トーラス絡み目のゲーリッツ不変量
渡邊 真悟 2014 年 1 月 27 日
1 ゲーリッツ不変量
絡 み 目
L
の 連 結 な 図 式D
の 向 き を 忘 れ た も の をU
と す る 。チ ェ ッ カ ー ボ ー ド 彩 色 を し, R i (i = 0, 1, 2, . . . , m)
を黒領域全体とする。+1 -1
この時，相異なる領域
R i
，R j
に対して，R i
，R j
の隣接する交点の符号を足したものを行列の成分a ij
で定 める。但し,
対角成分a ij
についてはa ii = − ∑
j=0,j ̸ =i
a ij
と定義する。このようにして，
a ij
を(i + 1, j + 1)
成分とする(m + 1)
次対称行列G
を絡み目L
のゲーリッツ行列と いう。ゲーリッツ行列から位相不変量を引き出すために，整数行列のねじれ不変量を定義する。そのために次のよ うな基本変形を考える。
I.
ある縦(
または横)
ベクトルを− 1
倍II.
ある2
つの縦(
または横)
ベクトルを交換III.
ある縦(
または横)
ベクトルの整数倍を他の縦(
または横)
ベクトルに加えるIV.A
と(AO)
を交換(A
が正方行列ならば不要)
V.A
とA ⊕ (1)
を交換これらの基本変形により移りあう行列を同値な行列と呼ぶことにし，
∼
で表す。任意の整数行列
A
は次の条件を満たすような一意的な対角整数行列(k 1 ) ⊕ (k 2 ) ⊕ . . . ⊕ (k d )
に同値である ことが単因子論より知られている。1 ≤ i ≤ d
のとき，k i ≥ 0
，k i ̸ = 1
かつ1 ≤ i ≤ d − 1
のとき，k i+1
はk i
の整数倍また
d
をA
の深度，ねじれ不変量に現れる0
の個数をA
の退化次数といい，それぞれd(A)
，n(A)
と表す。定理
絡み目
L
の連結な図式U
の任意の白黒彩色のゲーリッツ行列G
から任意の1
行1
列を除いて得られる行 列G ′
のねじれ不変量k ∗ (G ′ )
はL
の位相不変量である。k ∗ (G ′ )
をL
のゲーリッツ不変量といい，k ∗ (L)
で表す。d(G ′ )
をL
の深度，n(G ′ )
をL
の退化次数という。2 トーラス絡み目のゲーリッツ不変量
論文
[3]
の中で池田らは，(3, q)
トーラス結び目のゲーリッツ不変量を決定した。この論文の主定理は，す べてのトーラス絡み目T ( p, q)
についてこれを求めたものである。定理
(
阿原・渡邊)
(p, q)
型トーラス絡み目をT(p, q)
として,T(p, q)
のゲーリッツ不変量をk ∗ (T(p, q))
で表す。この時，[I]gcd(p, q) = 1
のとき，(i)p:
奇数，q:
奇数ならばk ∗ (T (p, q)) = (1) (ii)p:
奇数，q:
偶数ならばk ∗ (T (p, q)) = (p)
[II]gcd(p, q) = r > 1
のとき，(i)p:
奇数，q:
奇数ならばk ∗ (T (p, q)) = (
r − 1
個z }| { 2, 2, . . . , 2) (ii)p = p ′ r:
奇数，q:
偶数ならばk ∗ (T (p, q)) = (p ′ ,
r − 1
個z }| { 0, 0, . . . , 0)
特にp ′ =1
のときk ∗ (T (p, q)) = (
r − 1
個z }| { 0, 0, . . . , 0) (iii)p = p ′ r:
偶数，q = q ′ r:
偶数ならばk ∗ (T (p, q)) = (2p ′ q ′ ,
r − 2
個z }| { 0, 0, . . . , 0)
ゲーリッツ不変量の深度が
1
であるならば，その数は結び目の行列式の絶対値と一致し，さらにアレキサン ダー多項式にt = − 1
を代入して絶対値をとったもの| ∆ T (p,q) ( − 1) |
と一致する。このことから、長さが2
以 上のもの、0
を含むものを計算できればアレキサンダー多項式にはない情報が得られていることがわかる。[
証明]
この稿では，定理の
[II](ii)
にあたる命題の証明を紹介する。まず，定理の記号の準備を行う。
T (p, q)
を(p, q)
型トーラス結び目とし，G T (p,q)
をT (p, q)
のゲーリッツ行列であるとする。また，E
を単位行列とする。正方行列
W
，X
を以下で定める。W =
0 . . . 0 1
1 . . . 0
. . . . . . .. .
