BulletinorFacultyofEducation,NagasakiUniversity二Curriculum andTeachingNo.38(2002)53‑60
授 業 にお け る数 学 的活 動 の研 究 ( Ⅰ)
‑ 創造 性 の基礎 につ いて ‑
平 岡 賢 治 *
(平成
1 3
年1
0月31日受理 )A St udyofMat he mat i c alAc t i v i t yi nc l as s r oom (Ⅰ)
‑ On aFoundat i on ofCr e at i vi t y‑
Ke nj iHI RAOKA
*(Received October31,2001)
1. は じめ に
｢読 み ･書 き ･算｣ は知識 を獲得す るための知識 で あ るといわれ る.算数 ･数学科 は,
｢数 を読 む
｣
｢数 を書 く｣
｢計算 す る｣
の よ うに これ ら3
要 素 をすJiて含 む教科 で あ る と考 え られ る. しか し, 算数 ･数学 教 育 の あ り方 が ｢分数 が で きな い大学 生｣
｢学 力 が あぶ ない｣ な どの本 に代表 され るよ うに,大 きな社会 問題 とな って い る.実 際,算数 ･数学 の授 業 を理解 で きない ことが, 不登校 ･校 内暴 力 ･学級崩壊 な どの要因 の1つで あ るとさえ い われて い る. このよ うな社 会 的背景 の もとで,平成
1 4
年度 か ら実施 され る新学 習指導要 領 で は,小学 校 ･中学校 の9年 間で算数 ･数学科 の内容 が 3割,総 時間数 が 中学校 のお よそ2年 間分 の時間数 が削減 され た.
また, 新学 習 指導要 領 で は ｢生 きる力
｣
の育成 を基本理念 と して, ｢算 数 的活動 ･数 学 的活動｣ を通 して基礎 ･基本 の確実 な定着 を図 り,個性 を生 かす教 育 を充実 す ることが基 本 的 なね らいにな って い る1)2)3). 算数 ･数学 的活動 の楽 しさ, ｢創造性 の基礎 を培 う｣ を キ ー ワー ドに して情報化社 会 を生 きる子 ど も達 の算数 ･数学教育 が ス ター トしよ うと して い る.と ころで,算数 的活動 ･数学 的活動 は学 習指導要領解説 で外 的活動 や内的活動 と して具 体 的 に提示 されて い る.本稿 で は, これ らの異体 的活動 を誘発 し,発展 させ る要 因 と して
｢知 識 の獲得
｣
｢数学 的考 え方｣
｢創造性 の基礎｣
｢応用｣の
4
要因 に視点 を当て, 問題解決学習 と しての授業 にお け る算数 的活動 ･数学 的活動 を考 察 す る.*長 崎大学教育学部数学教育講座
2.
数学的活動平成
1 4
年度 か ら小学校 ･中学校 で,平成1 5
年度 か ら高等学校 で実施 され る新学習指導要 領 で は,算数 的活動,数学 的活動 とい う文言 が は じめて用 い られ た.小学校算数科で は,｢算数 的活動 を通 じて, ‑,活動 の楽 しさや数理的 な処理 の よさに気付 き, ‑｣ とあ り, 中学校数学科 で は,｢数学 的活動 の楽 しさ,数学 的 な見方 や考 え方 の よさを知 り, それ ら を進んで活用す る態度 を育 て る｣, さ らに,高等学校数学科 で は,｢数学 的活動 を通 して創 造性 の基礎 を培 うとともに,数学 的 な見方 や考 え方 のよさを認識 し, それ らを積極的 に活 用す る態度 を育 て る｣ と, それぞれ算数的活動 ･数学 的活動 お よび活動 の楽 しさを教科 目 標 に してい る.高等学校学習指導要領解説数学編 によ ると, ｢数学 的活動 につ いて は,敬 秦,操作,実験 ･実習 などの外的 な活動 と,直観,類推,帰納,演梓 などの内的活動 が考 え られ る.小学校 で は主 と して作業的 ･体験 的 な活動 な どの算数 的活動 と し, 中学校 で は 数学的活動 と して観察,操作,実験 を通 した数理 的 な考察 などをあげてい る. ･･･ (中 略) ･･･高等学校 における数学 的活動で は, 内的 な活動 が中心 にな るが数学化 の場面 や 数学的考察 ･処理 の過程で は,観察,操作,実験 な どの外 的な活動 も含 まれて いる｣ と述 べ,算数 ･数学的活動 をそれぞれ具体 的 に説明 して いる.算数 ･数学 的活動が単 な る活動 で はな く,数学的考察 を効果的 に行 う活動 にす ることが重要 で ある. われわれ はこれ らの 活動 を誘発 す る要 因 につ いて授業実践 を通 して調査 ･分析 し, これ らの要因を もとに授業 構成 の ス トラテ ジーにつ いて考察す る.
