問題づくりの手法を取り入れた課題構成の工夫

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平成２０年度理数教育ステップアップ研修実践記録

−中学校第２学年数学「連立方程式」の指導を通して−

（実践者阿賀野市立水原中学校馬場幸義）

単に問題を与えて解かせるといった授業を繰り返していると、生徒は課題解決への興味・関心が薄れ「よりよい解決のアイディアを追究しよう」といったような課題意識をもって取り組む、姿勢が弱くなる。例えば、少し複雑な文章問題では、問題を読むこともなくあきらめてしまう傾向が強くなる。その結果、数学的な見方考え方は育たず、数学嫌いを増長させてしまう。

生徒が「既習内容を発展させて活用できた」ときや「多面的な角度から解くことができた」、とき、特に「面白い、楽しい」という感情が強くなり、自己効力感の高まりが次への学習意欲になる。そこで、生徒が自分のものとして受けとめるような課題を開発することで、生徒が数学の授業、特に文章問題の面白さや楽しさを味わうことができれば、数学への興味・関心が高まり、

自ら課題を見付け課題を追究することができるようになると考えた。

この実践では、多くの生徒が既習内容を活用しての問題づくりに、知的好奇心を高めて取り組むことができた。また、問題づくりの過程を通して問題の構造を理解できたことが、問題を解く過程において主体的活動を促すことにつながった。

１「理数の面白さや深く追究する楽しさなどを味わわせる」ための構想

（１）指導構想「連立方程式の有用性を感じさせる課題設定と問題づくり」

生徒は第１学年で一元一次方程式を学習し、未知数を一つの文字で表してきた。しかし社会の様々な事象をとらえるときに、未知数が一つとはかぎららない。そこで未知数が二つ以上の方程式が必要になる。

本単元では二元一次方程式が連立方程式になることによって、変数になっている解が一つに決まることを知らせることにより、連立方程式の有効性や必要性に数学の広がりを感じさせたい。

生徒にとって「問題が解ける」ことは、何よりの喜びになる。まず具体的な事象から２本の二元一次方程式を提示して、操作していく中で「加減法、」、「代入法」のよさを感得させ、さらに

「」「」。、

問題によって加減法代入法を適切に判断できるように導いていく解法を理解した後に様々な事象について、いろいろな解法でアプローチできる「問題づくりの手法」を取り入れた課題構成を行い、連立方程式の有用性を実感させたい。問題の中には第１学年で学習した一次方程式で解ける問題も取り上げ、一次方程式でも解ける問題ではあるが、連立方程式を使うことで楽に立式し、解くことができることに気づかせたい。

また、生徒は文章問題を苦手としていて、何人かの生徒は文章問題を見ると、問題を読もうともしない傾向がある。しかし、授業中では立式さえできれば解くことができる生徒が多い。そこで最後に多くの数量の中から必要な数量を取りだして問題を作成することによって、既習内容を確認し、文章問題に慣れさせるとともに、問題の構造を理解させる。そのことで、数学の面白さや楽しさを味わうことができれば、数学への興味・関心が高まり、その結果、生徒は数学で、自

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ら課題を見付け課題を追究することができるようになり、日常の中で進んで連立方程式を活用しようとする生徒になると考えた。

（２）指導と評価の計画（全１３時間）

次学習内容学習活動評価と方法

(時間)

１連立方程式とその解・数量の関係を２つの・用語や記号を理解できたか（発言、様。

（２）文字を用いて等式に子）

表し、その等式から・二元一次方程式の解の意味や、連立方程文字の値を求めるこ式の解の意味を理解できているか。

とができるようにな（発言、ノート）

る。

２連立方程式の解き方・加減法、代入法を利・加減法、代入法の解法を理解できたか。

（５）用して連立方程式が（ノート・プリント）

解けるようになる。

３連立方程式の利用・連立方程式を利用し・問題を解決するために二つの未知数を二

（３）て、問題を解決できつの文字を用いて二元一次方程式を二本るようになる。つくり、連立方程式を利用して解こうと

しているか（ノート・プリント）。４まとめ・問題を連立方程式や・問題を解決するために、連立方程式や一

（３）一次方程式または、次方程式または、表などを利用して解い表などを利用して解ているか（ノート・プリント）。

くことができる。・既習した内容が定着しているか。

・既習内容が定着した（単元別テスト）

か確かめ、日常生活・定着した内容を利用して、意欲的に問題で活用できるようにづくりに取り組んでいるか。

（）

なる。ノート・プリント

（３）評価規準

Ⅰ 数学への関心・意欲 Ⅱ 数学的な見方や考え Ⅲ 数学的な表現・処理 Ⅳ 数量、図形などに

・態度方ついての知識・理解

・方程式に興味・関心・連立方程式や一次方・文字に値を代入する・二元一次方程式や連をもち、多様な方程程式など、今まで既ことにより、代入し立方程式など方程式式を見つけようとす習した内容を利用した値が方程式の解でに関する用語を理解る。て問題を解決しようあるかどうかを確かしている。

