わが 国3大 都 市 圏 にお け る地 域 の 中心地 点 に関 す る幾 何 学 的研 究

〈研 究 ノ ー ト〉

わが 国3大 都 市 圏 にお け る地 域 の 中心地 点 に関 す る幾 何 学 的研 究 神 頭 広 好

1は じ め に

本 研 究 で は,地 理 的空 間 の人 口均 一 性 及 び交 通 条 件 の機 会 均 等 性 と言 っ た諸 仮 定 の もと で,わ が 国3大 都 市 圏Dに お け る都 市 及 び 地域 の 中 心(セ ン ター)2)地 点 位 置 が,い か な る空 間 的 様相 を 呈 して い るか を 考 察 す る。従 来 か ら,こ の種 の研 究 は,都 市,地 域 経 済 学 に お い て な さ れ て い る が,主 と して ウ ェー バ ー モ デ ル3)及び そ の 拡 張 モ デ ル が 応 用 され て い る。 他 に も重 力 モ デ ル や エ ン トロ ピー モ デ ル な ど も あ げ られ る が,こ こで 取 り上 げ る Voronoi図 につ いて は,都 市 計 画 及 び都 市 工 学 の 分 野 ほ ど応 用 され て い る ケ ー ス は少 な い。 これ は,各 研 究 分野 の性 格 上 の 違 いが あ る もの の ウ ェ ー バ ー モ デ ル が社 会 的最 適 立 地 点 を 目指 して い るの に対 して,Voronoi図 は 相 対 的 に小 区域 を対 象 に して最 もサ ー ビ スを受 けに くい地点 を 探 る こ とを 目的 と して利 用 され て い るか らで あ ろ う。 しか し,社 会 的最 適 立地 点 を 導 出 した 後,そ の立 地 点 の影 響 範 囲 をVoronoi図 に よ っ て調 べ る こ とが 可 能 と な る た め,両 手 法 を併 用 す る必 要 が あ る。 そ こで,こ こで は後 者 に照 準 を あて,ま ずVoronoi図 を 理 解 す るた め に,同 図 の幾 何 的特 徴 に つ い て 把 握 す る。そ の 際,同 図 との 関連 に お いて最 近 距 離 分 布 につ いて も触 れ る。

っ いで,そ れ らを 整 理 しつ つ,各 大 都 市 圏 各 地 域 の 中 心 地 点 に関 す る位 置 的特 性 を探 り,そ の 位 置 的特 性 に 関 して3大 都 市 圏 間 の 比 較 を 試 み る。

皿 分析方法

1Voronoi図 の 概 要

2つ の 座 標 軸 上 にn個 の 中 心 地 点P1,P2,… …,Pnが 存 在 し て い る も の と す れ ば,Ptに 関 す るVoronoi領 域(ま た はVoronoi多 角 形)は,次 の よ う に 定 義 さ れ る 。

V(P=)=∩{Pldis(」P,Pi)<dis(P,P;)}

:キ ノ

た だ し,dis(P,P=)は,PとP=と の 直 線 距 離(一 般 に は ユ ー ク リ ッ ド距 離)を 示 して お り,V(Pt)は,Piに 最 も近 い 点 集 合(多 角 形 領 域)を 示 し て い る。

ま た,v(P正),V(P2),… …,V(P。)に よ っ て 分 割 さ れ た 平 面 はVoronoi図 (ま た はThiessen分 割)と 呼 ば れ て い る 。 さ ら に,Ptと 乃 の 垂 直 二 等 分 線

に よ っ て,切 ら れ た 半 平 面 は,

H(PDP;)̲{PIdis(P,Pi)<dis(P,P;)}

と 表 さ れ,こ の 式 を 用 い て 以 下 の 図(立 地 点 が8の ケ ー ス)に 示 さ れ て い る よ う に 各 立 地 点 に 対 して 垂 直 二 等 分 線 を 引 く こ と でVoronoi図 が 描 か れ る。

な お,Voronoi図(ThiessenPolygons)に 関 す る 新 し い ア ル ゴ リ ズ ム の 考 え 方 に つ い て は,Rhynsburger[1973]に よ っ て 論 じ ら れ て い る 。