Ke i t hDe vl i n
は,NCTM 2 0 0 0Ye arBook
の中で これか らの数学教育 につ いて｢数学 は次 の
4
つの側面1.計算,形式的 な証 明, 問題解決 と しての数学
2.
知 るための方法 と しての数学3.
創造 の手段 と しての数学4.
数学 の応用があ り,数学教育 は これ ら
4
つの側面 を示 さなければな らない｣と主張 してい る4). この主張 は これか らの数学教育 のあ り方 につ いて1つ の方 向性 を示 す ものであ り,理数科教育の あ り方が社会問題化 して いるわが国の算数 ･数学教育 のあ り方 に
1
つの問題提起 を して い ると受 け止 めて い る. われわれ は,G. Pol ya
の問題解決学習5)や
H. Fr e ude nt hal
の数学化 の考 え 6)を原点 と し,算数 的活動 ･数学 的活動 を取 り入 れた授 業構成 ･授業実践 ･授業分析 ･子 ど も達 の活動 の分析 ･授業評価 をK. De vl i n
の主 張 を柱 に検討 し,数学 的活動 を誘発す る もの と して,4
要 因｢知識 の獲得
｣
｢数学的 な考 え方｣
｢創造性 の基礎｣
｢応用｣が本質的であ ると考 えて いる.
G. Pol ya
の問題解決学習 は｢理解
｣
=>
｢計画｣⇒ ｢実行｣
=〉｢検討｣の
4
過程 か らな り,授業構成 で は ｢理解｣
と ｢検討｣ の2
過程が大変重要 であ る. また, 4過程 は上記 のよ うに可逆性 が あ り,問題 を考 え る視点 が少 しずつ変化 させ ることによ っ て,問題 およびその数学 的内容 の水準が上 が って いる ことをわれわれ は授業実践 によ って平岡 :授業における数学的活動の研究 (Ⅰ)
5 5
経 験 して い る. その結 果, ｢理解｣ や ｢検 討｣ の過程 にお け る考 察 の中で,外 的 お よび内 的 な活動 な どの具体 的 な活動 が誘発 され, それ を授業 の中で表現 す る ことによ り数学 的活 動 が行 われて い る と考 えて い る.
と ころで, 授 業 は子 ど も達 が獲 得 して い る知 識 (既 習 )か ら授 業 目標 で あ る新 しい知 識 (未 習) を獲得 す る もので あ る.算数 ･数学 の授業 で は,知 識 を獲 得 す るため に数学 的 な 考 え方 を用 い,数 や式 の計算 や記号 によ る表現, グ ラフ化, 図表示 ･･･な ど異 な る表記 で表 す ことが よ く行 われ る. また,授業 の導入 時 や ま とめの段階 で身近 な事例 を取 り上 げ る こと も多 い. この よ うな観点 か ら授 業構想 を考 え る と,子 ど も達 に数学 的活動 を誘 発 さ せ る要 因 と して,次 の
4
要 因 を考 え る ことがで きる.(1) 知識 の獲得 :既習 の知 識 か ら末習 の知識 を獲得
( 2 )
数学 的 な考 え方 :知識 の獲得 の ため帰納 的 ･類推 的 な考 え方,単純化 や特殊化 な ど の考 え方(3) 創造性 の基礎 :考 え る対象 を同値 また はそれ を含 む新 しい対 象 への転化 (4) 応 用 :身近 な事象 に使 われて い る数学 的 な知識 の理解
われわれ は,学 習指導要領 に述 べ られて い る算数 ･数学 的活動 は, (1)〜 (4)の活動 の結 果 と して具現化 され た もの と考 えて い る. これ らの
4
要因 の有機 的 な相互作用 によ って,作 業 的 ･体験 的活動 や観察 ･操作 な どの外 的活動 , 直観 ･帰納 ･類推 ･演縛 な どの内的活動 が誘発 され る.授 業 の中で は,数学 的活動 は子 ど も一人 ひ と りの活動 で あ り,4
要 因 を次 の よ うに と らえて い る.(1) 知識 の獲得 :既習 の知 識 か ら未 習 の知識 を獲得
