第 18 章磁気ヘッドの解析技術

第 18章 磁気ヘ ッ ドの解析技術

北 海 道 大 学

アル プ ス電 気株 式 会社 アル プス電 気株 式 会社 長 岡 技 術 科 学 大 学

f博靖f

幸雅甚

笠壕井田

武飯金松

1 磁気ヘッ ドの解析および計測技術

磁気記録 の高 密度 化 に対 応 して磁 気 ヘ ッ ドの小形 化 ,高精 度 化 が進 め られ て いる｡ とりわ けヘ ッ ドコアの薄膜 化 , 微小化 に よ り, この よ うな コア よ りの微 小領域 の磁 界 解析 が ます ます重要 とな って きて い る｡ 一方 スーパ ー コ ン ピュー タで代表 され る計 算機 の高速 ,大 容量 化 に支 え られ, 計算 物理 あ るいは シ ミュ レー シ ョン技 術 とよばれ る新 しい学 問領域 が形 成 され つつ あ るo この流 れ と呼 応して,磁 気記 録 分野 で も シ ミュ レー シ ョンによ り磁 気回 路 中 の磁 性 材 料 の材 料特性 お よび形 状 を変化 させ てパ ラメー タス タデ ィが可能 で あ る こと, 測 定 の 難 しい微小領域 の磁界分布 の計算 が可 能 で ある こと等 の利点 に よ り, シ ミェ レー

ションが磁 気回 路設計 に使 わ れ,大 きな成果 を あ げて い る｡

理論 的研 究 と実 験 的研 究 は物理学 あ るいは工学現 象 の解 析 の両 輪 を な すが, 徽小領域 の磁 界 の観 測 が あ って初 めて理 論が確 か め られ,其 の 自然 が理 解 され る｡ この意 味 で理 論 的研 究 と実験 的研究 とは相補 的関 係 にあ るが, さ らには こ れらではそ の本 質 が十分 に理 解 され て い ない工学 的現 象 を計 算 機 の力 に よ り明

らか に して い く ところに計 算 物理 あ るいは シ ミュ レー シ ョンの使 命 が あ るよ う に思 われ る｡

本章 で は, まず磁 気 ‑ ッ ドの解析 技術 と して数 値解 析 ,有 限要 素 法 ,解析 例 につ いて述 べ, 次 に磁気 ヘ ッ ドの漏 れ磁 界 の計測技 術 と して主 に電子 線 トモ グ ラフィにつ いて述 べ る｡

2 磁気ヘ ッ ドの解析技術 2.1 磁気ヘ ッ ドの数値解析

2.1.1 磁気‑ ッドのための磁界解析

すで に他茸 で 触 れ られ て い るよ うに,磁気 ヘ ッ ドの研究 , 開 発 の流 れ は高密 度記録 にあ る｡ 磁 気 ヘ ッ ドの機能 は,媒 体 に記録 され た磁 化 を読 みだ し電 気信 号 (電圧) と して出力す る再 生 ,記 録 す べ き情報 の電 気信号 (電 流 ) を媒 体上

トリケ･DTユSS21

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に磁 化 と して書 き込 む記 録 , また媒 体上 の古 い情 報 を 消 し去 る消去 の三っであ る^o これ らの機 能 は いず れ も磁 気 ヘ ッ ドの発 生 す る, あ るい は媒体 か ら漏れ出 る磁 界 に基 づ いて い るo 磁気 記 録 の研究 , 開 発 は, ‑ ッ ドの形 状 や材料,媒体 の製 法 や素 材 さ らに は記 録方 式 の検 討 につ いて で あ って さえ も, ヘ ッ ト 媒体 間 の磁 界 分 布 を よ り高 密 度記 録 に適 す る もの に して い くことであ ると言える｡

した が って,磁 界 の様 子 を知 る ことは, 磁 気 記 録 の研 究 の 中 で重要 な課題の一 つで あ り, 多 くの解析 計 算 が な され て きて い る^｡

図1に ヘ ッ ド磁 界解析 法 の分 類 を示 すo 仮 定 磁 路 法 は電 気 回路か らのアナロ ジで磁 気 回 路 の磁 束 の流 れ を解 くもので , ヘ ッ ドコ ア な ど磁 路 の磁 束の伝達効 率 を見積 もる場 合 な どに用 い られて きた1㌦ ギ ャ ップ近 傍 の磁 界分布 を求める理 論 解析 は, 媒 体 磁 化過 程 で の振 舞 い の検 討 は もち ろん の こと,相反定理 による 再生 の考 察 にお いて も重 要 で あ り, 等角 写 像 , 数 級 展 開, グ リー ン関数等が解 析 に用 い られて きた 1㌦ しか しなが ら,理 論解析 は, 計算 が簡単である反面,檀

法ヤシシシシルシンンンンヤンチチナチシナ一ポポけい川ドンポルラルラ

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分分骨差差差避心道都中絶 上山･日出■‖/̲'γはルルルヤヤ ､ノ法テ流ポ抜髄ラ化面力磁濃ス面怖気寂等磁

図1 ヘ ッ ド磁界解析法 の分析

･磁気 モー メン ト法

シ ャル法

トリケ･DプユSS21

端な近似 が 可 能 な場 合以 外 につ いて は解 析 が不可 能 で あ り,適 用 で き る問 題 が 限られ て い る｡ 複雑 な形 状 ,磁 気飽 和 や ヒステ リシスによ る非 線 形 , あ る いは 非定常 な ど実 際 のヘ ッ ドの動 作 状態 を精 度 よ く解 析 す るた め に は,差 分 法 ,育 限要素 法, 境 界 要素 法, 積 分方 程式 等 を用 いた数 値 解析 によ らな けれ ば な らな い｡媒 体磁 化 に よ る反磁 界 や複 雑 な磁 化過程 , ヘ ッ ドや媒体 の小形 化 , 薄 膜 化 による微細 磁 区挙動 の影響 な どを含 めた, よ り実際 の磁界分布 解析 がで きれ ば, 単に磁 界を知 る ことのみ に とどま らず,磁 気記録 , 再生 にお け る基 礎 的 な物理 現象に対 す る知 見が得 られ る こ とに な る｡