・いろいろな事象を連と工夫している。めることができる。・等式の性質と移項の立方程式を利用して・問題づくりや他の生・加減法、代入法を使関係について理解し問題解決しようとす徒の考え方を聞くこって連立方程式を解ている。

る。とを通して既習したくことができる。・加減法、代入法の解

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・方程式を利用して問内容をさらに深めよ・連立方程式や一次方き方を理解する。

題を解決しようとすうとしている。程式、または表など

る。を利用して問題を解

くことができる。

２授業の実際

本時の計画（１３／１３時間）

（１）ねらい

・既習内容を例題問題を通じて確認し、問題を自ら作成することで、連立方程式を構造的に理解することができる。

、。

・例題問題を通じて連立方程式の解が問題の条件に適しているか確かめることができる

・例題を参考に、自分で条件設定を決めて問題を作成することで、実生活の場面に連立方程式が利用できることに気付くことができる。

・自分で問題文を作成することにより、文章問題への関心・意欲を高める。

（２）本時の構想

本時の授業では、多くの数量の出てくる問題文を用意する。例題問題を解くことで既習内容を確認する。また解が分数になる別の例題を解くことで、解の吟味の必要性について理解させていく。そして、問題文のどこを直せば課題に適した答え・連立方程式の問題にあった解が得られるかを考えさせ、本時の学習内容を理解させていく。このような問題づくりを通して、数学が苦手な生徒でも文章問題に慣れさせ、苦手意識を少しでも解消させていく。そして、例題問題を参考に自分で条件設定を変えた問題を作成したり、既習内容を活用した発展的な問題の作成によって、問題構造を理解させ、知的好奇心を高めていく。

さらに生徒が作成した問題を解き合ったり、問題づくりのコツや、解いたときの感想を話し合ったりする中で数学の楽しさを味わわせていく。最後に実生活の場面で連立方程式が利用できるという有効性について気付かせていきたい。

（３）本時における「数学の面白さや楽しさなどを味わわせる」視点

生徒が問題づくりを通して今までの既習内容を確認することができ、連立方程式の問題構造を知り、さらに発展的な課題に取り組めるようになれば、数学の面白さや楽しさを自ら味わうことができ、数学への興味・関心をさらに高めることができる。その結果、生徒は自ら課題を見付け課題を追究できるようになる。

（４）展開

本日の課題

あるケーキ屋さんではケーキは６種類あり、シュークリーム、プリン、イチゴのショートケーキ、チーズケーキ、抹茶のロールケーキ、チョコレートのロールケーキを売っています。

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メニューには、シュークリームが１個 180 円、プリンが１個 200 円、抹茶のロールケーキが１本 3,000 円、チョコレートのロールケーキが１本 2,000 円で売っているのですが、チーズケーキとイチゴのショートケーキの値段はメニューが破れていてわかりません。消費税は売値に含まれています。次の問に答えなさい。