授業 は既習 の知識 を使 って未習 の知識 を獲得 す る場 で あ り,子 ど も達 に ｢既習 と 末習 の知識｣ を確認 させ る ことが基本 的 で あ る. 問題 の理解 は, 問題 を ｢既習 の 知識｣ との対 応 か ら始 ま り,授業 目標 の ｢末習 の知識 (授業 目標)｣の獲得 を 目 指 す ことにな る.既習 と未習 の知 識 は単元 ･学年 ･教科 での位 置付 け､指導 内容
の体 系 や数学 史 の背景､活用 されて い る身近 な事例 な ど と対比 させ なが ら,子 ど も達 の実 態 に合 わせて把握 す ることが重要 で あ る.子 ど も達 の ｢既習 の知識｣ に は個 人差 が あ り, ｢理 解 ｣ 過程 で数学 的背 景 や表現方法 な どに も個性 が あ り, そ れぞれ の考 え方 を表現 させ る ことによ り,子 ど も達 自身 によ って ｢未習 の知識｣
を獲得 す るため に,具体 的 な活動 を誘発 す る ことにな る.
( 2 )
数学 的 な考 え方 :知識 の獲得 のため帰納 的 ･類推 的 な考 え方,単純化 や特殊化 な ど の考 え方｢理解｣ した問題 を ｢既習 の知識
｣
を使 い､子 ど も達一人 ひ と りの 目標 に向 け て推論 を行 うことにな る. そ こに は外的活動 で あ る具体 的 な計算 や観 察,操作活 動 な どの数学 的活動 が行 われ る と同時 に, 内的活動 で あ る直観 ,帰納的 ･類推 的 な考 え方,単純 化 ･特殊化 な どの数学 的 な考 え方 や推論 が行 われ る. これ らを通 して新 た な ｢知 識 の獲得 ｣ を生 じさせ る. ｢知 識 の獲得｣ に失敗 した場 合 は, 問題解 決学 習 の過程 に もど り,失 敗 の原因解 明 や異 な る方法 によ る解決 を め ざす こ とにな る. この よ うに, 問題解 決学 習 で あ る授業 が,個人 的活動 で あ る数学 的活 動 に作用 して新 たな課題 を生 じ,結果 と して問題 の水準 や授 業水準 を上 げ る. わ れ われが授業 の各場面 で の数学 的 な考 え方 を意識 す る ことは大変重要 で あ る.
(3) 創造性 の基礎 :考 え る対象 の同値 また はそれ を含 む新 しい対象 ‑転化
授業 の中で数学 を創造 す る ことは大変 困難 で あ る. しか し,子 ど も達一 人 ひ と りの ｢理 解｣ や その考 え方 は異 な り,子 ど も達 の個性 を大切 に し,一人 ひ と りの 表現 や想像力 を活 かす ことが,創造性 の基礎 を培 うため に大変重要 で あ る.創造 性 の基礎 は算数 ･数学 的概念 や法則 な どを創 りだ した り,拡 張 した り,統合 した りす る ことや, その他 に も,何 らか の意 味 で新 しい問題,場面 に応用 す る こと も 含 めた広義 の意 味 で考 え る ことにな る.例 えば,計算 の結 果 で はな く計算式 の形 で整理 す る こと, 図式化, グラフ化 ･表 な ど,異 な る表現 で考 え る ことによ り, 問題 の本質 を理解 す る ことが で きる場面 と出会 うことが よ くあ る. これ は ｢数学 的 な考 え方
｣
一直観 ･帰納 的 な考 え方 ･類推 的 な考 え方 な ど等 ‑を用 いて,異 な る表現 ‑ の転化 と考 え られ, われ われ は これ を ｢ず ら して考 え る｣方法 と呼ぶ こ とにす る. この よ うな転化 は不連続 な表現 と も考 え られ､授業 で は表現 の不連続 性 (転化) を意識 す るが重要 で あ る.( 4 )
応 用 :身近 な事象 に使 われて い る数学 的 な知識 の理解情事馴ヒ社 会 で あ る今 日,数学 史 や身近 にあ る事 象 を数学 と して と らえ る ことは もちろん, われわれ の生活 を支 えて い る数学 に気 づ かせ る態度 を養 うことは大変 重要 で あ る.特 に,数学 的 な視点 で身近 な事象 を観 る習慣 をつ けさせ る ことは算 数 ･数学 の授 業 で は大切 で あ る. た とえば､他教 科 で扱 われて い る数学 的題材 を 意識 させ る ことは数学 の ｢応用｣ ‑ の具体 的 な アプ ローチ と して重要 で あ る.
