非専門家向けの格子

非専門家向けの格子 QCD 入門

ー数値シミュレーションを中心としてー

青木 慎也

筑波大学 数理物質科学研究科

第２回素核宇宙融合レクチャーシリーズ

２０１０年１２月１５、１６日、京都大学基礎物理学研究所

Part I: 格子QCDの理論的基礎

1. 宇宙、原子核、素粒子 2. 量子色力学(QCD)

3. 格子上のスカラー場の理論 4. 格子上のゲージ理論

5. 格子フェルミオン

6. ゲージ理論の観測量と強結合展開

7. 連続極限

Part II. モンテカルロ法によるハドロン質量の計算

8. 経路積分表示

9. ゲージ配位の生成法

10.クォーク伝搬関数の計算 11.データの解析方法

12.最新の結果

Part I.

格子 QCD の理論的基礎

   1. 宇宙、原子核、素粒子

宇宙物理：（主に）古典物理

   ニュートン重力、一般相対論、電磁気学、流体力学

原子核物理：（主に）量子力学    シュレディンガー方程式

素粒子物理：（主に）場の量子論

    QED, QCD, Weinberg-Salam model、量子重力？

古典力学：微分方程式（ニュートン／アインシュタイン方程式）を解く

ハミルトンーヤコビ方程式

量子力学：微分方程式（シュレディンガー方程式）を解く [ˆx_j, pˆ_k] = i¯hδ_jk pˆ_j = i¯h ∂

∂x_j

H = − !

i

¯ h² 2m_i

∂²

∂x²_i + !

i!=j

V (x_i − x_j)

H = !

i

p

2m

+ !

i!=j

V (x

− x

)

“量子化”

Hψ( { x

} ) = Eψ( { x

} )

場の量子論：（非可算）無限自由度の量子力学、相対論的

ψ (x, t)

x

(t)

演算子形式 vs. 経路積分 （量子力学）

[ˆx_j, pˆ_k] = i¯hδ_jk Hψ({x_i}) = Eψ({x_i})

演算子形式

経路積分(path-integral)

!x_F, t_F|x_I, t_I" =

all path!

{x(t)|x(t_I)=x_I,x(t_F)=x_F}

exp

"

iS(x(t))

¯ h

# 等価

粒子が時刻 t_Iでx_I から出発し、

時刻t_F でx_Fに到着する振幅

S(x(t)) = ! t_F t_I

d t L(x(t),x(t))˙

action Lagrangean

L = !

i

m_i

2 x˙²_i − !

i!=j

V (x_i − x_j)

!x_F, t_F|x_I, t_I" = ! x(t_F)=x_F

x(t_I)=x_I Dx(t) exp[i ! t_F t_I

d t L(x(t), x(t))/¯˙ h]

経路積分(path-integral)表示

場の量子論の経路積分（結果のみ）

!0|ϕ(xˆ ₁) ˆϕ(x₂) · · · ϕ(xˆ _n)|0" = 1 Z

!

Dϕ ϕ(x₁)ϕ(x₂)· · · ϕ(x_n) e^iS(ϕ)

n点関数（真空期待値）

Z = !

D ϕ e

!

d⁴x L(ϕ(x))

Lagrangean 密度 どうやって計算するか？

自由場（相互作用無し）では計算できる。

スカラー場

例：２点関数(propagator)

生成（汎）関数（ユークリッド空間）

Z(J) = !

Dϕ e^{−12ϕ·D·ϕ+J·ϕ} = (detD)^−1/2e^J·D−1·J

S = ϕ(x)D (x, y)ϕ(y )

ガウス積分の一般化

!ϕ(x)ϕ(y)"^c = ∂²

∂J(x)∂J(y) log Z(J)

!!

!!

J=0

= D⁻¹(x, y) = "

d⁴k (2π)⁴

e^ik(x−y) k² + m²

D(x, y) = (−∂_µ∂^µ + m²)_xδ⁽⁴⁾(x − y)

n点は２点の組み合わせで計算できる

propagatorの極が粒子の分散関係を与える E² = k² + m²

相互作用がある場合の計算法

V (x) = λϕ

(x)

Z_λ(J) = !

