板 垣 有 記 輔

iq

マ ル テ ィ ン ゲ ー ル 法 に よ る外 国 通 貨 の 自国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場 の 上 に書 か れ た 派 生 証 券 の価 格 付 け

Howtopriceforeigncurrencyderivativesonthespotexchange rateusingthemartingaleprobabilities

板 垣 有 記 輔

YukioITAGAKI

1.は じ め に

ブ ラ ッ ク ー シ ョー ル ズ(1973)の 一 つ の 拡 張 と し て,マ ー トン(1973)は,連 続 的 配 当 支 払 い の あ る株 式 を 原 資 産 とす る株 式 オ プ シ ョ ン 公 式 を 導 出 し た.ガ ー マ ン=コ ー ル へ 一 ゲ ン(1983) は,こ の マ ー トン ・モ デ ル の 連 続 的 配 当 支 払 い を外 国 通 貨 預 金 金 利 に 置 き換 え,そ し て,株 価 を 外 国 通 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場 に 置 き 換 え て,外 国 通 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場 を 対 象 に し た 通 貨 オ プ シ ョ ン 公 式 が 得 ら れ る こ と を示 した.

わ れ わ れ は,以 下 の 仮 定 の 下 で,マ ル テ ィ ン ゲ ー ル 法 に 基 づ い て 外 国 通 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場 の 上 に 書 か れ た 派 生 証 券 の 価 格 付 け を行 う.

仮 定1取 引 費 用,ビ ッ ト ・ア ス ク ・ス プ レ ッ ド,証 拠 金,空 売 り制 限 お よ び 租 税 が 無 い と い う摩 擦 の 無 い 市 場 で あ る.

仮 定2取 引 相 手 に 債 務 不 履 行 の リス ク は な い.

仮 定3市 場 参 加 者 は プ ラ イ ス テ ー カ ー で あ る.

仮 定4価 格 は 瞬 時 に 調 整 さ れ 裁 定 利 益 を得 る機 会 は な い.

仮 定5外 国 通 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場 は 対i数正 規 分 布 に よ っ て 表 わ さ れ る.

仮 定6自 国 通 貨 預 金 お よ び 外 国 通 貨 預 金 の 無 リス ク金 利 は,そ れ ぞ れ 一 定 の 連 続 複 利 で あ る.

2.外 貨 の 自国通 貨建 て 直物為 替 相場 の 変 動

外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場X(t)は,期 間[0,T]に 幾 何 ブ ラ ウ ン 運 動geometric Brownianmotion

dX(t)=aXX(t)dt十6XX(t)dWP(t)(1}

に 従 う も の と す る1).こ こ に,研P(t)は 客 観 的 確 率 測 度Pの 下 で 標 準 ブ ラ ウ ン 運 動(ウ イ ナ ー 過 程)で あ る2).

1)外 貨 の 自国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場 に お い て,外 国通 貨1単 位 一X(≠)円

20季 刊 創 価 経 済 論 集VoLXXXVI ,No.1・2 自 国 無 リ ス ク 資 産(円 預 金)が 存 在 し,期 間[0,T]で そ の 利 子 率 は γdで あ る3)と す る.こ の 自 国 無 リ ス ク 資 産 価 格Bdは,

dBd(t)=7dBd(t)dt,Bd(0)=1(2) を 満 た す.

ま た,外 国 無 リ ス ク 資 産(外 貨 預 金 ・ ド ル 預 金)が 存 在 し,期 間[0,T]で そ の 利 子 率 はYf で あ る と す る.こ の 外 国 無 リ ス ク 資 産 価 格Bfは,

dBf(')=7)rBノ(')dt,Bf(0)=1(3) を 満 た す4).

さ ら に,外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場X(≠)の 上 に 書 か れ た 派 生 証 券(Derivativeswrit‑

tenontheforeignexchangerateX(t))を 考 え る.派 生 証 券 の 価 格 は,伊 藤 過 程 で あ る 外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場X(t}と 時 間tの 関 数 と な り,伊 藤 過 程

ノ(Xω,の

で 表 わ さ れ る と す る.ま ず,

(dX(t))2=(aXX(t)dt+6XX(t)dWF(t})2

=(αxX(t))2(4渉)2+2C!'x6x(x(t))2dtdWp(t)+(6xX(t))2(dWP(t))2

‑Yvi OOdt

‑6X(X(t))Zdt ,

dX(t)dt=(α κxω 漉 十 σxx(t)dWP(t))dt

=axX(t)(dt)2+6xX(t)dWp(t)dt=0

‑‑00

で あ る5)か ら,伊 藤 過 程f(X(t),t)は,

細)t>‐axdx+atdt+擶 器+2∂ 第樫+糎)

2)WP(0)=O

r<S≦t〈u⇒WP(u)‑WP(t)と 確P(S)一 四P(r)は 独 立 な 確 率 変 数 s<t⇒WP(t)‑WP(ε)〜1>(0,(4F玉D2)

WP(t)は 連 続 で い た る と こ ろ 微 分 不 可 能 な 軌 道 で あ る.

3)自 国 利 子 率 は,Yd×100%.

4)外 国 利 子 率 は,η ×100%.

5)次 の 乗 法 公 式 を 用 い て 計 算 し た.

dWP dt

dWP dt 0

dt 0 0

舟 木 直 久(2005)定 理4.6(伊 藤 の 公 式)に 対 す る 注 意,60‑61頁 ま た は 渡 辺 信 三(1975)の 式(2.7),29 頁 を参 照 せ よ.

August2006板 垣 有 記 輔 マ ル テ ィ ン ゲ ー ル 法 に よ る 外 国 通 貨 の 自 国 通 貨 建 て ²¹

+13! ^砥

亟

∂3菟(dX)・+3∂3∫

∂s2∂'̲

6XX{t)Zdtdt O

‑ 0

(dX)・dt+3∂xa3zdx+彩 璽

0(dt)Zdt

}一 ポ

o Y'

0 十...

} 0

0

=axdx+atdt+吉 鐸 譲x(t)2dt

(1)よ り

一 〇f

ax(axXdt+6XXdWP)+atdt+去 轟 撚(t)2dt

一(霧+殿 α盛+蒜 詠x(ゆ+畿 諏緋 ₍₄₎

を 満 た す6).

3.外 貨の 自国通貨建て直物為替相場の上 に書かれた派生証 券の複製 と派生証券価 格が 服 すべ き偏微分方程 式の導出

外 国 無 リ ス ク 資 産 と 自 国 無 リ ス ク 資 産 と か ら な る ポ ー ト フ ォ リ オ を 構 成 し て,派 生 証 券 を 複 製 す る.時 点tの 外 国 無 リ ス ク 資 産 の 保 有 量 をx(t)と 自 国 無 リ ス ク 資 産 の 保 有 量 をy(t)す る と, 時 点tの 当 該 ボ ー一 ト フ ォ リ オ の 自 国 通 貨 建 て 価 値G(の は,

G(t)=」Bf(t)X(t)x(t)一 トBd(t)y(t)(5)

で あ る.こ の ポ ー ト フ ォ リ オ が,資 金 自 己 調 達 的 で あ る7)(セ ル フ ・フ ァ イ ナ ン シ ン グ ・ポ ー ト

6)伊 藤 の 公 式:dX(t)一 舐X(t),t)dt+g(X(t),t)dZP(t)を 満 た す 伊 藤 過 程X(t)と 時 間tの 関 数 f(X(t),t)∈C2級 に 対 し て,Y=f(X(t),の で 定 義 さ れ る伊 藤 過 程 は,確 率 微 分 方 程 式

d昨of(x(t),tax)dX+∂f(X(tat)・t)dt+2a2f(x(t)axZ・t)(dX)・

を 満 た す.

