ハイパー群の双対と幾何学的双対

奈良教育大学学術リポジトリNEAR

ハイパー群の双対と幾何学的双対

著者 親木 翔平

発行年 2017‑03‑24

URL http://hdl.handle.net/10105/00012843

平成 28 年度修士論文

ハイパー群の双対と幾何学的双対

奈良教育大学大学院

教育学研究科 修士課程 教科教育専攻 数学教育（情報を含む）専修 河上研究室

153302 ^親木翔平

目 次

1

3

2

3

3

4 3.1 正多胞体の定義 . . . . 4 3.2 正多角形 , 正多面体上のランダムウォークから得られるハイパー群 . . 6

4

8

4.1 D が正多角形の場合 . . . . 9 4.2 D が正多面体の場合 . . . . 9 4.3 D が 4 次元の正多胞体の場合 . . . . 11 5

14 5.1 一般分岐則代数 F n から得られるグラフ K _n+1 . . . . 18

6

20

1 はじめに

本論文では , 「ハイパー群の双対と幾何学における双対との関係」について考察 を行った .

ハイパー群の公理は 1975 年頃に C. F. Dunkl, R. I. Jewett, R. Spector によって 確立された . その後 , ハイパー群に関する様々な研究が盛んにされている .

多くのグラフや図形上の対称ランダムウォークを考えると , 有限可換ハイパー群が 得られることが知られている . さらに , ハイパー群 , 正多角形 , 正多面体 , それぞれに おいて「双対」という概念が存在する .

一方 , 多くの一元生成のハイパー群 K の既約 ∗ - 作用 α に付随して , K の生成元 c 1

を用いて α(c ₁ ) からグラフが得られる . しかしながら , α(c ₁ ) を定数倍などをする必 要があった .

以上のような背景から, ハイパー群とグラフとの関係について, 一元生成有限可換 一般分岐則代数の表現を用いて , 研究を進めてきた . 本論文では , 有限可換ハイパー 群とグラフの関係について考察した結果を報告する . また , それぞれの双対の関係に ついて得られた結果を報告する.

第 3 章では , 正多角形や正多面体上の対称ランダムウォークを考えることによって 得られるハイパー群について考察を行う . 例えば正多面体を D としたとき ,

• K 0 (D) : D の各頂点から辺を共有している頂点へと等確率で動くランダム

ウォークから得られるハイパー群

• K 2 (D) : D の各面から辺を共有している面へと等確率で動くランダムウォー

クから得られるハイパー群

とすれば , ハイパー群接合和を用いて K (D) := K 0 (D) ∨ K \ 2 (D) と定義したとき ,

\ K (D) ∼ = K ( D) b が成立する . 左辺がハイパー群における双対であり , 右辺が幾何学に おける双対を表していることが特徴である .

第 4 章では , 前章の具体例を示す . さらに , ハイパー群の構造式がどのようになっ ているのかも記述する . 一部ではあるが , 高次元の正多胞体についても定理が成立し ている例とその構造式を挙げる .

第 5 章では , グラフとハイパー群の関係を述べるために必要な一元生成有限可換一 般分岐則代数の導入を行う. F を正規化して得られるハイパー群を用いてハイパー 群とグラフとの関係を考察した .

2 ^準備

定義

1 (有限ハイパー群).

有限集合 K = { c ₀ , c ₁ , . . . , c _n } に対して , K を基底とする代数的な線形空間を C K :=

{ µ =

∑ n k=0

a _k c _k : a _k ∈ C }

とおく . C K において , 合成積 ◦ と対合 ∗ が定義されていて ,

(H1) C K は c ₀ を単位元とする , 結合律を満たす ∗ -algebra.

(H2) c _i , c _j ∈ K に対し , c _i ◦ c _j =

∑ n k=0

a ^k _ij c _k であり , a ^k _ij ∈ R + ,

∑ n k=0

a ^k _ij = 1.

(H3) K が対合 ∗ で不変である. c ^∗ _i = c _j であるための必要十分条件は c ₀ ∈ supp(c _i ◦ c _j ).

を満たすとき , K = (K, C K, ◦ , ∗ ) は有限ハイパー群と呼ばれている . さらに , 合成積

◦ に関して可換であるとき , 有限可換ハイパー群と呼ばれている . 位数が 2 のハイパー群 K はパラメーター q (0 < q ≦ 1) を用いて,

K = { c ₀ , c ₁ } , c ² ₁ = qc ₀ + (1 − q)c ₁ . の形で表され, このハイパー群を Z q (2) と表す.

3 正多胞体上のランダムウォークから得られるハイパー 群と幾何学的双対

まず本章で重要な概念となる , 用語の定義を述べる .

2 ( ハイパー群の指標 ).

有限可換ハイパー群 K に対して, C K 上の複素数値関数 χ が次を満たすとき, 関数 χ をハイパー群の指標という .

1. K の単位元 c 0 に対して , χ(c 0 ) = 1

2. c _i .c _j ∈ K に対して, χ(c _i ◦ c _j ) = χ(c _i )χ(c _j ) 3. χ(αc _i ) = αχ(c _i )

4. χ(c ^∗ _i ) = χ(c _i )

また , 自明な指標を χ ₀ と表す .

定義

3 ( 強ハイパー群 , Pontryagin ハイパー群 ).

ハイパー群 K の指標全体の集合を K b とする. K b は一般にハイパー群になるとは限 らない . K b がハイパー群となるとき , K は強ハイパー群とよばれている .

このとき , 双対性 K ∼ bb = K が成り立つので , K は Pontryagin ハイパー群と呼ばれて いる.

3.1 正多胞体の定義

定義

4 (n 次元空間内の n 次元多胞体の n 次元面の中心 O _n ).

n 次元多胞体は 0, 1, 2, . . . , n 次元面により構成されている. この n 次元多胞体の中

心 O _n を次のように帰納的に定義する .

1. 0 次元多胞体の中心は唯一存在し , それは 0 次元多胞体自身とする .