Dϕ e^{−12ϕ·D·ϕ+J·ϕ+}

"

d⁴xV (x) = !

Dϕ e^{−12ϕ·D·ϕ+J·ϕ}

#∞ n=0

$!

d⁴xV (x)

%n

摂動展開（相互作用が弱いとき）

例：２点関数

n=0 x y

D

(x, y)

n=1

λ

x y

x y

λ

n=2 more

相互作用が強い時は？ 本講義のテーマ

2. Quantum Chromo Dynamics (QCD)

SU(3) ゲージ理論 with 基本表現のクォーク

D

= ∂

− igA

L = !

f

ψ ¯

(iγ

D

− m

)ψ

− 1

4 F

F

F

= ∂

A

− ∂

A

− ig[A

, A

]

A_µ = A^a_µT_a SU(3) generator

ψ_f^A (A = 1,2,3, f = u, d, s, c, b, t): quarks in the fundamental rep.

ゲージ変換

ψ → U ψ, A_µ → U A_µU^† + 1

ig ∂_µU · U^{† U}(x) ∈ SU(3) D_µ → U D_µU^†, F_µν → U F_µνU^{† Fµν} ≡ i

g[D_µ, D_ν]

共変微分

場の強さ ゲージ場

クォーク（フェルミオン）

例：陽子 , 中性子 π中間子

10^-13 cm

南部陽一郎博士が提唱 (1965) 

クォークとそれを結びつける 糊粒子（グルーオン）の力学

QCD

クォーク

反クォーク

グルーオン

２００８年のノーベル物理学賞

性質

•

•

•

•

meson (¯ qq ), baryon (qqq )

䚭䚭ₖ㎾⮤⏜ᛮ䛴Ⓠぜ㻃

䚭䚭䟺䠄䠂䠂䠆ᖳ䝒䞀䝝䝯∸⌦Ꮥ㈳䟻

䜴䝱䜽༡ኃ䚭䝡䝮䝈䜥䞀༡ኃ䚭䜪䜨䝯䝅䜫䝇䜳༡ኃ

䜳䜭䞀䜳

䜴䝯䞀䜮䝷

䜳䜭䞀䜳䛴㛚䛞㎲䜇 ₖ㎾⮤⏜ᛮ

㝟Ꮔ䜊୯ᛮᏄ䛴හ㒂ᵋ㏸

㔖ᏄⰅງᏕ (Quantum Chromo Dynamics)

༞㒂㝟ୌ㑳༡ኃ䛒ᥞ၌㻃㻋㻔㻜㻙㻘㻌䚭

䜳䜭䞀䜳䛮䛣䜒䜘⤎䛹䛪䛗䜑

⢮⢇Ꮔ䟺䜴䝯䞀䜮䝷䟻䛴ງᏕ

QCDを使ってどのように物理量を計算すれば良いか？

性質

•

•

•

•

meson (¯ qq ), baryon (qqq )

䚭䚭ₖ㎾⮤⏜ᛮ䛴Ⓠぜ㻃

䚭䚭䟺䠄䠂䠂䠆ᖳ䝒䞀䝝䝯∸⌦Ꮥ㈳䟻

䜴䝱䜽༡ኃ䚭䝡䝮䝈䜥䞀༡ኃ䚭䜪䜨䝯䝅䜫䝇䜳༡ኃ

䜳䜭䞀䜳

䜴䝯䞀䜮䝷

䜳䜭䞀䜳䛴㛚䛞㎲䜇 ₖ㎾⮤⏜ᛮ

㝟Ꮔ䜊୯ᛮᏄ䛴හ㒂ᵋ㏸

㔖ᏄⰅງᏕ (Quantum Chromo Dynamics)

༞㒂㝟ୌ㑳༡ኃ䛒ᥞ၌㻃㻋㻔㻜㻙㻘㻌䚭

䜳䜭䞀䜳䛮䛣䜒䜘⤎䛹䛪䛗䜑

⢮⢇Ꮔ䟺䜴䝯䞀䜮䝷䟻䛴ງᏕ

QCDを使ってどのように物理量を計算すれば良いか？

3. 格子上のスカラー場の理論

計算したいものは（非常に複雑な経路）積分 例：４点相互作用するスカラー場

”区分”求積：空間を格子に分ける

φ(x) → φ(na)