7)資 金 自 己 調 達 的:無 限 小 時 間 で の ポ ー トフ ォ リ オ の 価 値 は,一 切,ポ ー ト フ ォ リ オ を 構 成 す る 各 資 産 の 価 格 の 変 化(キ ャ ピ タ ル ゲ イ ン あ る い は キ ャ ピ タ ル ロ ス)に よ る も の で,外 部 か ら の 資 金 の 投 入 あ る い は 引 き 上 げ に よ ら な い.

時 点t‑dtの ポ ー トフ ォ リ オ が(x(t‑dt),y{t‑一 一dt))で あ っ た と す る.こ の ポ ー ト フ ォ リ オ の 時 点tで の 評 価 額 は,各 資 産 の 時 点tの 価 格 が(Bf(t)x(t),盈('))で あ る か ら,Bf(t>x(t>x(t‑dt)+Bd(t)y('

‑dt)で あ る.こ の 評 価 額 と 資 産 価 格 体 系(Bf(t)x(t),Bd(t))の も と に 資 金 自 己 調 達 的 予 算 制 約 式 の 条 件 self‑financingconditionBf(')X(t)x{t)+Bd(t)y(t)=Bf(t>x(t)x(t‑dt)+Bd(t)y(t‑dt)を 満 た す よ

う に 時 点tの 新 し い ポ ー トフ ォ リオ(x(t),y(t))に 組 み 替 え る.

よ っ て,Bf(')x(t}(x(t}‑x(t‑dt))+Bd/t¥(y(t>‑y(t‑dt))‑0で あ る.dt→0と す れ ば,Bf(t)x (の ぬ(t)+」Bd(t)dy(t)=0を 得 る の で

dG(t)=d(Bf(t)X(t)x(t)十Bd(t)y(t))

=d(Bf(t)X(t))x(t)十dBd(t)y(t)十Bf(t)X(t)dx(t)十Bd(t)dy(t}

=d(Bf{t)X(t))x(t)十dBd(t)y(t) 0

が 成 立 す る.

22季 刊 創 価 経 済 論 集Vo1 .XXXVI,No.1・2 フ ォ リ オself‑financingportfolioで あ る)と 仮 定 す れ ば,ポ ー トフ ォ リ オ の 価 値 の 時 間 変 化 は

dG(の=d(Bノ(のX(t))灘(の 十Iw,(t)y(の

̲(dBf(t)・X(t)十Bf(t)・dX(t))x(t)十dBd(t)y{t)

=(η β プ(')4')x(t)x(t)十Bf(t)(α κx(')dt十6xX(')dWP)x(t) 十74、8d(t)dty(t)

={rfBf{t)X(t)x(t)十Bf(t)CYXX(t}x(t}十YdBd(t)y(t)}dt 十Bf(t)6XX(t)x{t)dWP(6)

で あ る.

こ の 資 金 自 己 調 達 的 ポ ー ト フ ォ リ オ は,外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場X(t)の 上 に 書 か れ た 派 生 証 券 の 複 製 で あ る か ら,無 裁 定no‑arbitrage8)の 下 で は,各 時 点t∈[0,T]で

.f(X('),≠)==G(t)(7) df(X(t),t}=dG(t)(8)

が 成 立 す る よ う に,ポ ー ト フ ォ リ オ(x(t>, .Y(t))は 構 成 さ れ な け れ ば な ら な い か ら,(4), (6),(8)よ り,dtの 係 数 とdWPの 係 数 と が 一 致 し な け れ ば な ら な い の で,

YfBfX(t}x(t)+B・ ακx(加(t)+商(t)=a+∂x

B・(t)6xX(t)x(t)‑ax6Xx(の

が 成 立 し な け れ ば な ら な い.(10)よ り of

x(t)‑Bf(t)ax

∂急x+壱 轟 融)・

t9)

(10)

(11)

で あ る.

(5),(7),(11)よ り

ノ(X(t)・ の 一B・(t)x(t)axB

f{t)+B・(の 夕(の 一x(t>ofa

x+B・ ω 州 よ っ て,

(f‑x(t)ofax)

y(t)=$

d(t) で あ る.

こ れ と(11)を(9)の 左 辺 に 代 入 す る と

8)投 資 資 金 ゼ ロ で リス ク を負 う こ とな く確 実 に儲 け る こ とは 出 来 な い.

August2006板 垣 有 記 輔:マ ル テ ィ ン ゲ ー ル 法 に よ る外 国 通 貨 の 自 国 通 貨 建 て23 0f

axofax∫‑ofaxx(t)r fBf(t)x(t)B

f(t)+媚 ノ(t)X(t)Bf(t)+.1(t}Bd(t)

‑of

at+薮 飯x(t)+22V26XX2(t)

で あ る.こ れ を整 理 し て,外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場X(t}の 上 に 書 か れ た 派 生 証 券 価 格 ノ(X(t),t)が 従 うべ き次 の 偏 微 分 方 程 式PDEforthederivativeprice

を 得 る.

よ っ て,つ ぎ の 定 理 を 得 る.

of+( …)x(')∂f+蒜 多凝(')一 雇 (12)

定 理1派 生 証 券 が 対 象 と す る 外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場X(t>が 6Z♪((t)=Q'xX(のdt十6xX(t){ゴ レVP(の(1)

に 従 い,自 国 無 リ ス ク 資 産 価 格Bdは, Ii,(')=i,(t)dt,Bd(0)=1(2) に 従 い,

外 国 無 リ ス ク 資 産 価 格Bfは,

dBf(t)=η β!(t)dt,Bf(0)=1(3)

に 従 う も の と す る.こ の と き,無 裁 定 の も と で 外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場X(t)の 上 に 書 か れ た 派 生 証 券 価 格f(X(t),t)は,偏 微 分 方 程 式

と 終 端 条 件theboundarycondition

∫(X(7'),T)=の(X(T)) を 満 た す.

of+( rd‑Yf)X(凛+1轟 践 脚)‑rdf

満 期 ペ イ オ フ9)

(12)

(13)

4.確 率 測度 の 変換 に よ る リス ク中立化

リ ス ク の 市 場 価 格themarketpriceofrisk

飯 一(Yd‑rf) 6x

が ノ ビ コ フ の 条 件

9)デ リバ テ ィ ブ の 満 期 時 の ペ イ オ フf(X(T),T)は,外 貨 の 自国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 揚X(t)の 満 期 時 の 価 格X(T)と ペ イ オ フ と を 関連 付 け る数 式 の(X(T))に よ っ て 契 約 の な か で定 め られ る.