2. 点 O _n は各 i 次元面の中心 O _i (0 ≤ i ≤ n − 1) から点 O _n までの距離がそれぞ れ等しい点である .

定義

5 (n 次元空間内の n 次元正多胞体 D).

n (n ≥ 1) 次元空間のコンパクト部分集合 D が n 次元空間内の n 次元正多胞体で あるということを次のように帰納的に定義する .

1. 0 次元面（点）は 0 次元正多胞体とする . 2. 有限個の超平面で囲まれている .

3. 中心 O _n が存在する .

4. 各 i (0 ≤ i ≤ n − 1) 次元面はすべて i 次元の正多胞体である.

ただし , 超平面とは , c を定数 , a _i ∈ R とし , 次式で表される点 (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ) の集 合である .

∑ n i=1

a _i x _i = c

本論文では , 主に , n = 2, 3 の場合つまり , 正多角形 , 正多面体の場合について考察 した .

定義

6 ( 正多角形 D の双対 D). b

D を正多角形とする . D の各 1 次元面（辺）の中心を結び , それを 1 次元面（辺）

とするような正多角形を D b とする.

この定義から直ちに次の系が得られる .

1.

任意の正 n 角形 D _n はそれ自身と双対である. つまり, D c _n = D _n .

7 ( 正多面体 D の双対 D). b

D を正多面体とする . D の各 2 次元面（面）の中心を結び , それを 1 次元面（辺）

とするような正多面体を D b とする.

この定義から直ちに次の系が得られる .

2.

面の数が n である正多面体を D _n とすると , 次式が成立する .

D c ₄ = D ₄ , D c ₆ = D ₈ , D c ₈ = D ₆ , D d ₁₂ = D ₂₀ , D d ₂₀ = D ₁₂

.

3.2 正多角形 , 正多面体上のランダムウォークから得られるハイパー 群

正多角形上のランダムウォークから得られるハイパー群および , 正多面体上のラ ンダムウォークから得られるハイパー群をそれぞれ次のように定義する .

定義

8 ( K 0 (D), K 1 (D)).

D を正多角形とする . 正多角形 D 上のランダムウォークから得られるハイパー群 K 0 (D), K 1 (D) をそれぞれ次のように定義する .

• K 0 (D) : D の各頂点から辺を共有している頂点へと等確率で動くランダム

ウォークから得られるハイパー群

• K 1 (D) : D の各辺から頂点を共有している辺へと等確率で動くランダムウォー

クから得られるハイパー群

すると , K 0 (D), K 1 (D) は Pontryagin ハイパー群となることが実際に計算すること で確認できる.

全ての正多角形 D から K 0 (D) および , K 1 (D) が得られることは確認できる . 同様 に , 正多面体上のランダムウォークを次のように定義する .

定義

9 ( K 0 (D), K 2 (D)).

D を正多面体とする .

• K 0 (D) : D の各頂点から辺を共有している頂点へと等確率で動くランダム

ウォークから得られるハイパー群

• K 2 (D) : D の各面から辺を共有している面へと等確率で動くランダムウォー

クから得られるハイパー群

すると , K 0 (D), K 2 (D) は Pontryagin ハイパー群となることが実際に計算すること で確認できる .

全ての正多面体 D から K 0 (D) および , K 2 (D) が得られることは実際に計算するこ とで確認できる .

定義

10 (ハイパー群接合和).

2 つの有限ハイパー群 H = { h ₀ , h ₁ , . . . , h _m } , L = { ℓ ₀ , ℓ ₁ , . . . , ℓ _n } に対して ,

H ∨ L = { h ₀ , h ₁ , . . . , h _m , ℓ ₁ , ℓ ₂ , . . . , ℓ _n } とおく . このとき , H ∨ L 上の合成積 ◦ を以 下で定義する.

h _i ◦ h _j := h _i ◦ H h _j , h _i ◦ ℓ _j := ℓ _j ,

ℓ _j = ℓ ^∗ _i のとき , つまり , ℓ _i ◦ L ℓ _j = a ⁰ _ij ℓ ₀ +

∑ n k=1

a ^k _ij ℓ _k のとき ,

ℓ _i ◦ ℓ _j := a ⁰ _ij ω _H +

∑ n k=1

a ^k _ij ℓ _k ,

ℓ _j ̸ = ℓ ^∗ _i のとき , ℓ _i ◦ ℓ _j := ℓ _i ◦ L ℓ _j .

ただし , ◦ H , ◦ L はそれぞれハイパー群 H , L の合成積 , ω _H は H の不変測度である . つまり,

ω _H :=

∑ n i=0

w(c i ) w(K) c _i

このとき, H ∨ L はハイパー群となり, このハイパー群は H の L によるのハイパー 群接合和と呼ばれている .

以上の準備の元 , 次の定理が得られた .

定理

1 (ハイパー群の双対と幾何学的双対との関係).

1. D を正多角形とする . K 0 (D) の K \ 1 (D) によるハイパー群接合和 K 0 (D) ∨ K \ 1 (D) を K (D) とする . この状況の下で次が成立する .

\ K (D) ∼ = K ( D) b

2. D を正多面体とする . K 0 (D) の K \ 2 (D) によるハイパー群接合和 K 0 (D) ∨ K \ 2 (D) を K (D) とする. この状況の下で次が成立する.

\ K (D) ∼ = K ( D) b

この定理では , 左辺における双対は , ハイパー群の双対を表しており , 右辺におけ る双対は , 幾何学における双対を表しており , それらの関係を示しているのが本定理 の特徴である. この定理の証明に必要な補題を述べる.

補題

1 ( 正多角形 , 正多面体の双対とランダムウォークから得られるハイパー群との 関係 ).

1. D を正多角形とするとき以下が成立する .

K 0 (D) ∼ = K 1 ( D) b (1) 2. D を正多面体とするとき以下が成立する .

