▼ 前回の講義の概略
•
y(n)+an−1(t)y(n−1)(t) +· · ·+a1(t)y(t) +a0(t)y(t) =f(t)
の形の微分方程式を（単独）n階線型常微分方程式と呼ぶ. 特に, f(t)≡0 の時,斉次, そうでない とき,非斉次と呼ばれる.
つまり,常微分方程式が線型であるとは,未知関数y とその微分y(k)に関して線型（一次）であるこ とを言い,係数などの関数ak(t),f(t)の形を問わない.
• １階斉次線型常微分方程式
y(t) +a(t)y(t) = 0 (4.1)
は,変数分離形と考えることができ,その一般解は y(t) =Cexp
−
a(t)dt
である. なお,t=t0 における初期条件を課したときには, A(t) =
t
t0
a(t)dt とおき, 方程式の両辺にe−A(t)をかけると,
d dt
eA(t)y(t)
= 0 と書けるので,これを[t0, t]で積分することにより,
eA(t)y(t) =eA(t0)y(t0) =y(t0) となり, 解は
y(t) =y(t0)e−A(t) と書けることがわかる.
• １階非斉次線型常微分方程式
y(t) +a(t)y(t) =f(t) (4.2) を解くためには,２つの方法が広く知られている. 以下では,A(t)はa(t)の原始関数の１つとする.
1. 対応する斉次方程式の一般解
y(t) =Ce−A(t) の未知定数C を関数と考え,
y(t) =C(t)e−A(t) (4.3) の形の解を探すことを考える. このとき, (4.3)を (4.2)に代入すると,
C(t) =f(t)eA(t) となるので,これはただちに積分できて,
C(t) =
f(t)eA(t)dt+C
となる. （ここで,積分定数C を明示的に書いた.）したがって,求めるべき解は
y(t) =
f(t)eA(t)dt+C
e−A(t)=e−A(t)
f(t)eA(t)dt+Ce−A(t) となる. この方法を定数変化法と呼ぶ.
2. 方程式(4.2)の両辺にeA(t)をかけると d dt
eA(t)y(t)
=f(t)eA(t) (4.4)
となる. この式の両辺を積分すれば, eA(t)y(t) =
f(t)eA(t)dt+C となり, 求めるべき解は
y(t) =
f(t)eA(t)dt+C
e−A(t)=e−A(t)
f(t)eA(t)dt+Ce−A(t)
となる. ここで,A(t)をA(t0) = 0となる原始関数を取り, (4.4)の両辺を[t0, t]で積分すれば,
eA(t)y(t) =
t
t0
f(t)eA(t)dt+e−A(t0)y(t0), y(t) =e−A(t)
t
t0
f(t)eA(t)dt+e−A(t)y(t0), となり, 初期条件の寄与が明確となる.
• 斉次１階線型常微分方程式 (4.1)の解は以下の性質をみたす.
1. y(t)≡0は (4.1)の解である.
実際にy(t)≡0 を(4.1)に代入して確かめればよい.
2. y(t)が (4.1)の解ならば,任意のλ∈Rに対して,λy(t)も (4.1)の解となる.
λy(t)を(4.1)に代入すれば,
(λy(t))+a(t)(λy(t)) =λ(y(t) +a(t)y(t)) = 0 となるので,λy(t)は(4.1)の解である.
3. y1(t),y2(t)が(4.1)の解ならば, y1(t) +y2(t)も(4.1)の解となる.
y1(t) +y2(t)を(4.1)に代入すれば,
(y1(t) +y2(t))+a(t)(y1(t) +y2(t)) = (y1(t) +a(t)y1(t)) + (y2(t) +a(t)y2(t)) = 0 となるので,y1(t) +y2(t)は(4.1)の解である.
これを重ね合せの原理とよび,このことから, (4.1)の解全体の集合は,R上の関数全体のなすベクト ル空間の中の線型部分空間となることが示される. なお, (4.1)の解全体の集合は
{λe−Ra(t)dt:λ∈R}
• 非斉次１階線型常微分方程式(4.2)の解は以下の性質をみたす. 以下では,Y(t)は対応する斉次方程 式 (4.1)の解とする.
– y(t)が (4.2)の解であるとき,任意のλ∈Rに対して,y(t) +λY(t)も (4.2)の解となる.
いま,y(t)は(4.2)の解であり,Y(t)は(4.1)の解であるので, y(t) +a(t)y(t)−f(t) = 0, Y(t) +a(t)Y(t) = 0 をみたす. 第２式にλをかけて第１式に加えれば,
y(t) +a(t)y(t)−f(t) +λ(Y(t) +a(t)Y(t))
= (y(t) +λY(t))+a(t)(y(t) +λY(t))−f(t) = 0 となり, y(t) +λY(t)は (4.2)の解であることがわかる.