φ(X(T))

一max(X(T)‑K ,0):ヨ ー ロ ピ ア ン 外 貨(ド ル)コ ー ル 自 国 通 貨 プ ッ ト オ プ シ ョ ン :満 期Tに,1ド ル をK円 で 買 う権 利 を ドル コ ー ル 円 プ ッ トの 買 い 手 に 与 え る

=max(K‑X(T) ,0):ヨmピ ア ン 外 貨(ド ル)プ ッ ト 自 国 通 貨 コ ー ル オ プ シ ョ ン :満 期Tに,1ド ル をK円 で 売 る 権 利 を ドル コ ー ル 円 プ ッ トの 買 い 手 に 与 え る 一X(T)‑K:外 貨 の 先 渡 し=満 期Tに ,1ド ル をK円 で 買 う

z4 季刊 創 価 経 済 論 集 Vol.XXXVI,No.1.2

∀t>αr← ÷ズ串 鉢)<・・

を 満 た す と 仮 定 す る10).確 率 測 度Pに 関 す るQの ラ ド ン ー ニ コ デ ィ ム の 導 関 数Radon‑

Nikodymderivative

‑f̀αx‑(Yd

6X‑yf)dWP‑12一 ノ(̀(αx‑(Ya6x‑YJ))2dsdQ̲

一=edP

に 対 し て,確 率 測 度Qを

Q(A)哩 μ 雫)  矧 聖)zdsaP(A∈Ft)

と 定 義 す る.こ の 確 率 測 度 の 変 換P→Qを ド リ フ ト の 変 換transformationofdriftま た は ギ ル サ ノ ブ 変 換theGirsanovtransformation11)と い う.こ の と き,Cameron‑Martin一 丸 山 一Gir‑

sanOVの 定 理12)よ り

晒 諄 晒')+∬ 伽(rd6

x‑rf)ds

と 定 義 さ れ る 確 率 過 程WQ(t)は,確 率 測 度Qの も と で 標 準 ブ ラ ウ ン 運 動(ウ イ ナ ー 過 程)で あ る.す な わ ち,

ワ79(0)‑O

r<S≦t<u⇒ 研9(u)一 レ79(t>とWQ(S)‑We(Y)は 独 立 な 確 率 変 数 S<t⇒wg(t)‑We(S)〜N(0,(t‑s)2)

P四(t)は 連 続 で い た る と こ ろ 微 分 不 可 能 な 軌 道 で あ る.

WQ(t)の 定 義 よ り

dWQ(t)̲御 ・(t)+改 一(rd‐rf)dt 6X で あ る か ら,

dX(t)=(rd‐rf)X(t)dt‑(Yd‑rf)X(t)dt十LYXX(t)dt十6xX(t)dWP(t)

一(7d㎜ η)x(t)dt+仮x(t)(dW・(t)+伽(農 一 η)dt)

10)ノ ビ コ フ の条 件 よ り弱 い風 巻 の条 件

垂 ∬串 炉)<・・

を仮 定 し て も よ い.エ ク セ ン ダ ー ル(1999)63頁.

11) 12)

dYV°

エ ク セ ン ダ ー ル(1999)182頁.舟 木 直 久(2005)定 理5.17(Girsanov一 丸 山 の 定 理),94〜96頁.

R.H.CameronandW.T.Martin(1945)pp.184‑219.

G.Maruyama(1955)pp.48‑90.

1.V.Girsanov,(1962)pp.285‑301.

ギ ル サ ノ ブ の 定 理 の 要 点 は,ド リ フ ト 項 の 改X(t)か ら(Yd‐Yf)x(t>へ の 変 換 が あ っ て も,拡 散 項 は σκX(t)の ま ま で は 変 化 し な い こ と で あ る.エ ク セ ン ダ ー ル(1999)定 理8.6.4(ギ'ル サ ノ ブ の 定 理II), 184頁.

August2006板 垣 有 記 輔 マ ル テ ィ ン ゲ ー ル 法 に よ る 外 国 通 貨 の 自 国 通 貨 建 て ²⁵

̲(rd‑rf}X(t)dt十6XX{t)dWQ, す な わ ち,

dX(t)̲(rd‐rf}X{t)dt‑1‑6xX{t)dWQ を 得 る13).よ っ て,

dl・gX(t)‑dX(tX(t))‑1(dX(tX(t)))'

一(η 一 η)dt十 σをo弼7ρ(t)一 去 融

一(η… ÷ 棚+6XdWQ ,

13)こ の 確 率 微 分 方程 式 の両 辺 を積 分 す れ ば

X(・)‑X(t)+∬(7・‑rf)X(・)ds+16XX(・ 脚 ・ こ の両 辺 に確 率 測 度Qの も とで の条 件付 き期 待 値 を とれ ば, E・(x(・)x(t)‑x)‑x(')+E・(f(…)x(・)ゐ1x(t)一 の

+E4(∬ σ・x(・)dWQIX(t)一 の

0

両 辺 を τで微 分 す れ ば, dE

dr・(x(・)lx(の+岳 廊)+E・((…)x(・)釜x(の 一x)

一〇

=(rd‑Yf)EQ(X(τ)lx(t)=x)

dzEQ(X(・)lx(t)一 釧 ・=t‑(Yd‑rf)x(t), 1de

X(t)dzE(x(・)lxω 一 釧 ・=t=…

(確 率 測 度Qの も と で 外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 将 来 直 物 為 替 相 場 の 瞬 間 的 変 化 率 の 期 待 値=内 外 金 利 差) と い う 関 係 式 が 成 立 す る.

こ れ は,低 金 利 国 で 借 り入 れ 外 国 為 替 市 場 で 直 物 取 引 し て 高 金 利 通 貨 と 交 換 し 高 金 利 国 で 運 用 し て 内 外 金 利 差 に よ る 利 鞘 を稼 い で も,丁 度 そ れ を相 殺 す る よ う に 平 均 的 に は 将 来,低 金 利 国 通 貨 高 ・高 金 利 国 通 貨 安 に よ る 為 替 差 損 を 蒙 る と い う,確 率 測 度Qの も と で の カ バ ー な し 金 利 裁 定 式uncoveredinterestparity

undertheprobabilitymeasureQに 他 な ら な い.

な お ・X(t)dzEe(X(・)IXω 一x)1・=t‑rd‑r}'で あ っ て ・XI(t)Ee(dX(・ 脚'圃 一(rd‐rf)dt で は な い こ と に 注 意 す べ き で あ る.こ れ に つ い て は,DarrelDuffie(2001).pp.86‑87.

J.M.ケ イ ン ズ は,金 利 裁 定 式 の 発 見 者 の 一 人 で あ る.彼 は,最 初 英 国 で1923年12月 に 刊 行 し た 『貨 幣 改 革 論 』 に お い て,次 の よ う に 言 っ て い る.「 為 替 の 危 険 を 考 慮 し な い な ら,つ ま り,為 替 の 危 険 が 補 填 さ れ る な ら,直 物 為 替 と先 物 為 替 の 値 開 き は,貨 幣 ・為 替 市 場 が 資 金 を 一 地 点 よ り も 他 の 国 際 的 地 点 に お き た が っ て い る程 度 を 示 す 明 確 な 尺 度 で あ る.そ れ で は,こ の 選 好 の 決 定 要 因 は 何 で あ ろ う か.

最 も 基 本 的 な 要 因 は,比 較 し よ う と す る 二 つ の 中 心 地 の 金 融 市 場 に お け る,「 短 期 」 資 金,す な わ ち,短 期 間 貸 し付 け られ,あ る い は 預 金 さ れ る 資 金 に 対 す る 利 子 率 に み ら れ る.も し,ニ ュ ー ヨ ー ク の ドル の 貸 手 が 一 カ 月 に 年 率5 .5パ ー セ ン トの 利 子 を得 る の に対 して,ロ ン ドン の ポ ン ドの 貸 手 が 一 カ 月 に4パ ー セ ン トの 利 子 し か 得 ら れ ぬ と す れ ば,資 金 を ロ ン ドン よ り も ニ ュ ー ヨ ー ク に 置 き た い と欲 す る の は 言 う ま で も な い.す な わ ち,高 金 利 の 金 融 市 場 の 先 物 相 場 と低 金 利 市 場 の 間 の 金 利 差 の 一 カ 月 分 の パ ー セ ン テ ー ジ だ け 直 物 相 場 よ り も安 く な る 傾 向 が あ る.」(ケ イ ン ズ(1968)106〜107頁)

26季 刊 創 価 経 済 論 集VoI .XXXVI,No.1・2

1・gX(T)‑1・gX(t)+((rd‐Yf)126x)(T‑t)+6x(脚)‑WQ(t)).