K 0 (D) ∼ = K 2 ( D) b (2)

証明

.

式 (1), (2) はそれぞれ , 正多角形 , 正多面体の双対の定義から従う . また , 実際にハ イパー群の構造式を求めることでも確認できる.

上記の補題 1 を用いて定理 1 を証明する .

定理

1

.

1. D が正多角形の場合

\ K (D) = K 0 (D) \ ∨ K \ 1 (D)

= K \ \ 1 (D) ∨ K \ 0 (D) ( ∵ K ∨ L \ = L ∨ b K b )

= K 1 (D) ∨ K \ 0 (D) ( ∵ K ∼ bb = K )

= K 0 ( D) b ∨ K \ 1 ( D) ( b ∵ 補題 1 より)

= K ( D) b 2. D が正多面体の場合

\ K (D) = K 0 (D) \ ∨ K \ 2 (D)

= K \ \ 2 (D) ∨ K \ 0 (D) ( ∵ K ∨ L \ = L ∨ b K b )

= K 2 (D) ∨ K \ 0 (D) ( ∵ K ∼ bb = K )

= K 0 ( D) b ∨ K \ 2 ( D) ( b ∵ 補題 1 より )

= K ( D) b

次に具体的な例を通して , 上記の定理が成立していることを確認する .

4 ^具体例

補題

2.

ハイパー群 K の指標表が対角線に関して対称ならば , K ∼ b = K が成立する . つまり , χ _i (c _j ) = χ _j (c _i ) ならば K ∼ b = K .

証明

.

ハイパー群の指標の定義より , χ _i (c _j ◦ c _k ) = χ _i (c _j )χ _i (c _k ) であり , χ _i (c _j ◦ c _k ) = χ _i

( _n

∑

ℓ=0

a ^ℓ _jk c _ℓ )

=

∑ n ℓ=0

a ^ℓ _jk χ _i (c _ℓ ) =

∑ n ℓ=0

a ^ℓ _jk χ _ℓ (c _i ) χ _i (c _j )χ _i (c _k ) = χ _j (c _i )χ _k (c _i ) = (χ _j χ _k )(c _i )

よって ,

χ _j χ _k =

∑ n ℓ=0

a ^ℓ _jk χ _ℓ

以上より題意は示された .

4.1 D が正多角形の場合

例

1 (D が正方形の場合 ).

まず , K 0 (D) = { h ₀ , h ₁ , h ₂ } の構造式は h ² ₁ = 1

2 h ₀ + 1

2 h ₂ , h ₁ h ₂ = h ₂ h ₁ = h ₁ , h ² ₂ = h ₀ .

また , 指標表を求めると , 対称になっているので , K \ 0 (D) ∼ = K 0 (D) となる . さらに , K \ 1 (D) に関しては , 補題 1 より ,

K \ 1 (D) = K \ 0 ( D) = b K \ 0 (D)

となるので , K \ 1 (D) ∼ = K 0 (D) である . よって , それらのハイパー群接合和をとった K (D) = K 0 (D) ∨ K \ 1 (D) = { h ₀ , h ₁ , h ₂ , ℓ ₁ , ℓ ₂ } の構造式は次のようになる.

h ² ₁ = 1

2 h ₀ + 1

2 h ₂ , h ₁ h ₂ = h ₂ h ₁ = h ₁ , h ² ₂ = h ₀ , h _i ℓ _j = ℓ _j , ℓ ² ₁ = 1

8 h ₀ + 2

8 h ₁ + 1

8 h ₂ + 1

2 ℓ ₂ , ℓ ² ₂ = 1

4 h ₀ + 2

4 h ₁ + 1

4 h ₂ , ℓ ₁ ℓ ₂ = ℓ ₂ ℓ ₁ = ℓ ₁ . 次に , このハイパー群 K (D) の指標表を求めると , 次の表 1 のようになる .

表 1 が対称になっているので, \ K (D) ∼ = K (D) が成り立つ.

表

1: K (D)

h ₀ h ₁ h ₂ ℓ ₁ ℓ ₂

χ ₀ 1 1 1 1 1

χ ₁ 1 1 1 0 − 1

χ ₂ 1 1 1 − 1 1 χ ₃ 1 0 − 1 0 0 χ ₄ 1 − 1 1 0 0

そして今, D b = D なので,

\ K (D) ∼ = K ( D) b

となり定理の成立が確認できる. 他の正多角形に関しても同様である.

4.2 D が正多面体の場合

例

2 (D が正四面体の場合 ).

K 0 (D) = { h ₀ , h ₁ } , h ² ₁ = 1

3 h ₀ + 2 3 h ₁ , K \ 2 (D) ∼ = K \ 0 ( D) = b { ℓ 0 , ℓ 1 } , ℓ ² ₁ = 1

3 ℓ 0 + 2

3 ℓ 1 .

となるので , K (D) = K 0 (D) ∨ K \ 2 (D) = { h ₀ , h ₁ , ℓ ₁ } とすると , 構造式は次のように なる.

h ² ₁ = 1

3 h ₀ + 2

3 h ₁ , h ₁ ℓ ₁ = ℓ ₁ , ℓ ² ₁ = 1

12 h ₀ + 3

12 h ₁ + 2 3 ℓ ₁ . 次に , このハイパー群の指標表を求めると , 次の表 2 のようになる .

これが対称になっているので, \ K (D) ∼ = K (D) が成り立つ.

表

2: K (D)

h ₀ h ₁ ℓ ₁ χ ₀ 1 1 1 χ ₁ 1 1 − ¹ ₃ χ ₂ 1 − ¹ ₃ 0

そして今 , D b = D なので

\ K (D) ∼ = K ( D) b となり定理の成立が確認できる .

例

3 (D が正六面体の場合 ).