‑Voronoi図 の 性 質 一

(1)中 心 地 点P=と 最 も近 い 中 心 地 点P;と はVoronoi辺 を 共 有 し て お り, P;がP=の 最 近 点 で あ っ て もP;の 最 近 点 が 必 ず し もP;で は な い 。 (2)Voronoi領 域 内V(P;)に あ る い か な る 点Lを 中 心 に 半 径dis(L,君)

を 描 い て も,こ の 円 内 に ど の 中 心 地 点 も含 ま れ な い 。

一82一 2

わが国3大 都市圏 にお ける地域の中心地点 に関す る幾何学的研究

(3)各 地 点 が 凸状 の形 状 領 域 に含 ま れ て い る こ とが必 要 で あ る。 これ は, 無 限 辺 が存 在 す る た め で あ る。

2Voronoi図 の都 市 政 策 へ の応 用

こ こ で は,公 共 サ ー ビ ス の 恩 恵 を 受 け に く い(ア ク セ ス 距 離 が 長 い)地 点 に 公 共 サ ー ビ ス 施 設 を 置 く と し た ら ど こ に 置 くべ き か を 考 え て み よ う。

言 い 換 え れ ば,こ れ は.P1,PZ,… …,Pnのn個 の 公 共 サ ー ビ ス 施 設 の な か で 最 も 近 い 施 設 へ の 距 離 が 最 大 と な る 立 地 点 を 考 え る た め に,公 共 サ ー ビ ス 施 設 立 地 点 を 含 ま な い 最 も 半 径 の 大 き い 円(最 大 空 円)を 求 あ る こ と に よ っ て,そ の 円 の 中 心 地 点 を 算 出 す る 問 題 と な る 。 し た が っ て,そ の 空 円 の 中 心 地 点 をVoronoi辺 に 限 定 す る こ と に よ っ て,Voronoi辺 を 構 成 し て い る ど れ か のVoronoi点(上 図 に お け るQ)で そ の 円 の 半 径(上 図 に お

け るr)は 最 大 とな る。た だ し,行 政 地 域 を分 析 対 象 とす る場 合 必 ず しも凸 形 で あ る と は限 らな いた あ,厳 密 に立地 点 を算 出 す る こ とは難 しい。

皿Voronoi図 の3大 都 市 圏 地 域 中心 座 標 点 へ の応 用

こ こで は,Voronoi図 を 用 いて3大 都 市 圏 にお け る各 地 域 の 中 心 地(セ ンタ ー)の 勢 力 圏 の地 理 的様 相 に っ い て分 析 す る。 な お,図1に は,3大 都 市 圏 別 地 域 中心 地 立 地 点Voronoi図 及 び最 近 距 離 分 布 が 描 か れ て い る。

さ らに,表1に は,3大 都 市 圏 別 の最 近 距 離 統 計 が掲 げ られ て い る。

表13大 都市圏 における最近距離統計

京浜大都市圏 中京大都市圏 京阪神大都市圏 地 域 数(n)

面 積(A) 総 最 近 距 離 値 最 近 距 離 の平 均 値 最 近 距 離 モ ー ド 最 近 距 離 分散 最 近距 離 標準 偏 差

平 均最 近距 離(Rm) 立 地 点 密 度(s) ポ ァ ソ ン期 待 値(Re) 最 近 隣 測 度(R) 注1)

る。 た だ し,

206 19600

615 4.556

3.5 3.352 1.831 2.985 0.011 4.854 0.615

116 :111 377 4708 ξ 4.5 4.452 2.131 3.25 0.02 4.167 0.779

167 .:1!

484 4.563

3.5 3.801

1.95

...

o.ol 5 0.579 こ こで の 距 離 単 位 はkm,し た が って 面 積 の単 位 に つ い て はk㎡で あ

こ こで の 面 積 は,本 研 究 .ヒで の 面 積 を指 す。

2)RはRmをReで 除 した 値 で あ る。 た だ し,Rmは 総 最 近 距 離 値 をnで 除 した 値 で あ り,Reは 注6)に も とつ い て 計 算 さ れ て い る。

., 4

わが国3大 都市圏にお ける地域 の中心地点 に関 する幾何学的研 究

図13大 都 市 圏 別Voronoi図 及 び(最 近 距 離 ボ ア ソ ン)分 布 京浜大都 市圏

頻度 割合

0.り

中京大都市圏 頻度

0.弓割合

京阪神大都市圏 頻度 割合

0.4

ロ リ リ ロコ リ

距 離(Km)