よ っ て,確 率 変 数logX(T)は,正 規 分 布 に従 い,

1・gX(T)‑N(1・gX(t)+((ra^Yf)一 吉 践)(T‑t)・(6xT‑t)今

したが って,確 率変数X(T)は,対 数正規分 布に従 い,

X(T)一 五(1・gX(t}+((rd‐rf)26x(T‑t),(6XT‑t)㌻

よ っ て,X(T)の 条 件 付 期 待 値 は,

E・(X(T)lx(t)‑x)一 θ ・・X(t)・((Ya‑YJ)‑26x)(・ 一 の ・(6xT‑Tt2>2

=e'。gX(t)+(rd‑rt)(T一 舌)一ε109Xω θ(rd‑rf)(T‑tLX(t)e(Td‑rf)(T‑t) で 与 え ら れ る14).

よ っ て,

X(t)=e‑(ra‑rf)(T‑t)EQ(X(T)lx(t)=x)

と な る.こ の よ う に し て,Cameron‑Martin一 丸 山 一Girsanovの 定 理 に よ り,外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場X(t)の 動 学 は,リ ス ク 中 立 化 で き る.

実 際,確 率 測 度Qの も と で,外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場X(t}に つ い て,

X(t)=e‑(rd‑rf)(T一 のEQ(X(T)IX(t)‑x)が 成 立 す る か ら,確 率 測 度Qの も と で,外 国 無 リ ス ク 資 産 の 自 国 通 貨 ベ ー ス の 価 値Bf(t)x(t)に つ い て,

、8f(t)x(t)ニBf(T)e一rf(T‑t>e(ra‑Y」)(T一 のE9(x(T}lx(の=x)

‑ Br(t)X(t)

=e‑ra(T‑t)E。(Bf(T)X(T)lx(t)=x)

が 成 立 し,定 理2で 示 す よ う に 確 率 測 度Qの も と で,外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場.X(t) の 上 に 書 か れ た 派 生 資 産 価 格 に っ い て,

f(X(t)・の一謹 畷 響lx(t)一)

が 成 立 す る.も ち ろ ん,自 国 無 リ ス ク 資 産 の 価 値Bd(t>に つ い て, Bd(t)=・Era(T一 舌)βd(T)=erd(T‑t)E9(jBd(T)IX(t)=x)

が 成 り 立 っ.

こ の よ う に,客 観 的 確 率 測 度.Pの 下 で の 各 資 産 の リ ス ク の 有 無,大 小 の 如 何 に か か わ ら ず, 確 率 測 度Qの も と で は,経 済 の 全 て の 資 産 の 条 件 付 期 待 収 益 率 は,自 国 無 リ ス ク 資 産 の 収 益 率

Ydに 等 し く な る.

こ の た め に,確 率 測 度Qを リ ス ク 中 立 測 度therisk‑‑neutralmeasureと 呼 ぶ.

14)一 般 に,lnX〜N(μ,σ2),X〜 ノ1(μ,σ2)の と き,

E(X)一 滋E(X)「 巌 ズ..沸 イ2伽 誘 である・

August2006板 垣 有 記 輔:マ ル テ ィ ン ゲ ー ル 法 に よ る 外 国 通 貨 の 自 国 通 貨 建 て27

ま た,B(τ)一 召π>0と 置 け ば,確 率 測 度Qの も と で,自 国 無 リ ス ク 資 産 を ニ ュ ー メ レ ー ル

put

nurneraireに も つ 外 国 無 リ ス ク 資 産 の 自 国 通 貨 ベ ー ス の 価 値.8f(≠)X(≠)に つ い て, Bf(t)X(t) =EQ(Bf(T)X(T)IX(t)=x

/Bd(t)Bd(T)

が 成 立 し,確 率 測 度Qの も と で,自 国 無 リス ク 資 産 を ニ ュ ー メ レ ー ル に もつ 外 国 無 リ ス ク 資 産 の 自 国 通 貨 べ 一 ス の 価 値Bf(t)x(t)の 変 動 過 程(島 錨 ω)は,マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る.さ

ら に ま た,確 率 測 度Qの も と で,自 国 無 リス ク 資 産 を ニ ュ ー メ レ ー ル に もつ 派 生 資 産 価 格 に つ f(S(T),T)

Bd(t)Bd(t)自 国 一 クー ユ ー メ ー

に もつ 派 螢 産 価 格 の 変 動 過 程(ノ(s(t),tBit)))も ま た マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る.こ の 鵬 確 率 測

度Qを 同 値 マ ル チ ン ゲ ー ル 測 度equivalentprobabilitymeasure15)と も 呼 ぶ.

5.外 貨 の 自国通 貨建 て直 物為 替 相 場X(t)の 上 に書 かれ た派 生 証 券 の 無裁 定価 格 公 式

フ ァ イ マ ン ー カ ッ ツ の 確 率 表 現 定 理Feynman16)‑Kac17)stochasticrepresentationtheorem を 適 用 し て,次 の 定 理 を 得 る.

定理2(外 貨の 自国通貨建 て直物為替相場X(t)の 上 に書 かれた派生証券の無裁定価格付 け) 偏微分方程 式

of

at+(Yd‑rf)x(t)ofax+22aX26XX2(t)Ydf(・2) と 終 端 条 件

f(X(T),T)=φ(X(T)):満 期 ペ イ オ フ(13)

を 満 た す 解 を ノ(X(t),t)と す る.こ の と き,外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場X(t)の 上 に 書 か れ た 派 生 証 券 の 価 格f(X(t),t)は,確 率 的 表 現

.f(X(t),t)=e‐ra(T‑t)EQ@(X(T))lX(t)=x)(14)

15)こ こ で は,現 実 社 会 の 確 率 計 算 に 用 い る 現 実(客 観)確 率 測 度Pと 互 い に 絶 対 連 続 な 確 率 測 度 で リ ス ク 中 立 世 界 の 確 率 計 算 に 用 い る リ ス ク 中 立 確 率 測 度Qを 同 値 マ ル チ ン ゲ ー ル 測 度 と い う の で あ る.ム ジ エ ラ ール ト コ フ ス キ ー は,そ の 確 率 測 度Qの も と で,自 国 無 リ ス ク 資 産 価 格B(τ)を ニ ュ ー メ レ ー ル に 持 つ 各 派 生 資 産 価 格 の 変 動 過 程 が マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る こ と か ら,確 率 測 度Qを 自 国 マ ル テ ィ ン ゲ ー ル 測 度domestic martingalemeasureと 呼 ん で い る.Musiela,M.andM.Rutkowski(2005)p.148.

16)R.J.Feynman(1948)pp.367‑387.