K 0 (D) = { h ₀ , h ₁ , h ₂ , h ₃ } の構造式は h ² ₁ = h ² ₂ = 1

3 h ₀ + 2

3 h ₂ , h ² ₃ = h ₀ , h ₁ h ₂ = h ₂ h ₁ = 2

3 h ₁ + 1 3 h ₃ , h ₁ h ₃ = h ₃ h ₁ = h ₂ , h ₂ h ₃ = h ₃ h ₂ = h ₁ .

また , K \ 0 (D) = { ℓ ₀ , ℓ ₁ , ℓ ₂ } の構造式は ℓ ² ₁ = 1

2 ℓ ₀ + 1

2 ℓ ₁ , ℓ ² ₂ = 1 3 ℓ ₀ + 2

3 ℓ ₁ , ℓ ₁ ℓ ₂ = ℓ ₂ ℓ ₁ = ℓ ₂ .

したがって, K (D) = K 0 (D) ∨ K \ 2 (D) = { h ₀ , h ₁ , h ₂ , h ₃ , ℓ ₁ , ℓ ₂ } の構造式は次のように なる .

h ² ₁ = h ² ₂ = 1

3 h ₀ + 2

3 h ₂ , h ² ₃ = h ₀ , h ₁ h ₂ = h ₂ h ₁ = 2

3 h ₁ + 1 3 h ₃ , h ₁ h ₃ = h ₃ h ₁ = h ₂ , h ₂ h ₃ = h ₃ h ₂ = h ₁ ,

ℓ ² ₁ = 1

16 h ₀ + 3

16 h ₁ + 3

16 h ₂ + 1

16 h ₃ + 1 2 ℓ ₁ , ℓ ² ₂ = 1

24 h ₀ + 3

24 h ₁ + 3

24 h ₂ + 1

24 h ₃ + 2

3 ℓ ₁ , ℓ ₁ ℓ ₂ = ℓ ₂ ℓ ₁ = ℓ ₂ , h _i ℓ _j = ℓ _j . よって , 指標表は表 3 のようになる . そして , この指標表から K \ (D) の構造式は次の ようになる .

χ ² ₁ = 1

4 χ ₀ + 2

4 χ ₁ + 1

4 χ ₂ , χ ² ₂ = χ ₀ , χ ₁ χ ₂ = χ ₂ χ ₁ = χ ₁ ,

表

3: K (D)

h ₀ h ₁ h ₂ h ₃ ℓ ₁ ℓ ₂

χ ₀ 1 1 1 1 1 1

χ ₁ 1 1 1 1 − ¹ ₂ 0

χ 2 1 1 1 1 1 − 1

χ ₃ 1 ¹ ₃ − ¹ ₃ − 1 0 0 χ ₄ 1 − ¹ ₃ − ¹ ₃ 1 0 0 χ 5 1 − 1 1 − 1 0 0

χ ² ₃ = χ ² ₄ = 1

18 χ ₀ + 4

18 χ ₁ + 1

18 χ ₂ + 2

3 χ ₄ , χ ² ₅ = 1

6 χ ₀ + 4

6 χ ₁ + 1 6 χ ₂ , χ ₃ χ ₄ = χ ₄ χ ₃ = 2

3 χ ₃ + 1

3 χ ₅ , χ ₃ χ ₅ = χ ₅ χ ₃ = χ ₄ , χ ₄ χ ₅ = χ ₅ χ ₄ = χ ₃ , χ _i χ _j = χ _j (i = 0, 1, 2, j = 3, 4, 5).

この構造式は確かに K ( D) b の構造式と一致しているので ,

\ K (D) ∼ = K ( D) b

となり定理の成立が確認できる . K ( D) = b { h ₀ , h ₁ , h ₂ , ℓ ₁ , ℓ ₂ , ℓ ₃ } の構造式は以下で ある .

h ² ₁ = 1

4 h ₀ + 2

4 h ₁ + 1

4 h ₂ , h ² ₂ = h ₀ , h ₁ h ₂ = h ₂ h ₁ = h ₁ , ℓ ² ₁ = ℓ ² ₂ = 1

18 h ₀ + 4

18 h ₁ + 1

18 h ₂ + 2

3 ℓ ₂ , ℓ ² ₃ = 1

6 h ₀ + 4

6 h ₁ + 1 6 h ₂ , ℓ ₁ ℓ ₂ = ℓ ₂ ℓ ₁ = 2

3 ℓ ₁ + 1

3 ℓ ₃ , ℓ ₁ ℓ ₃ = ℓ ₃ ℓ ₁ = ℓ ₂ , ℓ ₂ ℓ ₃ = ℓ ₃ ℓ ₂ = ℓ ₁ , h _i ℓ _j = ℓ _j .

4.3 D が 4 次元の正多胞体の場合

4 次元の場合 , 正多胞体は 6 つに限ることが知られており , 各多胞体における i 次 元面の数 N i は次の表 4 のようになっている . さらに , 次のそれぞれの正多胞体のペ アが双対の関係にあることも知られている.

1. 自己双対関係にある：正五胞体 , 正二十四胞体

2. 双対関係：正十六胞体と正八胞体 , 正六百胞体と正百二十胞体

4 (D が正五胞体の場合 ).

D の 0 次元面と 1 次元面との接続の仕方をグラフで表すと , 完全グラフ K 5 となる . K 0 (D) ∼ = K 3 ( D) b となる . さらに , 完全グラフ K _n+1 からはハイパー群 Z

n

(2) が得ら れるので , K 0 (D) ∼ = Z

4

(2) である . したがって , K d (D) = { χ ₀ , χ ₁ , χ ₂ } の構造式は次 の通りであり , 定理の成立が確認できる .

χ ² ₁ = 1

4 χ ₀ + 3

4 χ ₁ , χ ₁ χ ₂ = χ ₂ χ ₁ = χ ₂ , χ ² ₂ = 1

20 χ ₀ + 4

20 χ ₁ + 3

4 χ ₂ .