近年 の電 子 計 算機 の大 形 化 ,高速 化, 多様 化 とい ったハ ー ドウエ アの発 展 と ともに,磁 界 の数値 解析 法 も, よ り実 際 の装 置上 で の振 舞 いを正 確 に把 捉 す る ための3次 元解 析法 が盛 ん に研究 され るに至 り2), よ り複雑 な系 を取 り扱 う手法 が開発 され て きたQ また, 電子 機器 の小 形 化 ,高 性 能 化 ,製 品 開発 の短 期 間化 のために多 くの数値解析 が試 み られ て い る｡ 磁 気記 録 において も,数 値 解 析 が 研究手 段 の一 つ と してハ イ テ ンポに進展 して い る記 録密 度 の 向上 を支 え て い く

ことは明 白 で あ る｡ 今 日, ヘ ッ ド磁 界解 析 に適 用 で きる汎用 解 析 ソ フ トウエ ア も市販 され るに至 り3), 解析 用計算機 な ど解析環 境 の準備 と単 に使用法 さえ マ ス タ‑すれ ば優 れ た磁 気 ヘ ッ ドが 開発 で きそ うで あ る^｡

しか しなが ら問題 の種 額 ,電 子計 算機 の規模 等 に よ り適切 な解 析 法 を選 択 す る必要 が あ るO その適 切 な判 断 を下 す には,数 値 解 析 が シ ミュ レー シ ョ ンと呼 ばれる数値 実 験 で あ る以 上 ,磁 気記 録 の基 礎 に立 つ実験 的 な セ ンスが重 要 で あ る｡また, 実 験 装 置 に相 当 す る もの が解析 法 (プ ロ グ ラム) で あ る とす れ ば, それに対 す る十 分 な知 識 を有 して い る必要 もあ ろ う｡ こ うい った基 本 的事 項 を 押さえて い れ ば,適 切 な解 析法 の選 択 ,必要 な拡 張 , モ デル化 が可 能 とな る｡

以下では この よ うな視 点 で磁 気 ヘ ッ ド解析 に用 い られ る数 値 解 析 法 の概 要 につ いて述 べ る^｡

2.1.2 数値解析法の概要4)

図1に示 した数値解析 法 の中 で,有 限要 素 法 は磁 気 ヘ ッ ドの解 析 に必 要 な非 定常,非線 形 問題 の取 り扱 い,媒体 磁 化 モ デルの考 慮 な どの拡 張性 に優 れ て お り, この点 につ いては次 項 に詳 述 す る｡ こ こで は, それ以外 の解 析 法 を簡 単 に 紹介す る^｡

(1) 積 分方 程式 法

磁気 モ ー メ ン ト法 か らな る この手 法 で は,電 流 に基 づ く磁 界 と磁 化 に よ る 磁界 とを分 け,電流 に よ る磁 界 は ビオサバ ー ルの 法則 よ り求 め,磁 化 の方 は 磁気 モー メ ン トによ る磁 気 スカ ラポテ ンシャルの傾 きよ り計 算 す る0

H‑Ho+Hm

トリhフユSS21

(1 )

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Ho‑去 JDJ^{s d v}

Hm‑一grad￠

桓

去/ 芳d v

M‑xH (5)

こ こで,仇 :電 流Jに よる磁 界 ,∬爪:磁 性 体 の磁 化〟に よ る磁 界 ,￠:∬爪に 対 応 す る スカ ラポ テ ン シャル,x :磁 化 率 で あ る.義 (1)に式 (2),(3),(4)

を代入 す る と領 域E3で の積 分方 程式 を得 るo これ を離 散 化 し連立 方程式を導 き,式 (5)の関係 によ り収 束計 算 を行 う^｡ 要 素 分 割 は磁 性 体 につ いてだけで よ く,3次 元解 析 な ど煩雑 な要 素 分 割 が必 要 な場 合 で も, 有 限要 素 法 と遭い 空 間 の要 素 分割 が不要 で あ る こ とが大 きな メ リッ トとな る｡ しか し渦電流, 非 定 常 の取 り扱 いは困難 で あ る｡

(2) 境 界要素 法

磁界解析 は, ポテ ンシャルに関す る微分方程式 の境 界値 問題 に帰著 される｡

境 界要 素 法 で は, この微分 方 程 式 を重 み付 き残 差 法 に よ り積 分方 程式 に変換 し境 界 積 分 型 と して取 り扱 う｡ ポ テ ンシ ャル微 分 方 程 式 の境 界値 問題や重み 付 き残 差 法 は,有 限要 素法 の基礎 で もあ り次項 に詳 述 す る｡ この よ うな有限 要 素法 と同様 の定式化 の手続 きを経 て導 か れ る境界積 分 に基 づ くもの以外に, 次 の よ うな境 界面 上 に定義 され る物理 量 を利 用 した境 界 積 分 方程 式 法 も境界 要 素 法 の一 つ に分類 され る｡

磁 気 特 性 が線 形 で一 様 に磁 化 した磁 性 体 を扱 う場 合 , 表 面 に現 れ る表面磁 化 U, あ るいは等 価表面電流密度Kで磁 性体 を表現 す る ことがで きる.境界面 上 の単 位 法 線 ベ ク トル をnとす る と,

0‑^‑ilo･divM K‑Mxn

で あ る｡ それ ぞれ次式 の境 界 表 面r上 で の 表面 積 分 方程 式 を得る｡

去 (i ･f )0‑Ho･n一志 /^rgrad号 dT･n

よ(i･f)K‑^Igo^xn･去^{上 等} uxn

(8)

(9)

