電子工学科矢鳴虎夫 The Study of the Generalized Renewal Processes

積分形密度変調による一般化再生過程の研究

（特にステップランダム信号による変調）

    （昭和47年ヱ0月20日 原稿受理）

電子工学科矢鳴虎夫

The Study of the Generalized Renewal Processes   generated by Integral Density Modulati◎n

（especially， the modulation by step random signa1）

by Torao Yanaru

  Integral deDsity modttla伍◎n is def短ed and the genera夏 properties of the point proces＄es（R（τ））which are produced by this modulation are studied．

  Th・p。i紅t d・nsity・f Rωis exp・・ss・d・・th・p・・du・t・f th・愉du1・ti・n・逗n。1 and the point density of pre・modulated poi砒processes（R （〆））．

  If R，（〆） is◎驚derly， the oτderliness＊1｝◎f R（ξ） is als◎preserved．

  The mathematical expressions are derived of the intensity function2）， and the cor・

斑atim・・e伍・i・nt・f adjacent int・・−P・int int・・vals（first COどrelati◎n c◎ef五cie］〔lt）。舳。

modulated point proeesses， when the modulation signal is a kind of stochastic pro・

cesses， i． e， step random signa1（SRS）， and R （〆）is ordinary renewal processes．

  These鱒鹸ies are c砿culated and田ustrated f・r several parameter values。f

Rノ（〆）and the st印width of SRS．

  Fピom these graphs， the characte玄istics of the inte投sity function and the first c◎r−

relation coef五cient are quantitatively di3cussed．

tまえがき      いだ・そのため再生過程をこ隔分糖度変調

      をほどこすことによって，確率的構造のわかった  点過程の統計的処理で点個数と点間隔の系列相  一般化再生過程を作りだした。ボアソン点過程 関とはよく求められるが，これらと点密度との問  で調べたようにここでも点密度，つまり変調信号 の定量的な関係はまだあまり研究されていない。  が確率過程の場合について研究する（実際中枢の 筆者らはこのような観点から，最も構造の簡単な 単一神経から得られた自発放電・こルス列の中には ボアソン点過程については幾分研究してきた3）。  あたかも再生過程を密度変調して得られそうなパ ボアソン点過程ではその点密度（瞬間的点密度の  ターンが見られる5））。 そのうちとくにステヅプ 意味で平均点密度と区別して用いる）だけで性質  ランダム信号（step randorn 3igna1， SRS，3で ができる。しかし一般的点過程は点密度だけでは  定義）を用いる。2には「積分形密度変調」の定 性質が決まらず・その解析は極めて困難である。  義とこれによって生じた点過程の一般的性質，す そこで本論文はボアソン点過程の次に複雑な再生  なわち，点密度，点間隔の確率密度関数（pdf）

密度4）（renewal density）が時間的に変化す  および通常法則1）（orderliness）について検討し る・いわゆる一般化再生過程の研究に主力を注  た。3には定常な再生過程をSRSで変調した場       合，生じた点過程の強度関数2）（i批ensity func・

 ＊文献1）の中の原語0餌HHaPHOCTbの英訳     tion），点間隔の隣り合せ相関係数（第1相関係

i68

鷲讃議㌶㌫謙ldr；噸の蟻から〆一∫rτλ（娠あるので

パラメーターにしてグラフにした・その結果か @ρω一ゐ（〆）λ（τ）P 一∫zλω叫伽）

ら，強度関数と第1相関係数の特徴を定量的に考      ゜ 察した。       を得る。

       とくにR （〆）が再生過程の場合

 2・ 積分形密度変調された点過程の一般的性質   図2−2で，R・（〆）では微少時間間隔（〆−

 2．1積分形密度変調の定義       4〆，，〆＋4〆2）に，したがってR（のでは（r−4f1，

 図2−1で，λ（τ）は非負の変調信号，λ（のは  什4のに点が1個存在すると仮定する。次に その時間積分とする。変調をうける点過程R （の  R （のでその前後に点の存在する微少区間メ ，1y は点密度み（〆）をもち通常法則を満足する。    を取り，更に点の存在しない区間をβ ，C とす 〆軸上にR （のをとり珪ωを介して図のよう  る。次にこれらをR⑦で・4，β，qDに対応ずけ に 軸に写像して得られる点過程R（りを「積分  る。そしてそれぞれの区間に存在する点個数を，