表

4: 4

i

N _i

多胞体 N ₀ N ₁ N ₂ N ₃ N ₄ 正五胞体 5 10 10 5 1 正十六胞体 8 24 32 16 1 正二十四胞体 24 96 96 24 1 正六百胞体 120 720 1200 600 1 正八胞体 16 32 24 8 1 正百二十胞体 600 1200 720 120 1

例

5 (D が正十六胞体の場合 ).

次に , D が正十六胞体の場合について . この場合 , 0 次元面の個数は 8 個であり , 1 次元面の個数は 24 個である . 接続の仕方を平面グラフに表すと , 次の図 1 のように なる . したがって , K 0 (D) = { h ₀ , h ₁ , h ₂ } の構造は次のようになる .

図

1: D

h ² ₁ = 1

6 h ₀ + 4

6 h ₁ + 1

6 h ₂ , h ₁ h ₂ = h ₂ h ₁ = h ₁ , h ² ₂ = h ₀ .

次に, K \ 3 (D) については, K 3 (D) ∼ = K 0 ( D) b となり, D b は正八胞体である. したがっ て , K 3 (D) = { ℓ ₀ , ℓ ₁ , ℓ ₂ , ℓ ₃ , ℓ ₄ } の構造式は次のようになる .

ℓ ² ₁ = 1 4 ℓ ₀ + 3

4 ℓ ₂ , ℓ ₁ ℓ ₂ = ℓ ₂ ℓ ₁ = 1 2 ℓ ₁ + 1

2 ℓ ₃ , ℓ ₁ ℓ ₃ = ℓ ₃ ℓ ₁ = 3 4 ℓ ₂ + 1

4 ℓ ₄ , ℓ ₁ ℓ ₄ = ℓ ₄ ℓ ₁ = ℓ ₃ , ℓ ² ₂ = 1

6 ℓ ₀ + 4 6 ℓ ₂ + 1

6 ℓ ₄ , ℓ ₂ ℓ ₃ = ℓ ₃ ℓ ₂ = 1 2 ℓ ₁ + 1

2 ℓ ₃ , ℓ ₂ ℓ ₄ = ℓ ₄ ℓ ₂ = ℓ ₂ , ℓ ² ₃ = 1

4 ℓ ₀ + 3

4 ℓ ₂ , ℓ ₃ ℓ ₄ = ℓ ₄ ℓ ₃ = ℓ ₁ , ℓ ² ₄ = ℓ ₀ .

これより K 3 (D) の指標表は表 5 のように対称になる. よって K \ 3 (D) ∼ = K 3 (D). これ らより , K (D) = K 0 (D) ∨ K \ 3 (D) = { h ₀ , h ₁ , h ₂ , ℓ ₁ , ℓ ₂ , ℓ ₃ , ℓ ₄ } の構造式は以下のように なる .

h ² ₁ = 1

6 h ₀ + 4

6 h ₁ + 1

6 h ₂ , h ₁ h ₂ = h ₂ h ₁ = h ₁ , h ² ₂ = h ₀ , h _i ℓ _j = ℓ _j , ℓ ² ₁ = ℓ ² ₃ = 1

32 h ₀ + 6

32 h ₁ + 1

32 h ₂ + 3

4 ℓ ₂ , ℓ ² ₂ = 1

48 h ₀ + 6

48 h ₁ + 1

48 h ₂ + 4 6 ℓ ₂ + 1

6 ℓ ₄ ,

表

5: K 3 (D)

ℓ ₀ ℓ ₁ ℓ ₂ ℓ ₃ ℓ ₄

χ ₀ 1 1 1 1 1

χ ₁ 1 ¹ ₂ 0 − ¹ ₂ − 1 χ 2 1 0 − ¹ ₃ 0 1 χ ₃ 1 − ¹ ₂ 0 ¹ ₂ − 1 χ ₄ 1 − 1 1 − 1 1

ℓ ² ₄ = 1

8 h ₀ + 6

8 h ₁ + 1

8 h ₂ , ℓ ₁ ℓ ₂ = ℓ ₂ ℓ ₁ = 1 2 ℓ ₁ + 1

2 ℓ ₃ , ℓ ₁ ℓ ₃ = ℓ ₃ ℓ ₁ = 3 4 ℓ ₂ + 1

4 ℓ ₄ , ℓ ₁ ℓ ₄ = ℓ ₄ ℓ ₁ = ℓ ₃ , ℓ ₂ ℓ ₃ = ℓ ₃ ℓ ₂ = 1

2 ℓ ₁ + 1

2 ℓ ₃ , ℓ ₂ ℓ ₄ = ℓ ₄ ℓ ₂ = ℓ ₂ , ℓ ₃ ℓ ₄ = ℓ ₄ ℓ ₃ = ℓ ₁ . よって, K (D) の指標表は次の表 6 のようになる. 以上より,

表

6: K (D)

h ₀ h ₁ h ₂ ℓ ₁ ℓ ₂ ℓ ₃ ℓ ₄

χ ₀ 1 1 1 1 1 1 1

χ ₁ 1 1 1 − 1 1 − 1 1 χ 2 1 1 1 0 − ¹ ₃ 0 1 χ ₃ 1 1 1 ¹ ₂ 0 − ¹ ₂ − 1 χ ₄ 1 1 1 − ¹ ₂ 0 ¹ ₂ − 1

χ 5 1 0 − 1 0 0 0 0

χ ₆ 1 − ¹ ₃ 1 0 0 0 0

K \ (D) = { χ 0 , χ 1 , χ 2 , χ 3 , χ 4 , χ 5 , χ 6 } の構造式は以下の式のようになる.