トリケ･3プユSS21

これ らの境 界積 分方 程式 に よ り表面磁化, あ るいは等価表面 電 流 が求 め られ 領域内 の磁 界 を算 出で きる｡ 境 界要素法 によれば磁 性体 表面 の みの分 割 で よ く,無 限達 を取 り扱 うこと もで きるた め,限 られ た領域 に磁 場 が閉 じ込 め ら れていな い開領域 問題 に も適 合 す る｡ ただ し,磁 気 ヘ ッ ドの解析 で は ギ ャッ プ近傍 の磁 気飽和 を考慮 した非線形解析 が不可欠 であ るが,境 界要素法 では, 原理的 には不可 能 で あ る｡

(3) 差 分法

微分方程 式 を テー ラー展 開 によ り差分近似 す る こ とに よ り直接離散 化方程 式を得 るo た とえば, あ る狭 い範囲 で微分可能 なf(I)のテー ラー展開 は,xの 微小な増 分A3:に対 して,

ftI･AI)‑撤 )･Ax ･i,(I)･算 〝(I)･･‑

である｡ 第2項 までを取 り,整理 す ると, fJ(I)‑I(I+A3:)･プ

Ar

(10)

(ll)

なる差分公式 が得 られ る｡ Axの取 り方 によ り式(ll)は前進差分 と呼 ばれ るo この他 に後退差 分, 中心差 分 が あ るが離散化 の原理 は同 じで あ る｡ さ らに2 階微分 の差 分 公式 は,

f〝(I)‑f′(I+Ar)イ I(I) Ar

i(I+2Ax)‑2jl(I+Ax)+I(I)

Ax² (12)

であ る｡ 重 み付 き残差 法 な ど式変換 の手続 きを経 る ことな く, これ らの公式 によ り磁 界問題 の解析対象 を等 間隔Axで分割 し,微 分方程式 を直接差分連立 方程式 に定式 化 し解 くことが で きる｡ 方程式 の取 り扱 いは簡便 なが ら任 意形 状に対 す る適合性 が悪 く,境界条件 の設定 に も工夫 が いるな どの欠点が あ る｡

磁界 の数 値 解析 法 の代表 的 な ものを概観 した が,非線形 ,非定常 ,複 雑 な 形状 が取 り扱 え る点 な どを考慮 す ると,汎 用性 ,拡 張性 に優 れた有 限要 素法 が現状 で は主 流で ある｡

2.2 有限要素法によるヘ ッ ド磁界解析 2.2.1 有限要素法概説

有限要素 法 は,変分原理 に基 づ くマ トリクス構 造解 析法 と して,主 に航空機

Luケ瓜 SS21

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や建 築物 な どの構 造 計 算 の分 野 で発展 した｡ その後 , 変 分 法 に基礎 が あ り,帆 関数 の変 分 を零 に停 留 す る関 数 を直接 求 め る手 法 と等 価 で あ る ことが知 られ, 熱伝 導 , 流 体 力学 , そ して電 磁 気 な ど理 工 学 の非 常 に広 い分野 に適 用で きるよ うに な った｡ さ らに重 み付 き残差 法 によ る定 式 化 が可 能 と な り,汎 関数 のない 一般 の微 分 方程 式 に対 して も利 用 で きる数 値 解 析 法 に発 展 して きたO有限要素 法 に よ る磁 界解析 は1970年 頃 よ り盛 ん に研究 され,最 近 で は機器 の開発,設計 に欠 かせ ぬ もの とな って お り,優 れた教科 書 も数 多 く出版 されて い る5'｡ 磁気ヘ ッ ドの解 析 もこの時期 か ら研 究 され て きた｡ 今 日で は3次 元解 析,非定常,罪 線形 の取 り扱 い等 , よ り複雑 で高 精 度 の解析 法 の研 究 が進 み, これ まで不可能 であ った実 際 の動 作状 態 での磁 界分布 を 目で見 る こ とが で きる よ うになり,単 な る機 器 設 計 の最 適 化 へ の応 用 ばか りで な く磁 気記 録 現 象 の解 明 な どにも盛ん に利 用 され て い る｡

変 分 法 に基 礎 を置 く有 限要 素 法 は,微 分 方 程 式 の境 界 値 問題 と して記述 され る場 の問題 を取 り扱 う数 値解 析 法 で あ る｡ 場 の支 配 方 程 式 と呼 ばれ る微分方程 式 は,変 分 原 理 や重 み付 き残 差 法 に よ り汎 関数 の変 分 問題 に変 換 され る｡図2

に有 限要 素 法 定式 化 の数 学的 な手 続 きを示 す｡ この手 順 に従 い,有 限要素法の 基礎 的 な概 念 を説 明 す る｡

多 元 連 立 方 程 式

鮒沖 臓 に よ る マ ト リ ク ス耶 法

重 み 付 き 残 差 法 に 限 要 素 葦①⑦ 散開 ヽノ式程‑

図2 有限要素定式化の概念図 (1) 汎 関数 か らの定式化

物理 的 には, まず ポ テ ン シ ャル分布 の微 分 形 式 を場 の全 エ ネル ギーという 意 味 で の積分 形 式 に組 み込 む｡ この積 分 形 式 が ポ テ ンシ ャル に対 す る汎関数 で あ り, 汎 関数 を極 小 に停 留 す る解関 数 を求 め る｡ す な わ ち汎関 数 の変分を 零 にす る変分 問題 を解 くこ とは, 物理 的 には最 小 作 用 の法 則 に従 い場 の全エ

卜IJケ･DJユSS21

ネjL/ギ‑を最 小 にす る ポテ ンシ ャル分布 を求 め る こ とに相 当 す るO この汎 関 数の変分形 式 が有 限要 素 定 式 化 の基 礎 を なす もの で あ る^｡

例えば汎 関数J〔u(I)]が

Jlu(

I )