算数 ･数学科 の授業 で は,数 や文字式 の計算 や図形 を描 くことによ り,考 え る対象 の性 質 や その構造 を理解 し予想 す ることが多 い.計算結果 や式変形 か ら既習 の知識 に帰着 させ, 未習 の知 識 を予想 す る.予想 した結 果 を説 明す るために,帰納 ･類推 ･演梓 的 な考 え方, 単純化 ･特殊化 の考 え方 な どを用 い る ことが よ くあ る. 直観 は数学 的 な性質 や構造 を考察 す る場 合 に大 きな役割 を果 た して い るが､ それ まで の計算 によ る数感覚 や式 の意 味 を見 直 す感覚 の鋭 さは既習 の知 識 の量 によ る ところが大 きい.授業 で は, 自分 の考 え を説 明す る 場合,具体 的 に例 を書 き上 げた り,絵 図 ･線分 図 ･面積 図 で表 した り, グ ラフ化 や記号化 など視覚 的 な記述 が行 われ る. これ らの活動 は, それ まで獲得 した知識 を活用 し,帰納 的 ･ 類推 的 な考 え方､特 殊化 ･単純化 な どの考 え方 か ら誘発 され る もの と考 えて よい.子 ど も 達 はいろいろな表現 の中で,獲得 して い る知識 によ り近 づ け,考察 しやす い問題 ‑ と転化 す る活動 を行 って い る. この ことを不連続 な考 え方 や表記 といい, われわれ は これ を ｢創 造性 の基礎｣ と考 えて い る.一方,現代 の情報化社 会 で は数学 や その考 え方 はあ らゆ る と ころで使 われて お り,数学 の応 用面 を授業 の導入例 や課題 と して子 ど も達 に提示 す る こと は数学 の有用性 を意 識 させ るため に も効 果 的で あ り, 時代 にあ った教材 開発 と して も大変
平岡 :授業における数学的活動の研究 (Ⅰ)
重要 で あ る.
この よ うに外 的 お よび内的 な数学 的活動 は, 4要 因 ｢知 識 の獲得 ｣, ｢数 学 的 な考 え方 ｣,
｢創 造 性 の基 礎 ｣, ｢応 用｣ の相 互 作 用 に よ って,具 体 的 に現 れ る もの と考 え られ る. ｢知 識 の獲 得 ｣ の た め に は, ｢数 学 的 な考 え方 ｣ が必 要 で あ る. これ らを い ろ い ろ な表 記 によ り 考 え る対 象 を転 化 させ る多様 な アプ ローチが ｢創造 性 の基 礎｣ を培 う.教 材 と して 日常生 活 や他 教 科 の 中 に用 い られ て い る数学 を考 え させ, い ろ い ろ な事 象 を知 る こ とで数 学 の
｢応 用
｣
を理 解 す る こ とを通 して, 新 た な ｢知 識 の獲得｣｢数学 的 な考 え方｣ の活動 が始 ま る. この よ うに, 授 業 にお け る ｢理 解 ｣ の過 程 か ら数 学 的活 動 が始 ま り, ｢検 討 ｣ の過 程 にお け る数学 的活動 か ら新 た な問題 が生 じさせ, 問題解 決学 習 にお け る問題 の水準 を上 げ る ことにな る. この よ うな繰 り返 しに よ って, 外 的 お よび内的 な数学 的活動 が誘 発 され る もの と考 え る. これ ら4
つ の観 点 は相 互 に作用 して い る ことか ら, わ れ われ は数 学 的活動 を次 の四面 体 ダイヤ グ ラム と して考 え る｡5 7
3.
