数学解析レポート問題 3

数学解析レポート問題

1.ϕ(x)をRⁿ上の有界連続関数とする．X=L²(Rⁿ, dx)とおく．f ∈Xに対して (T f)(x) =ϕ(x)f(x)

と定義する．このとき，TはX上の有界線形作用素であることを示せ．またkTk= sup_x|ϕ(x)|^で あることを示せ．

2 h₀(x) = 1としn次多項式h_n(x) (n≥1)を次の式で定める．

h_n(x) = (−1)ⁿ n! e^x

2 2 dⁿ

dxⁿ (

e^−x

2 2

) .

(1)

∑∞ n=0

tⁿhn(x) =e^tx−t

2

2 を示せ．

(2) (1)を用いてh⁰_n(x) =h_n−1(x) (n≥1)を示せ．

(3) (1)を用いて(n+ 1)h_n+1(x)−xh_n(x) +h_n−1(x) = 0 (n≥1)を示せ．

(4)h⁰⁰_n(x)−xh⁰_n(x) =−nh_n(x) (n≥0)となることを示せ．(すなわちh_nは作用素L=−_dx^d22+x_dx^d の固有値をnとする固有関数である).

(5)en(x) =√

n!hn(x) (n= 0,1, . . .)とおく．{en |n= 0,1, . . .}はヒルベルト空間

X =



f :R→R¯¯¯ fはルベーグ可測で

∫

R|f(x)|²e^−x

2

√ 2

2πdx <∞



 (f, g)_X =

∫

Rf(x)g(x)e^−x

2

√ 2

2πdx

の完全正規直交系であることを次の定理を用いて示せ．

定理 µをR上の有限Borel測度で,任意のK >0について,

∫

Re^K|x|dµ(x)<∞.

となるものとする. X =L²(R, dµ)とする. このとき,P :={R^{上の多項式の全体}}^とするとP ^は Xの中で稠密である.

(6)un(x) =en(x)_(2π)¹1/4e^−x

2

4 とおく．次を示せ．

(i) {u_n |n= 0,1,2, . . .}^はL²(R, dx)の完全正規直交系である．

(ii) (

− d² dx² +x²

4 − 1 2

)

u_n(x) =nu_n(x) (n= 0,1,2, . . .)