プリント配布

課題１

Ａさんはチーズケーキ７個とショートケーキ３個を買ったら2710円でした。

Ｂさんはチーズケーキ５個とショートケーキ４個買ったら2400円だったといいます

チーズケーキとショートケーキそれぞれ１個いくらですか。

ほとんどの生徒は既習内容を振り返り連立方程式を作成して問題を解いた。解けない生徒を中心に全体説明をして立式の方法や、解き方を振り返りながら解答した。

答えチ−ズケーキ１個280円、ショートケーキ１個250円

課題２

チーズケーキとイチゴのショートケーキを合わせて10個買い、代金がちょうど円になるようにしたい。できるでしょうか。

2700

Ｓ１できない。

Ｔなぜできないのでしょう。

Ｓ２ちょうど2700円にならないから。

Ｓ３（課題１をみて）あと10円あればいい。

Ｔ 2710円だったら、チーズケーキ７個とショートケーキ３個になりますね。

では、ショートケーキ10個だけだといくらになりますか。

Ｓ４ 2500円！

Ｔショートケーキ９個で、チーズケーキ１個だったら。

Ｓ５ 2530円！

Ｔショートケーキ８個で、チーズケーキ２個だったら。

Ｓ６ 2560円！

Ｔチーズケーキ10個だったらいくらになりますか。

Ｓ７ 2800円！

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課題３

このケーキ屋にケーキを買いに行く設定で、例題を参考にして連立方程式の文章題を作り、その解答を書きなさい。

１１１

ただしロールケーキは− − −でも売ることに２、４、５

します。

※必ず解ける問題にしてください。

問題作成については28/37人（76％）しか解答まで作成することができなかった。しかし作成できなかった生徒の中にも意欲をもって取り組んでいる生徒も多かった。

生徒の作成した主な問題

・１個180円のシュークリームと１個250円のショートケーキを全部で７個買いました、

合計は1540円でした。シュークリームをｘ個、ショートケーキをｙ個とすると、ケ−

キを何個ずつ買いましたか。

・馬場さんはケーキ屋さんに行き、プリンを６個とチョコレートのロールケーキを２本買って 5200 円にしました。次の日、また馬場さんは同じケーキ屋さんにいき、プリンを７個とチョコレートのロールケーキを４本買い、9400 円でした。プリンとチョコレートのロールケーキはそれぞれ１個いくらですか。

・ケーキ屋でプリンと抹茶のロールケーキを買いました。１回目はプリン２個とロールケーキを半分買って 1900 円払いました。２回目に来たときはプリン５個とロールケーキを４分の１かって、1750 円払いました。プリンと抹茶のロールケーキそれぞれ１個の値段はいくらですか。

200 250 14 3500

・１個円のプリンを１個円のショートケーキを合わせて個買ったときに円出したらおつりが200円でした。このとき、プリンとショートケーキはそれぞれいくつ買ったでしょうか。

・今日はケーキ屋さんのセールです。賞味期限が近いので、安いです。プリンとショートケーキが 50 ％ off です。プリン３個とショートケーキ４個で 800 円です。プリン５個とショートケーキ２個で750円です。プリンとショートケーキそれぞれいくらになるでしょう。

※問題文中にいくつかの数値を示してあるが、生徒には未知数として、使用してもよいとしている。

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（５）２時間目の授業について

課題学習の時間としてもう１時間授業を行った。

①前時の振り返り

前時の学習内容を振り返り、生徒が作成した問題（無記名で解答までできた問題全て）

を配付して問題の種類ごとの説明を行った。

Ｓ１俺がつくった問題だ。

Ｓ２こんな難しいことを考えたんだ。

Ｓ３こんな作り方でもいいんだ。

②生徒がつくった問題を解く。

生徒は意欲的に問題を解いていたが、他の生徒の問題を見てもう１回つくりたいという声も出た。そこで、

前回の設定はそのままにしてさらに新しい設定を増やしていいという条件のもとでので問題をつくってもいいことにした。

生徒の約４分の１程度が問題づくりに取り組み、個人で考える生徒と、２，３人のグループで考える生徒がいた。

③解答する

生徒が作成した問題の解答を配って解答させた。生徒は自分が作成した問題と類似しているため、ほとんどの問題を解くことができた。今回、作成した問題は後日問題と解答を配布した。

後日生徒が作成した主な問題

・ケーキ屋さんでケーキ好きの人が、１個200円のプリンと新しく発売された１個420円のホットケーキを合わせて12個買ったら合計3500円だった。それぞれいくつ買いましたか。

・新メニュー追加で、全品 50 ％引きで売っています。新メニューのホールケーキは、１個 4000 円です（値引き前）馬場さんは、。 5000 円で、ホールケーキ２個と、プリンとシュークリーム合わせて、６個買ったらおつりが430円でした。プリンとシュークリームそれぞれいくつ買ったでしょう。

・Ａさんは閉店セールをやっていたケーキ屋さんにケーキを買いに行きました。１個 240 円のシフォンケーキが20％offで、高級モンブランが１個1500円の40％offでした。

全部合わせて10個買ったら4044円でした。何個ずつ買ったでしょう。

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３実践の考察とまとめ１研究の成果

問題作成について何をしてよいのか分からなかった生徒もいて、問題が実際に作成できた生

徒は28/37人（76％）であった。しかし作成できなかった生徒の中にも、意欲をもって取り組

む生徒が多かった。授業後の感想で、24/37 人（65 ％）の生徒が楽しかったと答えている。これは、１学期に「数学の授業に意欲的に取り組んでいますか」というアンケート結果で。 42％であった数字を大幅に上回った。

このことから生徒の意欲が高まったことが分かった。後日生徒がつくった問題を他の生徒に解かせたが、すでに類似問題を作成しているため、ほとんどの生徒が問題構造を理解することができ、問題を解くことができた。

