屑）ｂｅｔｈｅｓｅｔｏｆｐｏｉｎｔ尤ｉｎヱｓｏｔｈａｔｓｏｍｅｓｕｂｓｅｑｕｅｎｃｅｏ（の｝ｉｓｂｏｕｎｄｅｄａ，ｅｘｃｅｐｔｆｉＷｈｄｔｈａｔｄＬｔｔｅｓｅｔｏｆ ”１ｔｏｒａｆｎｉ，Ｐ″（尤“≦ 肌ａ尤，ｅＡ，＝／－ β，，ａｎ金（財）＝／－＆（財），ｅｓｏｗｅ. ｆｔｈｅｓｅｔＡ，ｎＢｚｔｈｅＬｅｂｅｓｇｕｅｍｅａｓｕｒ（財）ｉｅｏ（財）ｉＩＡ２ｓｏ，ａｎｄｔｈｅｓｅｔＡ，ｒｓｎｏｔｃｏｎｎｅｃｔｅｄ，ａｎｄｉｄｅｒｉｎｅｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅｓｉｖｅｄｓｏｒｎｔｈｉｓｄｉｒｅｃｔｏｎ．. １序有界な閉区間で定義された，任意の実数値連続函数は，多項式で一様に近似することが出来る｛Ｐ”｝を取り上げてｉｔ（Ｗｅ）ｒｅｓｒａｓｓ，ここでは，上の多項式凡から得られる多項式列｛錫｝及び，｝が，集積点を持つ定義域の部分集｝の適当な無限点列｛Ｐん（尤）考える，閉区間の元尤で，｛錫（尤）合を定めて，この部分集合と，この部分集合の補集合の性質について述べる．得られた結果は，定ｌ理又は，系として述べている．但し，定理５は，Ａｓｃｏｉｌ ‐Ａｒｚｅａにより与えられたものである，. ２連続函数の可微分性実数直線の閉区間′ で定義された実数値連続函数をヂとする，以後，痴は多項式を示し，７２サ節の時，珍，は′ に一様収束するものとする．又，. とする，Ａ，， β，は，／の部分集合で，. Ａ，＝脳Ｉ（ズ）は，有界な無限部分点列を持たない］Ｐゑ， β，＝帥簾 α）は，有界な無限部分点列を持つ］と定める．明らかに，Ａ，ｎ β．＝の，ＡＩＵＢＩ＝／. （財）（財）は，ヱの部分集合で，である．Ａ２，Ｂ２）（３１.

(3) . ９４. 藤. 戸. 伊佐美. Ａ（財. ／（尤）１＞肌］同無限個の” について，１Ｐ；，１≦ 肌］比（財）＝回有限個のれを除いて，ＩＰ”（ｘ）. とする．ここで，財＞ｏとし，又，有限個の中に，ｏ個をも含めるものとする，従って，. Ａ（財）ｎβ（財）＝ ①，Ａ（財）ＵＢ（財）＝／となる．. （財）（財）は，閉集合である。品ｎβ２，Ａ，ｎβ２（証明） β．ｎβ２（財）の元為に対して，尤一節（れ一の）とする，Ｐ”の連続性により，Ｐ”彰。） ≦ 財だから，定理１. ）≦ 財Ｐ”伝。となり，１ｏは β２（財）に属する．. ）の存在より，任意のど＞ｏに対して，或る自然数Ｎがとれて，Ｐ”鰯。. 鋤かゑ（為））１＜ｅた＞肺１ＰＸ一Ｐ－ｐみ，尤た. ｏ. となる．従って，々＞Ｎならば，. ）１＋ど）彰－尤一（ズた）－蕉（匁）１＜（ｌー〆ｐ葛”，，， … … … … … … … … （１）. ≦（肌十Ｇ）彰－均となり，. （尤；（物“＋（財十凱旋－エーＩＰＰも，“＜Ｉ，）１＜Ｋとな｝がとれて一Ｐん伝々）となる．たは， β，の元だから，｛鐘（ズた）｝の適当な部分列｛Ｐ命（ｘた）｝は，有界集合となり，尤ｏは，風に属する．る，Ｋ＞０である，従って，｛髭スェ。Ａ，ｎ β２（財）の元工。で，尤 →× （れ→ 仰）とすると，（１）式より，。）＋（肌十Ｅ）１均一嗣）＜あお々，）－（財十Ｇ）伝ね－為１＜房おｏ熊（尤た）→ のとなる。他の場合も同様）→ ｍとすると，上の不等式より，弱り（ェとなる，従って，弱り（尤ん。（財）に属することが示された，にして，結局，ェ。がＡ．ｎβ２）｝か（財）の元寂で，尤。→ェｏの時，ｘた≠ 霧ならば，工たでの有界点列｛熊パキ（注意） β ぬ β２々. ）｝から得られる有界集合｛薙げα。｝と）｝と，霧での有界点列彰毒（霧）ら得られる有界集合｛Ｐん（尤。は，一般に異なる，（財））は，０である．（財）のＬｅｂｅｓｇｕｅ測度粥（Ａ定理２Ａ，ｎ β２，ｎＢ２ｒ. （財）が閉区間を含まないこと（財）が閉集合であるから，Ａ，ｎβ２（証明）定理１より，Ａ，ｎβ２を示せばよい，. Ａぬ β２（財）コ［のろ］として，矛盾を導く．［仏６］の任意の元ヱに対して. 膨（尤）１≦財だから，. ）（３２.

