数理解析学４・講義ノート

数理解析学４・講義ノート

第

12

(2020

12

23

(

)

)

13 R ^2,1

0

13.1

F

3

Lorentz

R ^2,1

F

P

§ 2

R ³

H, Gauss

K

H ≡ 0

(

)

次式が定める共形はめ込みの像として表される。

(13.1) X(z) = Re

Z _z

z

(1 + g ² , √

− 1(1 − g ² ), − 2g)η

ただしここで、

D

C

g

D

η

D

1

Enneper-Weierstrass

(cf.

O. Kobayashi:Tokyo J. Math. 6(1983)297-309)

§ 2

Φ = (ϕ ₁ , ϕ ₂ , ϕ ₃ ) = (1 + g ² , √

− 1(1 − g ² ), − 2g)η, X(z) = Re

Z _z

z

Φ

と表す。

g

σ

G = σ ^{− 1} ◦ g

σ

S ²

R ^2,1

H ² := H ² ₊ ∪ H ² ₋

t (0, 0, 1)

Gauss

 曲面

X(D)

Riemann

(1 − | g | ² ) ² | η | ²

M

Riemann

g

M

η

M

1

M

C

Re

Z

C

Φ = 0

すなわち

Z

C

η = − ^Z

C

g ² η,

Z

C

gη = − ^Z

C

gη

が成り立つならば、

(13.1)

M

 ただし

| g | = 1

Riemann

的になっており、曲面は空間的とは言えないが、それを特異点として許容し、曲面の一部 と考えたい。

compact Riemann

M

q ₁ , . . . , q _n

M = M \ { q ₁ , . . . , q _n }

g

M

η

M

1

Φ

M

X

(

)

q _j

end q _j

G(q _j ) = σ ^{− 1} ◦ g(q _j )

end q _j

limit normal

 すぐ後で紹介する第１種の

catenoid

helicoid

generic

cusp

(cf. O. Kobayashi:J. Math. Soc.

Japan 36(1984)609-617)。

M

C

n

F (C) =

Z

C

n(s)ds

を

C

flux vector

F (C)

C

homology

R ³

end q _j

δ _j

X(δ _j )

M

n

F _j = F (δ _j ) =

Z

δ

n(s)ds

を

end q _j

flux vector

F _j

δ _j

 特異点集合

{| g | = 1 }

n

end q _j

の

flux vector

要に見えるが、

flux vector

F j = − Im

Z

δ

Φ = − 2πRe Res z=q

Φ

で与えられ、従って留数計算で求められることに着目すれば、そのような面倒は回避され る。

end q j

limit normal

end

R ³

end

flux vector

0

catenoid

end

flux vector

limit normal

例

13.1.

g = 0, η = dz, z 0 = 0

X(z) = (x, − y, 0)

（（計算）

Z _z

0

(1 + 0 ² , √

− 1(1 − 0 ² ), − 2 · 0)dz

=

Z _z

0

(1, √

− 1, 0)dz = [z, √

− 1z, 0] ^z ₀

= (z, √

− 1z, 0) = (x + √

− 1y, − y + √

− 1x, 0)

）であり、その像は

x ₁ x ₂ -

3.1

例

13.2.

g = z ⁻¹ , η = dz , z ₀ =???

X(z) =

x

1 − 1 r ²

, − y

1 − 1 r ²

, − 2 log r

（（計算）

Z _z

(1 + z ^{− 2} , √

− 1(1 − z ^{− 2} ), − 2z ^{− 1} )dz

= (z − z ^{− 1} , √

− 1(z + z ^{− 1} ), − 2 log z)

= (x + √

− 1y − 1

r ² (x − √

− 1y), − y + √

− 1x + 1

r ² (y + √

− 1x), − 2 log r − 2 √

− 1θ)

= (x

1 − 1 r ²

+ √

− 1y

1 + 1 r ²

, − y

1 − 1 r ²

+ √

− 1x

1 + 1 r ²

, − 2 log r − 2 √

− 1θ)

）であり、その像は第１種の

catenoid

1

2

q

x 1 2 + x 2 2 = sinh x ₃ 2

である。この場合も例

3.2

M = ˆ C

q 1 = ∞ , q 2 = 0

(

)

 特異点集合

| g | = 1

| z | = 1

R ^2,1

(

)

1

x 1 = 2sinh ^x ₂

 さらに、この曲面は、この錘状特異点に関して点対称となっているが、実はこのよう な対称性は、錘状とは限らず特異点集合

(

)

§ 12

(12.3)

I(z) = 1/z ( “ − ” (

)

)

g ◦ I = 1

g , I ^∗ η = − g ² η

 一方

flux vector

∞

平面

C

0

n

r > 1

R := r(1 − _r ¹

) = − 2sinh ^x ₂

> 0

X(δ 1 )

(R cos s

R , R sin s

R , − 2 log r) (0 ≤ s ≤ 2πR)

n(s) = 2

R (cosh x ₃ 2 cos s

R , cosh x ₃ 2 sin s

R , − 1)

F ₁ = 4π(0, 0, − 1)