注1)左 側 の各Voronoi図 に お け る座 標(0,0)は,各 大 都 市 圏 の 都心(京 浜 で は 旧都 庁,中 京 で は愛 知 県 庁,京 阪 神 で は府 庁)を 指 して い る。 ま た, 右 側 の各 分 布 図 にお け る 「距 離 」 は 「最 近 距 離 」 を 示 す 。

2)右 側 の 各分 布 図 に お い て,滑 らか な 線 は ボ ア ソ ン分 布 を示 して い る。

分析 の結果

(1)図1か ら,最 も地 域 頻 度 数 の 多 い最 近 距 離 は,京 浜大 都 市 圏 に お い て は約3〜4Km,中 京 大 都 市 圏 にお いて は約4〜5Km,京 阪 神 大 都 市 圏 に お い て は約3〜4Kmで あ る。

(2)表1及 び 図1か ら,最 近 距 離 分 布 と ボ ア ソ ン分 布4)は,3大 都 市 圏共 に ほ ぼ形 状 的 に は近 似 的 に 見 え るが,カ イニ 乗 値 に っ い て は 京 浜 に お い て 44.37(21.95),中 京 に お い て37.38(28.3),京 阪 神 にお いて は33.15

(21.95)と そ れ ぞ れ 計 算 され た 。 た だ し()内 の数 値 は有 意 水 準0.5%

の カ イニ 乗 値 を 示 して い る。 した が って,こ の2つ の 分 布 が 等 しい と い う帰 無 仮説 は,カ イニ 乗 検 定 の 結 果3大 都 市 圏 共 に0.5%有 意 水 準 にお い て 棄 却 され だ)。 また,最 近 隣 測度(R)6)の 値 にっ い て は,中 京 大 都 市 圏 の そ れ が 最 も1に 近 く,次 いで 京 浜 大 都 市 圏,京 阪 神 大 都 市 圏 の 順 で あ る。

(3)表1か ら,実 際 の 最 近 距 離 の 平 均 値 にっ いて は,3大 都 市 圏 共 に ほ ぼ 4.6Km位 で あ り,細 か くみ る と,京 浜,京 阪 神,中 京 の 順 に大 き くな っ て い る。

(4)表1か ら,最 近 距 離 に関 す る分 散 及 び標 準 偏 差 につ いて は,京 浜,京 阪 神,中 京 の 順 に大 き くな って い る。

結果の考察

(a)上 記(1)につ いて は,上 記(3)及び(4)とも関 連 して お り,行 政 区 域 形 状 と の係 わ り もあ るが,過 去 か らの交 通 条 件(ま た は改 善)の 連 続 性 に よ っ て,交 通 の便 利 な所 に各 地 域 の セ ン ターが 立 地 して きた こと を示 唆 して い る。 この こ とは,公 共 交 通 サ ー ビス水 準(例 え ば,鉄 道 路 線 数 及 び鉄 道 駅 数 な ど)の 規 模 が,京 浜,京 阪 神,中 京 の順 に小 さ くな って い る こ

と と関 連 して い る。

:.

わが国3大 都市圏 にお ける地域の中心地点 に関す る幾何学的研究

(b)上 記(2)にっ い て は,最 近 距 離 の最 頻 度 割 合(確 率)を 若 干 低 く見 積 る と,各 大 都 市 圏 各 地 域 に お け るセ ン ター の立 地 点 が,ほ ぼ一 様 に ラ ン ダ ム に分 布 して い る傾 向 を示 して い る と言 え よ う。 た だ し,最 近 隣 測 度 か ら中 京 大 都 市 圏 の各 地 域 の セ ン ター地 点 が 最 も ラ ン ダムパ ター ンに近 い 値 を 示 して お り,次 いで 京 浜 及 び 京 阪 神 が ほ ぼ 同 程 度 の値 を示 して い る。 た だ し,こ こで は3大 都 市 圏 の形 状 を 四角 形(ほ ぼ正 方 形)に 見 立 て て 分 析 を して お り,可 住 地 面 積 及 び地 形 の起 伏 を考 慮 した上 で 分 析 す