17)M.Kac(!949)p.651.カ ッ ツ は,ポ ー ラ ン ド生 ま れ の 確 率 論 の 専 門 家 で,量 子 力 学 と オ プ シ ョ ン 理 論 の 双 方 で 用 い ら れ る偏 微 分 方 程 式 の 解 法 で あ る フ ァ イ マ ン=カ ッ ツ 法 に よ っ て 物 理 学 の 世 界 で も金 融 工 学 の 世 界 で も 良 く知 ら れ た 人 物 で あ る.(エ マ ニ ュ エ ル ・ダ ー マ ン 『物 理 学 者,ウ ォ ー ル 街 を往 く ク オ ン ツ へ の 転 進 』 東 洋 経 済,2005年.

28季 刊 創 価 経 済 論 集Vol .XXXVI,No.1・2 を も つ18).こ こ に,X(t)は 確 率 微 分 方 程 式

dx(t)一(7ゴ ーrf)X(t)dt+6XX(t)dWQF(15) を 満 た す.

証 明19)f(X(t>,t)に 伊 藤 の 定 理 を 適 用 す る と af(x(t),t)af(x(t),t)1a2f(x(t),t)(dx>2

̲af(x(t)

ax・t)((7一 η)x(t)dt+6xX(')4晒+of(X(tat)・t)dt +吉 ヂ∫(x(t)axe・t)((rd‑rf)X(t)dt+6xX(')鋼 ・

‑of(x(t>ax・t)((…)x(t)dt+6xX(耀 ・)+of(X(ta

t)・t)dt

+1a2f(x(t),t2axe)((一 一 軍+2(rd‐rf)6xX(蝉

+融)鯛

一(of(X(t

at)・t)+∂f(x(t>ax・t)(rd‑rf)X(t)

1a2f(x(t),t)2z/+

2axe6Xx(t)dt +of(x(t)ax・t)砺x('脚 ・

(12)よ り

一 雇(x(')渤+of(x(t)a

x・ ≠)践x(t)dW・

で あ る.終 端 条 件(13)に 留 意 し な が ら,両 辺 をtか らTま で 積 分 す る と φ(X(T))‑f(X(t},t)〆 晦伽+θ 侮 ∬e∬ 諭(X(s)ax・S)砒x(s)dW4(∫)

す なわち,

の(x(T))♂   一 ∫(x(t),t)+∬ εμ 縦(X(s),sax)姻s)dW・(s)

リス ク 中 立 確 率 測 度Qの も と で,条 件X(t>=詔:所 与 な る 条 件 付 期 待 値 は EQ(φ(X(T))召 伽lxω 一 必)

‑f(X(t} ,t}+EQ(/'TsJfrddu

te!‐(X(S)S)砺x(S)姻

18>(14)式 は,時 点tに お け る 派 生 証 券 の 価 格f(X(t),')が,確 率 測 度Qの も と、 満 期 時 点Tに お け る 当 該 派 生 証 券 の ペ イ オ フ の(X(T))の 条 件 付 期 待 値EQ(φ(X(T))lX(t)=x)の 割 引 現 在 価 値e‑rd(T‑t)E9(の

(X(T))IX(t)=.x)に 等 し い こ と を示 し て い る.

19)F.C.Klebaner(2005)p.155.

August2006板 垣 有 記 輔:マ ル テ ィ ン ゲ ー ル 法 に よ る 外 国 通 貨 の 自 国 通 貨 建 て29 伊 藤 積 分 の 性 質(zeromeanproperty20)に よ り

E・(∬ 〆 ㌦ 副(X(sax}ax・s)6XX(S)dWQ(S))一 ・ で あ る か ら ・

=f(X(t> ,t)

で あ る.証 了

6.外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場X(t)の 上 に 書 か れ た ヨ ー ロ ピ ァ ン 外 貨 コ ー ル 自 国 通 貨 プ ッhオ プ シ ョ ン の 無 裁 定 価 格

命 題 リス ク 中 立 的 確 率 測 度Qの も と dX(t)̲(rd‑rf}X(t)dt十6XX(t)dWedS(t)(15) X(t)=x

を満 た す 外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場X(T)の 対 数 変 換10gX(T)は, 1・gX(T)‑N(1・gX(')+((衛 一 η)26X}(T‑t},(6XT‑t)う

で あ る.

証 明X(t>の 対 数 変 換 Y(t)=logX(t)

に,伊 藤 の 公 式 を 適 用 す る と

dY(t)‑dl・gX(t)‑dlogXdX(t)dx(t)+1d210gX2dX2(')(dx(t))・

‑dx(t

x(t))‑1(dX(tx(t})Y

‑(Yd‑rf)dt+σx4脚)一 音((γ ・一 η)dt+σx4脚))2

‑(rd‑rf)dt+6XdWQ(t)‑12((一 η)z{dt)2

0+2(一 噺 蝉 互

+6X(學 う

一(1̲27・一 η「 ガσx)dt+配 脚) よって,

1・gX(T)‑1・g珊+((Yd‑rf)一 壱 護)(T‑t)+戯(WQ(T)‑WQ(t))

で あ る.し た が っ て,

x(T)̲X(t)e(ye‑yr‑1z26x)(T‑t)・ 傷 ㈹)‑W°(t))

20)エ ク セ ン ダ ー ル(1999)定 理3.2.1の(111),33頁.

F.C.Klebaner(2005):Theorem4.3,3:zeromeanpropertyp.96.

30季 刊 創 価 経 済 論 集VoLXXXVI,No。1・2 リ ス ク 中 立 確 率 測 度Qの も と で 期 待 値EQ(logX(T))は

E・(1・gX(T))‑1・gX(t)+((…)126x)(T‑t)+仮 一

〇

‑1・gX(t)+((rd‐rf)‑26x」

リ ス ク 中 立 確 率 測 度Qの も と で 分 散Ve(logX(T))は Ve(ZogX(T))=EQ((logX(T)‑E9(logX(T)))2)

=6XEQ((W4(T}‐We{t))2)=6XCT‐t)

‑ T‑t よって

logX(T)‑N(1・gX(t)+((Yd‑rf)126x)(T‑t),(26xT‑t)

証 了

定 理3(外 貨 の 自 国 通 貨 建 て ス ポ ッ ト相 場X(t)の 上 に 書 か れ た ヨ ー ロ ピ ア ン 外 貨 コ ー ル 自 国 通 貨 プ ッ トオ プ シ ョ ン の 無 裁 定 価 格21))

行 使 価 格K,満 期Tを も つ ヨmピ ア ン ・外 貨 コ ー ル ・ 自 国 通 貨 プ ッ トオ プ シ ョ ン の 時 点t 現 在 の 価 格C(t)は

C(t)=X(t)・e‑rf・1>匿(dl(X(≠),t))一 」κ ・e‑ra(T‑t)・1>(d2(X(t),t))(16) で あ る22).こ こ に,Nは 標 準 正 規 分 布N(0,1)の 分 布 関 数 で あ り,

dl(X(t},t}=1

6XT‑t(1・9(X(tK))+(… 歩)(T‑t))

d2(X(t),t)=dl(X(t),t)‑6XT‑t で あ る23).

証 明

21)Garman,MarkB.andStievenW.Kohlhagen(1983)pp.231‑237.

Merton(1973)の モ デ ル の 株 式 の 連 続 配 当 利 回 り を 外 貨 預 金 の 無 リ ス ク 利 子 率 に,株 価 を外 貨 の 自 国 通 貨 建 て ス ポ ッ ト相 場 に 読 み 替 え る と マ ー ト ン ・モ デ ル はGarman,MarkB.andStevenW.Kohlhagen(1983)

の モ デ ル に な る.

ジ ョ ン ・ハ ル(2005)433〜439頁 お よ び ビ ョ ル ク(2006)185頁.