/

とすると, その変 分 は任意 関数V(I)と零 の極 限 を とるパ ラメ ー タ8に よ り,

I‑･O E

‑二三‡̲

=二i‑T

｡ ‑

= 2

〔tu′(3:)+EV'(I)12‑u′(I)2〕dx

〔u'(I)2+26u'(I)V′(I)+82vl(I)2‑u′(I)2〕dx

u′(3:)･6u'血 ‑0 (14)

で与え られ る. こ こで ,任 意 関数V(I)をu(I)の任 意 の変 分6uと置 い た｡

有限要素 法 で は これ を近 似 的 に直接 解 く｡ そ の た めに,解 析 領 域 を要 素 と 呼ばれ る微 小 領域 に分 割 す る｡ 全領域 で は複雑 な ポ テ ンシ ャル分布 で あ って ち,微小 な要 素 内 での ポ テ ンシャル分 布 は 1次 か2次程度 の簡単 な多 項 式 で 良好な近似 となるか ら, 変分形式 (14)を満 たす ポテ ンシャル分布 , つ ま り解 関 数u(I)を要 素 ごと に係 数α7･を未知 と した多 項式 ￠iで表 す｡

u(I)‑∑az･￠I(I) (15)

汎関数J〔u(I)〕の停留 関数 を兄 いだすのは,変関数u(I)にu(r)のわ ずか な変化 6uを加え て もJの変化61が零 で あ る場 合 を兄 いだ す ことで ,式 (14)に これを 示 したo ところで,u(I)を未知 係数 よ りな る多項 式 近 似式 (15)に置 き換 え た汎 関数Jは, もはやu(I)の汎関数 では な く,αiにつ いて の通常 の関数 で あ る｡ さ

らに,u(x)の変分6uも,未知 係数 の変化 に よ って表 され る ことにな る. した がって, 変分6J‑0を満 たす解 関数u(I)を求 め る ことは,a,･の変化 に対 す るJの 値の変動 を調 べ, それを零 とす る係数C豆を兄 い出す こととなる^｡ つ ま り,∂J/∂ai の総和 が零 に な る係数 を求 め る問題 に変換 で き る｡ この こ とを上 の例 で言 え ば,変分6Jが 式 (14)で あ る こ とを考慮 して ,

6J‑三豊 ‑=〔2/u,(I)i u,(I)dr〕‑0 式 (15)よ り,

u,(I)‑

王

トリ知JlSS21

(16)

(17)

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申,･(I)は, 簡単 な多項式 であ るか ら通常 は式 (17)の微 分 は解析 的 に求 め られ, 式 (16)に代 入 で き る. ここで は,6Jが式 (14)に示 され て お り, それを用いて 近 似式 (16)を導 いたが,多項式 近似 (15)を直接 汎 関数 に代 入 LEaJ/∂αi‑0とし て も同様 の結果 が得 られ る｡ 式 (16), (17)を全領域 に対 す る ものに組み上げれ ば,有 限要素 定式 化 が完成 す る｡

周囲 の他 の要 素 と共 有 して い る要素 の頂点 を節 点 と呼 び, この節点で周陶 の要素 とポテ ンシャル値 が一 致 す ること, お よ び境 界条 件 に よ り要素間のポ テ ンシャル分布 の接続が可能 な ことによ り,要素 ごとの未知係数多項式近似, つ ま り区分 多項式 を全 領域 にわ た る代数 方程 式 に連 立 で きる｡ これ により, 汎 関数 を極 小値 に停留 す る解 関数 を求 め る問題 が, 区分 多項 式 の未知係数を 決 定 す る多 元連 立 代数 方程 式 の問題 にな る｡ こ こまで くれ ば,計算機 により ガ ウスの消去 法 な ど適 当な マ トリクス解 法 を用 いて ,大 規模 な連立方程式を 解 けば, 区分多項 式近 似 された解 関数 , す なわ ち場 の エ ネルギーを最小にす る ポテ ンシャル分布 が求 ま る｡

有限 要 素 法 の近 似 は,要 素 に区分 した中 で の解 関 数 を多項 式 で表 すところ に あ る｡ したが って,要素 分割 を細 か く した り, よ り高 次 の多項式 により近 似 すれ ば解 の精 度 が向上 す る｡一般 に磁 界解析 で は,近 似 に用 い る多項式は 最 も簡 単 な 1次式 を用 い,2次 元 問題 で は三 角形 要 素 に分割 して いる例が多 い｡磁 場 が急変 す る場 所 や精 度 を要 す る解析 に は, 要素 分割 を細 分化するこ とによ り対 応 で きる｡ した が って,同 じ解析 プ ロ グ ラムで要 素分割を変更す る ことに よ りさま ざまな問 題 に適 用で き る｡

(2) 重 み付 き残 差法 によ る定式化

汎関数 の変分 を零 に停留 す る解 関数 を直接 兄 いだ す代 わ りに変 分形式に部 分 積分 を施 す と,積分 の次 数 が下 が った境 界 の項 と微分 の階数 が 1階進んだ 微 分形 式 の被 積 分 関数 を有 す る領域積分 項 とに分 解 され る｡ 例 え ば,汎関数 が式(13)で与 え られた場合 の変分形式 は式 (14)で あ るが, これ に部分積分を施 す と,

61‑lu,(n叫

可

で あ る｡ ここで6uは任意で あ るか ら,変分6Jを零 に す るた めには,境界r上 で のu(I)の微分 値 u′(n が零 で あ る ことと,次 の微 分 方 程 式 を満 た さねばなら な い｡

u〝(Ⅹ)‑0 (19)

一般 に境界F上 でu′(n‑0は汎関数 の境界条件 で あ り, かつ微分方程式(19)