創造性 の基礎われわ れ は数学 的活 動 を子 ど もた ち一 人 ひ と りの活動 と して と らえて い る. 前 節 で考 察 した よ うに, 数 学 的活 動 の
4
要 因 ｢知 識 の獲 得 ｣, ｢数学 的 な考 え方 ｣, ｢創 造 性 の基 礎 ｣,｢応 用｣ が相 互 作 用 に よ って, 学 習 指導 要 領.に述 べ て い る外 的 お よ び内的 な活動 の具体 的 な数 学 的活 動 が誘 発 され る. 本節 で は, ｢創 造 性 ｣ に関 す る先行 研 究 を踏 まえ, 算 数 ･数 学 科 の授 業 にお け る ｢創 造性 の基 礎｣ につ いて考 察 し,算 数 ･数学 教 育 にお け る ｢基礎 ･ 基 本｣ との関係 を考察 す る.
恩 田彰 は ｢創 造 性 とは新 しい価 値 あ る もの, また は ア イディアを作 り出す能 力 す なわ ち 創 造 力, お よ びそれ を基 礎 づ け る人格 特 性 す なわ ち創 造 的人格 で あ る｣ と述 べ, さ らに学 校教 育 で は子 ど も達一 人 ひ と りに とって価 値 あ る新 しさを大切 にす る ｢自己実現 の創造性｣
が基 本 的で あ る と指摘 して い る7). また,創 造 性 の構 造 につ いて は, 創 造 力 と創 造 的人格 か らな り, 次 の よ うな考 え を示 して い る.
創造力
創 造 的思 考 力
‡
(
発散 的思 考 収束 的思 考 直観 的思 考 論理 的思 考 創 造 的技能 (表現 力)
あ る基 礎 的 な技 術 を習得 し, 熟達 す る こ とによ って 生 まれ る感 覚 ･能 力 で, 従来 の技 術水準 を越 え, 新 しい高次 の水準 に達 した もの
そ して, 創造 性 の創造 性教 育 の原理 と して
1 8
項 目上 げて い るが, その中 で次 の ことを述 べ て い る.1. その結 果 と して,生徒 の活動 に何 か新 しい,他 とは異 な った独特 の ものが生 ず る.
た とえ ば新 しい問題 を発 見 す る.創 造 的活動 が活 発 にな る. 口頭発 表 や文章 が うま く な る.集 団 の創 造活 動 が で きるよ うにな る.
2.
想 像 力, 直観 力, 発散 的思 考 の開発 が強調 され る. 創造性 開発 の方法 は, 主 と して これ らの開発 に重点 が おか れ て い るll. 創 造 性 の教 育 で は, 失 敗 よ り もむ しろ成 功 に方 向づ け られ て い る. ｢失 敗 は成 功 の 母｣ と も言 われ るよ うに,失 敗 はその道 を さが せ, や り方 を工夫 せ よ,練 習 が足 りな い,熟 達 せ よ, と成 功 ‑ の道 を指 示 して い る.失敗 経験 を創 造 の基礎 と して指 導 す れ ば,失 敗 は成功 ‑ の道 を聞か せ るので あ る｡
創造性 の基礎 を考 え る と き,恩 田 は創造 的技能 にお いて は練 習 の重 要性 と必 要性 を示 唆 して い る. この こ とは算数 ･数学 科 で は計算 力 を反 復練 習 に よ ってつ け る こ とが創造性 の 基 礎 に と って基 本 的で あ る ことを指摘 して い る と考 えて よ い.