微分-> (対称）差分

n = (n₁, n₂, · · · , n_D)

∂

φ(x) →

φ (( n + ˆ µ ) a ) − φ (( n − µ ˆ ) a ) 2 a

S = !

d⁴x

"1

2∂_µφ ∂^µφ(x) + m²

2 φ²(x) + λ

4!φ⁴(x)

#

!

D φ e

S_lat = a⁴ !

n

"

−1

2φ(na)!

µ

φ(na + µa) + φ(na − µa) − 2φ(na)

a² + m²

2 φ(na)² + λ

4!φ(na)⁴

#

S_lat = !

n

"

−1

2φ_L(n)!

µ

{φ_L(n + µ) + φ_L(n − µ) − 2φ_L(n)} + M²

2 φ_L(n)² + λ

4!φ_L(n)⁴

# x = na = (n₁, n₂, n₃, n₄)a

φ_L(n) ≡ aφ(na) and M = ma (dimensionless) 無次元化した場、パラメタ（計算機に載る！）

Z(J) = ! "

n

dφ(n) exp

#$

n,µ

φ(n)φ(n + µ) − $

n

V_J(φ(n))

%

V_J(φ(n)) = M² + 2d

2 φ²(n) + λ

4!φ⁴(n) − J(n)φ(n)

hopping term（隣との”揃いやすさ”）

もし、hopping termが無ければ、積分は簡単。

hopping termが（相対的に）小さい<->質量が大きい。 （高温）展開

質量が重いと 動きにくい

例：２点相関関数

! φ(n

)φ(n

) " = φ(n

)

φ(n₁)φ(n₁ + µ)

φ(n1 + µ)φ(n1 + µ + ν)

φ(n

)

各点には、

e

例えば、交わりのない１つの経路からの寄与は、

( ! φ

"

)

! φ

"

=

! dφ φ

e

! dφ e

最終結果は、いろいろな経路の足し合わせ！

脇道：格子作用（差分）の改良

∇²µφ(na) ≡ φ(na + µa) + φ(na − µa) − 2φ(na)

a² = ∂_µ²φ + a² 2

4!∂_µ⁴φ + O(a⁴)

∇

φ − a

2

4! ∇

φ = ∂

φ + O(a

)

(古典的な) 作用の改良

ただし、hopping termの構造はより複雑になる。

a

∇

φ(n) = φ(n + 2) − 4φ(n + 1) + 6φ(n) − 4φ(n − 1) + φ(n − 2)

4. 格子上のゲージ理論

4.1 問題点

L = ¯ ψγ

(∂

+ igA

)ψ + 1

2 Tr F

微分を差分化した時にゲージ不変をどのように保つか？

ψ(x) [1 +¯ ig∆x^µAµ(x)]ψ(x + ∆x) = ¯ψ(x) [ψ(x) + ∆x^µ(∂_µ + igAµ)ψ(x)] + O(∆x²)

finite ∆x

P exp[ig! x+∆x x

Aµ(y)dy^µ] = lim

N→∞

N"−1

n=0

[1 +igAµ(x +nδx)δx^µ]

δx = ∆x N path-ordered product

ψ(x)¯ P exp[ig ! x+∆x x

A_µ(y)dy^µ]

" #$ %

≡U(x,x+∆x)

ψ(x + ∆x)

ψ(x)ψ(x¯ + ∆x)

連続理論では、

ゲージ変換性は？

ψ (x) → Ω(x)ψ (x), ψ(x) ¯ → ψ ¯ (x)Ω

(x) Ω(x) ∈ SU(3)

A_µ(x) → Ω(x)∂_µΩ^†(x)

ig + Ω(x)A_µ(x)Ω^†(x)

とすると、不変性から、あるいは具体的な計算から、

U (x, x + ∆x) → Ω(x)U (x, x + ∆x)Ω

(x + ∆x)