χ ² ₁ = χ ₀ , χ ₁ χ ₂ = χ ₂ χ ₁ = χ ₂ , χ ₁ χ ₃ = χ ₃ χ ₁ = χ ₄ , χ ₁ χ ₄ = χ ₄ χ ₁ = χ ₃ , χ ₁ χ ₅ = χ ₅ χ ₁ = χ ₅ , χ ₁ χ ₆ = χ ₆ χ ₁ = χ ₆ , χ ² ₂ = 1

6 χ ₀ + 1

6 χ ₁ + 4 6 χ ₂ , χ ₂ χ ₃ = χ ₃ χ ₂ = 1

2 χ ₃ + 1

2 χ ₄ , χ ₂ χ ₄ = χ ₄ χ ₂ = 1

2 χ ₃ + 1

2 χ ₄ , χ ₂ χ ₅ = χ ₅ χ ₂ = χ ₅ , χ ₂ χ ₆ = χ ₆ χ ₂ = χ ₆ , χ ² ₃ = χ ² ₄ = 1

4 χ ₀ + 3

4 χ ₂ , χ ₃ χ ₄ = χ ₄ χ ₃ = 1

4 χ ₁ + 3 4 χ ₂ ,

χ ₃ χ ₅ = χ ₅ χ ₃ = χ ₅ , χ ₃ χ ₆ = χ ₆ χ ₃ = χ ₆ , χ ₄ χ ₅ = χ ₅ χ ₄ = χ ₅ , χ ₄ χ ₆ = χ ₆ χ ₄ = χ ₆ , χ ² ₅ = 1

64 χ ₀ + 1

64 χ ₁ + 6

64 χ ₂ + 4

64 χ ₃ + 4

64 χ ₄ + 48

64 χ ₆ , χ ₅ χ ₆ = χ ₆ χ ₅ = χ ₅ , χ ² ₆ = 1

48 χ ₀ + 1

48 χ ₁ + 6

48 χ ₂ + 4

48 χ ₃ + 4

48 χ ₄ + 32

48 χ ₆ .

5 一元生成有限可換一般分岐則代数から得られるグラフ

有限群 G とその部分群 G ₀ の誘導と制限からフロベニウス図形 D( G b ∪ G c ₀ ) が得ら れる . また , G と G 0 に対して , ペア (G, G 0 ) が admissible pair であるとき , 有限可換 ハイパー群 K ( G b ∪ G c ₀ ) が得られる [2]. しかし, K ( G b ∪ G c ₀ ) と D( G b ∪ G c ₀ ) との関係は 1 対 1 ではない . よって , 我々は一般分岐則代数の表現を導入し , グラフとハイパー 群との対応について考察する .

定義

11 (有限一般分岐則代数).

有限集合 F = { X ₀ , X ₁ , . . . , X _n } に対して , F を基底とする代数的な線形空間を C F :=

{ µ =

∑ n k=0

a _k X _k : a _k ∈ C }

とおく . C F において , 合成積 ◦ と対合 ∗ が定義されていて , (GF 1) C F は X ₀ を単位元とする , 結合律を満たす ∗ -algebra.

(GF 2) X _i , X _j ∈ F に対し, X _i ◦ X _j =

∑ n k=0

a ^k _ij X _k であり, a ^k _ij ∈ Z + = { 0, 1, 2, . . . } . (GF 3) F が対合 ∗ で不変である . さらに , X _i ^∗ = X _j となる必要十分条件は X ₀ ∈

supp(X _i ◦ X _j ).

を満たすとき , F = (F, C F, ◦ , ∗ ) を有限一般分岐則代数という . ただし , supp(µ) = { X _k : a _k ̸ = 0 } . さらに, 合成積 ◦ に関して可換であるとき, 有限可換一般分岐則代数 と呼ばれている .

定義

12 ( 一元生成有限可換一般分岐則代数 ).

F := { X 0 , X 1 , . . . , X n } を有限可換一般分岐則代数とする . ℓ = 2, 3, . . . , n に対して ,

X ₁ ^ℓ =

∑ ℓ k=0

b _kℓ X _k (b _ℓℓ ̸ = 0, b _kℓ ∈ Z + )

のとき, F を生成元 X ₁ の一元生成有限可換一般分岐則代数と呼ぶ. なお, 以降では 特に記載がない限り , 単に一般分岐則代数といったときには一元生成有限可換一般 分岐則代数を指すものとする .

定義

13 ( 次元関数 ).

F = { X ₀ , X ₁ , . . . , X _n } が一般分岐則代数のとき, C F から C への準同型写像 d が d(X _j ) > 0 を満たすとき , d は F の次元関数と呼ばれている .

定義

14 ( 一般分岐則代数の表現 ).

F := { X ₀ , X ₁ , . . . , X _n } を X ₁ を生成元とする一般分岐則代数とする. C F から M(m, C ) への ∗ - 準同型写像 β が以下の条件をみたすとき , β を F の表現という .

• β(X ₀ ) = I

• β(X _j ) の行列成分が全て非負の整数

また , Ω = { 1, 2, . . . , m } とする . 表現 β が既約であるとは , β(X _k ) ∈ M (m, C ) を Ω への作用と考えたとき, S を Ω の空でない部分集合としたときに, s ∈ S, X _k ∈ F に 対して ,

supp(β(X _k )s) ⊂ S ⇒ S = Ω であるときをいう . また , 表現 β が

β(X _k ^∗ ) = β(X _k ) ^∗

をみたすとき , β を ∗ - 表現という . また , m が F を正規化して得られるハイパー群 K の重みと等しいとき , β を極大表現という .

定義

15 ( 正規化されたハイパー群 ).

F = { X ₀ , X ₁ , . . . , X _n } を一般分岐則代数とする . ここで , 次元関数 d を用いて , c _i := 1

d(X _i ) X _i

とおく. このとき, K = { c ₀ , c ₁ , . . . , c _n } は有限可換ハイパー群となる. この K を F の正規化されたハイパー群という .

このように定義すれば, ハイパー群ができることを確認する.

証明

.

