演習問題 8 （ 2014 年 12 月 11 日）

解析学序論II（担当：梶野） 2014年度後期・神戸大学理学部数学科

学籍番号： 氏名：

演習問題 8 ^（ 2014 ^年 12 ^月 11 ^日）

注意. 答案作成に際しては以下の点に注意すること：

なるべくきれいな字で丁寧に書くこと．試験答案やレポートも「他人に読んでもらう文章」

なのだから，自分にしか読めないような雑な字で書くべきではない．

数学的に厳密な議論を行うこと．厳密さを欠いた曖昧な議論は数学では許されない．

演習8.1. 次の関数f WŒ0; 1!Rが1において連続でないことを定義に基づいて示せ：

f .x/WD

´0 .0x < 1/

1 .xD1/

演習8.2. 各n2Nに対しgnWŒ1;1/!Rをgn.x/WD n

1Cnx で定める．

(1)任意のx2Œ1;1/に対しlimn!1gn.x/D x¹であることを示せ．

(2)gWŒ1;1/!Rをg.x/WD ¹x で定める．¹gnº¹nD1がgにŒ1;1/上で一様収束することを示せ．

演習8.3. 各n2Nに対しhnWŒ0; 2!Rを次で定める：

hn.x/WD 8ˆ

<

ˆ:

2n²x .0x ¹n/ 4n 2n²x ._n¹ x ²n/

0 ._n² x 2/

(1)任意のx2Œ0; 2に対しlimn!1hn.x/D0であることを示せ．

(2)¹hnº¹nD1が0にŒ0; 2上で一様収束しないことを示せ．