と、共変的に変換することが分かる。これをヒントに格子上のゲージ理論の構成を考える。

4.2 ゲージ場に対する格子作用

リンク変数

スカラー場は格子点に置いたが、ベクトル場であるゲージ場はリンクに置く。

U

= exp[igaA

(n)] ∈ SU(N)

n n + ˆ µ

g:結合定数

U

≡ U

n,µ

逆向きはエルミート共役で定義

n n + ˆ µ

ゲージ変換

U

→ U

= g

U

g

g

∈ SU(N)

経路上のリンク変数の積

· · ·

n

m

µ

µ

µ

Closed loop C at n

!

C

U → g

"

!

C

U

# g

tr

!

"

C

U

#

is gauge invariant

ゲージ不変性

! U ≡ U

U

· · · U

−→ g

!

U g

閉じた経路では

traceを取ると

作用はゲージ不変であるべし

S = !

n

!

Γ∈

closed loops

β

tr O

Γ

( n ) , O

Γ

= "

i∈Γ

U

もっとも簡単なループ （プラケット）

S = !

n,µ!=ν

β tr

U_µν(n)

" #$ %

U

U

U

U

= !

n,µ<ν

2 β Re tr [ U

( n )]

ゲージ場に対する作用は？

プラケット作用

e^Ae^B = e^A+B+

1

2[A,B]+··· ハウスドルフの公式

tr U_µν(n) = tr exp[iag{A_µ(n) + A_ν(n + ˆµ) + ^iag₂ [A_µ, A_ν] + · · ·}]

× exp[−iag{A_µ(n + ˆν) + A_ν(n) − ^iag₂ [A_µ, A_ν] + · · ·}]

= tr exp{iag[{A_ν(n + ˆµ) − A_ν(n)} − {A_µ(n + ˆν) − A_µ(n)} + iag[A_µ, A_ν]

! "# $

aF_µν+O(a³)

+O(a³)]}

= tr



1 + ia²gF_µν + a⁴X⁴

# $% &

∼0

−

a⁴g²

2 F_µν² + O(a⁶)





lim

a→0 S = !

n,µ"=ν

β tr

"

1 −

a⁴g²

2 F_µν²

#

本当にゲージ場の作用になっているか？

a-> 0を取ってみる。 U_n,µ = e^{iagAµ(n) と置く。}

確かに連続理論のゲージ場の作用に一致

ただし d U: Haar measure

d (V U) = d(U V ) = d U (^∀V ∈ SU(N)) 経路積分の表式

Z = ! "

n,µ

dU

e

= ! "

n,µ

dU

exp



 1 g

%

n,µ!=ν

trU

(n)





積分測度もゲージ不変

! Gauge non-invariant operator " = 0

“局所ゲージ対称性は自発的に破れない ” （エリツァーの定理）

Observables = gauge invariant quantities

= Functions of tr O_Γ for a closed loop Γ

Γ

  ５ . 格子フェルミオン

5.1 ダブリング問題

スカラー場のようにフェルミオンを格子点に置けば良いと思われていたが、実は、ゲージ場よ り難しいことが後から分かった。問題点の解決は最近。

S_F =

!

d⁴x ψ¯(γ_µD_µ + m)ψ

S_F = a⁴ !

n

ψ¯_n

"

!

µ

γ_µ U_n,µψ_n+ ˆµ − U_n−^† _µ,µˆ ψ_n−µˆ

2a + mψ_n

#

単純に差分化

a^3/2ψ → ψ, ma = M ( dimensionless) 無次元化

S_F = 1 2

!