る必 要 が あ る。

IVお わ り に

本研 究 ノー トは,都 市,地 域 経 済学 及 び地 理 学 等 にVoronoi図 を 応 用 し て い くた め の基 礎 を整 理 す るた あ に 書 か れ た もの で あ る7)。こ こで は,同 図 が各 地 域 の 中心 地(セ ン ター)を 市 役 所 及 び 町 村役 場 の 立地 点 と して 各 大 都 市 圏 の形 状 を ほ ぼ正 方 形 に み た て て描 写 さ れ た。 そ の結 果,各 大 都 市 圏 に お け る都 市 部 の集 積 の大 きさ や交 通 条 件 の発 展 度 合 い が近 隣距 離 と関係 あ りそ うな ことが 考 察 さ れ た。 ま た,中 京 大 都 市 圏 に お け る地 域 中心 地 点 が 最 も ラ ン ダ ムパ タ ー ンに近 い と言 っ た分 析 結 果 も得 られ た。 した が っ て,今 後 これ らの分 析 結 果 を踏 ま えっ っ,筆 者 の研 究 領 域 で あ る立 地 論 の み な らず 都 市 化 の空 間 的 進 行 度 や それ に関 す る情 報 伝 達 速 度 の研 究 に対 し てVoronoi図 の応 用 可 能 性 を考 え て い く必 要 が あ る。 さ らに,現 在 の様 な 混 沌 と した社 会 にお いて 都 市 の政 策 を 実 施 す る際,複 数 の 目的 が 存 在 す る わ けで あ るか ら,そ れ らに対 応 した あ らゆ る分 布 形 を考 慮 した分 析 手 法 を 考 え て いか な けれ ば な らな い。

注

1)こ こで の3大 都 市 圏 は,昭 和60年 に お け る総 務 庁 統 計局 の設 定基 準 に 従 って お り,市,特 別 区,及 び 町 村 を 対 象 に して い る。な お,大 都 市 圏 の設 定 基 準 に 関

す る詳 細 に つ い て は,「大 都 市圏 の 人 口」昭 和60年 国勢 調 査 摘 要 シ リー ズ,No.

2,総 務 庁 統 計 局,p.1を 参 照 せ よ。

2)こ こで の中 心(セ ンタ ー)地 点 と は,都 庁,県 庁,府 庁,市 役所 及 び 町 村 役 場 の各 立 地 点 を指 す 。 こ の こ と は,こ れ らの行 政 主 体 が,比 較 的交 通 の 利 便性 が 高 く,商 業 集 積 地 の近 辺 に 立地 して い るケ ー ス が 多 い こと か ら も適 当 と考 え ら れ る。

3)次 式 で示 され て い る よ う に,ウ ェ ー バ ー モ デ ル は,も と もと工 業 立地 を対 象 と した もの で,多 数 原 料 産 地 また は多数 市 場 か らの総 運 送 費 を最 小 に す る工場 立 地 点 を探 し出 す た め の もの で あ る。

ね

c=Σw;(x「xm)2+(yry潮)2 i‑1

た だ し,c:総 移 動 距 離,w,ウ エ イ ト(ex.製 品 重 量,清 費 者 数),(x;,y、):

2市 場 の 座 標,(xm,ym):総 移 動 距 離 最 小 点 座 標

上 式 のcを 最小 に す るた め に,ヒ 式 をxm及 びymで そ れ ぞ れ偏 微 分 して0と 置 くこ と に よ っ て,

杭 蓼、響 啓 、葺̲wt.Yr.ym‑‑id;/ni‑、 葺 (た だ し,4̀=(x=‑xm)2+(yt‑ym)2)

が 導 か れ,初 期 値(例 え ば,重 み 付 き 重 心 座 標)及 び 収 束 基 準 値 を 設 定 して 反 復 計 算 を 行 う こ と に よ っ て,xm及 びymが 導 出 さ れ る。 な お,重 み 付 き 重 心 座 標 (κρyA)は,

ね

=t

を最 小 に す る た め に,xg及 びygでcを 各 々偏 微 分 す る こ とに よ って 各 次 式 か ら 求 め られ る。

ね カ カ ロ

xg=Ew;x;

=‑1/、;1ω 口Y・=,Σ1ω ・ツ・/Ew;t‑i

4)こ こ で は,最 近 距 離 に 関 す る ボ ア ソ ン分 布 の 考 え 方 を 以 下 に 示 す 。 ボ ア ソ ン 分 布 は,点 の 分 布 が 一 様 に ラ ン ダ ム な 代 表 的 分 布 で あ る た め,こ こ で 面 積Aに 含 ま れ て い るn立 地 点 の あ る確 率 をP(n,A)と して,立 地 点 の 密 度 が マ ク ロ 的 にsで あ る と し て,次 の 諸 仮 定 を 設 定 す る 。