形密度変調」された点過程という。ただし珪（の  たとえば現tのように表現すれば・明らかに 一一^{閨C（ら≦r≦} 。，〆ρ一〆一〆、）のとき，R （〆），    P．（NA ＝1， Nβ ＝0，1Vc −0，1〜ら戸1）

はR（ら）に写像するものとする。       −P．（NA−1，1Vβ一〇，1Vc−0，1Vρ一1）

      P．（2VA声1，2Vβ，＝0）＝れ（2Vバ＝1，1Vβ一〇）

         へ（・       川       Pγ（ノVc，＝0， No，＝1）＝P7（1Vc＝0，2VD＝1）

一一 一←＿＿．ぷ 一       口

               ⇔      ：      「＿、

            一  一              ＝ 幽      λ、t、

A−一．．一   ζ 一¶一 一｝吟 二ご    1

「 、         

ノi

i1

1 ；

ぷ｛1 卜∂t21

      ど む ロ

肇 ㌦・一τ   鰍   基準に隣り合せの点間隔を7。 ，rαとし，幽，

図2−1        図2−2     4〆、＜メ ，D に取れば，次の式が保証されてい        る。

・      （2．5）

i

：    が成立つ。

：     一方是（〆）が再生過程であるため隣り合う点      間隔が統計的に独立なこと，すなわち，時刻〆を

 2．2R（のの点密度（ρ（τ））

は鷺3雲麗㌫亮遍二c（元 瓶れ（ぴ≦恥≦β鴇c≦賜≦c＋ ）

2㌫遮㌶㌶すれ看治々の点密 一瓶れ（喧碧酬

ゐ（〆）−4E｛響｝，ρω一4E｛讐め｝ ・E（c≦丁請α＋ ） 但6）

      （2．1）   またλノ，1γが充分小さければ

  E｛ル（〆，・ ）｝−E（N（τ・・）｝  （2・2）  P。（C ≦r。，≦C＋D ）鴫（1Vぴ一〇，N。 −1）

も成立つ       （2．7）

      が成立つ，結局（2、6）に代入すれば

∴ρ（・）2E｛誓τ）L4E｛誓・め）筈 鷺譜：慧諺（㍍ム）

      （2，3）       （2．8）

となり（2．5）から

  れ硯一・，N。−q N。叫N。一、）   3λ⑦が貯ツプランダム信号（SR5）の

したがってR（∫）についても（2．6）と同じ式（ダ  化し，各区間の振巾が分布一定の独立な非負の確 ッシュを取りのぞいて）が成立ち，再生過程とな  率変数に従うものとする。この∫R3は数学的に る。とくにRξ（〆）が ⑦一1なる再生過程なら，  取り扱い易いことのほか，振巾の分布を自由に述 R（τ）はλ（ ）自身を再生密度とする一般化再生過  べること，自己相関が零と異なる値をとる遅延時 程になる。       間巾（相関時間）がステップ巾となることなどか  2．3R（のの点間隔ρd菟      らこれらの影響を別々に調べるのに便利である。

 R （〆）で（〆，〆＋τ ）における点間隔〃琢を   R （〆）が点密度1の再生過程のときにはR⑦ 9・（τ ｛のとする。またR （の，R（のの点間隔を  の強度関数および点間隔の第1共分散などはゑご ア， 7∫とおくと      とに解析することができる。

  、E（τオ〉τ）≡れ（卿〉τ ）     （2．1◎）    31 強度関数

が成立つ。R（のでぴパ十τ）における点間隔〃4r  3．1．1強度関数について

を∫（τ1λ（X），オ，プ≦X≦ξ＋τ）とおけば        一般的点過程で，その平均点密度を元強度関       4         数を1（τ）とするとき，一般によく知られた共分