n,µ

"ψ¯_nγ_µU_n,µψ_n+ ˆµ − ψ¯_n+ ˆµU_n,µ^† ψ_n#

+ Mψ¯_nψ_n

n n + ˆµ n n + ˆµ Un,µ

U^†

n,µ

hopping term

一見、これで良さそうだが。

一般のフェルミオン作用を考える。

S = ¯ ψ · D · ψ

Dのゼロ点は、伝搬関数の極なので、”粒子”に対応する。

相互作用無し、ゼロ質量を運動量空間で考えると

D = iγ

p

連続理論 ゼロ点は１つだけ

∀ p

= 0

格子理論（単純な差分）

D = iγ

sin(p

a)

a

p^µ = 0, π/a

４次元では１６個のゼロ点、つまり、１６個の粒子を記述 ダブリング問題

この問題を解決するために、いろいろ試みられたが、うまく行かず、次の定理が示された。

ニールセン•二宮の定理

適当な仮定（平行移動不変性、カイラル対称性、局所性、エルミート性、双線形性）を満た す格子フェルミオンには、ダブリング問題が存在する

(ダブラー)

フェルミオンとボソンの違い（運動量空間）

連続（無限） 格子（コンパクト、周期的）

ボソン

フェルミオン

D ∝ p²

0 0 2π

余分なゼロはでない

D ∝ p

0 0 2π

連続性から途中で余分なゼロが必要

ダブリング

単純な差分化では

カイラル対称性

クォークがゼロ質量の場合にQCDが持つ対称性（右手系と左手系を別々に回転する対称性）

! ψ → ψ

= e

ψ ψ ¯ → ψ ¯

= ¯ ψe

この対称性はQCDの力学で自発的に破れる。（南部）

! ψψ ¯ " # = 0

この時、ゼロ質量の粒子（南部•ゴールドストーン粒子）が出現＝π中間子 実際はクォークは質量を持つので、 m²_π = Am ^（PCAC関係式）

格子上でこの対称性を保ことは重要

π中間子の質量が（他のハドロン）より小さいことの説明。

5.2 ダブリングの無い格子フェルミオン

単純な格子作用にO(a)の項を加える

S^W = −ar

!

d⁴x ψD¯ ²ψ → − r 2

!

n,µ

"ψ¯_nU_n,µψ_n+ ˆµ + ¯ψ_n+ ˆµU_n,µ^† ψ_n − 2 ¯ψ_nψ_n#

ウィルソン項

SF = S_F⁰ + SW −→ ψ¯(γ · D + m)ψ (a → 0) a->0で連続理論を再現

S_F = ¯ψ(−p)

!

iγ_µ sin(p^µa)

a + m + r a

"

µ

(1 − cos(p^µa))

#

ψ(p)

自由場では、

∀p^µ = 0 ⇒ m

∃p^µ = π/a ⇒ m + 2r

a × (# of π/a) a->0では発散する無限に重くなり、ダブラー は粒子としては現れない

問題点 m=0でも、カイラル対称性がない（ウィルソン項はカイラル対称性を破る）

（ニールセン•二宮の定理とは矛盾しない）

カイラル対称性の自発的破れを議論するのが難しい

この作用はウィルソン•フェルミオン作用と呼ばれ、実際に良く使われる 少し書き直すと、

S_F = ¯ψ_nψ_n − K !

µ

"ψ¯_nU_n,µ(r − γ_µ)ψ_n+µ + ¯ψ_n+µU_n,µ^† (r + γ_µ)ψ_n#

K = 1

2(M + 4r) hopping parameter

hopping term

ψ

→ √

2Kψ

クォークが重いとKが小さい ホッピング•パラメタ展開

n ^{n + µ}

∝ U

n ^{n + µ}

∝ U

∝ U_n,µU_n+µ,µU_n+2µ,µU_n+3µ,µ

5.3 “カイラル”対称性を持つ格子フェルミオン

もちろん定理からダブリングが無いとカイラル対称性を持てないのだが。

S = ¯ ψ · D · ψ

カイラル対称性の表現

Dγ

+ γ

D = 0

格子上の”カイラル”対称性

Dγ

+ γ

D = aDγ

D

この時、無限小”カイラル”変換 δψ = γ₅(1 − a

2 D)ψ, δψ¯ = ¯ψ(1 − a

2D)γ₅

δS = ¯ ψ(Dγ

+ γ

D − aDγ

D)ψ = 0

8 Ginsparg-Wilson relation and chiral symmetry

8.1 GW relation

S

= ¯ ψ Dψ , Dγ

+ γ

D = 0 chiral symmetry ⇒ D γ

+ γ

D = O(a) Lattice, optimal choice ?

