Special functions related to the Schr¨ odinger equation

シュレーディンガー方程式における特殊関数

Special functions related to the Schr¨ odinger equation

非線形解析研究室 

BV12071

布川幸典 指導教員：竹内慎吾 教授

1

はじめに

量子力学において明示的に解が求まらないことが多い

.

解が 求まる状態の式を解き

,

分野における基礎の理解とその中で導 出される特殊関数を重点としている

.

まず

,

自由粒子の議論で 基礎の流れを掴み

,

重要とされる調和振動子をみる

.

最後に

,

水 素原子のエネルギー順位の式の有名な特殊関数を考察する

.

2

量子力学的自由粒子

Schr¨ odinger

方程式は量子化と呼ばれる操作

: E → i ~ ∂

∂t , p → ~ i ∇ = ~

i ( ∂

∂x 1

, ∂

∂x 2

, ∂

∂x 3

) (1)

により

,

古典物理学におけるエネルギーの関係式から導かれる

.

~ = _2π ^h (h :

プランク定数

)

は量子力学において重要な定数で ある

.

古典物理学における自由電子のエネルギー

E

は

E = 1

2m (p ² ₁ + p ² ₂ + p ² ₃ ) (2) (m

は電子の質量

, p = (p ₁ , p ₂ , p ₃ )

は運動量

)

であるから

, Schr¨ odinger

方程式はこれを量子化して

i ~ ∂ψ

∂t = − ~ ²

2m ∆ψ (3)

である

.

量子力学において

,ψ

は存在確率密度を表す

.

即ち

,

時 刻

t

において電子が領域

D

の中に存在する確率は

∫

D | ψ(x 1 , x 2 , x 3 , t) | ² dx 1 dx 2 dx 3

∫

R

³

| ψ(x 1 , x 2 , x 3 , t) | ² dx 1 dx 2 dx 3

によって与えられる

.

よって

,

分母が無限大に発散する場合は 除いて考える

.

このことに注意して固有値問題を解くと

, (3)

の 解は

ψ(x, t) = ce ^{i(nx − n}

²

^t) (n = 1, 2, . . .)

であることがわかる

.

但し

,

簡単のため

, ~ = 1, 2m = 1

として いる

.

3

調和振動子

原点からの距離に比例し原点へ向かう引力を受けて運動して いる粒子を考える

. Newton

の第

2

法則より運動方程式は

m d ² x

dt ² (t) = − kx(t) (4)

但し

, m

は粒子の質量

, k > 0, x(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t))

は時 刻

t

における粒子の位置を表す

.

よって

,

運動方程式

(4)

によっ

て記述される粒子のエネルギー

E

は

E = 1

2m | p | ² + k

2 | x | ² (5)

である

.

方程式

(5)

に対して量子化の手続きを行うと

i ~ ∂ψ

∂t = (

− ~ ² 2m ∆ + k

2 | x | ² )

ψ (6)

を得る

.

簡単のため

,

一次元上の運動のみを考える

.

また

, ~ = 1, 2m = 1, k = 2

とする

.

これの変数分離形の解のうち

x

に 関する微分方程式は

− d ² φ

dx ² (x) + x ² φ(x) = λφ(x) (λ > 0) (7)

である

.

微分方程式

(7)

の未知関数

φ

を以下の変換

φ(x) = e ^{− x}

²

^/2 η(x)

により

η

に取り換えると

, η

について次の

Hermite

微分方程式 を得る

:

η ^′′ − 2xη ^′ + (λ − 1)η = 0

これにより

,

級数解法で以下の解が求められる

.

η(x, λ) = c 0 η 0 (x, λ) + c 1 η 1 (x, λ)

但し

,

η 0 (x, λ) =1 +

∑ ∞ j=1

K _0,j ^λ x ^2j (

K _0,j ^λ := (4j − 3 − λ) · · · (9 − λ)(5 − λ)(1 − λ) (2j)!

)

η 1 (x, λ) =x +

∑ ∞ j=1

K _1,j ^λ x ^2j (

K _1,j ^λ := (4j − 1 − λ) · · · (11 − λ)(7 − λ)(3 − λ) (2j + 1)!

)

である

. λ

のとりうる値は

λ = 2m − 1 (m ∈ N )

に絞られる

.

4

水素原子のエネルギー順位

水素原子のエネルギー順位は次の

Schr¨ odinger

作用素

− ~ ²

2µ ∆ − e ²

| x | (8)

の固有値問題を解くことで求められる

.

求める偏微分方程式は

(

− ~ ²

2µ ∆ − e ²

| x | )

ψ(x) = λψ(x) (9)

極座標系を導入し

,

次の変数分離形の解を考える

:

ψ(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = ψ(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ψ, r cos θ)

= f (r)u(θ)v(ϕ)

I

よって

,

求めるのは以下の固有値問題の解である

.

− d ² v

dϕ ² = σv(ϕ) (10)

− 1 sin θ

d dθ

( sin θ du

dθ )

+ σ

sin ² θ u(θ) = τ u(θ) (11) d

dr (

r ² df dr (r)

) + 2µ

~ ² r ² ( e ²

r + λ )

f (r) = τ f(r) (12)

微分方程式

(10)

を解くと次の解を得る

:

σ = σ _m := m ² , v(ϕ) = v _m (ϕ) := e ^imϕ (m ∈ Z )

以下

, (11), (12)

について考える

.