公理 (H1) から (H3) までを確認する . 公理 (H1), (H3) については , それぞれ一般分岐 則代数の公理 (GF 1), (GF 3) から直ちに従う . (H2) については , X _i ◦ X _j =

∑ n k=0

b ^k _ij X _k だったので,

d(X _i ◦ X _j ) = d ( _n

∑

k=0

b ^k _ij X _k )

=

∑ n k=0

b ^k _ij d(X _k ) (3)

となるから ,

c _i ◦ c _j = 1

d(X _i )d(X _j ) X _i ◦ X _j

= 1

d(X _i ◦ X _j ) X _i ◦ X _j ( ∵ d は次元関数なので準同型 )

= 1

d(X _i ◦ X _j )

∑ n k=0

b ^k _ij X k

= 1

d(X _i ◦ X _j )

∑ n k=0

b ^k _ij c _k d(X _k ) ( ∵ 正規化されたハイパー群の定義 )

=

∑ n

k=0 b ^k _ij d(X k ) d(X i ◦ X j ) c _k

であり, 係数の部分に注目すると, 式 (3) より, 係数の和が 1 であるので成立してい

る . よって , 公理 (GF 2) を満たす . 以上より , K はハイパー群である .

定義

16 ( ハイパー群 K = { c ₀ , c ₁ , . . . , c _n } の元 c _i の重み w(c _i )).

ハイパー群 K = { c ₀ , c ₁ , . . . , c _n } において, 定義より, c _i ◦ c ^∗ _i = a ⁰ _ii c ₀ +

∑ n k=1

a ^k _ij c _k (a ⁰ _ii ̸ = 0) とかけるので , 元 c _i の重み w(c _i ) を次式で定義する .

w(c _i ) := 1 a ⁰ _ii また , ハイパー群 K の重み w( K ) を

w( K ) :=

∑ n k=0

w(c _i ) で定義する .

命題

1.

F = { X ₀ , X ₁ , . . . , X _n } を一般分岐則代数 , K = { c ₀ , c ₁ , . . . , c _n } を F を正規化して 得られるハイパー群とする . w(c _i ) を c _i の重み , b ₀ (X _i ) を X _i ◦ X _i ^∗ の X ₀ の係数とし たとき,

w(c _i ) = d(X i ) ² b ₀ (X _i ) が成立する .

証明

.

c _i ◦ c ^∗ _i を計算することで得られる. ここで, d(X _i ) が実数であることから, d(X _i ) ^∗ = d(X _i ) = d(X _i ) であることに注意する .

c _i ◦ c ^∗ _i = ( 1

d(X _i ) X _i )

◦ ( 1

d(X _i ) X _i ) _∗

= 1

d(X i ) X _i ◦ ( 1

d(X i ) ) _∗

X _i ^∗

= 1

d(X _i ) X _i ◦ 1 d(X _i ) X _i ^∗

= 1

d(X _i ) ² X _i ◦ X _i ^∗

= 1

d(X _i ) ² (

b 0 (X i )X 0 +

∑ n k=1

b ^k _ii X k

)

= b ₀ (X _i ) d(X _i ) ² c ₀ +

∑ n k=1

b ^k _ii d(X _k )c _k となるので , w(c _i ) の定義より ,

w(c _i ) = d(X _i ) ²

b ₀ (X _i )

この命題 1 を用いてさらに次の命題 2 を証明する .

2.

一般分岐則代数の次元関数は , 存在するならばそれはただ一つである .

.

命題 1 より ,

w(c _i ) = d(X _i ) ² b ₀ (X _i ) であるから ,

d(X i ) ² = b 0 (X i )w(c i )

となる . ここで , 正規化していない不変測度を e _K とする . つまり , e _K = w(c ₀ )c ₀ + w(c ₁ )c ₁ + · · · + w(c _n )c _n 右辺を計算すると ,

e _K = w(c ₀ )c ₀ + w(c ₁ )c ₁ + · · · + w(c _n )c _n

= c 0 + d(X ₁ ) ²

b ₀ (X ₁ ) c 1 + · · · + d(X _n ) ²

b ₀ (X _n ) c n ( ∵ 命題 (1))

= X ₀ + d(X ₁ )

b ₀ (X ₁ ) X ₁ + · · · + d(X _n )

b ₀ (X _n ) X _n ( ∵ 正規化されたハイパー群の定義 )

そして , e _K は不変測度なので , c _i ◦ e _K = e _K つまり , ( 1

d(X _i ) X _i )

◦ e _K = e _K よって , 次式が得られる .

X i ◦ e K = d(X i )e K

この式の両辺に d と異なる次元関数 d ₁ をとると , d ₁ (X _i ◦ e _K ) = d ₁ (d(X _i )e _K )

d ₁ (X _i )d ₁ (e _K ) = d(X _i )d ₁ (e _K ) ( ∵ d ₁ は次元関数なので準同型 ) d ₁ (X _i ) = d(X _i ) ( ∵ 両辺 d ₁ (e _K ) ̸ = 0 で割った )

以上の準備の下, 次の定理 2 が得られた.

定理

2.

F を X ₁ を生成元とする一元生成の一般分岐則代数とする. K を F を正規化して 得られるハイパー群とする . F の表現 β から , グラフ D(β) が得られ ,

K ∼ = K d (D(β))

である .

証明

.

命題 1, 2 より, 一般分岐則代数 F から, それを正規化してハイパー群が得られる ことは証明できている . K から K d (D(β)) への写像 π が準同型であることを示す . π(c _i ) := 1

d(X _i ) β(X _i ) としたとき , π(c _i ◦ c _j ) = 1

d(X _i ◦ X _j ) β(X _i ◦ X _j )

= 1

d(X _i )d(X _j ) β(X _i )β(X _j ) ( ∵ β, d は準同型)

= 1

d(X _i ) β(X _i ) 1

d(X _j ) β(X _j )

= π(c _i )π(c _j ).

5.1 一般分岐則代数 F ^{n から得られるグラフ} K _n+1

定義

17.

自然数 n に対して , 一般分岐則代数 F n を , 次のように定義する . F n = { X ₀ , X ₁ } , X ₁ ² = nX ₀ + (n − 1)X ₁ . これは一元生成の一般分岐則代数である .