Ginsparg-Wlison (Free field analysis)

chiral symmetry(continuum) + non-chiral RG tr. ⇒ lattice action

Dγ

+ γ

D = aD γ

D ( GW relation ) ⇒ γ

D

+ D

γ

= aγ

Chiral symmetry violation in propagator D

is O(a) and local

8.2 “Chiral” symmetry

Chiral + O(a) transformation δψ = T

γ

(1 − a

2 D)ψ , δ ψ ¯ = ¯ ψ (1 − a

2 D)γ

T

⇒ δS = ¯ ψT

(D γ

+ γ

D − aDγ

D )ψ = 0

“chiral” symmetry if GW relation is satisfied.

• mass term ( m

ψψ ¯ ) breaks this symmetry ⇒ Axial WT identity

• transformation is D dependent ⇒ Jacobian is non-trivial ⇒ chiral U(1) anomaly

− aT rγ

D = 2N

· index(D)

57

つまり、伝搬関数に対してはカイラル対称性の破れはO(a)、かつ局所的

格子上の”カイラル対称性”があり、ダブリングの無いフェルミオンが存在しても、定理とは 矛盾しない。

ギンスバーグ•ウィルソン関係式を満たす格子作用

D = 1 a

!

1 − A

√A^†A

"

演算子Aに対する符号関数

A = D

( − M )

オーバラップ演算子はギンスバーグ•ウィルソン関係式を満たし、ダブリングの無い格子 フェルミオン作用を与える。（オーバラップ•フェルミオン）

オーバラップ•フェルミオンは格子”カイラル”対称性のため、

連続理論とほぼ同じ性質を持つため、格子QCDの計算には最 も優れている。しかしながら、符号関数の計算に時間が掛か るため、ウィルソン•フェルミオンに比べて、計算コストは１ ０倍から１００倍。また、格子間隔単位では、局所的ではな い。（物理スケールでは局所的。）

!

!"#$ %"#$

&

!!"#$

!"#$

' (

Define Γ₅ = γ₅(1− a 2D)

Γ5γ5D +γ5DΓ5 = D − 1

2aγ5Dγ5D + γ5Dγ5 − 1

2aγ5Dγ5D = 0 GW relation Set H = γ₅D = H^† (hermite)

Hφn = λnφn, (φn,φn) = 1, H(Γ5φn) = −λn(Γ5φn) pair (λ_n,−λ_n) for λ_n "= 0 unless

(Γ₅φn,Γ₅φn) = 0. ⇒ (φn,(γ₅ − a

2H)(γ₅− a

2H)φn) = (φn,(1− a

4H²)φn) = (1− a

2λn)(1 + a

2λn) = 0 Therefore λ_n = ±2

a is exceptional. In this case

γ₅φ_n = a

2Hφ_n = ±φ_n.

63

オーバラップ演算子の固有値分布

オーバラップ演算子がギンスバーグ•ウィルソン関係式を満たすことを示す。

aD = 1 − V, V = A

√ A

A

A

= γ

Aγ

⇒ V

= γ

V γ

V

= V

8.3 An explicit solution to GW relation

DWQCD with PV subtraction as N_s → ∞ =⇒ Overlap formulation (Narayanann-Neuberger)

⇓: explcit integration of PV fields Overlap Dirac Operator

aD = 1 − A

√A^†A, A = M − DW

M: DW mass, D_W: 4-dim. Wilson-Dirac operator

• γ₅Aγ₅ = A^†

• V ≡ A(A^†A)^−1/2

γ₅V γ₅ = A^†(AA^†)^−1/2 = ^!

n a_nA^†(AA^†)ⁿ = (A^†A)^−1/2A^† = V ^†

• V V ^† = A(A^†A)^−1/2(A^†A)^−1/2A^†A(A^†A)⁻¹A^† = 1

γ₅ 1

aDγ₅ = 1

1 − γ₅V γ₅ = 1

1 − V ^† = V

V − 1 = 1 − 1 1 − V

1

aγ₅D⁻¹γ₅ = 1 − 1

aD⁻¹ ⇒ γ₅D⁻¹ + D⁻¹γ₅ = aγ₅ ⇒ Dγ₅ + γ₅D = aDγ₅D (GW relation) Remark

D = 1

a(1 − V ), γ₅V γ₅ = V ^†, V V ^† = 1 ⇒ D satisfies GW relation.