また、生徒がつくった問題を解く時間に併行して新たな設定で問題を作成してもよいという条件で問題を作成させると、知的好奇心を高めた数名が新たな問題作成に取り組んだ。

生徒の感想

○楽しかった。問題をつくることで解き方がわかった。

○問題をつくることが楽しかったです。また作りたいです。

○問題を自分でつくっても、答えが出せなくて難しかったけど、解くのは楽しかった。

○結構難しかった。けれど答えから作ると簡単にできた。

○自分で作ったくせに解けなくて悔しかった。だけど問題をつくるのは楽しかった。

●難しい問題をつくろうとして結局は作れなかった。

●よくわからなかったので問題作りの途中で終わった。屈辱的だった。

●もっと難しい問題をつくりたかった。だけどよくわからなかった。

今回の授業から、次のことが考察される。

( )「問題づくり」の授業は生徒の主体的活動を促す1 今回、問題づくりの授業を行ったことで、既習内容を活用させる上で知的好奇心を高めることができた。また、問題づくりをしたことで、類似問題の構造を理解することができたので、２時間目の生徒が

つくった問題を解く時間には、普段は解こうとする意欲を見せなかった生徒も含めて多く

、。、

の生徒が意欲的に取り組み問題を解くことができたこのことから問題づくりの授業は

「類似問題の構造理解」ができ、生徒の主体的活動を促したと考えられる。

( )「問題づくり」の授業は新しい「問題づくり」へと思考の発展を促す2

通常、問題に対する解答は、正答か誤答かのいずれかであり、答えは一通りの完結した問題を扱うことが多い。生徒は「できあい」の問題を他（教師）から与えられるのであるから、解いてしまえばそれで授業は完結してしまう。あとは、くり返し訓練をすることで

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解法のテクニックを身に付けていく。

しかし、今回、問題づくりの授業を行ったことによって、生徒は問題をつくることが予想以上に難しいことであることを知った。生徒は問題をつくることができても解答をつくることができなかったり、解答が整数にならない問題を作成したりして、試行錯誤の過程を経験した。これによって、答えの数値を先に決定しておけば、簡単に問題が作成できることを発見したり、他の生徒の問題から新たな考えを得たりして、もう一度問題づくりに自ら取り組むという、より積極的な学習態度に変わっていった。

このように、問題づくりの授業は「問題構造の理解」とともに「つくった問題」から、

「新しい問題づくり」へと思考が発展していく課題の広がりが見られた。

( )「問題づくり」を授業で行うよりよい指導過程のあり方3

生徒は問題の仕組みが分かることで理解が増し、興味・関心が高まり、問題解決に向かって意欲的に取り組むことができたと考えられる。しかし、生徒の知的好奇心をさらに高めるためには、一人一人が考えた問題の作成過程を全員に共有させていくことが重要である。生徒は他の生徒がどのようにして問題を作成したかを具体的に知ることにより、問題

。、「。」

づくりの方法についてより一層理解が深まったこのことがもっと問題をつくりたいという生徒の知的好奇心を揺さぶり自ら進んで発展的な問題づくりの学習に挑戦するようになった。

そこで問題づくりの授業を次のように行うことが望ましいと感じた。

①基本問題を把握し、問題を解決する。

②基本問題の類似問題を作成し、類似問題の構造を理解する。

③基本問題から自由な発想で問題を作成し、問題の構造理解をより深める。

④作成した問題の発表において、一人一人の作成過程を全員に共有させ、問題づくりの方法について理解を深める。

⑤共通理解した上で、さらに新しい発展的な問題作成に取り組む。

⑥作成した問題を解き合いながら、日常に連立方程式が活用できることを実感する。

、、

この手順で行っていけば生徒は問題作成にスムーズに取り組めるようになるとともに自ら新しい問題づくりに挑戦するようになる。この挑戦する姿こそが数学の面白さや深く追究する楽しさを実感している姿であると確信した。

２今後の課題

、。、

今回の問題づくりの授業では問題が作成できない生徒がいた問題が作成できない生徒へは個別支援や放課後学習の回数を増やしていく必要を感じている。また、解答までたどり着いた生徒の問題のみプリントにして配布したが、問題の本質となる構造を理解させるためには、解答までたどり着けなかった問題や、解答が不可能な問題もプリントにして配布した方が他の生徒からこうすればいいという意見をもらえたのではないかと反省した。

〈参考文献〉

・澤田利夫・坂井裕編集『中学校数学科〔課題学習〕問題づくりの授業』東洋館出版社

・中野洋二郎・坪田耕三・滝井章編者『子どもが問題をつくる』東洋館出版社