J. Hadamar d
は数 学 者 の発 見 す る心 理 につ いて､ ｢出会 いの多 くはつ ま らな い もので あ ろ うが, ･ ･･, その無 秩序 に非常 な価値 が あ り うる.有益 なわずか な出会 いが格 別 の性 質 を もち, それが外 見上 きわめてか け離 れ た観 念 の間 で起 こる場 合 には, お そ ら くもっとも重 要 な出会 い に な りうる｣ と述 べ,
Sour i au
の言 葉 を引用 して ｢発 明す るた め にはず ら して考 え な けれ ば な らな い｣ と述 べ て い る8). これ らをJ. Hadamar d
自身 やH. Poi c ar e
な ど優 れ た数学者 の具体 的 な発見過程 につ いて検証 して い る. われわれ は ｢ず らして考 え る｣発想 は, ｢創造 性 の基礎｣ に対応 す る もので, ｢理解 ｣ の過程 で考 え て い る対象 を既 習 の知 識 や それ に似 た もの‑の転化 と考 え ることがで きる. この ｢ず ら して考 え る｣ ス トラテ ジー の重要性 を意 識 した授 業展 開が,数 学 的活動 の活性 化 を引 き起 こす ことにな る. また, こ の考 え は数学 の本 質 で あ る異 な る ものを等号 で結 ぶ不 変性 の重要 性 を気 づかせ るため に も 効果 的で あ る.授業展 開 の場面 で子 ど も達 の具体 的 な活動 を と らえやす くな る. た とえ ば, 数 や式 を絵 図 や図形 , グ ラフな どで表現 して考 え る対 象 を変化 させ,視覚化 させ る ことに
よ り別 の発想 で考 え る こ と も可 能 で あ る.
また,
∫. Hadamar d
は発 明 に は二種 類 の ものが あ り ｢その一 つ は, 目標 が与 え られ て い平 岡 :授業 にお ける数学 的活動 の研究 (Ⅰ) 59
て, それ に到達 す る手段 を兄 いだす もので あ り, したが って心 は目標 か ら手段‑,問題 か ら解答 ‑向か う. もう一 つ は, それ とは逆 に,事実 の発見 であ って, その後 にそれが何 に 役立 っか を考 え る. この場 合 に心 は手段 か ら目標 に向か う. っ ま り解答 が問題 よ り前 に現 れ る｣ と述 べて い る. これ を算数 ･数学 科 の授業 で考 え る と, 問題解 決学 習 は, ｢理解｣
と ｢検討｣ の過程 が大変重要 で あ る ことを示 して い る.解 答 の予想 まで は ｢理解｣ の過程 で い ろいろな考 え方 や方法 一帰納 的 な考 え方,類推 的 な考 え方,特殊化 や単純化,記号化 や別 の ものへの表記 な ど‑を用 い,解答 の予想 がで きた後 は,解答 が成 り立 っ条件 や解答 を用 いた新 たな問題 を考 え る ことの重要性 を示 唆 して い る. このよ うに問題解決学習 にお ける ｢理解｣ や ｢検討｣ の過程 で, ｢ず ら して考 え る｣ 発想 が大 きな役割 を果 たす ことに な る. これ は ｢創造性 の基礎｣ の育成 につ なが る もので あ る.
問題解決学習 にお いて, ｢理解｣ の過程 は, 問題 を既習 の知識 を用 いて解 こうと した り, 予想 した解 か ら既習 の知識 を導 いた り未習 の知 識 と結 びっ ける ことか ら始 ま る｡ 自分 な り に理解 した問題 か ら,改 めて問題 を考 え直す ことによ り新 しい問題 が生 じる. これ は ｢理 解｣ と ｢検討｣ の過程 が ｢創造性 の基礎｣ を培 う場面 で あ り,数学 的活動 が活性化 す る重 要 な過程 で あ る ことを示 して い る.
J. Had a ma r d
が ｢誤 りにつ いて思案 す る必要 はな い.優 れ た数学者 で も誤 りを犯 す こと は珍 しくないが, その場合 にはす ぐに気 づ いて訂正 す る.私 は自分 の学生 た ちよ りも多 く 誤 りを犯 す. ただ私 はいっ もそれ を訂正 す るので,最終 の結果 にはその痕跡 は残 って いな い. その理 由 は,誤 りを生 じた ときに はいっ で も,洞察 が私 の計算結果 が あ るべ き ものに 見 え ない とい うことで私 に警告 して くれ るか らで あ る｣ と述 べて い る.算数 ･数学科 の授 業 にお いて,数学 的活動 は思考 や計算 の誤 りは必 ず生 じる もので あ り, それ らを認 め ることは必要 であ る. しか し, を避 けるよ り, それ らに気づ く数学 的 な考 え方 と計算感覚 を育 て る授業 が それ以上 に大切 で あ る ことを指摘 して い る.