 また、小さめの半径

r < 1

R := − r(1 − _r ¹

) = 2sinh ^x ₂

> 0

X(δ ₂ )

(R cos s

R , − R sin s

R , − 2 log r) (0 ≤ s ≤ 2πR)

n(s) = 2

R (cosh x ₃ 2 cos s

R , − cosh x ₃ 2 sin s

R , 1)

より、これを線積分して

F 2 = 4π(0, 0, 1)

Z

δ

Φ = 2π √

− 1(0, 0, − 2) = (0, 0, − 4π √

− 1) Im

Z

δ

Φ = (0, 0, − 4π)

− Im

Z

δ

Φ = (0, 0, 4π)

）

 一方、

end q _j

limit normal

埋め込まれた

end

simple end ( η, gη, g ² η

2

end

flux vector

0

end

flux vector

(つまり光的)

limit normal

vector

例

13.3.

g = z, η = √

− 1

1

z − 1 − 1 z + 1

2

dz, z 0 =???

X(z) = − 2y

( 1

(x − 1) ² + y ² + 1 (x + 1) ² + y ²

)

, log (x − 1) ² + y ² (x + 1) ² + y ² ,

− 2y

( − 1

(x − 1) ² + y ² + 1 (x + 1) ² + y ²

)!

= − 2y

(x + 1) ² + y ² (1 + e ^{− x}

), x 2 , − 2y

(x + 1) ² + y ² (1 − e ^{− x}

)

!

（（計算）

η = √

− 1

( 1

(z − 1) ² + 1

(z + 1) ² − 1

z − 1 + 1 z + 1

)

dz, gη = √

− 1

1

z − 1 − 1 z + 1

1

z − 1 + 1 z + 1

dz

= √

− 1

( 1

(z − 1) ² − 1 (z + 1) ²

)

dz, g ² η = √

− 1

1

z − 1 + 1 z + 1

2

dz

= √

− 1

( 1

(z − 1) ² + 1

(z + 1) ² + 1

z − 1 − 1 z + 1

)

dz

に注意すれば

Z _z √

− 1

( 2

(z − 1) ² + 2 (z + 1) ²

)

, − − 2

z − 1 + 2 z + 1

, √

− 1

( − 2

(z − 1) ² + 2 (z + 1) ²

)!

dz

=

√

− 1

− 2

z − 1 − 2 z + 1

, − ( − 2 log(z − 1) + 2 log(z + 1)), √

− 1

2

z − 1 − 2 z + 1

= √

− 1

(

− 2(x − 1) − 2 √

− 1y

(x − 1) ² + y ² − 2(x + 1) − 2 √

− 1y (x + 1) ² + y ²

)

, log { (x − 1) ² + y ² } + 2 √

− 1Tan ^{− 1} y

x − 1 − log { (x + 1) ² + y ² } − 2 √

− 1Tan ^{− 1} y x + 1 ,

√ − 1

( 2(x − 1) − 2 √

− 1y

(x − 1) ² + y ² − 2(x + 1) − 2 √

− 1y (x + 1) ² + y ²

)!

）であり、その像は第２種の

helicoid

x ₃

x 1

= tanh x ₂ 2

である。この場合

M = ˆ C

q ₁ = 1, q ₂ = − 1

(

)

 特異点集合

| g | = 1

| z | = 1

 このように二枚重ねとなるための条件も、

(12.3)

I(z) = 1/z (

)

g ◦ I = 1

g , I ^∗ η = g ² η

 一方

flux vector

1

δ ₁

X(0, y) = − 4y 1 + y ² , 0, 0

!

は

x ₁

[ − 2, 2]

n

(1, 0)

X _∗

X _x (0, y) = 4

(1 + y ² ) ² 0, − 4

1 + y ² , 8y (1 + y ² ) ²

!

から

n(y) = 1

| 1 − y ² | 0, − 4

1 + y ² , 8y (1 + y ² ) ²

!

より、

dx ₁ = − 4(1 − y ² )

(1 + y ² ) ² dy

を線素として、これを線積分して

F ₁ = 4π(0, − 1, 0)

 また、

− 1

δ ₂

x ₁

[ − 2, 2]

n

( − 1, 0)

X _∗

n(y) = − 1

| 1 − y ² | (0, − 4

1 + y ² , 8y (1 + y ² ) ² )

F ₂ = 4π(0, 1, 0)

Z

δ

Φ = 2π √

− 1(0, − 2, 0) = (0, − 4π √

− 1, 0) Im

Z

δ

Φ = (0, − 4π, 0)

− Im

Z

δ

Φ = (0, 4π, 0)

）

 上記の５種類に加えて、空間的極大曲面においては、

R ³

η, gη, g ² η

1

simple end

flux vector

0

end

 なお、以上のことを踏まえた上で、空間的極大曲面についても極大

herisson ( § 4

Rosenberg-Toubiana

)

flux

0

3-noid

generic

data

4-noid

参考文献

Kobayashi:Maximal surfaces in the 3-dimensional Minkowski space L ³ , Tokyo J. Math.

6, 297-309 (1983).

Kobayashi:Maximal surfaces with conelike singularities, J. Math. Soc. Japan 36, 609-617

(1984).