1 0
, W − 1 =
0 1
.. . . . . . . .
0 . . . 1
1 0 . . . 0
X = W + W − 1 =
0 1 1
1 . . . . . . . . . . . . 1
1 1 0
次の命題の証明が目標である。
Proposition C
p
が奇数，q
が偶数，(p, q) = r > 1
，p = p ′ r
，q = q ′ r
のときk ∗ (T (p, q)) = (p ′ ,
r − 1
個z }| { 0, 0, . . . , 0)
以下，
p = 2k + 1(k = 1, 2, . . .)
とする。T (p, q)
のチェッカーボード彩色を以下のように領域を定める。R
0R
1R
2R
qR
kq-k+1R
kq-k+2R
kq従って
,
ゲーリッツ行列は,
z }| { q
− q 1 . . . 1 1
.. . − X E
1
E − X E
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . − X E
E − X + E
kq + 1
と書くことにすると，次で与えられる。
G ′ T (p,q) =
− X E E − X . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
E − X E
E − X + E
但し，各ブロックは
q × q
行列である。Lemma 1
p
を奇数とするとき,
あるq × q
行列F k
が存在して,
G ′ T(2k+1,q) ∼
E
. . . ∗
. . .
O E
F k
∼ F k
[
証明]
第
1
行を一番下へと移動することにより，
− X E
E − X E
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . − X E
E − X + E
∼
E − X E
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . − X E
E − X + E
− X E O . . . . . . O
であり，以下,
左側の列から順に列の掃出しを行うことにより，
E
. . . ∗
. . .
O E
F k
の形を得る。Lemma 2
z k+1 }| { z }| { k
F k ∼
1 − 1 1 1 − 1
− 1 . . . . . . . . . 1 1 . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 . . . . . . . . . − 1
− 1 1 1 − 1 1
= E − (W + W − 1 ) + (W 2 + W − 2 ) + . . . + ( − 1) k (W k + W − k ) [
証明]
Lemma 1
より，F k
はE
とX
による多項式で表される。この多項式をf k (x)
と書くことにする。x
の多項式を成分とする行列としてLemma 1
と同じ手順で基本変形を行うことにより
− x 1 1 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . − x 1
1 − x + 1
∼
1 ∗
. . . 1
f k (x)
を得る。今，基本変形により，行列式は
± 1
倍しか変わらないことから，± f k (x) =
− x 1 1 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . − x 1
1 − x + 1
となる。この式の右辺をあらためて
f k ′ (x)
とおき，1
列目で展開すると，f k ′ (x) = ( − x) ×
− x 1 1 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . − x 1
1 − x + 1
− 1 ×
1 0 0
1 − x 1
. . . . . . . . . . . . − x 1
1 − x + 1
従って，
f k ′ (x) = − xf k ′ − 1 (x) − f k ′ − 2 (x)
k = 1
のとき，G = ( − X + E)
より，F 1 = − X + E
f 1 (x) = f 1 ′ (x) = − x + 1 = E − (W + W − 1 ) k = 2
のとき，f 2 ′ (x) =
− x 1 1 − x + 1
= x 2 − x − 1
= (W + W − 1 ) 2 − (W + W − 1 ) − E
= E − (W + W − 1 ) + (W 2 + W − 2 )
以上より
k = 1
，2
でLemma 2
は正しい。帰納法の仮定により，k ≥ 3
までLemma 2
が正しいとすると，f k+1 ′ (x) = − xf k ′ (x) − f k ′ − 1 (x)
= − (W + W − 1 ) {
E − (W + W − 1 ) + (W 2 + W − 2 ) − . . . + ( − 1) k (W k + W − k ) }
− {
E − (W + W − 1 ) + (W 2 + W − 2 − . . . + ( − 1) k − 1 )(W k − 1 + W − k+1 ) }
= E − (W + W − 1 ) + (W 2 + W − 2 ) − . . . + ( − 1) k+1 (W k+1 + W − k − 1 )
よって
k + 1
でも正しい。数学的帰納法により,
すべてのk = 1, 2, 3, . . .
についてLemma 2
は正しいこと が示され，F k = E − (W + W − 1 ) + (W 2 + W − 2 ) + . . . + ( − 1) k (W k + W − k )
この
F k
に対して,
F k ∼
z k+1 }| { z k+1 }| {
0 . . . . . . 0 1 1
.. . . . . . . . . . .