22)醐 一∠議 幽:騨 正規 分布N(0,(Nl)2}の 分布 関数(累融 麟 数)で その確較 蜘 が 鉱

り小 さ い 値 を と る確 率Q(Y<x)で あ る.

23)行 使 価 格K,満 期Tな る ヨ ー ロ ピ ア ン ・外 貨 コー ル ・ 自 国 通 貨 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン の 価 格C(t)は,現 在 時 点tの 外 貨 の 自 国 通 貨 建 て ス ポ ッ ト相 場X(t),行 使 価 格K,満 期T,内 外 の 無 リ ス ク 利 子rd,Yfお よ び 外 貨 の 自 国 通 貨 建 て ス ポ ッ ト相 場 の ボ ラ テ リ テ ィ ー σxの6つ の パ ラ メ ー タ ー に 依 存 し て き ま る.外 貨 の

自国通 鍵 てスポ ッ ト欄 の醐 的鵬 変イヒ率)炉 意 岳E・(x(・)脹1・ は鮪 しな いこ とに臆 し な けれ ばな らな い・ な お・ 炉 痴 岳 酬X(・))1認1X(t)E・(dx(t))一 α誠 表 現す るの は全 く

の 間 違 い で あ る.こ れ つ い て は,DarrelDuffie(2001)pp.86‑87.

August ま ず,

2006板 垣 有 記 輔 マ ル テ ィ ンゲ ー ル 法 に よ る外 国通 貨 の 自国 通 貨 建 て

E'=

put

と 置 け ば,

(zρ(T)̲Ze(t)) T‑t

3x

E・(ε)‑E・((zg(T)‑ZR

,IT‑t(t)))一 万 ≒ 型 一 一〇

〇

一 礁(T)‑ZQ(tT ‑t))EQ((zQ(T)‐Ze(tT‑t))2)

一EP̀/ (ZR(T)‑Ze(t))

T‑t

̲.E9((zg(T)‑zρ(の)2)T‑t

T‑tT‑一 一t

)2)‑EQ(

v

(zρ(T)

T三 子Qω)2)

=1

よ っ て,

ε 〜N(0,1)

X(T)̲X(t)e(Yd‐Yf‑2ax)(T‑t)・aXT‐t・s

で あ る.

定 理4(外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場X(t)の 上 に 書 か れ た 派 生 証 券 の 無 裁 定 価 格 付 け) よ り,行 使 価 格K,満 期Tを も つ ヨ ー ロ ピ ア ン ・外 貨 コ ー ル ・ 自 国 通 貨 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン の 無 裁 定 価 格C(の は

C(t)=2‐ra(T‑t)EQ(φ(X(T))lx(t)=x)

一 ε一アd(T一のEQ(max(X(T)‑K,0)IX(t)一 ∬)

‑e‐rte{T一 のE・(max(X(t)e(を η一26x}(T‑t)+6xT‑t‑e̲T‑'O)IX(t)‑r

一 ε一一rmax(X(t)e(Yd‑rf‑Z6×1(蹄 謳 ε却)右 ぬ

24)‑2  ・‑t)

EO..(X(t)歯 η卸 一t)+OxT‑d・E‑K)右 ε曝

24)外 貨 コー ル 自国 通 貨 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ンの 場 合,満 期 日Tの 外 貨 の 自国 通 貨 建 て 直 物 相 場X(T)が 権 利 行 使 価 格Kを 下 回 る と きの ペ イ オ フ は ゼ ロ に な る か ら,積 分 も満 期 日Tの 外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 相 場X

(T)が 少 な く と も権 利 行 使 価 格Kに 等 し くな る よ う な εの 範 囲 だ け を積 分 区 間 とす れ ば よ い.す な わ ち,

(rd‐rf‐20'z}(T‐t)+vXT‐t・eX(t)e>K ,

(rd‑r,‑26X)(T‑t)+6xT‑t・EKe>

X(t),

(Yd‐rf26X)(T‑t)+6xT‑t・ ・>1・KgX(t)・

32 季 刊 創 価 経 済 論 集Vo1.XXXVI,No.1・2

… 蝋蕉x(t)ε 剛(矧 極侮 ε右 晦 ∬..κが 漉)

一 〆d(T‑t)(A‑B)

B‑∬..κ 右6‑EZ2

=、 κ ・N(一 ε。)

‑KX(t「(_K・N(‑109

薦 一K∬..

AB

斎 一毎 一κ ∫二ε0湯 一EZ2de 一 ハ!(一ε。)

rd‐rf‑26x/(T‑t)

=K・N

6xT‑t

彗 藷)(T‑t))

1・gx(tK)+(…+詞(T‑t)

/

=K・N

6xT‑t

σ姦(T‑t) 6XT‑t

4、(s(t),t)

d』(sω,t)

=K・N(d2(x(の ,')).

A‑∬..X(t)e(Ya一 η一券戯)(T‑')  西'ε 右 召一毎

一x(')与 吉鋼 ∬..縛 ・曝

一x(')θ ←蕩 翔 ∬ ㌔ 卸 ・一 薦

一x(Yd‑Y12t)ef‐zaX飯)(T一 つ ∬..‑Z((E‑6xe‑(・ 一の〉漉

一x(Yd‑rlzt)es‑ZQX飯)(T  の ∬..げ 去←‑1ez… 一の薦

x(')6@η 一謬 丁一脚 『''∬..

θ一壱(… …de

‑x(の θ圃(T『 のθ去護(イ 召+一 漉

6'xT‑t・e>10g

logx(t)‑C ε 〉

所

K

X(t)一(rd… 詞(T‑t),

・・… 詞(T‑t) 6xT‑t

で あ るか ら,

1・KgX(t「(7・ … 詞(T‑t)

Ep=aut6xT‑t と 置 け ば,ε の 積 分 区 間 は[ε 。,+。 。)で あ る.

August2006板 垣 有 記 輔:マ ル テ ィ ン ゲ ー ル 法 に よ る外 国 通 貨 の 自 国 通 貨 建 て

一x(t)θ 器 澗 ∬.0ε+歌 πマ 蟻

一x(')θ(囲(瓢+..斎 一去(  眉 愉

ハ/(aX〒=t,(ノ エ)2)

‑x(t)e(ra‑rf)(T‑t)

fp..右 ε 一12・s‑dxT‑t)2 ハr(σXr/T==t,(㌔ 〆D2)de

=X(t)e(rd‑rf・ ・T‑t・ム ニ

厄 滋 θ一12(畔 謬 一 N〔o,①2)

‑X(')e・ 一 ・T‑t)r一 漁 炉 τ 右 召一蜘 慮

N(一 ε〇十6xT‑t

‑x(t)e(rd‑rf)(T‑t)・1v(一 ε。+σ 評 τ=t)

=X(')押 蝋 一輪 一(畿藷 詠)(T‑‑t)+6xT‑t)

一x(の歯 一 ・・N(

戯酒

劃 一 耀 ㎎聖)壕搾 講)嗣)

1・gx(tK)+(rd‑rf‑1σ 隻)(T‑t)+σ 髪(T‑t)

)

33

=X(t}e(rd‑rf)(T‑t>・N(dl(X(t),t)) .

よ っ て,

C(t)=ε 一プd(7一舌)・.A一 θ一γd(T‑t)・B

=e‐rd(T‑t)・X(t)・e(ra‑rf)(丁 一t)・1>(dl(X(t),t))‑e‑ra(T一 の」κ ・2V(d2(X('),t})

=X(t)・e‑rf(T‑t)N(dz(X(t),t))‑K・e‑rd(T‑t)・N(d2(X(t),t)) で あ る.