58

1

aγ₅D⁻¹γ₅ = 1 − 1

aD⁻¹

γ

D

+ D

γ

= a

Dγ

+ γ

D = aDγ

D

ギンスバーグ•ウィルソン関係式が示された

６ . ゲージ理論の観測量と強結合展開

6-1.ウィルソン•ループ

ゲージの観測量はゲージ不変、つまり閉じたループ（の関数）に限られる。

W(C = L × T) = tr !

c U _{ウィルソン•ループ}

非常に重いクォーク反クォーク対を生成し、瞬時にLだけ引き離す。

重いので、その場所に留まり時間だけが進行する。時間T後に、

クォーク反クォークは瞬時に対消滅。クォークと反クォークが動い た後に残ったリンク変数がウィルソン•ループになる。

!W(C)" → exp[−T V (L)] as T → ∞

V (L)

クォーク反クォーク間の静的ポテンシャル

面積則 !W(C)" → exp[−cLT] V (L) = cL ^{閉じ込めポテンシャル}

周辺則 !W(C)" → exp[−c^!(L + T)] V (L) = c^!(1 + _T^L) ∼ c^!

非閉じ込め 離せば離すほどエネルギーが必要

!

d U 1 = 1 ,

!

d U U

= 0 ,

!

d U UabU_kl^† = 1

N δalδbk,

!

d U U_a

1b₁U_a

2b₂ · · · U_a

Nb_N = 1 N!!_a

1a₂···a_N !_b

1b₂···b_N

6-2.強結合展開

SU(N)の群積分

強結合展開

exp



 1 g²

#

n,µ!=ν

tr U_µν(n)



 = &

n,µ!=ν

exp ' 1

g²trU_µν(n) (

= &

n,µ!=ν

'

1 + 1

g²trU_µν(n) + · · · (

g

→ ∞

!

dU U = 0 _{“ゲージ場はランダム”}

W(C) = tr U₁(n)

ˆ W

! "# $

U₁(n + ˆ1) · · · U^†

4(n)

!W(C)" = 1 g²

!

dU₁(n)dU₄(n)

×trU₄(n)U₁(n + ˆ4)U^†

4(n + ˆ1)U^†

1(n) × trU₁(n) ˆW U^†

4(n)

= 1 g²

!

dU₄(n){U₄(n)U₁(n + ˆ4)U₄^†(n + ˆ1)}^lk

= 1

g²N

!

dU₄(n) tr U₄(n)U₁(n + ˆ4)U₄^†(n + ˆ1) ˆWU₄^†(n) ウィルソン•ループの計算

×{U₁^†(n)}^kl{U₁(n)}^ab{W Uˆ ₄^†(n)}^bad U₁(n)

= 1 g²N

!