に対 して もノイマ ン条 件 と呼 ばれ る境 界条件 で あ り,満 足 されて い る｡ した

トリケ137ユSS21

がって,積 分次数の下が った境界項 の式 (18)右辺 第 1項 は,境界条件 によ り消 去する ことが で きる^｡ その結果 ,汎関数 の変分 を零 にす る変 分 問題 は,微 分 方程式 (19)を解 くことに等価 になる. この微分方 程式 はオイ ラーの方程式 と呼 ばれ, オイ ラーの方 程式 の解 が汎関数 の変分 を零 に停留 す る解 で あ る｡ これ は変分法 の定 石 で, この よ うに汎関数 の変分問題 を部分積 分 と境 界条 件 に よ り,微分方 程式 に変換 し解 を求 め る こと もで きる^｡

これを逆 の手 順 に し, ポ テ ンシャル分布 を記述 す る微 分形式 で与 え られ た 場の支配方 程式 をオイ ラ‑の方 程式 に見立 てて,重 み関数 と呼 ばれ る任意 関 数との積 を取 った領域積 分 を作 る｡領域積 分 に部 分 積分 を施 せ ば,変 分法 と は逆 に披積 分 関数 の微分 の次数 が1階下 が った領域 積分 と境 界項 に分 解 され るOつ ま り,6uを重 み関数 として式 (18)の右辺 第 2項 の形 を作 り,今 度 は こ れに部分積 分 を施 す｡ す る と,式(18)右辺第 1項 の境 界項 を左辺 に移 行 した形 に変形 され るO 左辺 は式 (14)に具体的 に示 されて い るよ うにu(I)の微分 の次数 が式 (18)によ り1階下 が った変分形式 である｡や は り,境界項 が境界条件 に照 らし等 とお ければ,領 域積 分 のみ取 り扱 え ばよ い｡ この領域積 分 の被 積分 関 数は微分 の次数 も下 が って お り,与 え られ た微 分方 程式 よ り扱 いやす い｡ こ れを弱形式 といい,汎関数 の変分形式 に等価 であ る｡変分形式 が導 かれれ ば, 汎関数か らの定式化 と同 じよ うに要素 分割 に基 づ く区分 多項 式 近 似 に よ り多 元の連立 代数 方程 式 に帰着 で きる｡ 変 分法 にお いて,汎 関数 か らオイ ラーの 方程式 を導 き微分方程 式 の問題 に置 き換 えたの と逆 向 きの変換 に よ り,有 限 要素定式 化 が な され る ことがわか った｡ これを重 み付 き残差 法 と呼 び, 任意 の微分方 程 式 に対 して変分 方式 に持 ち込 み,有 限要 素定式 化 を行 うことがで きる｡

以上 の議 論 で明 らか にな ったよ うに,汎 関数 か らの定式 化 と重 み付 き残差 法を利用 した場合 とは同 じ有 限要素式 を与 え る｡ た だ し,汎 関数 が不 明 な微 分方程式 を解 く場 合で も重 み付 き残差 法 に よれ ば有 限要素 法 が使 用 で き る｡

しか しこの場 合,部分 積 分可 能 で あ る こと と,部 分 積分 に よ って現 れ る境界 項を境界 条件 によ り恒 等 的 に零 とおけ る必要 が あ る^｡ 境界条件 は, 問題 によ り物理的 に定 め られ るが,有 限要素定式化 にお いて は本質 的 な役割 を演 じる ため十分 な注 意 を要 す る｡

2.2.2 支配方程式

有限要素 法 で は,場 の支配方 程式 が定 まれ ばそ れ に対 す るエネルギ ‑汎 関数 を兄いだす か, 直接 重 み付 き残差法 によ り定式化 が可 能 で あ る ことを示 して き た｡2次元磁界解析 は, すで に解析法 も定 ま り本格 的 な応用研 究 の段階 にあ る｡

磁気ヘ ッ ドにつ いて も多 くの報告があ り,市販 の解析 プログラム8)も利 用 されて

卜IJ如プユSS21

354

い る｡ これ らの詳 細 は他書5'を参 照 された い｡近 年 ,3次 元 解析 に対 す る要求が 高 ま り,盛 ん に研 究 が進 め られ て い る｡ 以下 で は,2次 元 解析 の基礎 で もあり, 磁 気 ヘ ッ ドの3次 元 解析 をす るた め に必要 な さま ざ ま な支配 方 程式 の具体例を 紹介 す る｡

Maxwellの方程 式 は, divβ‑0

rotH‑J･g divD‑p

rotE‑‑雷

電磁 界 との媒 質特 性 との関係 式 は,

D‑8E

B‑FLIT‑FLn+M J‑aE

であ る. ただ し,B :磁束密 度 ,a :磁界 ,J:電 流 密 度 ,D :電束密度,p:

電荷 ,E:誘 電率 ,iL:透 磁率 ,ilo:真空 の透 磁 率 ,M :磁 化 ,a:導電率であ る｡ 電磁 界 の現 象 は, これ らの方 程 式 に よ り表現 され る｡ 有 限 要素 法 では,こ れ らの関 係式 か ら問題 に適 した変 数 によ る支 配 方 程 式 を導 き定 式 化 す る｡以下 に静 磁 場 に対 す る代 表 的 な支 配 方 程 式 を示 す｡

(1) スカ ラポテ ンシ ャル法6)

電流 が な い場 合 ,式(21)の右 辺 が零 で あ るか らそ の磁 界Htは,

H.‑‑Bra(対 (27)

な るス カ ラポテ ンシャル9日こよ り表 され る^｡一 方 電 流 に よ る磁 界Hoは, ビオ サバ ー ルの法則,式(2)に よ り計算 され る.全体 の磁 界Hは, 両者 の和である か ら,

H‑HI+Ho (28)

これ を,式(25)の関係 を考 慮 し式(20)に代 入 す れ ば ,

div毎･H｡)‑div毎･grad￠)‑0 (29) な る卯 こ関 す る支配方程式 を得 る｡ しか しなが ら,磁 性体 を含 む場 合 には,磁 界 によ り磁 化 が変 化 す るた め, ス カ ラポ テ ンシ ャル は一 義 的 に決 ま らないo このた め式(29)を用 い ると,磁 性体 内で電流 によ る磁 界 に対 しスカ ラポテンシ