(4) . 連続函数の可微分性について. ９５. 尾陶）ゐ１６－α － ≦″１となる，一方，. 娠獅ゐ１１卿）慎＝だから，. ｌ（ろ）冊簾（α）１≦ 財．ｌｂ－”－ｐを. …………………… （２）. となる．仮定より，適当に， ”ブ＜“々なる，れノ、れ々をとると，簾た（α）－Ｐん（α）＞２Ｍ，る－α１と１なる．従って，廃ろ］に属する任意の元ｘに，（２）式を適用すると，（尤）－Ｐん（尤）＝Ｐ毎（匁）－Ｐ毎（α）＋ゑ長（α）－簾ｊ（α）十厳ノ（α）－Ｐん（尤）＞○ Ｐ角々々｝をとれば，［偽ろ］に属する任意の元ｘむとなる，従って，適当な部分列｛簾ｊこ対して，れノくれた. （匁）Ｐん（尤）＜Ｐ角々. … … … … … … … … （３）. となる．一方，. ” 熊ほかｐＭのみ＝ｐメリーｐメリー（Ｐ＊）－Ｐ＊））となるが，仮定より，／で，戊は／に一様収束するから，. 孟も試み助け）かｏ（のれ馴. 一ｍ）. … …・… … … … …，．（４）. となる，（３）と（４）から，｛熊ノ｝は，［のる］で測度的収束列となるから，｛熊ご｝の適当な部分列は，廃ろ］で殆ど至る所収束する，これは，不合理である．定理３４，ｎＡ２（財）は，区間を含まない，（財）コおる］として，矛盾を導く。鰯の連続性より，適当な部分列｛ｐ為｝をと（証明）Ａ，ｎＡ２ると，座ろ］の任意の元％に対して，Ｐ為（尤）＞財＞０となる場合を考える，又，更に部分列をと（α）→ ＋仰け→ ”）とする．その結果，［偽ろ］に属する任意の元＃に対して，メブり，鋳ブ（α）＜ＰＭのとなる．又，. 膨ムのみ＝卿 ◎－幽妙となるから，. （α）＞ルノ（α）（る一α）（わ）－劾ノＤ“ ブ（る）－ルノ（α）→ ｍとなる。一方，｛戊｝が／に，一様収束するかとなる，従って，ブ→ 閃の時，ムブら，ｅ＞０に対して，十分大きな粉をとれば，（α）－′（α）１＜ｅ１ゑ郷（る）－′（のー＜ｅ，惨ノとなるから，. （る）－劾ブ（α）１＜２ど十１ｌ ′（わ）－′（α月ｐブ（る）－ルノ（α）→ の（となり，これは，勘ブブ→ ｍ）と矛盾する．尚，他の場合も，全く同様に示される．３）（３.

(5) . ９６. 藤. 戸. 伊佐美. Ｐ為（尤）＜０の時は，Ｐ練る）→ のとなる部分列をとればよい，定理４ β２（財）〔＆となる．（財）が連結集合ならば，Ｂ２（財）ｎＡ，は閉集合である。尚，明らかに，（財）ｎβ．（証明）定理１より，お２，Ｂ２）ｎ（β （財）ｎＡ，）＝中，（Ｂ２（財）ｎＢ，（Ｂ２（財）ｎＢ，）Ｕ（β２（財）ｎＡ，）＝ β２（財）となるから，仮定より， β２（財）ｎβ．＝①，又は，Ｂ２（財）ｎＡ．＝① となる．. ＆（財）ｎＡ，＝ ① （財）となり，Ｂ２とすると， β２（財）ｎＢ，＝Ｂ２（財）こβ，が成立する， β２（財）ｎβ．＝ ① とすると， β２（財）ｎＡ，＝β２（財）となる，仮定より（財））＞０粥（β２であるが，一方，定理２より（財）ｎＡ，）＝０粥（β２となるので，この場合は，起こり得ない．ｌｉｌ次に，Ａｓｃｏ ‐Ａｒｚｅａの定理を，次のように表現しておく，定理５. β，ｎ β（財）コ［］ならば，偽ろ. ｝をとると，座ろ］で，鯵ん｝は一様収適当な部分列｛鱗ゾ. 束する．以上の定理より，直ちに導かれる命題を系として述べる，定理５の条件を充たす時，｛髭ブ｝の，［偽ろ］での極限函数を，方で示す．系１，Ｂ２（財）＝｛］（） ′ ” ，．α ＝′（α）ならば，［偽ろ｝で′ ．＝′ となる，（証明）＆（財）は連結だから，定理４より， β（財）仁β，となる。故に，Ｂ２（財）ｎＢ，＝［仏ろ］となり，定理５より明らかに成立する。系２， β２（財）＝／ならば，Ａ，＝ゆとなる．（証明）定理４より，お２（財）ｎＢ・≠ ＆（財）となる．仮定より，Ｂ，＝／となり，Ａ，＝ ① となる系３， β（財）＝① ならば，ＡＩは区間を含まない．（財）となるから，定理３より，ＡＩは区間を含まない，（証明）＆（財）＝① ならば，Ａ，＝Ａ，ｎＡ２系４，ＡＩキ／，ＡＦ／ならば，ん（財）≠ ◇ となる．Ａ，は，Ａ．の閉葡を示す，. （証明）Ａ（財）＝① とすると，Ａ．ｎＢ２（財）＝＆となり，定理１より，矛盾が示される．系５，鼠 ≠／，鼠＝′ とすると，Ａ（財）≠ ① となる．（証明）系４の証明と同様である．. ）（３４.

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