∫（τ1λ（κ）・ち ≦担÷τ）＝一扉ゾ（㍗〉・）  散搬γωとの関係は

  一穰命（Tグ〉〆）一λ（汗・〉島（〆1〆） γ（τ）＝ス（1（τ）一ス）  但1）

とくにR （りが一様であれば    ところでR （〆）のあ嚇く婿の点醜の和の

  ∫（τ1λ（X）・τ・ ≦X≦「＋τ）         ρ琢をg。（X）とするとき，対応するR（τ）の点間

   一λ（τ＋τ）91（∫：＋τλ（κ）φc）②・2）㌶鰺1λ（ぷ≦◎‖ま②12）が

 2．4R（のの通常法則       万（τ1ス（κ），『，τ≦κ≦ε十τ）

の驚㌶』㌶纂籔蕊）：駕 一λ（ ＋・）9 （∫：＋τλ（測 

_（3・3）

とすると望 （〆，τ ）＝ψα，τ）であるから，R （のが  が成立つ。

通常法則を満足する点過程であるとすると，その  また，λ⑦のエルゴート性から（3，2）に対応す 定義から       るみ（τ）は（3・3）をス（x），（ξ≦κ≦オ＋τ）の期待

禦⇒ @ 値と㍍‡｝襟噸こと 

∴4ψ ｯτL砂舞〆）芸一λ（・＋・）w募チ〆）   ・蕊∫万（・㈱，ち口≦・÷・）｝透

      （2．13）      （3．4）

したがつてλωが轍あれば4ψ

なりR⑦も通常な点過程となる。         時間間隔（ ， 十τ）は色々のステップに渡る場

170

合があって煩雑だが，為ごとに分類すれば五（τ）  五（τ1◎≦τ≦旬

ぎ二㍑：きる゜    計硫脚㌔柘）

（ちτ＋τ）が④；1ス〉・プ内セことじまる場合；  ＋万・・（。1鍋，。。）｝4。。

（3）；2ステップに渡る場合，のどちらかが起き

て        一㌃P蜘崎蜘妬

      k一τ       （3．8）

   図3−1−1    図3−1−2−， 畠  を得る。

場合（肉；（図3．・4）では峠1一λ。，庭x 噸に・カ≦≦（耐）垣≧1の齢では・

≦1＋τ）であるので       （ちトトτ）は（λ）；π＋1ステップに渡る場合・

       （8）；π＋2ステップに渡る場合，

  ∫rτλω一・・    のどちら力確きて

場篇叉（慧二蕊1ま     「→庄ll二二

      てピハタ

  λω＝λ・（ 十〃o≦κ≦τ十τ）       図3＿ト3

であるので

／二榊一』輌ぽ噛）   巨「∴エコ

      しノ   り のの    ノユ        ノ ノ     ノ

∴刀β （τ1ス（x）・ち・≦κ≦ ＋・）一万β （・1λ・・λ・…）    →㌣ト・シ2ζ： 工

一輿：仇＋輌）ぽ量；（a6）  ←ゴτ

       τ｝nτ

 ここに添字（メ），（β）はそれぞれ場合（4），      図3−1−4

（β）の条件下での値を示す。      場合（メ）（図3＋3）．では

④・（β）は排反的であるので・  ・  λ（X）一雄≦κ≦細。）

∴み（τ1λ（x），ち ≦x≦r＋τ）            λ（x）一ん，（τ＋〃。＋（∫−1）〃≦x≦τ＋μ1＋∫盈，

  ＝．〃盗）（τ1λ。，祐）÷プジβ）（τ1λo，λ1，μ∂    （3。7）      ∫＝1，2，… ，邦一1）

  （ただし 0≦〃o≦〃，〃Fτ一〃・）         λ（x）＝λ。，（ ＋μo＋（η一1）〃≦x≦τ十τ）

で与えられる。      ． 』       であるので ▲．1＝ス1十λ2十・∵λμ輌（灘≧2），▲。1  ところで正の確率変数，λ・，λ・は互に独立でか  50・．（〃＝1）とすると