.. . . . . . . . . . .
0 . . . . . . 1
1 . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1
1 . . . . . . 0
. . . . . . . . . .. .
1 . . . 0 . . . . . . 0
− 1 1 . . . 1 0 1 − 1 . . . . . . 1
∼
z 2k+1 }| {
1 0 . . . 0 1 . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
1 O . . . . . . . . . 1
. . . . . . . . . 0
O . . . . . . . . . .. .
1 . . . 0
− 1 1 . . . 1 0 1
この最後の行列を
♡
とする。E ∈ M r,r ( Z ), A =
− 1 1 . . . − 1
∈ M r,r ( Z )
とすると, ♡
は♡ =
E E
. . . . . .
. . . E
E . . .
. . . . . .
E E
+
A − A . . . A O
| {z }
p
′| {z }
p
′| {z }
q
′と表せる。この行列を
♣ + ♠
で表す。♣
の基本変形を行う。このとき,
(m, n, ε 1 , ε 2 ) =
E ε 1
. . . . . .
. . . ε 1
ε 2 . . .
. . . . . .
ε 2 E
| {z }
m
| {z }
n
と表していく。但しここで，
ε 1
とε 2
はE
または− E
であるものとする。ここで，行列のサイズを小さくする基本変形には
2
つのパターンがある。Case 1 2m < n
のとき
E ε 1
. . . . . .
E ε 1
E ε 1
. . . . . .
. . . ε 1
ε 2 . . .
. . . . . .
ε 2 E
m
m
∼
| {z }
m
| {z }
m
| {z }
n
E ε 1
. . . . . .
. . . ε 1
− ε 1 ε 2 . . .
. . . . . .
− ε 1 ε 2 E
| {z }
m
| {z }
n − m
= (m, n − m, ε 1 , − ε 1 ε 2 ) Case 2 2m > n
のとき
E ε 1
. . . . . .
E ε 1
ε 2 E
. . . . . .
ε 2 . . .
ε 2 . . .
. . . . . .
ε 2 E
∼
| {z }
n − m
| {z }
n − m
E − ε 1 ε 2
. . . . . .
. . . − ε 1 ε 2
ε 2 . . .
. . . . . .
ε 2 E
| {z }
2m − n
| {z }
m
= (2m − n, m, − ε 1 ε 2 , ε 2 )
Proposition C
を示すために，m = p ′
，n = q ′
，ε 1 = E
，ε 2 = E
を初期状態として，上記2
つの基本変形を 繰り返し行う。すると，以下のような巡回図式が得られる。(
偶,
奇, − E, E) ←−−−− ⃝ 1 −−−−→ ⃝ 1 (
偶,
奇, − E, E)
⃝ 2 x
⃝ 2 y (
奇,
偶, E, E)
⃝ 1 x
⃝ 1 y
(
奇,
奇, E, − E) ←−−−− ⃝ 2 −−−−→ ⃝ 2 (
奇,
奇, E, − E)
次に
♠
と基本変形の関係を考察する。♠ (s
，t) =
sA − sA . . . sA − tA tA . . . − tA
と定義する。
Lemma 3
l( ♠ (s
，t)) = | ms + (n − m)t |
と定義すると，l( ♠ (s
，t))
は基本変形⃝ 1
，⃝ 2
で不変である。Lemma 3
の証明は単純計算なので，ここでは省略する。基本変形
⃝ 1
，⃝ 2
を行って(r, 2r, +, +)
になるまで繰り返すと, (
E E
E + s ′ A E − t ′ A )
(
但し,s ′ + t ′ = l = | ms + (n − m)t | = p ′ )
∼ (
E 0
E + s ′ A − (s ′ + t ′ )A )
∼ (s ′ + t ′ )A = p ′ A
を得る。よって
,
ゲーリッツ不変量は(p ′ ,
r − 1
z }| {
0, 0, . . . , 0)
である。3 他の不変量との比較と今後の展望
ゲーリッツ不変量での
0
の個数は退化次数と呼ぶが,
これはザイフェルト行列M
から作ったM + M T
の 退化次数と一致することが知られている。(
例えば村杉先生の教科書を見よ。)
今回の結果からトーラス結び 目の退化次数と深度を決定することが出来た。これは行列式やアレキサンダー多項式から直接出ない量である ので意味があると考える。将来的にはより精密な議論をし、アレキサンダーイデアルとの関連性について考察 することが目標である。参考文献