トリケ･3工lSS21

ヤルに よ る磁 界 が単 純 に反 対 向 きの磁 界 とな る｡ この反 対 向 きの磁 界 は透 磁 率が高 い ほ ど強 くな り精 度 が低 下 す る^｡

(2) ツー ス カ ラポテ ン シ ャル法⁷⁾

電流 領域 E3｡と, 電流 を含 まな い領域E2.に分割 し, それ ぞれ に スカ ラポ テ ン シャル￠,￠を定 義 す る｡

電流 領域 乱 で は,前 述 の スカ ラポ テ ンシ ャル法 と同 じよ うに, 微 分 方 程 式

(29)を得 る｡ この領域 内 に軟磁 性体 が なけれ ば, スカ ラポテ ンシ ャル に よ る磁 性体 内の反対 向 きの磁 界 に よ る精 度 の低下 はな い｡

電流 の な い領域nlで は ,次 式 の ￠につ いて の微 分方 程式 を得 るO

‑div毎Igrad￠)‑0. (30) 領域 E3｡と乱の方程 式 の接 続 は,境 界上 で の式 (2 1) の極 限 よ り得 られ る磁 界の境 界 条 件 , す なわ ち磁 界 の境 界面 接線 方 向成 分 が連 続 とな る こ とよ り, 領域 間 の境 界 面上 にあ る ご く近 傍 の2点A,B問 dlに お け る ス カ ラポテ ンシ

ャルのg∫adに よる磁 界∬tが2点間 スカ ラポテ ンシャルの差 で表 せ る とき, Q^‑4)8‑4^‑￠B+_{∫ HoA‑B} ･tdl ⁽³¹⁾

なる関係 式 を 得 る^｡ これ に よ り, 別 々 の領 域 に お のお の独 立 に導 入 され た二 つの微分 方程 式(29), 式(30)を統一 し,支配方程式 を得 るo Lか し,渦電 流 の ような磁 性体 中 に電 流 が 生 じる問 題 の取 り扱 い に は, この ま まで は対 応 で き ない ｡ これ らの ス カ ラ ポ テ ン シャル法 は,未 知 関数 が スカ ラで あ るか ら1変 数の みの取 り扱 いで よ く未 知 数 が 少 な くて す む｡ これ は, 大 規 模 マ トリクス を解 く必 要 が あ る3次 元 解 析 で は大 きな メ リッ トで あ る｡ しか しなが ら取 り 扱え る問 題 に制 限 が あ る ことに注 意 しな けれ ば な らな い｡

(3) T‑E3法8)

電 荷連 続 の法 則 よ り, 電 流Jの発散 は,

diⅥ7‑0 (32)

であ る^. したが って,Jに対 して次 な る電 流 ベ ク トルポテ ンシャルTが定 義 で きる｡

J‑rot71 (33) T‑E3法 は,電流 領域 に電 流 ベ ク トル ポテ ンシ ャルTと磁 気 スカ ラポ テ ンシ ャ ル C2を, 電 流 の な い領 域 に磁 気 ス カ ラポ テ ン シャルE?のみ を用 い る方 法 で あ る^｡ 式(20),(23),(25),(26)よ り, 電 流 を含 む領域 に対 して,

div如くT‑gradE2)ユニO rot

( ‡ r o

T

トリ1･37ユSS21

356

電 流 の な い領域 で は,

div(‑pgradEj)‑0 (36) を得 る｡ これ らを支 配 方 程式 と して連立 して解 を求 め る｡ この場 合 ,電流領 域 で の み ベ ク トル量 を取 り扱 え ば よ く, 領域 の多 くを含 む電 流 の な い領域は ス カ ラ量 が 未知 数 とな り,次 に説 明 す る全領 域 で未知 数 が ベ ク トル量 となる 解析 法 に比 べ未知数 の数 が圧倒 的 に少 な く大規模解析 に有 利 で ある^｡ しか し, 電 流領 域 の形状 が複雑 な場合^, Tを求 め るのが煩雑 で あ る｡ また,穴 のある導 体 の取 り扱 い, 軟磁 性 材料 を含 む場 合 の磁 界 の連 続 性 が 問題 で あ る ことが指 摘 され て い る2)0

(4) 磁 気 ベ ク トルポ テ ン シャル法 式(20)よ り,

β‑rotA 艮艶riE

に よ り磁 気 ベ ク トル ポ テ ンシャAが定義 で きる｡ β‑〃方 で あ ることを考慮 し て式(21)を変形 すれ ば,

rot

( f

‑grad士 ×r｡tA.‡(grad･divA‑VZA,‑J これ に対 し, B=IL.H+Mによ り式(21)を変 形 す れ ば,

r o t t

1

‑pT;grad･divA‑〟^⊥o∇2A.l′上oroM ‑J

(38)

(39)

を 得 る｡ と ころで式(37)に よ って定義 された磁 気 ベ ク トル ポ テ ンシャルA^に はgrad重な る不 定性 が あ り^, A′‑A+grad重な るA'もAと同一 のBを与 えるOし た が って ,Aの一 義 性 を決 め るた め にゲ ー ジ条件 を導 入 す る必要 が ある.

divA‑0

な る クー ロ ンゲ ー ジを導 入 す れ ば,式(38),(39)は,

grad吉^×ro

t A

ユ ∇2A=J.⊥r｡tM

FLo P o

(40)

(41) (42)

トリケリブユSS21

有限要素法 にお け るゲ ー ジ条 件 につ いて は, ゲ ー ジ条件 を連 立 した と きにの み支配方程 式 に必要十 分 な境 界条件 が成立 す る9)と考 え られ る｡ しか し,有 限 要素定式化 にお け る条 件 や要 素 の近 似 関数 によ りゲ ー ジ条 件 が満 足 され て い るため,上 述 の よ うに支配 方程 式 に連 立 す るの は過 拘束 で あ る とす る指摘10)