証 了

7.ヨ ー ロ ピ ア ン 通 貨 オ プ シ ョ ン の プ ッ ト ・ コ ー ル ・ パ リ テ ィput‑callparity

C(t)を ヨ ー ロ ピ ア ン ・外 貨(ド ル)コ ー ル ・ 自 国 通 貨(円)プ ッ ト ・ オ プ シ ョ ン の 現 在 時 点 tの 価 格,p(の を ヨmピ ア ン ・外 貨(ド ル)プ ッ ト ・ 自 国 通 貨(円)コ ー ル ・ オ プ シ ョ ン の 現 在 時 点tの 価 格 と す る.こ の2つ の ヨ ー ロ ピ ア ン 通 貨 オ プ シ ョ ン は 共 に 同 じ 満 期 日T,同 じ 権 利 行 使 価 格Kを 持 ち,現 在 時 点tの 外 貨(ド ル)の 円 建 て 直 物 為 替 相 場x(t)の 上 に 書 か れ

て い る.満 期 日Tの ド ル の 円 建 て 直 物 為 替 相 場 をX(T),額 面1円 ・満 期Tの 割 引 債 の 現 在

34季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XXXVI,No。1・2

時 点tの 価 格 をe‐rd(T‐t)円,額 面1ド ル ・満 期Tの 割 引 ドル 債 の 現 在 時 点tの 価 格2‐rs(T‑t)ド ル,連 続 複 利 運 用 さ れ る ドル 預 金 の 利 子 率 をYf← 定)と す る.

定 理5(プ ッ ト ・ コ ー ル ・パ リ テ ィ)

ヨ ー ロ ピ ア ン ・ ド ル コ ー ル ・円 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン の 現 在 時 点tの 価 格C(t)と ヨ ー ロ ピ ア ン ・ ドル プ ッ ト ・円 コ ー ル ・オ プ シ ョ ン の 現 在 時 点tの 価 格p(t)と 間 に は,ヨ ー ロ ピ ア ン 通 貨 オ プ シ ョ ン の プ ッ ト ・ コ ー ル ・パ リ テ ィ と 呼 ば れ る 単 純 な 理 論 関 係

C(t)→̲Ke‑ra(T‑t)=p(t)̲1̲X(t)e‑rf(T‑t)(17) が 存 在 す る.

証 明 つ ぎ の よ う な2つ の ポ ー ト フ ォ リ オA,Bを 考 え る.

ポ ー トフ ォ リ オA:ヨ ー ロ ピ ア ン ・ ドル コー ル ・円 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン1枚 買 い,自 国 割 引 債K枚 買 い ポ ー ト フ ォ リ オ 単 位 現 在 時 点tの 円べ 一 ス 満 期 日Tの 円べ 一 ス 満 期 日Tの 円べ 一 ス

A の キ ャ ッ シ ュ ・ フ ロ ー の キ ャ ッ シ ュ ・ フ ロ ー キ ャ ッ シ ュ ・ フ ロ ー

X(T)<̲K KGX(T)

ヨー ロ ピ ア ン ド 1枚 ^一c(t) 0 X(T)‑K>0

ル コ ー ル オ プ シ ヨ ン の 買 い

割 引債 の買 い K枚 一K・e‐ra(T‑t) K・E‑「d(T‑t)era(T‑t)=K K・2‐rte(T一 舌)era(T‑t)=K

円 べ 一 ス の ネ ッ 一(C(t>十K・e一 制 丁一t)) K X(T)

ト ・ キ ャ ッ シ

ユ ・ フ ロ ー

ポ ー トフ ォ リオB:ド ル プ ッ ト円 コ ー ル ・オ プ シ ョ ン1枚 買 い,ド ル 預 金 証 書1枚 買 い

ポ ー トフ ォ リ オ 単 位 現 在 時 点tの 円べ 一 ス の 満 期 日Tの 円べ 一 ス の 満 期 日Tの 円べ 一 ス

B キ ャ ッ シ ュ ・ フ ロ ー キ ャ ッ シ ュ ・フ ロ ー キ ャ ツ シ ュ ・ フ ロ ー

X(T)sK K<X(T)

ヨ ー ロ ピ ア ン ド 1枚 ^一Pω K‑X(T)≧0 fl

ル プ ッ トオ プ シ ヨ ン 貝 い山

ドル預 金証 書 ^{1枚 一 θγ'・xω} 〆 ∫〆'X(7'〉=X(T) 8‐r}2rsX(T)=X(T)

円 べ 一 ス の ネ ッ 一(P(t)+召 ηxω) K X(T}

ト ・ キ ャ ッ シ

ユ ・ フ ロ ー

こ の2つ の ポ ー ト フ ォ リ オA,Bの 満 期Tの ネ ッ ト ・キ ャ ッ シ ュ ・フ ロ ー は と も にmax(X (T),K)と な っ て 等 し く,し か も 途 中 の 期 間(t,T)に は 一 切 資 金 の 流 出 入 は な い.し た が っ て,元 金 無 し で リ ス ク 無 し の 投 資 機 会 は な い と い う 無 裁 定no‑arbitrageの 条 件 の も と で は,2

August2006板 垣 有 記 輔:マ ル テ ィ ン ゲ ー ル 法 に よ る外 国 通 貨 の 自 国 通 貨 建 て35

つ の ポ ー トフ ォ リ オ の 現 在 時 点tの キ ャ ッ シ ュ ・フ ロ ー(構 成 費 用)は 等 し く な け れ ば な ら な い の で,

c(t)十 旋 イd(丁一の=p(t)十X(')2‑rf(T‑t)

が 成 立 す る.こ の 関 係 を,プ ッ ト ・コ ー ル ・パ リ テ ィtheput‑callparityformulaと 呼 ぶ.

8.ヨ ー ロ ピ ア ン ・外 貨 プ ッ ト ・自 国 通 貨 コ ー ル オ プ シ ョ ン の 無 裁 定 価 格

定 理6(ヨ ー ロ ピ ア ン ・外 貨 プ ッ ト ・ 自 国 通 貨 コ ー ル オ プ シ ョ ン の 無 裁 定 価 格25))

行 使 価 格K,満 期Tを も っ ヨ ー ロ ピ ア ン ・プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン の 時 点t現 在 の 無 裁 定 価 格 p(t>は

pfit)=e‑rdcTt'K,N(̲d2Cx{t),t))‑X(t)・erfN(̲dz(X(t),t)

で あ る.こ こ に,Nは 標 準 正 規 分 布N(0,1)の 分 布 関 数 で あ り, dz(x(t>,t)一

σ詣(1・9(x(tK))+(Y+1262)(T‑t))

読(x(t),t)‑dl(x(の,t)一 σπ=t で あ る26).