(a)P(n,A)は 面 積Aの み に 依 存 す る。

(b)微 小 な 面 積dAに お い て,P(1,dA)=sdAと 表 わ さ れ,nが1よ り大 き

.. 8

わが国3大 都 市圏 における地域 の中心 地点 に関す る幾何学的研究

い とP(n,dA)=0と 考 え る こ と が で き る。

(c)境 界 条 件 と して,n<0の と きP(n,x)=0,nが0で な い な ら ばP(n,0)

=0 ,nが0で あ る な ら ばP(o,dA)=1‑sdAが 成 り立 ち,dAが 限 り な く0に 近 い こ と を 仮 定 す る な らばP(0,0)=1で あ る 。

こ こ で,面 積Aを 僅 か に 変 化 さ せ た 場 合,次 式 で 書 き 表 わ す こ と が で き る 。 P(n,A十dA)=P(n,ノ1)P(0,(t/1)十(η 一1,ノ1)P(1 ,d/1)

+P(n‑2,A)P(2,dA)+・ ・・・・・…+P(0,A)P(n,dA)+o(dA)(1) た だ し,o(dA)はdAの 高 位 の 無 限 小 を 示 して い る 。

と こ ろ で,僅 か な 領 域 に 少 な く と も1っ の 立 地 点 も存 在 し な い 確 率 は, P(0,dA)=1‐{P(1,dA)十P(2dA)十 ・・・・・・… 十 〇(dA)}(2) (2)式 を(1)式 に 代 入 して,dAで 除 す る と,

P(n,A+dA)‐P(n,A) ̲̲P(1,dA){P(n

,‐1,A)‐P(n,A)}dAdA +P(2,dA){P(n‐2,A)‐P(n‐1,A)}+...+°(dA)dAdA

が 得 ら れ る 。 こ こ で,仮 定(b)か ら 上 式 の 右 辺 の 第2項 目 か ら は0で あ り, P(1,dA)=sdAで あ る こ と か ら,次 の 微 分 方 程 式

dP(n,A)o(dA) =s{P(n‐1 ,A)‐P(n,A)}十dAdA

を 得 る こ と が で き る 。 ま た,仮 定(c)か らn=0の と き はP(‑1,A)=0で あ り,P(0,0)=1で あ る か ら,

P(0,A)=e‑5n

が 求 め ら れ,こ れ を 用 い て 順 次 計 算 す る こ と に よ っ て, P(n,A)一(sAre‑SAn!

が 導 出 さ れ る 。 し た が っ て,こ の 式 か ら面 積Aの 範 囲 に あ る 立 地 点n個 あ る 確 率 が ボ ア ソ ン分 布 に 従 っ て い る こ と が 分 か る。 と こ ろ で,次 頁 の 図 の 立 地 点 Qか ら最 も近 い 立 地 点 ま で の 距 離Rが,0くR<rで あ る 確 率 は,半 径r以 内 に 存 在 す る 立 地 点 の 数 が0で な い 確 率 に 等 し い 。

そ こ で,立 地 点Qか ら 半 径r以 内 に 立 地 点 が1っ も 存 在 し な い 確 率 を P(0,ρ ノ)と す る と,

o(x)dx=1‑P(o…2)

ただ し,f(x)はRの 確 率 密 度 関 数 を示 して い る。

さ らに,上 式 をrで 微 分 す る と, f(r)一 一dp(象,π2)

が 求 め られ,P(0,A)=esAか ら,

f(r)=2sπ70snr2

が導 か れ る。 そ の 結 果,表1か ら各 大 都 市圏 のs値 を こ の確 率 密 度 関 数 ノ(r)に 代 入 す る こ と に よ って,各 大 都 市 圏 の確 率 密 度 関 数 が導 出 され る。 なお,上 記 の導 出過 程 に関 す る詳 細 にっ いて は,Dacey(1964)及 び腰 塚(1986)等 を参 照 せ よ。 ま た,平 易 に説 明 され て い る もの と して は,奥 野(1977)が あ る。