もあ り, そ の取 り扱 い が 明確 に な って いな い｡

また,式(41)の左辺 第 1項 は,要 素 内で透磁率一 定 で あるか らその微分値 は 零であ り, 消 去 で きる とす る取 り扱 い もあ る｡ しか し, 透 磁 率 の異 な る複数 媒質を含 む ケ ースで は, そ の境 界 上 で の透 磁率 の微 分値 が発 散 す るた め計 算 に困難 が生 じると考 え られ る｡ 筆者 らは,式(42)を支配 方程 式 と した場 合 が最 も解が安定 に求 ま る こ とを示 して い る川 ｡ 式(42)に よれば,対 象 とす る問題 に特別 な制 限 が な く非 線 形 ,非 定 常 へ の拡 張 も容易 で あ り最 も汎 用 性 の高 い 解析法 にな る と考 え られ る｡ た だ し, ベ ク トル量 が未 知 数 で あ るか らス カ ラ による場 合 に比 べ最終 的 に得 られ るマ トリクスが大 き くな り,3次 元 解 析 で は不利 で あ る｡対 象 とす る問題 が他 の手 法 で対 応 で き るの で あれ ば, それ ら を適当 に選 択 す るべ きで あ ろ う｡

2次元解 析 で は,磁 気 ベ ク トル ポテ ンシ ャル の解 析面 に垂 直 な1成 分 だ け で2次元場 を表 す ことが で きるため, ゲー ジ条件 は 自動 的 に満 た されて お り, 未知数 もスカ ラの場合 と同 じで あ るか ら,‑股 に磁 気 ベ ク トル ポテ ンシ ャル 法が用 い られ て い る⁵⁾⁰

2.3 磁気ヘ ッ ドの解析例

電子情報通 信学 会 の磁 気記 録研 究 会 にお いて も,1988年 11月 に磁 気記 録 に おける磁界計 算 を特 集 した研 究会¹²⁾が開催 され るな ど,磁 界 解析 の磁 気記 録 へ の応用研究 が盛 ん に進 め られ て い る｡ こ こで は典 型 的 な例 を紹 介 す る0

2.3.1 2次元非線形解析 による磁気 ヘ ッ ド設計

向

(1) MIGヘ ッド

トリ加了ユSS21

(2)フ ェ ラ イ ト ヘ ッ ド

図3有限要素解析 によるギ ャップ近傍の磁束線図18)

358

磁 気 ヘ ッ ドで は, 特 に書 き込 み , 消 去 な ど大 きな磁 界 を 発生 す る場 合 には, ギ ャ ップ部 の磁 気 飽和 が 問題 に な る^｡ この た め, 磁 気 飽 和 を考 慮 した非線形解 析 は欠 か せ な い｡

図3に, 磁 気飽 和 を考 慮 した2次 元 非線 形 有 限要 素 法 に よ り解析 した固定デ ィス ク用MIG‑ ッ ドと フェ ライ トヘ ッ ドの ギ ャ ップ近 傍 の磁 束 線^t3'を示すo

この よ うに, 媒 体 出 口側 に高 飽 和 磁 束 密度 を有 す る金 属 膜 を配 したMIGヘッ ドで は, フ ェ ライ トヘ ッ ドに比 べ 磁 束 線 が ヘ ッ ドに よ りよ く吸 い込 まれ,急峻 な磁 界分 布 を示 す 様 子 が よ くわ か る｡ フ ェ ライ トヘ ッ ドお よ びMIGヘ ッ ドの コア内 ギ ャ ップ端 面 の磁 束 密 度 を や は り有 限 要 素 法 に よ り計 算 し, それぞれ図

W<vlVW:仁U42

∵1t7二二SU芸Xn

0

[BqlR二SuaGXnTh

0 0.2 0.4 0.6

Magnetomotive Force[^T] MagnetomotlVe Force[/1T'] 図4 フェライ トヘ ッ ドのギ ャップ端 図5 MIGヘ ッ ドのギ ャップ端面の

面 の磁束密度14) 磁束密度14)

4,5に示 す14)｡ 図 中 のA, ち,Cの カー プは, 同 じ図 中 の磁 気 ヘ ッ ドギ ャップ 近傍 の模 式 図 に示 したA, ち,Cそれ ぞれ の位 置 で の値 で あ る｡ フ ェライ トヘ ッ ドで は,0.28ATで ギ ャ ップ対 向面 が フェ ライ トの飽 和 磁 束 密度 に達 し,そ れ以 上 の起 磁 力 で は ギ ャ ップ部 が 飽 和 した状 態 に あ る｡

一方MIGヘ ッ ドで は, や は り フ ェ ライ トコア部 分 は0.28AT以 上 で飽和 し て い る｡ しか しなが ら,飽 和磁 気 磁 束 密度 1.OTの金 属 膜 中 で は十 分 に高い起磁 力0.6ATで も0.6‑0.7Tに達 す る程 度 で 飽和 しな い｡ このた めMIGヘ ッド で は, 記 録 磁 界 を発 生 す る際 に金 属 膜 が未 飽 和 の ま まで 透 磁 率 は高 く保 たれて い る｡ したが って磁 界 分布 が急 峻 とな る18)｡ 磁 気 飽和 を考 慮 した有 限要素解析 によ りコ ア内 の磁 束 密 度 を も調 べ る こ とが で き,MIGヘ ッ ドの動 作上 の優位 点 を 明 らか にす る こ とが で きた例 で あ る｡