：：露麗豆㌶㌫㍊霊識三‡二 ∫：㌦（x）一妬＋』縞脇

を用いる）（3．4）から     一       （ただし脇＝τ一（η一1）〃一〃o）

∴ 刀A）（τ1λ（x），ξ，ε≦x≦Z十τ）       、 ．  ・・ゐ∫β）（τμ（x），オ≦x≦オ十τ）

   rθA （τ｜λ。，」。．、，λ。，μ。）    幽 ．一…・一万（β （・1λ。，4，λ。＋、，μ。）

   一｛えぷ一力；λ；曇㌻1『一｛1輪＆（幅ゐ1遼iき

同様に      ．  ド 』 ． ・      ただし μ。H＝τ一融一μ。

 場合（β）（図3−1唖）では       で与えられる。

  λ（X）＝㌔（プ≦X≦特愉   ・  一  11 ここでふ，一，λ．柏はすべて互に独立であるから

  λ（x）一λ・・（ ＋〃o＋（∫−1） ≦κ≦ ＋〃・＋論・    （λ。，ノ1 ＿、，λ郎＋、），あるいは（λ。，ノ1据，λ館＋、）なども

      か1・2・…・め   互に独立な確率変数となる。今Z．の〃才を   λ＠）＝λ僻・・（ ＋μ。＋ηゐ≦x≦∫＋τ）      g。（▲）（同様に．∠。．パこ対して4柘（！4Φ、））で また 4。＝λ、＋λ、＋…＋ん，（π≧1）とすると    表わすことにすれば，（3．4）から