dU₄(n) tr U₁(n + ˆ4)U₄^†(n + ˆ1) ˆW

これを繰り返す

!W(T × L)# =

! 1

g²N

"_L

!W((T − 1) × L)# =

! 1

g²N

"_LT−1

!W(1 × 1)#

=

! 1

g²N

"LT

tr 1 = N

! 1

g²N

"LT

!W(T × L)# = N e^{−T L log(g2N)} 面積則

V (L) = L log(g²N) ^{クォークの閉じ込め}

７ . 連続極限

時空間は格子構造をしているわけではないので、最終的な答えを得るのは格子間隔をゼロにす

る（a->0）連続極限を取る必要がある。

場の量子論では理論にあるパラメタ（裸のパラメタと呼ぶ）は（無限大の）量子補正を受ける ので、「繰り込み」を行い有限の結果を得る必要がある。

繰り込まれた結合定数

裸の結合定数 繰り込み定数

g

= lim

a→0

Z

(a)g

どうやってa->0の極限をとるのか？ 無次元化した格子作用には、もはやaはない。

格子ゲージ理論では、裸の結合定数を変化させることが、aを変化させることに対応。

それでは、どのように裸の結合定数を変化させれば良いか？

裸の結合定数と格子間隔との関係

したがって

a → 0 ^g

_→ 0

Ka^dK = C(Λ_La)^dK = Ce⁻

2bdK0g2

0 + · · · （漸近的）スケーリング

ベータ関数

スケールに依存する結合定数(running coupling)に対する常微分方程式 この方程式を積分する。

β(g) = µ dg

dµ = −b₀g³ + · · · ^{b0 =} _16π^{1 2 11N}₃

! Λ_L 1/a

dµ

µ = − 1 2b₀

! _∞

g₀²

dg² g⁴

結合定数が発散するスケール

（これを固定）

Λ_L

g

= − 1

2b

log Λ

a

a = 1

Λ_L exp

!

− 1 2b₀g₀²

"

連続極限は

また、すべての次元を持つ物理量Kは、格子上では無次元なので、以下の振る舞いをするはず。

d

を単位として係数CからKの値が決まる。

Λ_L

K = C (Λ

)

強結合とは逆

Part II.

モンテカルロ法による

ハドロン質量の計算

8.経路積分表示

9.ゲージ配位の生成法

1. ハイブリット•モンテカルロ法(HMC) 2. QCDに対するHMC法

3. コメント

10.クォーク伝搬関数の計算

1. CG法のアルゴリズム 2. 反復法の収束の加速

3. HMC法での計算アルゴリズム

11.データの解析方法

1. 質量の計算法

2. 誤差評価とフィット

3. ハドロン質量のクォーク質量依存性

4. 連続極限

12.最新の結果

1. ハドロンのスペクトラム

2. カイラル摂動論(ChPT)を用いたカイラル外挿

内容

クォークとハドロン

ハドロン：クォークの束縛状態

Meson

Quarks PesudoScala(0) Vector(1)

¯

uu − dd¯ π⁰ ρ⁰

du, ¯¯ ud π^± ρ^±

¯

uu + ¯dd η ω

¯

sd, ¯ds K⁰, ¯K⁰ (K^∗)⁰, ( ¯K^∗)⁰

¯

su, ¯us K^± (K^∗)^±

¯

ss η_s φ

Baryon

Quarks Octet(¹₂) Decouplet(³₂)

uuu ∆⁺⁺

uud p ∆⁺

udd n ∆⁻

ddd ∆⁰

uus Σ⁺ (Σ^∗)⁺ uds Σ⁰, Λ⁰ (Σ^∗)⁰ dds Σ⁻ (Σ^∗)⁻ uss Ξ⁰ (Ξ^∗)⁰ dss Ξ⁻ (Ξ^∗)⁻

sss Ω

クォーク：ここでは質量の軽いu,d,sの３つを考える。ただし、質量は

m_l = (m_u + m_d)/2, m_s ^として、uとdの質量差は考えない。

（最近は質量差は取り入れる試みあり。）

中間子 重粒子

擬スカラー ベクター ８重項 10重項

8. 経路積分表示

フェルミオンはグラスマン数（反可換な数）で表現されているので数値計算出来ない。

= !

dU e^−SG(U)O(− δ

δ η , δ

δ η¯, U) detD(U)e^{ηD¯ −1(U)η}

"

"

"

"

η=¯η=0

S = S

(U ) + ¯ ψD(U )ψ, !O ( ¯ ψ, ψ, U ) " =

! dU d ψ dψ ¯ O e

! dU d ψ dψ e ¯

!

dU d ψ dψ ¯ O ( ¯ ψ, ψ, U )e

= !

dU e

O ( − δ

δ η , δ

δ η ¯ , U ) !

d ψ dψ e ¯

"

"

"

"

η=¯η=0 やりたいことは、経路積分を数値的に実行すること

幸い、手で積分できるので、実行すると

ボソンとは違って行列式そのものが出る

ソース（外場）を導入