5)こ こで は,頻 度 分 布 と確 率 分 布 とが 適 合 して い るか を調 べ る の に有 効 な カ イ ニ 乗 検 定 を用 い て分 析 を試 み た。た だ し,頻 度 分 布(ヒ ス トグ ラ フ)を 作 成 す る 場 合,デ ー タ区 間 の 幅(w)を 決 め る必 要 が あ り,こ れ に よ って カ イニ 乗 値 が 違 って くる こ とに注 意 を要 す る。 なお,デ ー タ区 間 の 幅(ω)及 び 区間 の個 数 (k)を 決 め るの に際 して,一 般 に ス タ ー ジ ェ スの 公 式(w=(デ ー タの範 囲)/(1 +log(デ ー タ数)))やk=(1.71)3デ ー タ が あ り,最 近 で は後 者 が使 わ れ る 傾 向 に あ る。

6)こ の最 近 隣 側 度(R)(nearestneighbormeasure)は,実 際 の平 均 最 近 距 離 値(Rm)を ラ ン ダ ム分布 を想 定 した場 合 の最 近 距 離 期 待 値(Re)で 除 した 値 を 指 す。 た だ し,平 均 最 近 距 離 値(Rm)は 総 最 近 距 離 値(n)で 除 した 値 で あ り, 最近 距離 期 待 値(Re)は 注4)に お け る確 率 密 度 関 数f(r)か ら,

一90一 10

わが国3大 都 市圏 にお ける地域 の中心地点 に関 す る幾 何学 的研 究

Re‑∫12・ π・2・一吻 ・‑2渥

を用 い て計 算 され る。 つ い で,分 散Rvは 次 式 で 示 され る。

Rv‑∫12・ π・2凶 ・一{Re}2一 審

した が って,最 近 隣 測 度(R)が0に 近 け れ ば 集塊 パ タ ー ンを,1に 近 けれ ば ラ ン ダム パ ター ンを,ま た,1か ら離 れ て い れ ば 拡散 パ タ ー ンを そ れ ぞ れ 意 味 し て い る。 た だ し,Rが2.149に 近 い ほ ど 立地 点 の分 布 が 正 六 角 形 を と る こ とが 知 られ て い る。 これ に つ い て は,下 図 に示 さ れ て い る正 六 角 形 の 立 地 分 布 を 仮 定 して,最 近 隣 距 離 をrと す る と正 六 角 形 の 面積(A)はA=扉/2と な り, r=趣 「/ 3と 書 き換 え る こ とが で き る。 ま た,面 積(A)の 中 に は,立 地 点 が 一 っ しか 存 在 しな い ため に立 地 密 度(S)は1/Aで あ り,r=禰=1勧

とな る。 したが って,こ のRmを ヒ記 のReで 除 す こと に よ ってR‑2.149が 得 られ る。

な お,こ の 最 近 隣 測 度(R)の 詳 細 に つ い て はClarkandEvans(1954), Yeates(1968)及 び 奥 野(1977)等 を 参 照、せ よ 。

7)Voronoi図 の 基 礎 を 理 解 す る た め の 書 物 と して は,例 え ば 岡 部 ・鈴 木[1992]

な ど が あ る 。

参 考 文 献 Boots,B.N.,"ContactNumberPropertiesintheStudyofCellularNet‑

works",GeographicalAnalysis,1977,pp.379‑387.

Clark,P.JandF.C.,Evans,"DistancetoNearestNeighborasaMeasure ofSpatialRelationshipsinPopulations,"Ecologyvol.35,1954,pp.445

‑453 .

Dacey,M.F.,"Two‑DimensionalRandomPointPatterns:AReviewand

AnInterpretation",PapersoftheRegionalscienceAssociation,13,1964, pp.41‑55.

Rhynsburger,D.,"AnalyticDelineationofThissenPolygons."Geograph‑

icalAnalysis,5,1973,pp.133‑44.

Yeates,M.H.,AnIntroductiontoQualitativeAnalysisinEconomic

Geography,McGraw‑HillInc.,1968(邦 訳 一 高 橋 潤 二 郎 『計 量 地 理 学 序 説 』 好 学 社,1980)

岡 部 篤 行 ・鈴 木 敦 夫 『最 適 配 置 の 数 理 』 朝 倉 書 店,1992 奥 野 隆 史 『計 量 地 理 学 の 基 礎 』 大 明 堂,1977

腰 塚 武 志 他 『都 市 計 画 数 理 』 朝 倉 書 店,1986

一92一 12