このことから, (4.2)の解全体の集合は,
「(4.2)の解全体の集合」=「(4.1)の解全体の集合」+「(4.2)の一つの解」
と書けることがわかる. 実際, (4.2)の解は
y(t) =Ce−A(t)+e−A(t)
eA(t)dt
=「(4.1)の一般解」+「(4.2)の一つの解」
と書けている.
• 「同次形」
y(x) =f y(x)
x
の形の微分方程式を同次形と呼ぶ. 同次形の微分方程式は,z(x) =y(x)/xとおくことによって,z(x) に関する変数分離形となる.
• 「ベルヌーイ型」
y(t) +P(t)y(t) =Q(t)(y(t))m, m≥2
の微分方程式をベルヌーイ (Bernuilli) 型と呼ぶ. z(t) = (y(t))1−m とおけば z(t) + (1−m)P(t)z(t)−(1−m)Q(t) = 0 となり, １階線形微分方程式に帰着できる.
• 「リカッチ型」
y(t) =P(t)(y(t))2+Q(t)y(t) +R(t)
をリカッチ (Ricatti)型と呼ぶ. リカッチ型微分方程式は,一般的には解けないが,一つの解ϕ(t)が 見つかれば,z(t) =y(t)−ϕ(t)と置くことにより,一般解を求めることができる. 実際,
z(t)−(2P(t)ϕ(t) +Q(t))z(t) =P(t)(z(t))2 となり, m= 2のベルヌーイ型に帰着できる.
▼ 演習問題
問題4.1 (各小問ごと), 4.2 (各小問ごと)を解答したときの加算点は1点,それ以外の加算点は以下の通
りとします. 問題 4.3 : 2点,問題4.4 (1) : 2点,問題4.4 (2) : 2点,問題4.5 : 2点,問題4.6 : 2点,問題 4.7 : 4点.
Exercise 4.1 次の常微分方程式の一般解を求めなさい.
1. (3x2+y) + (x+ 2y)dy dx = 0.
2. (2xex2+ siny) +xcosydy dx = 0.
3. (2xlogy+y
x) + (logx+x2 y )dy
dx = 0.
4. (ysec2x+ secxtanx) + (2y+ tanx)dy dx = 0.
5. (2xcosy+ 3x2y) + (x3−x2siny−y)dy dx = 0.
Exercise 4.2 次の方程式が完全形となるような定数aを求め,方程式を解きなさい.
1. (x+ye2xy) +axe2xydy dx = 0.
2. (eax+y+ 3x2y2) + (2yx3+eax+y)dy dx = 0.
Exercise 4.3 次の微分方程式が完全形となるような関数f(x)を求め, それらのf(x)について方程式を 解きなさい.
y2sinx+yf(x)dy dx = 0.
Exercise 4.4 次の常微分方程式の積分因子を求めて一般解を求めなさい.
1. ey2/2+ (2y2+ 2xy+ 1)ey2/2dy dx = 0.
2. (3xy+ 2y2) + (2x2+ 3xy)dy dx = 0.
Exercise 4.5 微分方程式
(exsecy+ tany) +dy dx = 0
は, 定数aを含む e−axcosy の形の積分因子をもつことが知られている. このaを求め, 方程式を解きな さい.
Exercise 4.6 微分方程式
M(x, y) +N(x, y)dy dx = 0 について,
Q(y) = 1 M
∂N
∂x −∂M
∂y
が成り立つとき,すなわち,この式の右辺がxに依存しないとき,この微分方程式は積分因子 µ(y) = exp
Q(y)dy
Exercise 4.7 R2\ {0} 上で定義された1 次微分形式 ω =− y
x2+y2dx+ x x2+y2dy について,以下を示しなさい.
1. R2\ {0}上では ωは閉である.
2. R2\ {0}上で定義された関数 ϕで
∂ϕ
∂x =− y x2+y2,
∂ϕ
∂y =− x x2+y2,
となるものは存在しない. （存在するとしたら矛盾が生じることを示しなさい.）
▼ 前回の演習問題の訂正
★ Exercise 3.1.5
(1 +t3)−1y(t) + 2t2y(t) =t2.
★ Exercise 3.4
１階線形常微分方程式
y(t) +ay(t) =f(t)
ただし,a は正の定数とし, 関数f は t∈Rで連続かつt→ ∞ で0 に収束すると仮定する. このとき, こ の微分方程式の全ての解はt→ ∞で 0に収束することを証明しなさい.