万（・1・〃≦・≦（・＋1）〃）一嘉∫1榊 勧・∫1∫1∫1λ1λ・＋1

     −       ×＆（λ0μ0十∠1％ゐ十λκ＋1μ ＋1）λ4（λ0）4露（ノ1μ）4（λπ＋1）辺0伽％磁％＋1

＋嘉∫畑・∫1∫1∫：λ編（λ・μ・＋4−・ゐ＋λ刷

特殊アーフジ分輌（λぎ）＝ ib竺、）！εカλW   9・ωエ（α一・）！e 

9ω一ゐ：卵ゲ、・、     （したがって＆ω一（頑）1で）

      ×X〜（λo）召ヵ＿1（ノ輌ヵ＿1）4（λ刃）ばλo必潟．．14λ％       （3．9）

となる・（a8）および（ag）些具体的に確率  贈特殊ア＿ラン分布，

変数λ 口＝0，1，…，η十1）として，λ一1なるb階

    ＿       bλ卜1 ＿       α4xαw1  （したがって・4 ，（ξ一π一1またはη）のρ砲

      ◆         α 4XWひ1

 ．（』1）！ ）       ・

またR（r）⊇趣・鮒隔ρρが 嶽灘藍麹すると（31°）〜（a12）

万（τ10≦τ≦カ）一α；芦茎（「〃議鵠1ε1圭錠1）！∫1（。 。宰袈隠14蒜亘鵠，柿

＋竿藺・（    （rα＋b）！（ατ）痢r擁一1）！（ゐ一D！（4τ＋カ）一杜        （alo）

抽為≦・≦2為）一力（φ鋤a￨1）！・墓ス認1織綴｝蒜鵠；！

×（ぷ一一2十b）1（多〃一戊十6@ （ぷ一1）！（％−1）！）！・∫1一鳶（。辮鍔蒜ユ晋蒜‡砦晒

＋カ（αb2b a￨1）1・茎伽昔当嵩キb）！∫：．，（誌麟頴蒜警卵・（a11）

万（τ1灘是≦τ≦（π十1）細≧2）一力（詩li；蒜＿1）藷冨1（12孚詩忽詰荒竺芸誌

172，

×（ぷ一一2÷ηゐ）！（沈一1」←カ

@ （ぷ一1）！（ω一1）！）！・∫∵（譜幕芸蕊留芸鵠柚   『

＋ （   αb伽＋2）δ

×（ぷ一2十〃2b）！（2〃−1十ゐ

ただし （灘、一τ一μ、，灘、づ一為一灘β，，m一葬一1，露。一㌘一 愉一髭。，存が・一τ一鍵ゐ一．潔姦）

《  1・・

ζ、，a＝2 ＿

2．0

ユ．0

2．0

0              「 LOP        →τ／k

      図3−1−5， 、

5    0

3        →x   3ご◎

   3．1．3 数値計算の結果と考察

   図−3−1−5〜図3−1−8にb＝1のとき，ゐをパ   ラメーターにして， α＝2，α一4の場合を数値計

〉 算した結果である。図3」−5と図3−1−6ζは   カで規格した1（τ／旬の様子を（3．頚）を用いて   計算したものである。図中の破線は旅（の自身の

2．0

で

こ

L◎

2．0

一・

@   』．・ ㌔

     ）      、

1．0

◎一．      ◎．5          →τ

     図3−1−7

     0．2  0．1   

    7

／      ∵∴     k三〇〉

・ ・：＿。／k 1・0・ ・°  →τ ゜ 5

      図3−1−6      陶      図3−1・−8

自己相関関数を表わしており，これは同時にα＝  下，α一4（点間隔の分散が平均点間隔の〇三25倍）

1のときのR（りの1（τ／カ）でもある（ボアソン  以下である場合には，点個数の標本系列相関で点 点過程ではカに無関係にλ（りの自己相関関数に  密度に時間的変化があるかどうかを見いだすのは 一致する）。       極めて困難であろう。しかし々が0．5以上あれば  また図には81（x）の様子も一緒に示した。図  点間隔の分散がかなり小さくてもR （〆）のもの 3＋7と図3−1−8には無変調時（R （〆））の理論  とは大差があるので，点密度の性質を，ある程度 値（1点破線）と比較して〃＝0．1，0．2，0．5の  調べることができよう。

ときのκτ）を示した（τ〉◎．5ではすべて1に向   3．2 点間隔の分散と第1相関係数

って漸近する）。変調が充分深いこの様な場合   点間隔の分散γ（〃）と第1共分散C（〃）の式 俵一1はλ（のの停留時間分布の分散が1）でも  をまず導き，γ（めと第1相関数C（カ）／γ（のを

〃−0．1でα＝4（91（x）の分散0．25）ともなれば  グラフにする。 ここにR （〆）における点間隔 R （〆）の1（τ）と大差がない。すなわち標本点列  ρ峨θ1（X）には計算の煩雑さをいくらかでも避け で，』0．2（相関時間が平均点間隔の0・2倍）以  るため，指数関数のみで構成される。