4.1 Legendre

の微分方程式

式

(11)

の解

,

即ち

, (τ, u(θ))

を求める

. σ = m ² , τ = ν (ν + 1), cos θ = t, u ^∗ (t) := u(θ)

としたとき

,

微分方程式

(11)

は

(1 − t ² ) d ² u ^∗

dt ² (t) − 2t du ^∗ dt +

{

ν(ν + 1) − m ² 1 − t ²

}

u ^∗ (t) = 0 ( (13)

ν ≥ − 1 + √

1 + 4m ² 2

)

と書き換えられる

.

これは

Legendre

の陪微分方程式と呼ばれ る

. m = 0

のとき

, Legendre

の微分方程式と呼ばれ

,

有名な式 である

:

(1 − t ² ) d ² u ^∗

dt ² (t) − 2t du ^∗

dt (t) + ν(ν + 1)u ^∗ (t) = 0 (14) (14)

は級数解法で基本解を

2

つ導出できる

.

その

2

解のうち確 率密度の条件を満たす解を

ν (ν + 1) = ℓ

として以下の式で表 せる

:

P _ℓ := 1 2 ^ℓ ℓ!

d ^ℓ

dt ^ℓ (t ² − 1) ^ℓ (15)

微分方程式

(13), (14)

について

,

以下の補題が成り立つ

.

補題

4.1.

次の

(i), (ii)

が成り立つ

:

(i) Legendre

陪微分方程式

(13)

の解

u ^∗ (t)

に対し

w m (t) := (1 − t ² ) ^{− m/2} u ^∗ (t)

とおくと

, w m

は次の微分方程式を満たす

:

(1 − t ² ) d ² w

dt ² − 2(m + 1)t dw

dt + (ν − m)(ν + m + 1)w = 0 (16) (ii) Legendre

微分方程式

(14)

の解

u ^∗

に対し

, m

次導関数を

w m (t) := d ^m dt ^m u ^∗ (t)

とおくと

, w m (t)

は式

(16)

をみたす

.

補題

4.1.

より

, Legendre

陪微分方程式

(13)

の解は

u ^∗ (t) = c(1 − t ² ) ^{− m/2} d ^m

dt ^m P ℓ (t) := P _ℓ ^m (c

は定数

)

4.2 Laguerre

の微分方程式

式

(12)

の解

,

即ち

, (λ, f(r))

を求める

. τ = ℓ(ℓ+1)

おき

,

微分 方程式

(12)

の両辺を

r ²

で割って

f (aρ) := ρ ^ℓ e ^{− ρ/2} L(ρ) (a =

~ 2 √

2µ( − λ) )

で取り換えると

ρ d ² L

dρ ² + (p + 1 − ρ) dL

dρ + (q − p)L = 0

これは

Laguerre

の陪微分方程式と呼ばれる

.

また

, p = 0

のと き

, Laguerre

の微分方程式と呼ばれる

:

L(ρ) = ρ d ² L

dρ ² + (1 − ρ) dL

dρ + qL = 0 (17) (17)

を級数解法で解くと

1 +

∑ ∞ n=1

( − 1) ⁿ

(n!) ² q(q − 1) · · · (q − n + 1)ρ ⁿ

但し

, p := 2ℓ + 1, q := ^{√ µe}

2

~ √

2( − λ) + ℓ

である

.

以下の

L q

は

Laguerre

の関数と呼ばれる

:

L _q = Γ(q + 1) {

1 +

∑ ∞ n=1

( − 1) ⁿ

(n!) ² q(q − 1) · · · (q − n + 1)ρ ⁿ }

ここで

, Γ

は

Gamma

関数である

.

一方

, (17)

を

p

階微分すると

pL ^(p+2) + (p + 1 − ρ)L ^(p+1) + (q − p)L ^(p) = 0

を得るから

, L ^p _q = ^d _dρ

^p

^L

_p

.

よって

p ≥ 1

より

L ^p _q =

∑ ∞ n=p

( − 1) ⁿ

n!(n − p)! q(q − 1) · · · (q − k + 1)ρ ^{n − p}

固有値のとりうる値は

q ∈ N

^である

.

よって仮定から固有値と それに属する固有関数は

λ = λ n = µe ⁴ 2 ~ ²

1

n ² (n = 1, 2, . . .)

f (r) = f _n,ℓ (r) := ρ ^ℓ e ^{− ρ/2} L ^2ℓ+1 _n+ℓ (ρ) (n = 1, 2, . . .) 4.3

固有値問題の解

以上の議論より

,

水素原子のエネルギー順位は

ψ(x) = cf n,ℓ (r)P _ℓ ^m (cos θ)e ^imϕ

(c

は任意定数

; n ∈ N ; ℓ = 0, 1, . . . , n − 1; − ℓ ≤ m ≤ ℓ)

と表される

.

参考文献

[1]

楳 田 登 美 男

,

数 理 物 理 に お け る 固 有 値 問 題

,

サ イ エ ン ス 社

, 2015

[2]

新井朝雄

,

ヒルベルト空間と量子力学 改訂増補版

,

共立出 版株式会社

,1997,2014

[3]

犬井鉄郎

,

特殊関数

,

岩波全書

, 1962

II