中島健三 は,数学 的 な考 え方 の育成 を ｢算数 ･数学 にふ さわ しい創造 的 な活動 がで きる よ うにす る こ と｣ と し, 子 ど も達 に創 造 的 な体 験 を積 み重 ね る こ との必要性 を説 いて い る9). また, 創 造 的 な指 導 と して 目指 して い る ことは, ｢算数 や数 学 で,子 ど もに と って 新 しい内容 を指導 しよ うとす る際 に,教 師が既成 の ものを一方 的 に与 え るので はな く,子 ど もが 自分 で必要 を感 じ, 自 らの課題 と して新 しい ことを考 え出す よ うに,教 師が適切 な 発 問や助言 を通 して仕 向 け,結果 にお いて, どの子 ど もも, いか に も自分 が考 え 出 したか の よ うな感激 を持 つ ことがで きるよ うにす る｣ この よ うな学習指導 で あ る と して い る.
そ して,数学 的 な考 え方 の もっべ き ｢創造 の論理｣ と して次 の
5
点 を挙 げて い る.(1) 課題 を,簡潔, 明確,統合 な どの観点 をふ まえて把握 す ること
既 習 の知識 や習慣 的 な方 法 だ けで は処理 で きな い,何 か新 しい もの, よ り進 んだ ものを
( 2 )
仮想 な対象 の設定 と実在化 (実体化) のための手法｢仮 に‑ と して考 えてみ よ う｣ とい う態度 とこれ まで の ものによ る同化 ･調節 (3) 解決 の鍵 と しての ｢数学 的 な アイデア｣ の存在 とその意識づ け
観点 の変更,場面 の再構成,既習 の知識 とのつ なが りをつ ける ことが必要 (4) ｢構造｣ の認 識 と保存
特 に拡張 ･一般化 によ る創造 の手法 と論理 (5) 評 価
解決 の確認 とその真価 の感得,残 された問題 と発展 ‑ の志 向
これ らの
5
項 目はすべてわれわれの数学 的活動 の ｢創造性 の基礎｣で あ る ｢ず らして考 え る｣活動 と対応 して いる.既習 の知識 をその活用す る態度,観点 の変更すなわ ち ｢ず らして考 え る｣発想 を活用す る態度, 問題解決学習 にお ける ｢検討｣過程 の重視 な ど具体 的 な対応 を示唆 して い る.
このよ うに数学 的活動 を支 え る ｢創造性 の基礎｣ の表現 はそれぞれ異 な るが,既習の知 識 とのつ なが りを もちなが ら考 え る視点 を変 え ることであ ると示唆 して い る. そ して,算 数 ･数学科 の ｢基礎 ･基本｣ は数 や式 の計算力 の充実 にあ り, この計算力 の熟達 が創造性 を生 み出す力 であ り,いろいろな活動 を誘発す る ものであ ることを示 して い る.
4.
おわ りに算数 的活動 ･数学 的活動 は,作業的 ･体験 的活動,観察 ･操作 ･実験 な どの外的活動, 帰納 ･類推 ･演梓 な どの内的活動 を考 え ることが多 いが,授業展 開の中で は, それ らを誘 発 す る要因 を子 ど もの実態 や教材 によ って教 師が選択す る ことが大切 で あ る.本稿 で は, その要 因 と して ｢知識 の獲得｣｢数学 的 な考 え方｣｢創造性 の基礎｣｢応用｣ の4要因 と し て考察 を進 めて きた. われわれ は ｢創造性 の基礎｣ となる活動 は ｢ず らして考 え る｣発想
とと らえて きたが,恩 田,∫.
Hadamar d
, 中島 たちが主張 して いるよ うに,基礎 ･基本 の 確実 な定着,す なわ ち算数 ･数学 で は計算力 の充実 が不可欠 で あ り, これが個性 を生 かす 教育 の基礎 ･基本 で あ ると考 えて いる.授業 にお ける算数 的活動 ･数学 的活動 の研究 は, よ り多 くの授業実践 をふ まえなが ら調査 ･分析 を行 い, その構造 を明 らか に して い くこと にな る.参 考 文 献
1) 文部 省 小 学校学 習指導 要領解 説 算 数編 平成11年 東洋館出版 2)文部 省 中学校学 習指導要 領解 説 数 学編 平成11年 大 阪書籍
3) 文部省 高等学 校 学習指導 要領 解説 数学 編 理数編 平 成11年 実教出版