＆（x）一α（エパ）・（ぴ一藷・ぴ一芸・め・）    （a・3）

を用いる。

 ＆2．1分散      ，   ：．

 点間隔をτとすると

E㈹一嘉∫1λ（r㌧撫｛∫1・％（・1ス（x）・ち・≦κ≦オ＋・）砕    ，  但‡め

図3−2司に見るように時刻 を原点に移動し，λ（の＝λ⑰，λ（め＝λ．＋、，（η＝0，1，2，…）のように表わば，

E㈹一誌み・細｛∫r・琉（τ1λ。）由嘉∫1：1ご戊玩（・1ふ…偏）∂・  （＆・5）

㌫謂惣⑰＝輌 うと燃換し 」恥∫†しゴL

醐一晶∫ポ∫ご一一  一芒二堅∵ト

      図3−2−1     ＋誌∫1∫1∫1∫1∫1（μo十力認十μ鬼＋i）』晶（ぷユゐ▲翻

×9（λo）9邦 ／ ）9（λヵ＋1）4λ04ン霊π4λπ＋1血卯＋1ばμo       （＆16）

（3ぼ6）で91（x）に（3ユ3）を，4（λ）一〆（ズー已（4）一芸ll）を代入して鰍け（ゑ）は次の

ようになる。

  γ（カ）−E（τ2）−1 （∵E（τ）−1）

      ゆ

  E（τ2）＝杭（〃，b1）一聡（カ，b2）十Σ（吟（〃，b1）一吟（〃，b2）〕 ，         （3．17）

       鴛●o ここに

174

  聴の一轟｛（ち十2）批一b・鳶（皇＋え）｝

阪（〃 b・）一轟タ｛警2鍋㍗＋・疏・｝＋（略争）碗｝

    オd＝＝1十b ゐ， ぷ，＝＝〃nb −2 ∫＝1，2

3．2．2 第1共分散

図3−2−1で示すように，原点◎を基準にし正負両側にあい隣り合う点間隔τ，〆』をとると

五（・・の謝1λ魂一・．−E（・輌…λ…・λ・ …λ 一・）輪   （a・8）

（2．2）項からR（のは一般化再生過程であるので点間隔の独立性から

  2宮（π 1λ。，…λ。纏．λ、 ，…λ 醗、）＝E（τμo筆・ λ亮÷1）・E（τ 1τo，τ1 曽 ・τ 溺パ）       ，   （3．19）

また

  五（τ1λ。，…λ。．、）一∫1ぴ（・1λ…煽1）『：ぴ（・1λ・）歯＋嘉∫㌻1 ㌦（・1λ・…戊・ぷ（a2・）

E（τ 1λ。λ、 ．…λ 況．、）でも同じように表わされる。

したがって（3ぼ9）から

  E（ττ 1λ。，…λ。．1，λ、 ，…λ 刷）一∫ピ琉（・ 1λ・）∋1°ぴ（・1λ・）∂・

   →−2嘉∫r『τ帆（τノ1τo）ゴ〆∫：：：ご1 力訪（τ1λo・・一λ ＋1）d！τ

   ＋蕊｛ 鳶一μ0十（堺十1）■       ・∫輔概灘τ伍（・ 1λ・・λ1 ・…λ 魁・：）司㍍助蝋・μ・…煽1）凌｝ （a2・）

これを（3。18）に代入し，更に露柘竺τ一（柘＋吻，灘娠＝〆一（μ。＋鳩）なる変数変換をして（2．12）

を用いれば，

  E（・〆）一÷∫1∫∵°∫1°∫。°°π λ69・（λ・τ）宮1（λ・め4（λ・）似・4融・

   ＋諜∫1∫㍗∫1∫1∫1∫1（・ （μ。＋η〃＋μ。÷、）λ』91（為め

   ×91（スo潔§十▲ゐ十λ船μ娠〉ロ（ス。）ロ蕗（4銘）ロ（λ娠）似斯μ∠鰺4ス。4露糾xぱτ 4砺

   ＋義詩∫1∫1∫1∫1∫1∫1∫1∫1（（祐＋舗÷μ娯）（厩＋刷輪の

   ×λ§λ娠λ …＆（λ・鞠＋∠・為＋λ媒μ題）9・（λ。（為一μ・）＋∠㌦カ＋λ 轡μ …）

   ×4（λo）4（λ郎＋1）g（λノ掃＋1）4据（ノ1蕗）4加（ノ1 溺）ζM 那以銘4λ 併＋1ψ｛匁杜と♂λ04勿 溺＋14μ％H4μo    ；      （3．25）