証 明

ヨmピ ア ン ・外 貨 コ ー ル ・ 自 国 通 貨 プ ッ ト ・ オ プ シ ョ ン の 時 点'現 在 の 価 格C(t}に つ い て の ガ ー マ ン;コ ー ル へ 一 ゲ ン 公 式

C(')=X(t)・e‑rf・ ノV(dl(X(t),t))‑K・e‑Yd(T‑‑t}・N(d2(X(t),t))(16) と プ ッ ト ・ コ ー ル ・パ リ テ ィ

c(t)十 」晩 一γ認 一t)=p(t)十X(t)e一 ヅ∫(丁一t)(17)

と か ら,ヨ ー ロ ピ ア ン ・ プ ッ ト ・ オ プ シ ョ ン の 時 点'現 在 の 価 格p(t)は,

一ρ(t)=C(t}十Ke‑ra(T‑t)̲X(t)e‑rf(T‑t)

‑X(t),erfcTt)N(dl(S(t)

,t))‐K・e‑ra(T‐t).N(d2(S(t),t)) 十 κ ε一アd(T一 舌Lx(t>・e‑rs(T‑t)

=θ イd(T‑t)・ κ ・(1ヨV(d2(X(の

,t)))‑X(')・e‑「 ∫(T‑t)・(1ヨ 〉(di(X(t),')))

=e‑7d(T一 のK・N←d2(X(')

,t))‑X(かe『rf(T‑t)・N(‑dl(X(t),t))

証 了

25)ジ ョ ン ・ハ ル(2005)433〜439頁.

26)行 使 価 格K,満 期Tを も つ ヨ ー ロ ピ ア ン ・外 貨 コ ー ル ・自 国 通 貨 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン の 時 点'現 在 の 価 格 C(t)は,時 点tの 外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場X(t),行 使 価 格K,満 期T,自 国 お よ び 外 国 の 無 リ ス ク利 子rd,rfお よ び 外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場 の ボ ラ テ リ テ ィー σ の6つ の パ ラ メ ー タ ー に 依 存 し て き ま る.外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場 の 瞬 問 的 期 待 変 化 率 αxに は 依 存 し な い こ と に 注 意、し よ う.

36 季刊 創 価 経 済 論 集 Vol.XXXVI,No.1.2

9.外 国為替 の先 渡 し価 格 の 無裁 定 決定

定 理7(先 渡 し 契 約 の 価 値) 先 渡 し 契 約 の 価 値.f(X(t),t}は,

!(X(t),t)=X(')e‑rf(T‑t)‑e‑「 ・(T一のκ で あ る.

証 明 派 生 証 券 の 価 格f(X(t),t)の 確 率 的 表 現 は, ノ(X(t),t)=e‑rd(T‑t)EQ(の(X(T))lX(t)=x)

で あ る か ら,先 渡 し 契 約 の 価 値!(X(t),t)の 確 率 的 表 現 は, ノ(xω,の=〆d(T→)Eρ(x(T)一 κlx(')=x)

=e‑ra(T‑‑t)(EQ(X(T)lx(t)=x)一 κ)

=e‑ra(T一 のEQ(X(T)lx(')=x)‑e‑ra(丁 一のκ

t‑ti

X(の θ〔デ4摺η)〔7‑̀}

‐e‑ra(T一 亡)x(')e(rd‑rf)(T‑t)‑e‑rd(T‑t)κ

=X{t)e‑rf(丁 一亡Lθ 一γd(T一オ)K

と な る27).そ こ で,

時 点 τ∈Lt,T]の 先 渡 し 契 約 の 価 値

ノ(X(τ),τ)‑X(τ)e‑rf(T一 τ)‑e‑7dσ  τ)・」κ

が,外 貨 の 自 国 通 貨i建 て 直 物 為 替 相 場X(t)の 上 に 書 か れ た 派 生 証 券 の 偏 微 分 方 程 式 of

ar+(Yd一 η)x(・20af+laf6Xxax2ax・(τ)畷 と 終 端 条 件

ノ(X(T),T)=の(X(T))=X(T)一 、K:満 期 ペ イ オ フ を 満 た す こ と 確 認 す る.(18)よ り τ=Tと 置 け ば,

∫(X(T),T)=X(T)θ イ ∫(丁一T)一 θ一rd(T‑T)・K=X(7「)‑K と な り,(13)'が 成 立 す る.ま た,

of

az+(…)X(τ)ofax+鑑 多σ鮮(・)

=rfX(τ)e‑rf(T‑r)̲Yd2‐ra(T‑T)、K+(Yd‑rf)X(τ)e‑rf(T一 τ)+0

‑rdX(τ)e‑rt(T一 τL7。 θ一ra(T一 τ)K

‑rd(X(τ)〆'(T‑r)‑e‑rd(T一 τ)K)

‐rdf

と な り,(12)が 成 立 す る.

(14)

(18}

(12}

(13)'

27)時 点tに あ らか じめ 取 り決 め た 外 貨1単 位 と 自国 通 貨K単 位 とを 時 点Tに お い て交 換 す る先 渡 し契 約 の 買 い ポ ジ シ ョン の 損 益 は,Kが 受 渡 し価 格,X(T)が 先 渡 し契 約 満 期 日Tの 外 貨 の 自 国 通 貨 建 て ス ポ ッ ト相 場 で あ るか ら,X(T)‑Kで あ る.

August2006板 垣 有 記 輔 マ ル テ ィ ン ゲ ー ル 法 に よ る外 国 通 貨 の 自 国 通 貨 建 て 37

証 了

定 理8(外 国 為 替 の 先 渡 し価 格 の 無 裁 定 決 定)

時 点 現 在tの 外 貨 の 自 国 通 貨 建 て 直 物 為 替 相 場 をX(t),満 期 をT,自 国 無 リ ス ク 利 子 率 を Ydと す る と,外 国 為 替 の 先 渡 し価 格28)F(t,T)は,

F(t,T)=x(t)e(rd‑rf)(T‑t) で あ る.

証 明 先 渡 し 契 約 の 価 値f(X(t),t}は, ノ(X(t),t)=X(t)e‑rf(T‑t)‑e‐rd(T‑t)κ

一 方,先 渡 し 契 約 の 成 約 時 点tの 価 値(契 約 料).f(s(t>,t)は ゼ ロ で あ る か ら29), 0=f(X(t),t>=X(t)e‑rf(T‑t)‐e‐ra(T‑t)・K

よ っ て,受 渡 し 価 格Kは,

K=X(t)e(γd‑rf)(T一 の と 決 定 さ れ る.

Kは,満 期 日Tで の 外 貨1単 位 を 自 国 通 貨K単 位 と を 時 点Tに 交 換 す る 先 渡 し 価 格 で,現 在 時 点tで 先 渡 し 契 約 を 結 ぶ 際 に 前 も っ て 決 め ら れ る の で,

F(t,T)=κ put

と 置 け ば,外 国 為 替 先 渡 し 価 格F(t,T)は, F(t,T)=X(t)e(rd‑rf)(T一 の 表 わ せ る.

証 了

参 照 文 献

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ビ ョ ル ク(前 川 功 訳)『 数 理 フ ァ イ ナ ン ス の 基 礎 一 連 続 時 間 モ デ ル ー 』 朝 倉 書 店,2006年,185頁.

Black,FischerandMyronS.Scholes(1973).Thepricingofoptionsandcorporateliabilities,Journalof PoliticalEconomy,81.,pp.637‑654.

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Duffie,D.:DynamicAssetPricingTheory3rded.PrincetonUniversityPress,2001,pp.86‑87.

28)先 渡 し価 格 とは,所 定 の 資 産(原 資産)を 所 定 の期 日(満 期 日T)に 所 定 の価 格(受 渡 し価 格K)で 売 買 す る とい う先 渡 し契 約 を結 ぶ 時 点tで 決 定 され る受 渡 し価 格 の こ と で あ る.こ の 受 渡 し価 格 は,先 渡 し 契 約 を結 ぶ 時 点tの 先 渡 し契約 の 価 値(契 約 料)が ゼ ロ に な る よ うに決 定 され る.

29)脚 注29参 照.