例

6 (一般分岐則代数 F n から得られるグラフ K _n+1 ).

K を一般分岐則代数 F n （ n は自然数）を正規化して得られるハイパー群とする . F n の表現 β に対して , D(β) が得られ ,

K ∼ = K d (D(β)) である.

証明

.

F n := { X ₀ , X ₁ } , X ₁ ² = nX ₀ + (n − 1)X ₁ とする . F n = { X ₀ , X ₁ } , X ₁ ² = nX ₀ + (n − 1)X ₁ . ここで,

β(X ₀ ) =



 

 

 

1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . .. . . .. ...

0 0 . . . 1

| {z }

n + 1



 

 

 

 

 

 



 

 

 

n + 1 , β(X ₁ ) =



 

 

 

0 1 . . . 1 1 0 . . . 1 .. . .. . . .. ...

1 1 . . . 0

| {z }

n + 1



 

 

 

 

 

 



 

 

 

n + 1

とすれば , これは既約 ∗ - 表現 β である . そして , X ₁ ² = nX ₀ + (n − 1)X ₁ より , 次元関 数を求めると,

d(X ₀ ) = 1, d(X ₁ ) = n

となる .

c ₀ := 1

d(X ₀ ) X ₀ = X ₀ , c ₁ := 1

d(X ₁ ) X ₁ = 1 n X ₁ .

と定義し正規化することによって , ハイパー群が得られそれを K とする . その構造 式は ,

c ² ₁ = 1 n X ₁ 1

n X ₁

= 1 n ² X ₁ ²

= 1

n ² (nX ₀ + (n − 1)X ₁ )

= 1

n X ₀ + n − 1 n ² X ₁

= 1

n c ₀ + n − 1 n ² nc ₁

= 1

n c ₀ + n − 1 n c ₁

となり, K はハイパー群となる. 一方, β(X ₁ ) を隣接行列にもつグラフは, n + 1 個の 頂点を互いにすべて辺で結んだグラフ（完全グラフ） K _n+1 であり , このグラフから 得られるハイパー群は先のハイパー群 K と一致する . つまり ,

K ∼ = K d (D(β))

が成立している . 以下の図は , 各 n の値における完全グラフ K n+1 である .

,...

, ,

n = 2 n = 3 n = 4

次に一つ具体例を示す .

例

7 ( 一般分岐則代数 F 3 から得られるグラフ K ₄ ).

これは, 上記の例の n = 3 の場合である. F 3 := { X ₀ , X ₁ } , X ₁ ² = 3X ₀ + 2X ₁ とす る . β(X ₀ ), β(X ₁ ) をそれぞれ次で定義する .

β(X 0 ) :=



 

 

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1



 

  , β(X 1 ) :=



 

 

0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0



 

  .

これは表現である . そして , X ₁ ² = 3X ₀ + 2X ₁ より , 次元関数を求めると , d(X ₀ ) = 1, d(X ₁ ) = 3

となる .

c ₀ := 1

d(X 0 ) X ₀ = X ₀ , c ₁ := 1

d(X 1 ) X ₁ = 1

3 X ₁ .

と定義し正規化することによって得られるハイパー群を K とする . その構造式は , c ² ₁ = 1

3 X 1

1 3 X 1

= 1 3 ² X ₁ ²

= 1

3 ² (3X ₀ + 2X ₁ )

= 1

3 X ₀ + 2 3 ² X ₁

= 1

3 c ₀ + 2 3 ² 3c ₁

= 1 3 c ₀ + 2

3 c ₁

となり , K はハイパー群となる . 一方 , β(X ₁ ) を隣接行列にもつグラフは , 4 個の頂点 を互いにすべて辺で結んだグラフ（完全グラフ） K ₄ であり , このグラフから得られ るハイパー群は先のハイパー群 K と一致することが確認できるので,

K ∼ = K d (D(β)) が成立している .

例

8 (一般分岐則代数 F から得られる正四角形のグラフ).

F = { X 0 , X 1 , X 2 } , X ₁ ² = 2X 0 + 2X 2 , X ₂ ² = X 0 , X 1 X 2 = X 1

は一元生成の一般分岐則代数となり ,

β(X ₁ ) :=



 

 

0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0



 

  , β(X ₂ ) :=



 

 

0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0



 

 

と定義すれば ,

β(X ₁ ) ² = 2β(X ₀ ) + 2β(X ₂ ) , β(X ₂ ) ² = β(X ₀ ) , β (X ₁ )β(X ₂ ) = β(X ₁ )

となる. したがって, β は既約 ∗ -表現. この β(X ₁ ) を隣接行列とみると, 正四角形の 無向グラフが得られ , そのグラフから得られるハイパー群と , F n を正規化して得ら れるハイパー群は一致する .

6 ^おわりに

以上のように , ハイパー群の双対と幾何学における双対との関係について考察で

きた. また, ハイパー群とグラフとの関係についても考察ができた. 今後の課題とし

ては , 今回はハイパー群接合和を用いてハイパー群のの双対と幾何学的双対との関

係を考察したが , ハイパー群接合和を用いない場合でも成立する例について研究し

ていきたい. 最後になりましたが, ここまでご指導いただいた河上哲先生, 釣井達也

さん , 同じ研究室の仲間にお礼を申し上げます .

参考文献

[1] S. Kawakami, M. Sakao, T. Tsurii and S. Yamanaka: Signed Actions of Finite Hypergroups and the Extension Problem, Bull. Nara Univ. Educ., Vol. 61(2012), No. 2, 13-24.

[2] H. Heyer, S. Kawakami, T. Tsurii and S. Yamanaka: Hypergroups Related to a Pair of Compact Hypergroups, SIGMA 12(2016), 111, 17pages.

[3] S. Kawakami, I. Mikami, T, Tsurii and S. Yamanaka: Actions of Finite Hyper- groups and Applications to Extension Problem, Bull. Nara Univ. Educ., Vol.

60(2011), No. 2, 19-28.