トリケ･371SS21

2.3.2 媒体磁化過程を考慮 した解析

磁気記録 に お け る記 録 再 生 メ カニ ズ ムを 明 らか に し,媒 体 を含 めた系 で の最 適な動 作条 件 を兄 いだ す た め に は, 媒 体磁 化過 程 を取 り込 ん だ解 析 をす る必 要 がある｡有 限要素法 によれ ば,式(42)に示 したよ うな支配方程式 を用 いれば磁化 を含む解析 が可 能 で あ り, 磁 気 飽和 や ヘ ッ ド‑媒 体 問 の磁 気 的相 互 作 用 を も考 慮 した解析 が で き る^｡ た だ し, 媒 体磁 化過 程 は, ‑ ッ ド磁 界 と媒 体 に生 じた磁 化によ る反 磁 界 との和 に よ りセル フ コ ンシステ ン トなベ ク トル磁 化過 程 を経 る 複雑 な現 象 で あ る｡ した が って,媒 体磁化 過程 を取 り扱 うた め には,磁化 機構 の適切 な数 値 モ デ ルを組 み込 む必要 が あ る^｡ 実 測 した媒 体 の ヒステ リシスカー ブをマイ ナ ルー プ も含 めて折 れ線近 似 によ り表 す手 法15)や,一軸異方 性単磁 区 粒子を媒体特性 に見合 った分散状態 に重ね合わせてベ ク トル的に近似す る方法16･ 17)

が提案 され て い る^o磁 化 を ベ ク トル近 似 す るモ デル の中で, カー リングモ ー ド による磁化 反 転 を導入 した数 値 モ デルが媒 体磁 化過 程 を よ く表 す こ とが報 告 さ れてい る17)｡

図6,7に, カ ー リ ング モー ドに よ る媒 体磁 化 モ デルを有 限要 素 法 に組 み入 れた磁 界解 析 によ る垂 直磁 気記 録 の記録再 生過程 の解析 結果17)を示 す｡記 録過 程の図6で は主 磁極 か ら媒 体裏 打 ち層 に抜 け出 る記 録磁 界 に よ り,CoCr記 録層 に孤立磁化転移 が書 き込 まれて い る様子 がわか る^｡ 図 7(1)は, これ の再生 過程

BackLayer:0.5〟m

川

(3)

図6 カー リングモー ドによる媒体磁化機構 モデルを組み込んだ 有限要素法 による,垂直磁気記録過程 の解析17)

トリケ･37ユSS21

ツ タ 噛 方 向 へ の 軌 ^{P ,} 秘 ペ ⊥ 触叡 r L 方 ぐ の 鍬 ト

馳

め 勘 ま

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る

敵 よ る

糠 常 など

へ の 軸鞠 の 広 い 3

航解 晦は , 鞄凱明 覚 さ れ て い る が , こ こ で は , 構 糖種 式 翫よ る 鞄 界 解 析 を 酎ラ ッ ク 薄 臥 ^ッ

師 )を示 す

O

(2)再 生 凌 形

図7 図6噛 っ く軸 過程の有糎要素掛 )

であ るo軸 ‑ らの軌 ‑ ‑ れ込 ん^{で い る o こ の 鴫} コイル轍 鞭 を軸 時間軸 すれ ば,同断 2)のご^{と く 再 生 電 軸 も} 触 る こ とが で き るo このよ う‑ ら再生 までの｢撃^{碗 え る た} めに,媒 体 翫 機 構 の数億モ デル を解 翫 魂 み込 む‑ ぁる o こ れ は 欄

記銀 の2･3･3た め の 敬3 次 元 解界析解 ‑ の軸 であ る0 敬か ッ ド の酎 ラック化の蓮

如 伴 い, ギ

ャ ッ フ 軸で の ト

ツ ケ 臆 一 士 丁 卜 ㍉

図8

警概 算 蒜 轟 鶴 磯

トリ5,a ss21 馳 ま要素分割 の翫 あるが,

鞠 の要素が確 であること,聾

索の細か さよ りも要 素分 割 の例 で あ るが,空 間の要素 が不 要 で あ る こと, 要素 の細か さよ りも要素 の形 状 が精度 に大 き く影響 す るた め,高 次要素 を使用 し形 状を整 えた方 が良好 な結 果 が 得 られ るとい う積分方程 式法 の特 徴 によ り,磁気 コアのみの粗 い分割 にな って い る18)｡ この ことは,3次元解析 において煩 雑 な 要素分割 が必要 な有 限要 素 法 に比 べれば, は るか に簡単で あ り使 用上 の大 きな 利点である｡医用,10に狭 トラ ック薄膜 ヘ ッ ドの磁極先端形 状 の違 いによ る記 録磁界分布 の違 いを,等 磁 界 強度 曲線 と磁 界分布 の3次元 表示 によ り示 す｡ ‑ ヅド形状 に よ り磁極 両肩 の漏 れ磁 界が大 き く異 な る様 子 が解析 されて い る｡こ

雫 誓 簡 醜 ､ ｣

図9 磁極先端両肩のエ ッチ ング深 さ 2/〟nの積分方程式3次元解析 に よる記録磁界分布18)

図10 磁極先端両肩 のエッチ ング深 さ 0.5pmの積分方程式3次元 解析 による記録磁界分布18) のように,3次元的 な記 録磁 界分布 を最適 にするため に数値解 析 が利用で きる｡

今後,3次 元解 析技 術 の進 歩 とと もに,磁気 ヘ ッ ドの設計 自由度 も大 き く広 が る｡ こ こに挙 げたサ イ ドフ リンジの問題 ばか りで な く, コア内 の磁束 の流 れ を 3次元 的 に捉 え, この効 率 向上 な ど も可 能 になろ う｡

2.4 まとめ

磁気 ヘ ッ ドの研究 開発 の一 翼 を担 う磁 界解析法 につ いて,種 々の解析法 の概 説,最 も汎 用性 に優 れて い る有 限要素法 の基礎,最 後 に数値 解 析 の磁 気 ヘ ッ ド

トリケLDJユSS21