 3−2−1項と同じ81（x），4（λ）を（3．22）に代入して解くとC（のは次のようになる。

C（為）＝五（㍗〆）一ヱ       ，  一

五（・・〆）一嘉、［｛れ（あ）一呪（力轟）｝＋嘉｛互、・（6・）一㌦（占・6・）｝   

    住

＋嘉嘉。｛吟．砿伍 ）一㌦・働））］       （a23）

ここに

輻〜（ぴ）一二毒｛警（1＋ち）一為ちZg−3為＋ξ（竿一1）一竿（4＋学）｝

脚・）一劃警（・＋の＋㌘（・＋ち）−3鴫（砺一ぴ一μ・ち砂

＋毒｛b・b・〃一（6・ち＋b・ ）1〃ii｝一舞｛ゐ・b・力＋（6・−2b・ち）1・ξ一6〃カ（鵬吻）｝］

互・（6・）一蕊｝［毒（励＋（メ・傷一・）批）聯（4＋膓）＋叙竿＋（1＋44） ＋4｝］

㌦（6ゴ，ろプ）「誇癌㈱＋（46戸・）w戊÷ゐ（3宏； L辮

＋毒（・−2；ii ＋嚇一2蜘2右）／・ξ］

万，川ω「辮・巴・＋皇伽一・＋・）一誓｝

み…（b・b・）「諸 三ゐ裏［（綱・馳μ・−4励漂＋｛b・（＝）−2 ・｝1・㌃一b沸］

ただし

あ㌧《＝b」−6       芭3 0 ち＝1十みオゑ

ぷ・繋一オ椥刷一ろ＋彦（斑一露十1）

1＝∫ または 」

〉

LO

a＝1．1 1．5

 3．2．3 γ（〃），C（め／γ（旬の数値計算の結果と

   考察       ◎      5      10

 図3−2−2，図3−2−3は＝1．1，1．5，10の場合

      図3−−2−2 についてそれぞれγ（のとC（旬／γ（めとを数値

計算した結果である。（ただし（3．23）でη，〃｛に   一方C（ゐ）／γ（のは陥が10になってもせいぜ 関する加算は20まで取ったb実際，それ以上の  い0．3前後の値にとどまり， が1以下になれば 値は無視され得る）なお，図3−2−3の中にはg、（x）  急激に0に近ずく。すなわち〃−1（相関時間が のグラフも一緒に示した。γ（ ）はg、（x）にはほ  平均点間隔の1倍）以下であるような標本点列で とんど無関係に為が大きくなるにつれ同じ傾向で  は点間隔の系列相関ではほとんど無変調点列と区 増大する。      別できないだろう。ただg、（X）の分布が正規的

176 ε

〉

吉o

o．1

0．01

       の◎．25倍以下である様な標本点列では，点個数        の系列相関を用いて点密度の時間的変化を見いだ        すのは極めて困難であろう。しかしカが0．5以上

   迦L5日  あれば点密度⑳瀕をある程度調べることができ

       る。

      4）第1相関係数はゐ一10になってもせいぜい

＿1・o  a＝11       0．3前後である。〃＜1ではほとんど0に近い値

☆      なので，力く1以下の標本点列で点間隔の系列相  0・5       関を求めても無変調点列と区別しにくい。

      5）第1相関係数では＆（めの分布が正規的        るが強度関数では逆になる◇

       謝辞

0．00ユ

  0        5        10       ＿

      →k        この研究にあたり，数々の有益な助百を頂いた        図3＿2＿3      本学磯泰行教授に心から謝意を表する。

（分散も小さく）になるにつれ，相関係数は大き        ・ 文    献

くなってλ（ ）を反映し易くなる・この関鰍ま強 ・）ア．ヤ．。ンケゾ待蛤椴騙入門・納英 度関数とは逆である。       典訳，昭41．広川

      2）D．R． cox and P． A． W． Lewis The S鋤is．

 4．むすび         tica1 Analysis of Se「ies of Events ChaP 4，

       1966 Spottis woode，13allantylle ＆ co． Ltd  1）点密度ゐ（〆），（〆一ぷ（カ）なる点過程が変調    L◎nd◇n and C。1cheste∫

信号λ（りで変調されると点密度乃（〆）λ（りの点過   3）磯矢鳴・中山 密度変調されたボアソンパルス

程になる．とくw）一・の離過歓ら再生 4）列漂望雅鵠鷲欝駕賭ユ96亀

密度ス⑦の一般化再生過程になる。         John Wiley＆Sons Inc， New York

2）通常な点過程力・変調されると・一通常 5㌧fH霊巖霊ス霊。蕊罐2。隠：｝1

な点過程になる。       Neumロs・，1g鰍孤y§i◎1◇gy and Behavi碇V◇1．

 3）〃（相関時間の平均点間隔に対する割合）    3・P・745〜752 がα2以下であって，点間隔の分散が平均点間隔